相似三角形的判定(2)PPT课件
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相似三角形的性质(2)PPT课件
九年级数学上 新课标 [冀教]
第二十五章 图形的相似
学习新知
检测反馈
学习新知
某施工队在道路拓宽施工时遇 到这样一个问题,马路旁原有一 个面积为100平方米、周长为80 米的三角形绿化地.由于马路的 拓宽,绿地被削去一个角,变成了 一个梯形,原绿化地一边BC的长 由原来的30米变为18米.那么被 削去的部分的面积有多少?你能 解决这个问题吗?
边之间的数量关系,根据相似三 角形的判定定理可得两个三角
形相似,且相似比为1∶2,由相
似三角形的周长比等于相似比、 面积比等于相似比的平方,可得
结论.
解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,
且DE=
1 2
AB,EF=
12BC,DF=
1 2
AC.
∴ DE EF DF， 1
AB BC AC 2
∴△DEF∽△ABC. ∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2,
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有
关角的计算、线段长的计算以及三角形的 周长和面积的计算等,还可以用于证明两 角相等、两条线段相等等.
检测反馈
1.在一张由复印机复印出来的纸上,一个三角
1 BC AD 2
BC AD k 2.
SABC 1 BC AD BC AD
2
(教材86页例2)如图所示,在△ABC中, D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求: (1)△DEF的周长与△ABC的周长之比. (2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.
解析 由三角形的中位线定理
可以得到△DEF三边与△ABC三
形的一条边的长由原来的1 cm变成4 cm,那么
第二十五章 图形的相似
学习新知
检测反馈
学习新知
某施工队在道路拓宽施工时遇 到这样一个问题,马路旁原有一 个面积为100平方米、周长为80 米的三角形绿化地.由于马路的 拓宽,绿地被削去一个角,变成了 一个梯形,原绿化地一边BC的长 由原来的30米变为18米.那么被 削去的部分的面积有多少?你能 解决这个问题吗?
边之间的数量关系,根据相似三 角形的判定定理可得两个三角
形相似,且相似比为1∶2,由相
似三角形的周长比等于相似比、 面积比等于相似比的平方,可得
结论.
解:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点, ∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC,
且DE=
1 2
AB,EF=
12BC,DF=
1 2
AC.
∴ DE EF DF， 1
AB BC AC 2
∴△DEF∽△ABC. ∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2,
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
[知识拓展] 相似三角形的性质可用于有
关角的计算、线段长的计算以及三角形的 周长和面积的计算等,还可以用于证明两 角相等、两条线段相等等.
检测反馈
1.在一张由复印机复印出来的纸上,一个三角
1 BC AD 2
BC AD k 2.
SABC 1 BC AD BC AD
2
(教材86页例2)如图所示,在△ABC中, D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点.求: (1)△DEF的周长与△ABC的周长之比. (2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.
解析 由三角形的中位线定理
可以得到△DEF三边与△ABC三
形的一条边的长由原来的1 cm变成4 cm,那么
相似三角形判定2课件
= ∠DAE －∠DAC， 即 ∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.
B D C E
练一练 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出 图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由. 解：在 △ABC 和 △ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E. ∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ， A ∴∠BAD=∠CAE. 故图中相等的角有∠BAC=∠DAE， E ∠B=∠D，∠C=∠E， D B ∠BAD=∠CAE. C
1 1 1 ∴ DE AC，DF BC，EF = AB， 2 2 2 DE DF EF 1 = = ， ∴ AC BC AB 2
∴ △ABC∽△EFD.
6. 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. 解：公路 AB 与 CD 平行.
A' B' B'C' 又 AB BC DE B' C' ∴ ， BC BC
A E C A′
D
A' C' ，AD=A′B′， AC C′ B′ AE A' C' . ∴△ADE≌△A′B′C′， AC AC △A′B′C′ ∽△ABC. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
归纳： 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：
当堂练习
1. 如图，若 △ABC∽△ DEF，则 x 的值为 A. 20 B. 27 A B C
《相似三角形判定定理2》PPT课件
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
(2)连接 BD，如果 BD2＝AC·MN，求证：BE⊥AD.
证明：如图，设 BD 交 AC 于 O. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAC＝∠DAC， ∴BD＝2OB，AC＝2AO. ∵AM＝CN，∴OM＝ON，∴MN＝2OM.
∵BD2＝MN·AC，∴4OB2＝2OM·2OA， ∴OB2＝OM·OA，∴OOMB ＝OOAB. ∵∠BOM＝∠AOB＝90°，∴△BOM∽△AOB， ∴∠OBM＝∠BAO＝∠DAC. ∵∠OBM＋∠BMO＝90°，∠AME＝∠OMB， ∴∠EAM＋∠AME＝90°，∴∠AEM＝90°，即 BE⊥AD.
11．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别在边 AD，AB，
BC 上，DE＝2AE，BF＝2AF，BG＝2CG，则FEGF的值为( )
2
1
1
2
A. 2
B.2 C.3 D.3
【点拨】∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝AD，∠A＝∠B＝90°， ∵DE＝2AE，BF＝2AF，BG＝2CG， ∴易得ABEF＝BAGF＝12，∴△AEF∽△BFG，∴FEGF＝12.
《相似三角形的判定》PPT课件(第2课时)
故选D．
1
D． = 4
02
练一练
4．（2019·宣武外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别
与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（
2
1
A．3
3
B．2
C．4
【解析】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
故选A.
=
+
CD
=k
C′ D′
01
判定三角形相似的条件
已知∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’，
AB
BC
CD
= ′ = ′ =k，那么△ABC和
A′B′ B C′ C D′
△A’B’C’相似吗？
∵△ABC和△ABC为三角形
A
∴边数为3
A’
而∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’，
=
′′
D、两个锐角不相等的两个三角形不相似．
故选C．
02
练一练
2．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（
A．AD = AE
DB EC
B．DE = AE
BC
EC
C． AB = AC
AD
AE
）
D． DB = AB
EC
AC
3．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由
∠D=∠D’, ∠E=∠E’
AB
BC
CD
DE
AE
=
=
=
=
A′B′ B′ C′ C′ D′ D′ E′ A′ E′
1
D． = 4
02
练一练
4．（2019·宣武外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别
与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（
2
1
A．3
3
B．2
C．4
【解析】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=
故选A.
=
+
CD
=k
C′ D′
01
判定三角形相似的条件
已知∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’，
AB
BC
CD
= ′ = ′ =k，那么△ABC和
A′B′ B C′ C D′
△A’B’C’相似吗？
∵△ABC和△ABC为三角形
A
∴边数为3
A’
而∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’，
=
′′
D、两个锐角不相等的两个三角形不相似．
故选C．
02
练一练
2．如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（
A．AD = AE
DB EC
B．DE = AE
BC
EC
C． AB = AC
AD
AE
）
D． DB = AB
EC
AC
3．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=1，BD=3，那么由
∠D=∠D’, ∠E=∠E’
AB
BC
CD
DE
AE
=
=
=
=
A′B′ B′ C′ C′ D′ D′ E′ A′ E′
《相似三角形的判定》_优秀课件
全等三角形一定是相似三角形，相似三角形 不一定是全等三角形。
1.会运用“三边成比例的两个三角形相似”判定两 个三角形相似. 2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相 似”判定两个三角形相似.
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长 都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角， 它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
根据前面的定理，可得△A′DE∽△A′B′C′，
A′D DE A′E ∴A′B′＝B′C′＝A′C′.
AB
BC
AC
∵A′B′＝B′C′＝A′C′，A′D＝AB，
DE
BC A′E AC
∴B′C′＝B′C′，A′C′＝A′C′，
∴DE＝BC，A′E＝AC， ∴△A′DE≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′.
根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否相似，并说明理由： (1) AB=4cm ，BC=6cm ，AC=8cm A´B´=12cm ，B´C´=18cm ，A´C´=21cm
解： AB 4 1 , A' B ' 12 3 BC 6 1 , B 'C ' 18 3 AC 8 1 A'C ' 24 3
第二十七章 图形的相似
27．2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 (第2课时)
1、两个三角形全等有哪些判定方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2、我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ ① 通过定义（三边对应成比例，三角相等）. ② 平行于三角形一边的直线.
3、全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
解： AB 7, AC 14, A' B ' 3, A'C ' 6 AB 7 , AC 14 7 A'B' 3 A'C ' 6 3 AB AC A'B' A'C ' 又 A A'
1.会运用“三边成比例的两个三角形相似”判定两 个三角形相似. 2.会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相 似”判定两个三角形相似.
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长 都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角， 它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
根据前面的定理，可得△A′DE∽△A′B′C′，
A′D DE A′E ∴A′B′＝B′C′＝A′C′.
AB
BC
AC
∵A′B′＝B′C′＝A′C′，A′D＝AB，
DE
BC A′E AC
∴B′C′＝B′C′，A′C′＝A′C′，
∴DE＝BC，A′E＝AC， ∴△A′DE≌△ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′.
根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否相似，并说明理由： (1) AB=4cm ，BC=6cm ，AC=8cm A´B´=12cm ，B´C´=18cm ，A´C´=21cm
解： AB 4 1 , A' B ' 12 3 BC 6 1 , B 'C ' 18 3 AC 8 1 A'C ' 24 3
第二十七章 图形的相似
27．2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 (第2课时)
1、两个三角形全等有哪些判定方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2、我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ ① 通过定义（三边对应成比例，三角相等）. ② 平行于三角形一边的直线.
3、全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
解： AB 7, AC 14, A' B ' 3, A'C ' 6 AB 7 , AC 14 7 A'B' 3 A'C ' 6 3 AB AC A'B' A'C ' 又 A A'
相似三角形的判定ppt
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两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题
相似三角形的判定定理2PPT课件
注意审题，题中没有平行条件
５.如图，Rt△ABC，D、E是BC上两点， 且AB＝BD＝DE＝EC,请问：此图中共有几个三角形？ 是否存在相似三角形？如果有请你指出来，并加以证明.
A
B
D
E
CC
６.已知，如图，O点在△ABC内部，连AO、BO、CO，
A’、B’、C’分别在AO、BO、CO上，且AB∥A’B’、
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由三角形全等的判定定理(SAS)
猜想得出相似的判定定理2
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似
已知在△ABC 和△DEF中,
AB AC DE DF
∠A=∠D 求证:△ABC∽△DEF
B
A
D
E
F
C
例1.如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2 cm， AB=4cm，AC=8cm，
A
求证：△ABD∽△ABC.
D
B
C
注意书写格式
例２. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,
且BP=3PC,Q是CD的中点,试判断△ADQ∽△QCP吗?
说明理由.
A
D
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
例３.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点， 且∠1=∠2，AB=6，BC=4，BD=3，BE=2.
知识回顾
我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你
用符号语言叙述。
A
A
D
A D
D
E
E
F
B
CE
F （B2）∵DE∥BC
CB （3）∵
C
５.如图，Rt△ABC，D、E是BC上两点， 且AB＝BD＝DE＝EC,请问：此图中共有几个三角形？ 是否存在相似三角形？如果有请你指出来，并加以证明.
A
B
D
E
CC
６.已知，如图，O点在△ABC内部，连AO、BO、CO，
A’、B’、C’分别在AO、BO、CO上，且AB∥A’B’、
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由三角形全等的判定定理(SAS)
猜想得出相似的判定定理2
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似
已知在△ABC 和△DEF中,
AB AC DE DF
∠A=∠D 求证:△ABC∽△DEF
B
A
D
E
F
C
例1.如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2 cm， AB=4cm，AC=8cm，
A
求证：△ABD∽△ABC.
D
B
C
注意书写格式
例２. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,
且BP=3PC,Q是CD的中点,试判断△ADQ∽△QCP吗?
说明理由.
A
D
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
例３.如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点， 且∠1=∠2，AB=6，BC=4，BD=3，BE=2.
知识回顾
我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你
用符号语言叙述。
A
A
D
A D
D
E
E
F
B
CE
F （B2）∵DE∥BC
CB （3）∵
C
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
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C′
A
C
?
例1.如图已知点 D,E分别在AB,AC上,
AD AB
?
AE AC
求证:DE‖BC.
A
D
E
B
C
判定定理 3：如果一个三角形的三条边和另一个三角 形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 可简单说成： 三边对应成比例，两三角形相似。
A′
判定定理 3的几何格式：
? A?B? ? B?C? ? C?A?. AB BC CA
∴△A′B′C′∽△ABC
B′
C′
A
B
C
? 例2.如图判断4×4方格中的两个三角形
是否相似,并说明理由.
D
A
C
E
B
F
例3 依据下列各组条件，判定△ ABC与△A′B′C′是 不是相似，并说明为什么： ⑴∠A=120o，AB=7厘米，AC=14厘米， ∠A′=120o，A′B′=3厘米， A′C′=6厘米； ⑵AB=4 厘米， BC=6 厘米， AC=8 厘米， A ′B′=12厘米， B′C′=18 厘米， A′C′=24 厘米
A
D
B
合作学习:P109--110
? 下面我们来探究还可用哪些条件来判定 两个三角形相似?
? 我们学习了三角形相似的判定定理1，类 似于三角形全等的“SAS”、“SSS”判定 方法，三角形相似还有两个判定方法， 即判定定理2和判定定理3。
讲解新课
判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角
形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个
三角形相似。 可以简单说成 “两边对应成比例且夹角
相等，两三角形相似”
A′
已知：如图，△ A′B′C′和△ABC中，
∠A′=∠A，
A′B′:AB=A′C′:AC
B′
求证：△A′B′C′∽△ABC
判定定理 2的几何格式：
? A?B? ? A?C?, ? A?? ? A
B
AB AC
∴△A′B′C′∽△ABC
浙教版九年级上册
复习提问定理 ∵DE‖BC，∴⊿ADE∽⊿ABC
A
D
E
B
C
2、判定定理1： ∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴⊿ABC∽⊿ABC
3、直角三角形中的一个重要结论
C
∵∠ACB=90，CD⊥AB，
∴⊿ABC∽⊿ACD∽⊿CDB
? 在有平行横线的练习薄上画一条线段AB, 使线段A,B恰好在两条平行线上,线段AB 就被平行线分成了相等的三小段,你能说 出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆 规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分 吗?请试一试,并说明你的画法的依据.
下课了 !
结束寄语
?不经历风雨，怎么 见彩虹.,没有人能
随随便便成功!