【2019年度】精编中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用导学案
2019-2020学年九年级数学下册《相似三角形(复习课)》教案-新人教版
A C A'B'C 'B 2019-2020学年九年级数学下册《相似三角形（复习课）》教案 新人教版教学目标:1.回忆两个三角形相似的概念，巩固两个三角形相似的性质与判定。
2.归纳总结一般几何证明题的思路与相似三角形的基本模型。
3.通过学生动手画,动脑想,动笔写,进一步加深对三角形相似与理解。
教学重难点：相似三角形的性质与判定的综合应用。
教学方法：启发讨论式与讲练结合法。
教学课时：讲练结合1课时，学生自练1课时。
教学过程：一、概念:1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.相似比:相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
△ABC ∽△A ′B ′C ′,如果BC=3,B ′C ′=1.5,那么△AB C 与△A ′B ′C ′的相似比为多少？（学生齐答） 二、相似三角形的判定、性质和应用1、判定①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 几何语言：∵ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．几何语言：∵ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 几何语言：∵ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′2、性质：两个三角形相似，则：①它们的对应边成比例，对应角相等；②它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；③它们的周长比等于相似比；④面积比等于相似比的平方．三、应用举例:例1 下列说法中正确的有： （填序号）（1）所有的等腰三角形都相似．（2）所有的直角三角形都相似．（3）所有的等边三角形都相似．（4）所有的等腰直角三角形都相似．（5）全等三角形一定是相似三角形.四、及时练习A AB B '∠=∠⎫⎬'∠=∠⎭AB AC A B A C A A ⎫=⎪''''⎬⎪'∠=∠⎭AB AC BC A B A C B C ==''''''A DB CC B E AD C'B'D'A'E'（1）如图1，当 时，△ABC ∽ △ADE 。
人教版2019届九年级数学中考第一轮总复习《相似三角形及其应用》教案设计
人教版2019届九年级数学中考第一轮总复习《相似三角形及其应用》教案设计人教版九年级数学中考第一轮总复习课例《相似三角形及其应用》复习课教学设计及其说明2019 年 3 月 21 日一、内容与内容解析1．内容相似三角形的定义、判定、性质，以及相似三角形的应用．2．内容解析相似三角形的定义、判定、性质与应用是相似三角形研究的重要内容．对相似三角形的研究，依然采用先给出几何对象的定义，再探究其判定和性质，然后进行应用的一般思路．由于全等三角形是特殊的相似三角形（相似比为 1），因此对相似三角形的研究可以类比全等三角形的定义、性质、判定．在相似三角形的判定中，预备定理“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的直角三角形与原三角形相似”承接于平行线分线段成比例的基本事实，为其他三角形相似的判定方法的证明作了铺垫．相似三角形的基本图形很丰富，是发展学生几何直观，渗透模型思想的良好素材．借助相似这一图形变化，可以有效解决图形计算与证明的相关问题，这一过程也是培养学生“应用意识”的良好途径．站在复习课的角度，本课也承担着从整体上把握知识体系，形成良好的结构系统，同时深化数学思想方法的理解与运用，以及有效训练“选择适当知识进行推理计算并解决问题”的目的．从中考备战的角度，本课也承担着“呈现近年考查方式方向，总结知识模块方法方略”的目的．基于以上分析，确定本节课的教学重点：整体梳理相似三角形的知识结构体系，从“模型”角度加深对相似三角形的认识与运用．二、目标和目标解析1．目标（1）进一步理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定及性质．（2）能将相似三角形的相关知识结合“模型”进行整理和应用．2．目标解析达成（1）的标志是：能说出相似三角形的定义、判定与性质，并能用符号表示．达成（2）的标志是：在具体问题中，能自然地调用相似三角形的判定或性质来分析和解决问题，形成结构体系，并能对相似三角形的常见模型进行有联系的梳理．三、教学问题诊断分析（1）复习是一种特殊的活动，具有重复性、系统性、综合性和反思性．复习的主要目的是加强知识联系、深化知识理解、优化知识结构，体会思想方法，发展数学认知．复习课的核心认知活动是知识体系的重组和知识的选择性应用．但学生整理知识的经验不多，综合能力有限，难以整理出系统、简约的知识结构．学生碰到具体的问题情境时，在选择适当的知识来解决问题上会存在诸多困难．（2）相似三角形的基本图形很丰富，既有最基本的平行“A 字型”和“8 字型”，又有更为复杂的“一线三等角”等．学生对于这些图形都有一定接触和认识，但都是分散而独立的．当这些基本图形隐藏在较为复杂的几何图形中时，学生难于发现．当这些基本图形只出现了一部分时，学生对于补全构建模型的意识不强，经验缺乏．基于以上分析，本节课的教学难点是：相似三角形知识体系的结构化整理和选择性使用．四、教法特点以及预期效果分析本节课的教学设计中，我重点关注以下几个问题：（1）结合具体问题，设计有效的问题串，激发学生回顾相关知识，系统整理形成体系．（2）将相似三角形的基本图形构建成“模型”，并从图形变换的角度梳理“模型”的演变，不断巩固核心基础知识，训练学生的几何直观，从“模型观”探求解决问题的相似之道．（3）积极倡导学生动手操作、动脑思考、动口表达，亲身经历体验数学学习、归纳总结的过程，以简约典型的数学问题让学生回顾梳理知识系统和思想方法，积累这个过程中所获得的学习经验．教学任务分析教学流程安排教学过程设计【活动 1】课前热身问题：1．如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ：DE =1：2，则下列等式一定成立的是（ ）A ．BC = 1 B ．∠A 的度数 = 1C ．△ABC 的周长 = 1D ．△ABC 的面积 = 1DF 2 ∠D 的度数2 △DEF 的周长2 △DEF 的面积22．如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件______________________，使得△AD E ∽△ACB ．（第 1 题图） （第 2 题图） （第 3 题图） （第 4 题图）3．(2017·江西)如图，正方形 ABCD 中，点 E ，F ，G 分别在 AB ，BC ，CD 上，且∠EFG =90°．求证：△EBF ∽△FCG ． 4．(2018·江西)如图，在△ABC 中，AB =8，BC =4，CA =6，CD ∥AB ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交 AC 于点 E ，求 AE 的长．师生活动：学生独立思考并解答上述问题，联想回忆相关知识，初步明确复习主题．学生可能出现某一个知识点模糊不清的状况，或对同一问题有不同解答，教师予以巡视关注．设计意图：借题回顾相关知识，唤醒学生已有认知结构，让学生明确复习主题，尽快进入上课状态，同时结合近年中考题让学生初步感知相似三角形的“中考考向”．【活动 2】课堂学习——回顾定义问题：（1）猜一猜：一模一样（打一数学概念），大同小异（打一数学概念）．（2）相似“同”在哪，“异”在哪？（3）类比全等三角形，相似三角形的定义是？相似用符号如何表示？师生活动：教师通过谜语和问题串引导学生思考回顾，学生从猜谜语活动中回顾“全等”、“相似”的本质，以及两者之间的异同．类比更为熟悉的“全等”三角形回顾相似三角形的定义，并用符号表示． 设计意图：设计谜语活跃课堂气氛，营造轻松的复习氛围，同时直指复习内容的本质，并以全等三角形作类比，让学生对相似三角形的认识更为清晰．【活动 3】课堂学习——梳理知识问题：（1）如图，已知△ABC ，D 是 AB 上一点，AB =10，AD =5，AC =8，试在 AC 上确定一点 E ，使得 △ADE 与△ABC 相似．师生活动：教师提出问题，引导学生关注题中 D 点的特殊性，学生独立思考并画出符合要求的图形．设计意图：题中 D 点的特殊性是为后续能“全盘托出”相似三角形的判定而巧设的．通过“画一画”让学生自主寻找相似的判定条件，并生成最基本的 A 字型相似，为后续作铺垫．从方案多样性角度，让学生体会分类讨论思想．（2）如图，在方案 1 中，如何证明△ADE ∽△ABC ？（3）如图，在方案 2 中，当△ADE∽△ACB时，试解答下列问题：①试求 AE 的长.②△ADE 与△ACB 的面积比为().A. 1：2B. 5：8C. 1：4D. 25：64③若 AF 平分∠BAC 交 BC 于点 F，交 DE 于点 G，则AG=_________. GF方案 1方案2师生活动：在生成方案过程中，教师追问学生判定三角形相似的理由，引导学生自主梳理相似三角形的判定方法．学生可能会遗漏其中一些方法（如平行相似预备定理），教师适时点拨，结合问题本身的特殊性，让学生感受每一种方法都可用来解释．借助生成方案的结果，教师再追问小问题串，引导学生自主梳理相似三角形的性质．学生通过独立思考，积极举手回答．设计意图：通过“追问”与设计“题组”，让学生自主梳理相似三角形的判定方法与性质，体验选择性使用知识的过程，让知识从问题中激发而来，又回到问题中去，达到核心知识的梳理复习功效．【活动 4】课堂学习——提炼模型问题：（1）变式：如图，已知△ABC，D是直线AB上一点，AB=10，AD=5，AC=8，试在直线AC上确定一点 E，使得△ADE 与△ABC 相似．师生活动：教师对原问题进行变式，引导学生画出新的方案，并启发学生从“图形变换”的角度理解这几个相似图形之间的关系．方案 1方案2方案3方案4设计意图：通过问题变式，继续体验分类讨论思想，并生成最基本的 8 字型相似.同时让学生体会从“旋转”角度理解 A 字型与 8 字型的联系，为后续的“模型变换联系”埋下伏笔．（2）当△ADE∽△ABC时，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接CE，BD，则△ADB与△AEC相似吗？请说明理由.师生活动：教师借机生成一个旋转一般角度的问题，学生思考并证明．设计意图：通过借机巧设问题，训练学生综合运用相似三角形的性质与判定解决问题，同时感知“旋转相似”特性．（3）将方案 2 图形依次按照平移、特殊化、翻折、一般化等过程，会得到哪些常见的相似模型？这些模型有哪些具体特征？师生活动：师生一起从图形变换角度，结合“特殊化”、“一般化”处理，将已有基本图形进行变化，生成其它常见相似模型，学生归纳概括这些模型的基本特征．设计意图：通过图形变换，“特殊化”、“一般化”处理，生成相似三角形的常见模型，进一步从模型角度丰富学生对相似三角形的认识，为后续学练打下坚实基础．【活动 5】课堂学习——典例学练问题：（1）你是怎样分析并解答热身训练题的，从中吸取了哪些经验？若将第 1 道中考题变式如下，你又如何证明？已知如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，点 F 在 BD 上，且 DF = 14 BD ．求证：△ACE ∽△EDF ．师生活动：教师引导学生从模型角度分析问题，学生口述解答过程．对问题进行变式，引导学生审清条件，找准思路．而后小结方法得失.设计意图：通过对热身训练题（重点 2 道中考题）的解析，反馈学生的训练成果，解答学生的训练疑惑，总结方法得失．同时突出模型的认识．通过问题变式，回归知识本质，体现灵活运用．（2）如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在 BC 上，DE 与 AC 相交于点 F ．①求证：AF ·CF =DF ·EF ．②若已知 AB =9，BD =3，试求 CF 的长．师生活动：学生分析题意并作答，学生代表上台板书展示，师生共同评判并小结方法得失.设计意图：通过本题训练，继续巩固模型思想，体会等积式证明的方向与思路．（3）如图 D 、E 分别为△ABC 中 BC 、AC 边上的点，且BD = 1 ， AE = 1，AD 与 BE 相交于点 F ， DC 3 EC 2AF则值为（ ）FD3 4A ．2B ．3C ．D ．2 3师生活动：学生可能难以找到突破口，教师引导学生寻找比例线段与相似三角形的联系，构建平行相似解决问题，并总结方法经验.设计意图：通过此题让学生感知“比例线段”与“相似”的联系，并体会“作平行构相似”的方法．（4）如图，点 A 是反比例函数 y = 3x （x ＞0）图象上的一个动点，连接 AO ，OB ⊥OA 交反比例函数 y = -1x（x ＜0）图象于点 B ． ①当点 A 的横坐标为 1 时，试求点 B 的坐标；②连接 AB ，随着点 A 的运动，∠OAB 的大小是否变化？若不变，请求出 tan ∠OAB 的值，若变化，请说明理由．师生活动：师生共同分析问题，结合条件和所求问题，自然构建出“一线三直角”相似模型．第二个问题引导学生从画图操作验证猜想，并综合运用相似三角形与反比例函数的知识解决问题设计意图：此题难度加大，面向尖优生，体现分层．从问题解决上体现“综合运用”，同时继续巩固相似“模型”．【活动 6】课堂学习——反思小结问题：（1）谈谈你的复习收获；（2）你对相似三角形的模型还有哪些认识？请补充完善.师生活动：教师引导学生从知识技能、思想方法、活动经验等方面小结复习收获，学生畅所欲言．教师从“模型思想”对学生提出寄语．设计意图：通过反思小结，让学生进一步体会“模型”思想的重要性，深化认识．体现画龙点睛的效果．【活动 7】课后训练问题：见学案，学生课后完成，并分享交流.设计意图：布置针对性的作业，巩固所复习知识及思想方法，将复习与能力发展延伸到课外．。
中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用导学案
第22讲相似三角形及其应用一、知识梳理相似图形的有关概念相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比k相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等比例线段定义防错提醒比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等,即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位黄金分割在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果________，那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________一条线段的黄金分割点有______个平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线),所得的对应线段的比________相似三角形的判定判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________判定定理2 如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似三角形及相似多边形的性质三角形(1）相似三角形周长的比等于相似比(2）相似三角形面积的比等于相似比的平方（3）相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方位似位似图形定义两个多边形不仅相似,而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心位似与相似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质（1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________;（2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；（3）位似图形对应边______(或在一条直线上）；（4）位似图形对应角相等以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________位似作图(1）确定位似中心O；(2）连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3）按照相似比取点；（4）顺次连接各点，所得图形就是所求的图形相似三角形的应用几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系,求线段的长度,图形的面积大小等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；（2)测量底部可以达到的物体的高度;（3)测量底部不可以到达的物体的高度；（4）测量不可以达到的河的宽度二、题型、技巧归纳考点一:比例线段例1已知直线a∥b∥c,直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC＝4,CE＝6，BD＝3，则BF＝( ）A．7 B．7。
中考数学一轮复习课件第22讲相似三角形
如图,位似中心是
,
位似比是
.
自学检测2:(3+3分钟)
1.已知线段AB的长度为2,C是线段AB的黄金分
割点,则AC=
或
.
2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交
于点P,点P是BD的黄金分割点(BP＞PD),
已知AD=1,则BC的长为
.
3.已知,△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别 为A(0,3),B(3,4),C(2,2). (1)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使 △A2BC2与△ABC位似,且位似比为2:1,并直接写出 △A2BC2的面积.
e f
… m （k b+d+f…+n≠0）
n
则
K
自学检测1:(7分钟)
1.已知3x=4y(x≠0),则下列式子成立的是( )
A. x y 34
B. x y 43
C. x 3 y4
D. x 4 3y
2.已知线段AB=15 mm,CD=3 cm,则线段AB
与CD的比为
；
3.已知a,b,c,d是成比例线段,其中 a=4cm,b=2cm,c=8cm,则线段d的长为 .
边上的中线之比是
,周长之比是
.
2.有一个三角形的边长为3，4，5,另一个和它
类似的三角形的最小边长为7,则另一个三角形的
周长为
.
3.如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、
BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:S△ABF=4:25,
则DE:EC=
.
44..如如图图,,△△AABBCC被中线,D段F∥DEG、∥FBGC分且成A面D积=D相E等=B的E, 三则则 为部D△E分A:FB,即GC:S.被B1C=分S=成2=的S三3,且部.D分E的∥面FG积∥比BSC1,:S2:S3
九年级数学教案第22章《相似三角形》知识点整理_0290文档
本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项----黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a,b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。（2）比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果线段a,b的比等于线段c,d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段。（3）比例中项:如果a：b=b:c,那么b叫做a,c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。这个点叫做黄金分割点。顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。（比例=====等积）。主要作用：计算。合比性质，主要作用：比例的互相转化。等比性质，在使用时注意成立的条件。二、相似三角形的判定平行线等分线段------平行线分线段成比例--------平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例------（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似------相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换----2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。----3、位似变换：两个图形不但相似，而且对应点连线过同一点的相似变换叫做位似变换。这两个图形叫做位似图形。4、位似变换可把图形放大或者缩小。5、外位似（同向位似图形）位似中心在对应点连线外的位似叫外位似。这两个图形叫同向位似图形。内位似（反向位似图形）位似中心在对应点连线上的位似叫内位似。这两个图形叫反向位似图形。6、以原点为位似中心，相似比为k，原图形上点的坐标（x,y）则同向位似变换后对称点的坐标为(kx,ky)
相似三角形中考备考复习导学案
相似三角形中考备考复习导学案第19课时相似三角形【课标要求】1、比例的基本性质，线段的比。
成比例线段2、认识图形的相似，探索相似图形的性质3、相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方4、两个三角形相似的概念，图形的位似5、探索两个三角形相似的条件6、利用位似将一个图形放大或缩小【知识要点】一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法若DE∥BC（A型和X型）则______________．2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．两个角对应相等的两个三角形_ _________．两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．【典型例题】1.（2012山东省荷泽市）如图，∠DAB=∠CAE，请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE，并说明理由.2.（2012贵州遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）（A）9 （B）10 （C）12 （D）（湖南株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C 重合，直线MN交AC于O.（1）、求证：△COM∽△CBA；（2）、求线段OM的长度如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？5．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过______秒，△PBQ与△ABC相似．【课堂检测】★1．已知，求代数式—¬——。
中考数学一轮复习：第22课时相似三角形课件
No
第22课时 类似三角形
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3. (202X三明5月质检5题4分)如图，已知DE为△ABC的中位线，△ADE的面 积为3，则四边形DECB的面积为C( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
第3题图
No
第22课时 类似三角形
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命题点 3 类似三角形的实际应用
4. (202X厦门5月质检10题4分)据资料，我国古代数学家刘徽发展了测量不可到达的 物体的高度的“重差术”，如：通过下列步骤可测量山的高度PQ(如图) ： (1)测量者在水平线上的A处竖立一根竹竿，沿射线QA方向走到M处，测得山顶P、 竹竿顶点B及M在一条直线上； (2)将该竹竿竖立在射线QA上的C处，沿原方向继续走到N处，测得山顶P，竹竿顶 点D及N在一条直线上；
No
第22课时 类似三角形
典例“串”考点
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例 已知，△ABC和△DEF是大小不同，形状相同的两个三角形．
(1)如图①，△DEF绕点A旋转到如图位置，EF∥BC，若AE＝1，BE＝2，则＝ EF
1
BC
____3____；
例题图①
No
第22课时 类似三角形
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【提分要点】A字型： 有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等．若 题中未明确类似三角形对应顶点，则需要分类讨论．
第22课时 类似三角形
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第22课时 类似三角形
No
思维导图
1.比例的性质
2.黄金分割 3.平行线分 线段成比例
比例线段
1.性质 2.判定 3.判定思路
类似三角形
类似 三角形
类似多边形 及其性质
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1.定义 2.性质
【秋】沪科版九年级上第22章相似三角形复习导学案
九年级（上）数学导学案课题：第22章相似三角形复习编号9S040教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）学习目标：1、进一步复习巩固本章知识点.2、熟练地综合应用本章知识点解决实际问题.学习重点：综合应用本章知识点解决实际问题.预设难点：综合应用本章知识点解决实际问题.☆知识系统回顾☆一、知识结构二、知识填空1、去度量两条线段a、b，得到的叫做这两条线段的比.2、叫做成比例线段.3、比例的基本性质： .比例的合比性质： .比例的等比性质： .4、相似三角形的定义： .相似三角形的判定： ...对于两个直角三角形，除上述判定定理外，还有：.5、相似三角形的性质：.6、位似图形的定义： .如何用位似变换把一个图形放大或缩小？变换前后点的坐标有何变化？ .比例线段比例线段的性质相似三角形判定性质位似变换☆ 知识整合提升 ☆1、已知k yzx x z y z y x =+=+=+，求K 的值.2、已知在△ABC 中，AD 、CE 是△ABC 的高，AD 和CE 相交于点F ，请证明：AF ·FD = CF ·FE.3、如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD = 6,∠ABC = 60°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上（点E 与点A 、D 不重合），且∠BEF = 120°， 设AE = x ，DF = y.（1）求y 与x 的函数关系式； （2）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？☆ 达标检测 ☆1、如图，AB ∥CD 且AD 与BC 相交于点P ，AB = 4，CD = 7 , AD = 10 , 则AP 的长等于（ ）. A 、1140 B 、407C 、1170D 、4702、如图，已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，找出位似中心.3、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F ，试说明： AE ·AB = AF ·AC.ABC 1B 1A 1C。
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考点3三角形相似的判定方法及其应用
例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．
技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．
比例线段
定义
防错提醒
比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____ ________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位
黄金分割
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________
位似与相似关系
位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行
位似图形
的性质
(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于_ _______；
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；
(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；
(4)位似图形对应角相等
以坐标原点为中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________
位似
作图
(1)确定位似中心O；
(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；
(3)按照相似比取点；
(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形
∴△AHG∽△ABC，∴＝.
(2)由(1)得＝.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.
二、题型、技巧归纳
考点一：比例线段
例1已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝()
A．7B．7.5C．8D．8.5
技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键
考点2相似三角形的性质及其应用
一条线段的黄金分割点有 ______个
平行线分线段成比例定理
定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________
相似三角形的判定
判定定理1
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________
【2019年度】精编中考数学一轮复习第22讲相似三角形及其应用导学案
一、知识梳理
相似图形的有关概念
相似图形
形状相同的图形称为相似图形
相似多边形
定义
如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似
相似比
相似多边形对应边的比称为相似比k
相似三角形
两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等
相似三角形的应用
几何图形的证明与计算
常见问题
证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等
相似三角形在实际生活中的应用
建模思想
建立相似三角形模型
常见题目类型
(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；
(2)测量底部可以达到的物体的高度；
(3)测量底部不可以到达的物体的高度；
(4)测量不可以达到的河的宽度
相似三角形及相似多边形的性质
三角形
(1)相似三角形周长的比等于相似比
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比
相似多
边形
(1)相似多边形周长的比等于相似比
(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方
位似
位似图形定义
两个多边形不仅相似பைடு நூலகம்而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个 图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心
考点4位似
例4如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是()
A、B、C、D、
技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。
判定定理2
如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似
判定定理4
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角 形相 似
拓展
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似
例2如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1)求证：
(2)求这个矩形EFGH的周长．
技巧归纳：
1.利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；
3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为．
参考答案
例1、因为a∥b∥c，所以＝，∴＝，DF＝4.5，BF＝7.5.
例2、解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH.
∴∠AHG＝∠ABC.
又∵∠HAG＝∠BAC，
三、随堂检测
1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__ __m.
2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为．