2016尔雅高等数学上答案

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16–17年高等数学答案

华南理工大学网络教育学院2016–2017学年度第一学期《高等数学》（上）作业1、求函数y=解：y=(x-1)(2-x)≥0且2-x≠0即：定义域为：x∈ [1,2)2、求223-51 lim42→∞++nn nn。

解：223-51 lim42→∞++nn nn=lim（3-5/n+1/n2）/（4+2/n2）=3/43、已知曲线方程为218y xx=-，求它与x轴交点处的切线方程。

解：当y=0时，x=1/2曲线方程k=y‘16x+1/x2==12故曲线方程为y=12x-64、设函数2sin=y x，求'y。

解：y=cosx2*2x=2xcosx25、设函数1arctan=yx，求dy。

解：y=1/（1+1/x2）*（-1/x2） =-1/（x2+1）6、设方程520y y x+-=所确定的隐函数为()y y x=，求dy dx。

解：方程两边同时求导：5y4'y+2'y-1=0故：'y=dy/dx=1/（2+5y4），dy=1/（2+5y4）dx7、求极限0sin cos lim sin x x x x x x→--。

解：原式=lim ｛x- x 3/6-x （1- x 2/2）｝/x-（x- x 3/6）=28、求函数x y xe =的单调区间和极值。

解：斜率k='y =e x +xe x=0则：x=-1 故x ∈（-∞，-1），'y <0,单调递减x ∈（-1，+∞），'y >0,单调递增极值大小为y= xe x │x=-1=-e -19、某出版社出一种书，印刷x 册所需成本为250005y x =+（单位：元）．又每一册书售价p 与x 之间有经验公式：6(1)100030x p =-。

问价格p 定为多少时，出版社获利最大？解：设h （x ）=为出版社获利，即h （x ）=px-25000-5x=25x-x 2/200-25000 h(x) ‘=25-x/100 故：故x ∈（0，2500），'y >0,单调递增x ∈（2500，+∞），'y <0,单调递减即：x=2500，p=17.5元时，利益最大，h （x ）max =91250元10、若()f x 满足()sin 2f x dx x C =+⎰，求()f x 。

尔雅数学思维方式与创新答案

集合的划分（一）已完成1数学的整数集合用什么字母表示？A、NB、MC、ZD、W我的答案：C2时间长河中的所有日记组成的集合与数学整数集合中的数字是什么对应关系？A、交叉对应B、一一对应C、二一对应D、一二对应我的答案：B3分析数学中的微积分是谁创立的？A、柏拉图B、康托C、笛卡尔D、牛顿-莱布尼茨我的答案：D4黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有多少条直线与已知直线平行？A、没有直线B、一条C、至少2条D、无数条我的答案：A5最先将微积分发表出来的人是A、牛顿B、费马C、笛卡尔D、莱布尼茨我的答案：D6最先得出微积分结论的人是A、牛顿B、费马C、笛卡尔D、莱布尼茨我的答案：A7第一个被提出的非欧几何学是A、欧氏几何B、罗氏几何C、黎曼几何D、解析几何我的答案：B8代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。

我的答案：×9数学思维方式的五个重要环节:观察－抽象－探索－猜测－论证。

我的答案：√10在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。

我的答案：√集合的划分（二）已完成1星期日用数学集合的方法表示是什么？A、{6R|R∈Z}B、{7R|R∈N}C、{5R|R∈Z}D、{7R|R∈Z}我的答案：D2将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到什么集合？A、自然数集B、小数集C、整数集D、无理数集我的答案：C3在星期集合的例子中，a,b属于同一个子集的充要条件是什么？A、a与b被6除以后余数相同B、a与b被7除以后余数相同C、a与b被7乘以后积相同D、a与b被整数乘以后积相同我的答案：B4集合的性质不包括A、确定性B、互异性C、无序性我的答案：D5A={1，2}，B={3,4},A∩B=A、ΦB、AC、BD、{1,2,3,4}我的答案：A6A={1，2}，B={3,4}，C={1,2,3,4}则A，B，C的关系A、C=A∪BB、C=A∩BC、A=B=CD、A=B∪C我的答案：A7星期二和星期三集合的交集是空集。

尔雅数学文化课后作业满分答案

点线图上的点，如果奇结点是（）个，就不可能得到一笔画。

A、.0B、1.0C、2.0D、3.0我的答案：D 得分： 25.0分2哈雷彗星的回归周期是（）年。

A、74.0B、75.0C、76.0D、77我的答案：C 得分： 25.0分3“哥尼斯堡七桥问题”的解决，与后来数学的哪个分支有关？（）A、概率论B、函数论C、拓扑学D、常微分方程我的答案：C 得分： 25.0分4海王星的发现，是通过天文观察得来的。

（）我的答案：×1“数学文化”一词最早进入官方文件，是出现在中华人民共和国教育部颁布的（）。

•A、《小学数学课程标准》•B、《初中数学课程标准》•C、《高中数学课程标准》•D、《大学数学课程标准》我的答案：C得分：33.3分22002年，为中国少年数学论坛活动题词“数学好玩”的是（）。

•A、邓东皋•B、钱学森•C、齐民友•D、陈省身我的答案：D得分：33.3分3数学的研究对象是从众多物质形态种抽象出来的人脑的产物，这是它与其他自然科学研究的一个共同点。

（）我的答案：×得分：33.3分1998年以后，教育部的专业目录里规定了数学学科专业，包括数学与应用数学专业、（）。

•A、统计学•B、数理统计学•C、信息与计算科学专业•D、数学史与数学文化我的答案：C得分：33.3分2数学目前仅仅是一种重要的工具，要上升至思维模式的高度，还需学者们的探索。

（）我的答案：×得分：33.3分3数学素养的通俗说法，是指在经过数学学习后，将所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。

（）我的答案：√得分：33.3分1“数学文化”课是以数学问题为载体，以教授数学系统知识及其应用为目的。

（）我的答案：×得分：50.0分2反证法是解决数学难题的一种有效方法。

（）我的答案：√得分：50.0分1在解决“哥尼斯堡七桥问题”时，数学家先做的第一步是（）。

•A、分析•B、概括•C、推理•D、抽象我的答案：D得分：25.0分2数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。

高等数学上册试题及参考答案3篇

高等数学上册试题及参考答案高等数学上册试题及参考答案第一篇：微积分1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

参考答案：首先，根据对数函数的导数公式$[\lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$接下来，我们需要求$f''(x)$。

由于$f'(x)$是由$f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即：$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$通过链式法则和乘法法则，我们得到：$$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$将上式整理化简，得到：$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。

(完整版)高等数学课后习题答案

习题答案习题1.11.（1）⇒-≥⇒≥+34043x x 4[,)3-+∞（2）()()⇒≠≠⇒--=+-=121222322x x x x x x y 且(,1)(1,2)(2,)-∞+∞ （3）⇒≤⇒≥-101x x [1,1]- （4）⇒>-+011xx(1,1)- （5）⇒>+≥+0102x x 或(1,0)(0,)-+∞（6）⇒≤≤120x 1[0,]2（7）(,)-∞+∞；（8）,().4x k k Z ππ≠+∈2.（1）[1,1]-；（2）[,1]a a --；（3）[2,(21)],().k k k Z ππ+∈3.（1）不相同；（2）相同；（3）相同；（4）相同.4. 0;;;;.2342ππππ--5.（1）⇒+=-+-2)2()2)(2(x x x x (,2)(2,)-∞+∞；（2）(,).-∞+∞6. 2;6-；()1,112,1x x f x x x +<-⎧+=⎨+≥-⎩；()1,11.,1x x f x x x -<⎧-=⎨≥⎩7.()()2233.x x x x +∆+∆ 8. ()21.x x -9. 偶函数；奇函数；奇函数；非奇非偶函数.10.（1）2,31uy u x ==-；（2）2ln ,1y u u v x ===-；（3）2,cos ,31y u u v v x ===-；（4）21ln ,tan ,2x y u u v v +===；（5）32,arcsin,1y u u v x ===-；（6）1,cos ,2.y u v v w w x ==+==11. ()22,(0,).2aV a x x x =-∈12. 232,[0,].3R h V h H H π=∈习题1.21 ()0lim 1x f x -→=，()0lim 1x f x +→=，()0lim 1x f x →=； ()1lim 2x f x -→=，()1lim 1x f x +→=，()1lim x f x →不存在. 2 略 3=-+=-→12)(25lim x xx f x 14不存在==→x x f x )(lim 22422)(lim 3=-=→x x f x4 （1）21；（2）13-；（3）4；（4）23x ；（5）12；（6）0；（7）3；（8）1；（9）0；（10）32；（11）14；（12）1.2-5 （1）,1x x →∞→；（2）2,x x →±→∞；（3）1,x x →→+∞；（4）,();,().2x k k Z x k k Z πππ→+∈→∈6 （1）0；（2）0；（3）0；（4）0；（5）35；（6）∞；（7）0；（8）0. 7 （1）269x x ++是比3x +高价的无穷小；（2）等价.8 （1）23；（2）1；（3）2；（4）23；（5）1；（6）1；（7）1；（8；（9）2e ；（10）6e ；（11）2e -；（12）1ee ；（13）3e ；（14）.e习题1.31 在12x =处连续；在1x =处不连续；在2x =处连续. 2 （1）1x =-是第二类间断点，无穷间断点；（2）2x =是第二类间断点，无穷间断点；1x =是第一类间断点，可去间断点；（3）0x =是第一类间断点，跳跃间断点；（4）0x =是第一类间断点，可去间断点.3 （1）[2,7]；（2）(,1),(1,2),(2,)-∞+∞；（3）(,0),(0,5)-∞；（4）(,1),(1,).-∞+∞4 略.复习题11（1）偶函数; （2）偶函数; （3）奇函数.2 （1）43;（2）164-;（3）43;（4）4-;（5）1;（6）2a ;（7）12;（8）1e -;（9）ke -;（10）2;（11）1-;（12）0. 3 0,18.a b == 4 1, 2.a b ==-5 ()1lim 2;x f x +→=()1lim 2;x f x -→=-()1lim x f x →不存在. 6 1a =.7 ln 2c =. 8 略. 9 略习题2.11 （1）正确；（2）正确.2 （1）199200x ；（2（3）72x 3 (1,1).4 11(,)24,14y x =-. 习题2.21 （1）732481x x ++；（2）2cos x ；（3）cos sin x x x -；（4）23x x e +；（5）2ln 22x x +；（6）1xe x+； 2 （1）99200(21)x -；（2）22(41)xxx e ++；（3）3cos(3)x π+；（4）sin 2x -; （5）2(2sin cos )xe x x +；（6）221xx +；（7）22sec 2x ；（8）23csc 3x -. 3 （1）10；（2）9sin(31)x -+.习题2.31 22x e ,ln(1)x +,2ln 2x .2 1.00067.3 （1）(2cos )x x dx +；（2）2sec xdx ；（3）()xxe xe dx +；（4）99200(21)x dx -. 4 0.0033..习题2.41 略.2 （1）8；（2）3；（3）0；（4）2.习题2.51 (,)-∞+∞.2 (,0)-∞单增,(0,)+∞单减.3 e ,0.习题2.61 略.复习题 21 (1)x 4-; (2) 32x -; (3) 332x. 2 2ax b +，b ，a b +，0.3 27.4 096=--y x .5 0=x ，32=x . 6 不可导，因为)1()1(+-'≠'f f . 7 可导.8 (1) 16-x ; (2) 1)(-++b a xb a ; (3) 211x x +;(4) 34x x -; (5) xx x 2153+-; (6) x x 262-;(7) )11(21x x +-;(8) )13(21+x x;(9)b a a +;(10) )(2b a x +-; (11) ])([111-+--+++b a b a x b a x x ab .9 (1) 111232++x x ;（2)1ln +x ;(3))1ln (1+-x n x n ;(4)a x ln 21; (5) 2)1(2--x ;(6) 222)1(55x x +-;(7) 2)2(43x -- ; (8) 21)(n n cx b acnx +--; (9) 2)ln 1(2x x +- ; (10)22)1(42x x x+--.10 (1) x x cos ; (2) 2)cos 1(sin cos 1x x x x ---;(3) x x x tan sec )1(2--; (4) xcos 15+; (5)xxx x x x x x 22sin cos sin sin cos -+-; (6) x x x x x x sin ln cos ln sin ++. 11 0=-+πy x . 12 点)1,0(.13 (1) )541)(1(22x x x +++ ; (2) 34-x ;(3) )161120()45()53(42+++x x x ; (4)23511645x x x ++ ; (5)2)3()2)(4(+++x x x ; (6) 22ax x-; (7) 32)1(1x -; (8)a x x ln )1(22+ ;（9) 222a x x - ; (10) )ln 11(21x x +;(11) )1(1x x -; (12) nx n cos ; (13) x x n n cos sin 1-;(14) n n x nx cos 1-;(15) x n x n n )1cos(sin 1+-; (16) 2sin 2cos 232x x -;(17) 2tan 212x;(18)x x csc sin 1=; (19) x x x 1cos 1sin 2-;(20)x x ln 1; (21) 221ax -; (22) x x n n 1cos sin +;(23) 22)sin (cos x x x x +; (24) a x a x a x a x a cot csc tan (sec 222-. 14 (1)241x -; (2)211x +;(3) 212x +;(4) 2221)1(arccos 11x x xx x --+-- ; (5)242arcsin2x x-; (6) 212x - ; (7) 0.15 (1) x y x y --22 ; (2) ax y ay -; (3) 1-y y; (4) yy xe e -1.16 (1)x e 44; (2))1(ln +a e a x x ;(3) 22x xe --;(4) x e e e x---； (5) a a ax x a ln 1+-;(6) x e x121-;(7) )3sin 33(cos x x e x +--; (8) 2222cos )12(-+-++x x x x e e x ;(9) x e x x 1tan 221sec 1⋅-; (10) 2)(4x x e e -+;（11）)1(ln ln +x e xx ; （12）)3cos 33sin 23sin 2(2x x x x x xe x +--.17 (1) )111(112xx x x x --+-; (2) ])9(39112[)3(312322x x x x x x x x --+-+⋅+--; (3) 221)1(xn x x n +⋅++;(4) )()()()(22112121nn a n a a a x a a x a a x a a x a x a x n -++-+-⋅--- . 18 (1) )]21sin[ln(212x x ++-; (2) )ln 1ln (ln )(ln xx x x +; (3) xx e xx xx xe x x x e xex x ++++⋅+++)1(ln 2)1ln 2(221; (4) xxy -; (5) ])()([)()(x f x x x f e x f e e f e ⋅'+⋅';(6) )1(arcsin 112x f x x '--;(7) ))((1-++'e x e x ex e x e f ;(8) )](cos )(sin [2sin 22x f x f x '-'; (9) 2)1(1x +-. 19 略.20 略. 21 略.22 (1) a a n x ln ; (2) nn x n )1()!1()1(1+---; (3) )2cos(x n +π; (4) n m n x n m m m y -++--=)1)(1()1()( ，特别当m 为正整数时，若n m >时，结果与前相同；n m =，!)(m y n =；n m <，0)(=n y .23 (1) 222)1(22x x +- ;(2) x 1;(3)212arctan 2x x x ++;(4) )23(222x xe x +; (5) 32ya -.24 kt ake --；kt e ak -2；ak -；2ak . 25 略.26 (1)0, 1,- 1; (2)0.09,- 0.1,- 0.01;;(3)0.0099,- 0.01,- 0.0001.27 （1) xdx 6; (2) dx xx21--;(3) dx x 2;(4) dx x x 222)1(1-+; (5) dx x x e x)sin (cos +--; (6) dx xx 221-;(7) dx x a 22-;(8) dx y a xb 22- ;(9) dxx x )1(2332--;(10) dx e e x x )2(22--; (11) dx x 2sec 212; (12) dx ye y-2.28 (1) 99.0; (2) 0017.2 ;(3) 01.0;(4) 05.1;(5) 495.0;(6) 7954.0.29 (1)满足,41=ξ; (2) 满足 ,0=ξ; (3) 满足,2=ξ; (4) 满足,0=ξ.30 (1)满足, a 33=ξ;(2) 满足,2ln 1=ξ; (3)满足,3435-=ξ（或3435+=ξ舍去）. 31 略.32 略 . 33 略.34 (1) 2;(2) 1 ; (3) ∞ ; (4) 0 ;(5) ∞;(6) 0;（7）1 ;（8）0 ;（9）21;（10）e ;（11）1;（12）1.35 (1) )1,(--∞∈x ，y 单调递减；),1(∞+-∈x ，y 单调递增 ; (2) ),(∞+-∞∈x ，y 单调递增;(3) )1,0()1,(⋃--∞∈x ，y 单调递减；),1()0,1(∞+⋃-∈x ，y 单调递增； (4) )0,(-∞∈x ，y 单调递增； ),0(∞+∈x ，y 单调递减； (5) ),0()2,(∞+⋃--∞∈x ，y 单调递增；)0,1()1,2(-⋃--∈x ， y 单调递减；(6) )21,0(∈x ，y 单调递减；),21(∞+∈x ， y 单调递增.36 略. 37 略.38 (1) 极大值70==x y ,极小值32==x y;(2) 极大值11==x y ,极小值11-=-=x y ;(3) 极大值2321==x y ; (4) 极小值00==x y ,极大值224-==e y x ;(5)极小值051===-=x x yy ,极大值32118881==x y ;(6) 极大值32==x y ;(7) 极大值00==x y ,极小值35225453-==x y ; (8) 极小值4273==x y . 39 (1) 极大值01=-=x y,极小值323-==x y; (2) 极大值27437==x y ,极小值03==x y ; (3) 极小值2ln 421-==x y;(4) 极小值222ln 21=-=x y .40 (1) 最小值41=±=x y,最大值132=±=x y ;(2) 最小值00==x y ,最大值5ln 2==x y;(3) 最小值00==x y ,最大值21121===-=x x yy ; (4) 最小值00==x y,最大值64==x y.41 底边长6米,高3米. 42 长18米,宽12米. 43 底半径3150π米,高为底半径2倍.44 12次/日, 6只/次. 45 2小时. 46nx x x n+++ 21.（4）上凹，无拐点.48 (1)水平渐近线0=y ;(2)水平渐近线0=y ;(3) 铅垂渐近线0=x ; (4)水平渐近线1=y ，铅垂渐近线0=x ;(5) 铅垂渐近线1-=x ,水平渐近线0=y ; (6) 斜渐近线x y =; (7) 铅垂渐近线0=x ,斜渐近线x y =; 49 略 .习题3.11 略.2 略.3 略.习题3.21 (1) sin 20(1);42x e dx e πππ<<⎰ 1321(2)4(435)16.x x --<-+<⎰2 (1) 1120(1).xdx x >⎰⎰习题3.31(1) ();f x x '=(2) ()x ϕ'=(3)2()sin 2sin ,x x x x ϕ'=- (0)0.ϕ'= 23cos .ydy x dx e =-3 (1)2; (2)2习题3.42 (1)ln 3arcsin ;x x C -+ (2)522;5x x C ++ (3) 322ln ;3x x e x C ---++1(4)arctan ;x C x -++ (5)1(tan cot );4t t C -++ (6).1ln x x a e C a ++3 1).y =习题3.51 (1)81(23);16x C --++ (2)1cos();t a C ωω-++;C +210(4);2ln10x C + (5);C + (6)21ln 32.4x C --+ 211(7)(13);6x C --++ 21(8);4C -+ ()319;3e x C --+(10);C + ()322(11)ln ;3x C + (12)ln ln ;x C +(13)ln arcsin;2x C + (14)2cot ;C - (15)31sin sin ;3x x C -+(16);C + (17)arctan ;x e C + (18)31tan tan ;3x x C ++(19)(arcsin ;C + (20) 11ln.43xC x++-2 ()()()53222211111;53x x C ---+ ()(22ln 1;C ++()3ln ;C -+ ()14;2C a +()15;2C + ()16arccos ;C x + ())734;x e C ++ (8) ()8.C +;3π(2);16π (3)2;2π-(4)(5) )21; (6)27.144π 4 略5 ()1arccos ;x x C ()[]2ln ln(ln )1;x x C -+()()21322;x x x C e-+++ ()424;C +()5;x x C ++ ()[]65(cos 22sin 2);10xe x x C -++()27tan ln cos ;2x x x x C +-+ ()[]8sin(ln )cos(ln ).2xx x C -+6 (1) 11;22π⎛⎫- ⎪⎝⎭(2) ()12;5x e -(3) 121;e ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4) 0;(5)35;128π (6) .2π 习题3.6(1);2π (2) 1; (3) ;π (4) 发散.习题3.7125.3 2 18. 3 1.3 4 12.5 45.86 1ln 2.2-7 128.3839 (1) 256; ()2 ()(318ln 2.+310.2π 11(1);2π (2)2.π12 8.5π(13ln 2.+14 22.a π复习题31 ()3311tan ;ln 33x x x C -++()45272333339912;573a x a x a x x C -+-+()()2231311;3x C -+ ()134ln ;52x C x -++()25ln 3;x x C -+()()6ln 1;x x e C -++()2317(31)(2);5x x C +++()218arctan ;21x x C x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭()9arcsin ;x C - (10) ()102sin 4cos ;22x xx C ++()211;x xe C --+ ()12tan lnsin .x x x C -+2 (1) 251ln 26;22-(2)0; (3) 42arctan 2;- (4) 2;2π- (5) ;π (6) 1;84π-()7;3π- (8) 125;e --(9) 62;e - (10) 22.e - 3 (1)1;2π-(2) 1.4 (1) 1; (2) 1.25 .e6最小值为0.7 690.8 2ln 2.y x x =-9 12.e e +-10 ()12.3π+11 15.2π习题 4.11（1）√;（2）×;（3）×;（4）√. 2（1）!;n （2）11(1);21n n ---（3）1;ln(1)n n +（4）2;1n n -+（5）31(1);!n n n --（6）2.2!n x n 3（1）收敛 1;2（2）发散;（3）收敛4;11（4）发散;（5）发散;（6）发散;（7）发散;（8）收敛35;（9）发散. 4 收敛 5.45 .m习题 4.21（1）收敛;（2）收敛;（3）收敛;（4）发散.2（1）收敛;（2）发散;（3）发散;（4）发散;（5）发散;（6）收敛;（7）收敛;（8）收敛;（9）收敛.3（1）绝对收敛;（2）绝对收敛;（3）条件收敛;（4）发散;（5）条件收敛;（6）绝对收敛;（7）发散;（8）绝对收敛;（9）绝对收敛.习题 4.3 1（1）(-1,1);（2）(-∞,+∞);（3）[-2,2);（4）[-1,1];（5）(-2,2);（6）(-∞,+∞);（7）{0};（8）[-1,1];（9）[-34,32). 2 (1)21,(1)x -()1,1;x ∈-(2)11ln ,21xx+- ()1,1;x ∈- (3)(1)ln(1),x x x --+[)1,1.x ∈- 习题 4.41201(1),!nn x n ∞=∑(),;x ∈-∞+∞()202(1),nnn x ∞=-∑()1,1;x ∈-()201(1)43,2(2)!n n nn x n ∞=-⋅∑(),;x ∈-∞+∞()21211(1)4,2(21)!n n n n x n ∞--=--∑(),;x ∈-∞+∞()11(1)5,2n n nn x n -∞=-∑(]2,2;x ∈-()06(1)(1),nnn n x ∞=-+∑()1,1;x ∈-()01(1)72,52n n nn n x ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑11,;22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()210(1)8,(21)(21)!nn n x n n ∞+=-++∑(),.x ∈-∞+∞ 2 ()110111(4),23nn n n x ∞++=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑()6,2;x ∈--（2）()20(1)(1)2(1).3n n n n n x ∞+=-+-∑ 3（1）0.156;（2）1.099;（3）3.003;（4）0.946.习题 4.5 1（1）相等;（2）0 , 0 , 2 , n n 2)1(1+-;（3）π , []1)1(22--nn π, 0. 2（1）14sin(21)(),21n An xf x n π∞=-=-∑(),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈（2）132sin(21)(),221n n x f x n ππ∞=-=+-∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （3）212cos(21)sin ()(1),4(21)n n n x nx f x n n ππ∞=⎡⎤-=-++-⎢⎥-⎣⎦∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈（4）214cos(21)(),2(21)n n xf x n ππ∞=-=--∑ ();x -∞<<+∞ （5）214cos(21)(),2(21)n n xf x n ππ∞=-=+-∑ ();x -∞<<+∞ （6）1233()(1)sin ,n n f x nx n n ππ∞=+⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （7）21(1)()sin ,19n n nf x nx nπ∞=-=-∑ (),,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈ （8）18(1)()2sin(21),21n n f x n x n π∞=-=+--∑1,(),.2x x k k Z π⎛⎫-∞<<+∞≠+∈ ⎪⎝⎭习题 4.61（1）2214sin2(1)2()[]sin ,2n n n n xf x n n ππππ∞=-=-∑ (),2,;x x k k Z -∞<<+∞≠∈ （2）11(1)()8sin ,2n n nxf x n -∞=-=⋅∑ (),2,;x x k k Z π-∞<<+∞≠∈(3) 2211cos 2(21)sin 2()[(1)],4(21)n n n x n x f x n n ππππ∞=-=-+--∑ ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠+∞<<∞-Z k k x x ,212,; （4）nx nn nx f n n2cos ]2sin)1([11613)(12∑∞=--+=πππ,⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠+∞<<∞-Z k k x x ,4)12(,π; 2 ∑∞=--+=1234cos 141232sin 2)(n t n n E t E Ex f ππππ, ()+∞<<∞-x ; 3 ∑∞=---=12sin )1(41)(n n x n n x f ππ, ()22<<-x ; 4 x n n x f n )12sin(121)(1--=∑∞= ()0,≠<<-x x ππ, （1）2π=x ,（2）3π=x ; 5 ∑∞=--+--=1332sin ])1(1)1(34[)(n n n x n n n x f πππ, )210(<<x ; ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n nx n x f π, )210(≤≤x . 习题 4.71 ()∑∞+≠-∞=+=024sin4)(n n x n i e nn ee xf πππ. 复习题41 （1）×;（2）√;（3）√;（4）√;（5）×.2 （1）A;（2）C;（3）B;（4）B;（5）C.3 （1）收敛;（2）收敛;（3）绝对收敛;（4）发散;（5）当10≤<a 时，发散；当1>a 时收敛;（6）收敛;（7）收敛;（8）收敛;（9）发散;（10）发散;（11）收敛;（12）发散.4 （1）x x x x -+-+arctan 2111ln 41 , ()1,1-∈x ;（2）3)1(2x -, ()1,1-∈x ; 5 （1）∑∞=0!)(ln n nn x n a , ()+∞∞-∈,x ;（2）∑∞=121n n n x n , [)2,2-∈x ;（3）∑∞=-+12)!2(4)1(1n nn n x n ,()+∞∞-∈,x ;（4）∑∞=+++-+111)1()1(n n n x n n x ,(]1,1-∈x ;（5）∑∞=-⋅⋅⋅+12!)21(23211n n x n n ()1,1-∈x ; （6）∑∞=+-+-01])1(31[41n nn n x ,()1,1-∈x .6 （1）∑∞=--0)2(2)1(21n nn n x , ()4,0∈x ;（2）∑∞=---11)1(2)1(n n nn x n , ()+∞∞-∈,x . 7 （1）1.3956;（2）0.9848;（3）1.9991;（4）0.4940.8 （1）∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=12sin )1()12()12cos(343)(n n n nx n x n x f ππ , ()Z k k x x ∈+≠+∞<<∞-,)12(,π;（2）nx n n x f n n sin 52)1(52)(1∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=ππ, ()Z k k x x ∈≠+∞<<∞-,,π; （3）∑∞=--+-=112)12(2sin 123)(n n x n x f π, ⎪⎭⎫⎝⎛∈≠+∞<<∞-Z k k x x ,2,;（4）∑∞=---=122)12(2)12(cos223)(n n x n x f ππ, ()+∞<<∞-x . 9 ∑∞=--=12sin 2)1(2)(n n nx n Ax f π, )2,0(ππ≠≤≤x x ; x n n A A x f n n )12cos(12)1(22)(11---+=∑∞=-π, )2,0(ππ≠≤<x x . 10 ()x n i x n n e n ix f )12(021)12()1(2)(--∞≠-∞=-∑---=π. 习题 5.11（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）二阶.2（1）是；（2）否；（3）否；（4）是. 4 2'y x =. 52dp pk dT T=，其中k 为比例常数. 习题 5.21（1）是；（2）否；（3）否；（4）是；（5）否. 2（1）arcsin arcsin y x C -=；（2）cos xy Ce -=；（3）ln x y e C =-+；（4）Cxy e =；（5）441y x =-；（6）2y x =；（7）21ln 11xy -+=；（8）22y x =;（9）sin ;yCx x= （10） 2yx y Ce =.3 6xy =.4 10102ln 25050t t es ⋅==⋅5 )39/()31000()(33t t t y +⋅= ,500)6(=y （尾）.习题5.31（1）2321x y Ce=-；（2）2211()22xy Ce x x =-++；（3）2121x y Ce =-；（4）()xy e x C -=+；（5）sin ()xy ex C -=+；（6）1(cos )y x C x=-+. 2（1）x a e e ab y x -+=；（2）3(21)y x x -=-；（3）.cos x y x=3 3(1).xy e x =--4 2.a x Cy y=±习题 5.41（1）412;12x y C x C =++ （2）21214x y e C x C =++；（3）212()2xx y x C e C =-+++；（4）12ln y C x C =+；（5）1121C xC y C e -=；（6）12arcsin().x y C C =±++2（1）y =；（2）4(1).2xy =+3 3 1.62x xy =++ 4 23.ty e =-+习题 5.51（2）（3）（6）线性相关,（1）（4）（5）（7）（8）线性无关.习题 5.61（1）312xxy C eC e--=+；（2）2212xxy C e C e =+；（3）212xy C C e =+；（4）212()x y C C x e =+；（5）12cos 2sin 2y C x C x =+；（6）512()xy C C x e -=+；（7）12()xy e C C -=+；（8）1212(cossin ).22x y e C x C x -=+ 2（1）342xxy e e =+；（2）/2(2)x y x e -=+；（3）4xx y ee -=-；（4）23sin 5.xy e x -=3 6sin 2.ts e t -=习题 5.71（1）221211()23xxxy C e C e x x e -=++-；（2）2212(cos sin )2x x x e y C e C e x x =+-+；（3）341215xx x y C eC e e -=++；（4）12cos sin 2(1)xy C x C x x e =++-；（5）12cos sin 2cos y C x C x x x =+-；（6）2212142(cos 2sin 2)()525125xxy e C x C x x x e =+++-；（7）2312(cos 25sin 2).52xxxe y C eC e x x -=+-+2 22cos 2sin 2cos 4.33s t t t =-- 提示：取平衡位置o 为原点，s 轴的正向向下，由牛顿第二定律，物体的运动满足微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+-===2,04cos 400200500022t t dt ds s t s dtsd 复习题 51（1）2y x C -=；（2）0ln 33=+x y ；（3）cos sin x y C =；（4）12()xy C C x e-=+；（5）21y x =+；（6）2().y x Ax Bx C =++2（1）A;（2）D;（3）A;（4）C;（5）C;（6）B;（7）A;（8）C;（9）B;（10）B;（11）A （12）C.3（1）21x y Ce =-；（2）6313xx y Cee =-；（3）12()x y e C C -=+；（4）3121(1)4x x x y C e C e x e -=+-+；（5）21268()cos sin .2525xy C C x e x x =++-4（1）24y x =；（2）cos x y x =；（3）(42)xy x e -=+；（4）45511.16416x y e x =-+5 1.xy ex -=+-6 2.4分.7 (1）0.1452017tH e-=+；（2）变为20℃；（3）当日7时36分.习题 6.11（1）133-s ; （2）21+s ; （3）1332+s s ; （4）222+s ; （5）1642+s ; （6）)2(2--s s .2（1）t t u t u sin )]()([π--, 11)]([2++=-s e t f L sπ.（2）)()2(2t u t u --, s e t f L s 12)]([2-=-.（3）)2()1(---t u t u , se e tf L ss 2)]([---=.（4）)()cos ()(cos π-⋅--⋅t u t t t u t , ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=-111)]([222s s s se s s tf L s ππ. 3 略4（1） +-+-+=)2()1()()(t u t u t u t f ;（2）[] +-+--⋅=)2()()()(T t u T t u E t u t TEt f ; （3）[] --+--=)2(2)(2)()(b t u b t u t u A t f ;（4） +--+--+=)2sin()2(2)sin()(2sin )()(ππππt t u t t u t t u t f .习题 6.21（1）s -11;（2）)1(31+s ; （3）9124-s ; （4）253382++-s s s ; （5）224s s+; （6）32269s s s +-; （7）1722+-s s; （8）3)7(2-s ; （9）22)9(6+-s s ; 2（1）)100(2002+s s ;（2）362+-s s ;（3）ss s s 223ππ+-;（4）33222+-⋅s s ; （5）443127223+-++-s s s e t;（6）222)4(82+-s s ;（7）9)2(22+--s s ;（8）)25)(1(153222+++s s s ; （9）323)4(242+-s s s ; （10）s s 1arctan 1或⎪⎭⎫ ⎝⎛-s s arctan 21π ;（11）22]9)2[(126+++s s ; （12）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--s ss s e s s ππ222111. 3（1）23)(+=s t y ;（2）)1)(4(1)(2++=s s s t y ;（3）)()(222ωω+=s s t y ;（4）22)(ωω+=s t y .43+s s. 习题 6.31（1）te 2;（2）2321te -;（3）t 5cos 2;（4）t 23sin 31;（5）t t 4sin 454cos 3-;（6）4322416121t t t t -+-;（7）t t 3sin 33;（8）t e t cos 2-;（9）t t e e 2346---. 2（1）t t e e 352123---;（2）tt t e te e --+412141;（3）t e t 23cos 121-+; （4）()t e t t 2212283-++-;（5）t t 52sin 54110sin 1023-;（6）t t e t sin cos 22+-;（7）tte 21+;（8）t t e e 22121--+-; （9）)2cos 42sin 3()2sin 32cos 4(2t t e t t e tt-++-.习题 6.41（1）t e t t y 44343)(--+=;（2）t e t t y )1()(+=;（3）)cos sin 1(21)(t t t y --=; （4）tte e t y 2342)(-+=;（5）t t t t y 24cos 34sin )(++-=; （6）t t t e e e t y 237431)(-+=-. 2（1）⎪⎩⎪⎨⎧==t t e t y e t x )()(;（2）⎪⎩⎪⎨⎧==--te t y t e t x ttcos )(sin )(.3（1）)1(4)(5tet i --=;（2）)(5)(53t t e e t i ---=;（3）)5sin 5cos (25)(5t t e t i t+-=-. 4 )4(51)(221tt e e t y -+=.5 As s W ρ=)(.复习题61（1）√;（2）×;（3）×;（4）×;（5）√;（6）×.2（1）拉氏, 象, 拉氏逆 , 原象;（2）)(s sF ,)(2s F s ;（3）)(λ-s F , )(a t f -. 3（1）15962+++s s ;（2）13612++-s s s ;（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--s ss e s s ππ2222211121;（4）3)3(2-s s . 4（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+3221t t e t;（2）)cos (sin 21t t t +;（3）)3sin 23cos 3(t t e t +-; （4）te t t -+22sin 222cos ;（5）t t e e ---242（6）tt t te e e 2223-+-.5（1）)cos 1()(t e t y t-=-;（2）t t t y 2cos sin 2)(--=;（3）t t t y 3sin 61)(=; （4）t tte ee t y 3232)(+-=.6（1）⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=----tt tt ee t y e e t x 22242)(23)(;（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==tt y t t x 2sin 53)(2cos 51)(.7 RCte RE t i -=)(.8 RCsRCss W +=1)( , )()(T t u e e t u RC Tt RC t R --=--.习题7.11（1）平面平行z 轴；（2）平面过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,38,0且平行于xoz 平面；（3）平面过y 轴；（4）过坐标原点. 2 (0,6,0). 3 表示球心在⎪⎭⎫⎝⎛21,0,21，半径为1的球面. 4（1）012382648333222=++--++z y x z y x ；（2）0112622=++--z y x z .5. （1）14)2()3()1(222=++-+-z y x ;（2）0222=-++z y x .习题 7.21 1，),(2y x f t . 2 yyxy x f +-=11),(2. 3 （1）{}012),(2>+-=x y y x D ;（2）{}0,0),(>->+=y x y x y x D（3） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D ; （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=1),(x y y x D . 4 （1）6π ；（2）41-；（3）0；（4）0. 5 略.6（1）{}02),(2=-=x y y x D ;（2）πk x =或πk y =（k 为整数）.习题7.31（1）;,12yxx y z y y x z -=∂∂+=∂∂ （2）;)(12,)(112222y x yy z y x x z -+-=∂∂-+=∂∂（3）;)cos()()sin(,)cos()()sin(y x y x y x yzy x y x y x x z-+--=∂∂-++-=∂∂（4） ;)ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂ 2 1.3（1）;812,16,812222222222x y y z xy y x z y x x z -=∂∂-=∂∂∂-=∂∂ （2）.)1(,)ln 1(,ln 22212222---=∂∂+=∂∂∂=∂∂x x x y x x yz y x y y x z y y x z 习题7.41 （1）;sin cos ydy e ydx e dz xx-= （2） ;)11()1(2dy yx dx y y dz -++= （3）;)(1dy dx xye x dz x y--= （4）.)()(2322xdy ydx y x x dz -+-=2 .125.0,119.0-=-=∆dz z习题7.51).cos (sin )cos (sin 2sin ),sin (cos 2sin 2333332y y x y y y x yz y y y x x z +++-=∂∂-=∂∂ 2 .cot )sin ln(2,)sin ln(2223222y yx y x y x y z y x y x y x x z +-=∂∂+=∂∂ 3 ).6(cos 22sin 3t t e t t -- 4.)43(1)21(6232t t t t ---5 z y z x f f y z f f x z '+'=∂∂'+'=∂∂1,1 6 .2cos 2xyy e y x--习题7.61 极大值 (3,2)33f -=, 极小值 .3)0,1(-=f2 极大值 41)21,21(=z . 3 ),(y x 达最大时，总产量为10；max 64;80;(6,4)500.x y p L L =====、4 应做成棱长为3V 的正方体时用料最省.5 当矩形的边长为32p 及 3p时，绕短边旋转所得圆柱体的体积最大. 复习题71 （1）;22≤≤->x y x 且（2）;51)(,)(,1)(,1)(d c b a 无定义 (3) ;1)(,0)(,0)(,0)(2kk d c b a +（4）;21（5）;12)(,3)(,2)(c b a （6）);(31dy dx + （7）;)3()3(222x x e x x x+-+（8）.0),(;0),(),()],([000000200<''<''''-''y x f y x f y x f y x f xx yy xx xy2 （1）不正确；（2）正确；（3）不正确；（4）正确;（5）不正确；（6）在一般情况下，不连续不行.3 ;)1(B ;)2(C ;)3(D ;)4(A ;)5(A ;)6(B ;)7(A .)8(C4 极小值为.1)1,1(-=z5 .52=d习题8.11 23))DDx y d x y d σσ+≤+⎰⎰⎰⎰（（.2 (1) 28I ≤≤；（2）36100I ππ≤≤；（3）02I ≤≤.习题8.21 (1)763；(2) 655；(3) 9；(4) 83；(5) 2e -；(6) 18.2 (1) 4(1)e π-；(2)2ln 214π-；(3) 2364π；(4) 439π-. 习题8.31 (1)163；(2) 83.2 (1) 196π；(2)321)3π. 复习题81 (1) 0; (2) 100π; (3)10(,)ydy f x y dx ⎰; (4) 211(,)yy dy f x y dx -⎰⎰;(5)223cos 04()d f r rdr πθπθ⎰⎰; (6) 0.2 (1) A ; (2) B ; (3) D ; (4) C ; (5) A .3 (1) 2- ; (2)458 ; (3) 11(1)2e-; (4) 94.4 (1) 34π; (2) 26π-; (3) 264π .592. 6 16.习题8.11 （1）4;（2）0；（3）18；（4）-40.2 （1）8;（2）136;3 （1）14;（2）0;（3）120;（4）1;（5）abcde; (6) 1.4 （1）1213x x =-⎧⎨=⎩; （2）123213x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩.5 略.习题8.21 1,2x y =-=-.2（1）304751--⎛⎫ ⎪---⎝⎭; （2）013411⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭. 3 （1）242436-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）3145⎛⎫ ⎪⎝⎭;（3）234355004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭039449198⎛⎫ ⎪-⎝⎭;（4）234355004⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. 4 三公司生产成本最少. 5 略.习题8.31（1）是; （2）不是; （3）不是; （4）是.2（1）100220105500111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; （2）110000100001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）1001010100100000⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭;（4）1010010000010000⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 3 略.习题8.41（1）3; （2）2 ; （3）3 ; （4）3. 2 有可能存在r 阶子式为零.习题8.51（1）2A =; （2）*111022113A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭; （3）1111222011113222A -⎛⎫-⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. 2 （1）23112-⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭;（3）1210121002⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; （4）1324411122201⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭. 3（1）020.615 1.8110.4X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭; （2）50291911X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.4 略.习题8.61（1）1211558855001001x c c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）x O =（零解）.2（1）121133*********x c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; （2）523101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3 123,,P P P 分别组装2万只、1万只、3万只.4 略.复习题81 （1）()ab b c -; （2）51.2 413a -<<.3 （1）0;（2）3142531524a a a a a -;（3）()22na b -;（4）()()()1221n n i i b a b a b a b b a b =⎡⎤---+⎢⎥-⎣⎦∑.4 （1）220206372-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭;（2）157524348⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）25105389710⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; （4）0710********⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.5 证明略.6 （1）26101333545--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭; （2）略. 7（1）d b ad bcad bc c a ad bcad bc -⎛⎫ ⎪--⎪- ⎪⎪--⎝⎭; （2）121012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;（3）3500120000230034-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（4）2262617175201310214153--⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪--- ⎪--⎝⎭. 8（1）1; （2）2; （3）3; （4）2.9 （1）121x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; （2）511201x c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （3）12221010102001x c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）12311411010001x c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（5）12374130100602100100001x c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6）212x⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭;（7）x O=（零解）; （8）128 1.50050.51001x c c--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.10（1）唯一解 ; （2）无解.11 生产过程中的消耗依次为：613元，2169元，974元，1450元.12 总收入分别为824万、853万、800万；总利润分别为193万、201万、188万.13 分别取30kg，20kg，50kg.14 价格因素首先考虑.。

预科高等数学习题参考答案(上学期)

第一章函数与极限1.1 数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有 7)1(5750++<+<n n ，所以有07)1(51751>++>+n n ，即01>>+n n x x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有 175>+n ，因而有17510<+=<n x n ．进而存在1=M ，对任意的自然数n 有，M x x n n =<=1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0lim =∞→nn x．nn n x x n n 1517510<<+==-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n x n 10，故0lim =∞→n n x ． (2) 对任意的自然数n 有 5)1(2520++<+<n n ，所以有10+<<n n x x ，因此数列}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}25,1max {0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=M n ，使得M n x n >+=5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项 ,5,0,3,0,154321==-===x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}21,1max {0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=M k ，使得M k k k x k >-=--=-122)12(sin)12(000120π，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在． 2 分析用“N -ε”语言证明数列极限A xnn =∞→lim 的步骤如下：(1) 化简A x n -(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0>∀ε，要使ε<)(n f ，(解不等式后知))(εg n >，于是取正整数[])(εg N ≥；(3) 按定义作结论则当N n >时，就有ε<-A x n ．故A xnn =∞→lim ．证明 (1)n n n 110144<=-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 1014，故014lim =∞→nn ．(2)n n n n 1241231213<+=-++．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-++n n n 1231213，故231213lim =++∞→n n n ．(3) n n C C C C nnn n n n n n n 1919991)91(11011999.022109<<++++=+==-个． 0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 11999.09个，故1999.09lim =∞→ 个n n ． 3证明 222222656112136561121365611213lim lim lim lim limlim lim lim nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→++++=++++=++++6130060013=++++=．4 证明当0=q 时，显然00lim lim ==∞→∞→n nn q；当0≠q 时，显然nnq q =-0．0>∀ε(10<<ε)，要使ε<nq ，由于10<<q ，因此只要εqn l o g >，于是取正整数[]εqN l o g ≥．则当N n >时，就有ε<=-nn q q 0，故0lim =∞→n n q ．综上所述，当1<q 时，0lim =∞→nn q．5证明 (N -ε定义证明)令01>-=n n n h ，则有nn h n )1(+=，即nn n n n n n n h nh h n n nh h n +++-++=+=-122)1(1)1( ，进而22)1(n h n n n ->，即)1(12>-<n n h n ． 0>∀ε，要使ε<-<=-121n h n n n ，只要212ε<-n ，即1112>+>εn ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥112εN ．则当N n >时，就有ε<-<-121n n n，故1lim =∞→n n n ． (夹逼定理证明) 由于nn n n n n n n n n nn n 2211111111212-+=+++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤--个个，并且122lim =-+∞→n n n n ，因此1lim =∞→n n n ． 5 证明由数列}{n x 有界知，0>∃M ，使得数列}{n x 的每一项都有M x n ≤．又0lim =∞→n n y ，则有0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，My y n n ε<=-0．进而当N n >时，εε=⋅<=-MM y x y x n n n n 0．因此0lim =∞→n n n y x ．1.2 函数的极限1证明 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0c c ．因此c c x x =→lim 0．2证明)1sin (1sin 0sin ≤≤=-x xx x x x ．0>∀ε，要使ε<x 1，只要ε1>x ，于是取正数ε1≥M ．则当M x >时，就有ε<≤-x x x 10sin ，故0sin lim =∞→x x x ． 3 43434343433412313412313423lim lim lim lim lim lim lim lim xx x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-=+-+-=+-+-0001000=+-+-=．4解()()()()()()3212223213212321limlim 44+++-+++-+=--+→→x x x x x x x x x x()()()()()()34381242321223214242lim lim 44=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x ．5解 a x ax a x a x a x ax a x -+-=--→→2cos2sin2sin sin lim lim a a a x a x a x ax cos cos 12cos 22sinlim =⋅=+⋅--=→．另解a x aa a x a x a x ax a x --+-=--→→sin ])sin[(sin sin lim lim a x aa a x a a x ax ---+-=→sin sin )cos(cos )sin(lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅--=→a a x a x a a x a x a x sin 1)cos(cos )sin(lim⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-⋅---⋅--=→a a x a x a x a a x a x a x sin 2sin 22sin cos )sin(lim a a a cos sin 01cos 1=⋅⋅-⋅=．6 因为0)1()(lim lim 0=-=++→→xx x ex f ，00)(lim lim 00==--→→x x x f ，即0)()(lim lim 00==-+→→x f x f x x ．因此函数)(x f 在0=x 点处极限存在，并且0)(lim 0=→x f x ．7 ()()()()()()111111113323323131limlim +++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x()()()()3211111133213321limlim=+++==++-+-=→→x x x x x x x x x x ． 8x x x x x x x x x )2sin()2sin()2sin()2sin(lim lim 00--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→→ 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2lim lim=⋅=⋅=→→x xx x x x ．9 2122322233221231212314232lim lim lim -⋅⋅∞→∞→∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++e e e x x x x x x xx x x xx xx ．另解221)42(421142114232lim lim lim -⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x xx x x x x x x221)42(42114211lim --+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x221)42(42114211lim lim -∞→-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x21211--=⋅=e e10aba b ax x bxx bxx ax ax ax ax -⋅+∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++33113113114lim lim lima b a b a b ab ax x e e ax ax 333311131131lim =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+∞→．另解 a ba b a ba bax ab ax x bx bxx bxx e e e ax ax ax ax ax ax 344441*********lim lim lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++⋅⋅∞→∞→∞→． 1.3 无穷小与无穷大1因为∞→x ，1sin ≤x ，01lim =∞→x x ，即∞→x 时x sin 是有界变量，x 1是无穷小量，因此01sin sin lim lim =⋅=∞→∞→x x x x x x ． 2 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解) 0>∀E ，要使E x x >+523，只要)5(223>>x E xx，即E x 2>，于是取}5,2max {E M =，当M x >时，E x x >+523．所以523+x x 是∞→x 时的无穷大量，即∞=+∞→523lim x x x ．另解 (利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当∞→x 时，0523≠+x x ，但是01515332lim lim =+=+∞→∞→x x x x x x ，进而根据无穷大与无穷小的关系有，∞=+=+∞→∞→3223515lim lim x x x x x x ． 3 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解)0>∀E ，要使E x x x x >--=+-21232，只要)3(121≥>->--x E x x x ，即1+>E x ，于是取}3,1m ax {+=E M ，当M x >时，E x x >+-232．所以232+-x x 是∞→x 时的无穷大量，即()∞=+-∞→232lim x xx ．4 414144tan sin lim lim lim 0220220===→→→x x x x x x x ． 5 2121cos 12220lim lim ==-→→x xx x x x ． 6设00>δ，当000δ<-<x x 时，)(x g 有界，则存在00>M ，使得当000δ<-<x x 时，0)(M x g ≤．当0x x →时，)(x f 是无穷大量，则0>∀M ，存在01>δ，当100δ<-<x x 时，0)(M M x f +>．取},m in{10δδδ=，则当δ<-<00x x 时，00)()()()(M M M x g x f x g x f -+>-≥±，因此)()(x g x f ±是0x x →时的无穷大量．7 x x y cos =在()+∞∞-,不是有界变量，即x x y cos =在()+∞∞-,是无界的．因为0>∀M ，存在ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1][0M x ，使得M M x x >⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ1][cos 00．下面证明当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1=∃E ，对于0>∀M ，存在ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10M x ，使得M x >0，并且E x x <=0sin 00．因此当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数)(x f 的定义域是),3()3,5()5,(+∞---∞ ．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的连续区间是),3(),3,5(),5,(+∞---∞．(2) 函数)(x f 的定义域是]6,4[．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的在区间)6,4(内连续．又())4(464464)(lim lim 44f x x x f x x =-+-=-+-=++→→，则)(x f 在4=x 处右连续；())6(664664)(lim lim 66f x x x f x x =-+-=-+-=--→→，则)(x f 在6=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]6,4[．(3) 函数)(x f 的定义域是]2,1[．显然函数)(x f 在区间)2,1(),1,0(),0,1(-内连续．又)1(11)(lim lim 11f x f x x ===++-→-→，则)(x f 在1-=x 处右连续；1)(lim lim 00--→-→=x x x f)0(1f ==，)0(1sin )(limlim 00f x xx f x x ===++→→，即)0()()(lim lim 00f x f x f x x ==+-→-→，则)(x f 在0=x 处连续；)1(81sin sin )(limlim 11f xxx f x x =≠==--→-→，即)(x f 在1=x 处不左连续，则)(x f 在1=x 处不连续；)2(14)83()(lim lim 22f x x f x x ==+=--→-→，则)(x f 在2=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]2,1(),1,1[-．2 (1) 函数)(x f 的定义域是),7()7,2()2,(+∞-∞ ，进而函数的间断点只可能为2=x 和7=x ．对于2=x ，72)7)(2()2)(2(1494)(lim lim lim lim 222222-+=---+=+--=→→→→x x x x x x x x x x f x x x x54-=，因此2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于7=x ，∞=---+=+--=→→→)7)(2()2)(2(1494)(lim lim lim 72277x x x x x x x x f x x x ，因此2=x 是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，7=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(2) 显然函数)(x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈∈ Z k Z k k k k k ππππππ)1(,22,，进而函数)(x f 的间断点只可能为πk x =和)(2Z k k x ∈+=ππ．对于0=x ，1tan )(limlim 0==→→xxx f x x ，因此0=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)0,(≠∈=k Z k k x π，∞==→→xxx f k x k x tan )(limlim ππ，因此当0≠k 时，πk x =是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于)(2Z k k x ∈+=ππ，0tan )(lim lim 22==+→+→x x x f k x k x ππππ ，因此2ππ+=k x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．综上，0=x 和)(2Z k k x ∈+=ππ是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，)0,(≠∈=k Z k k x π是第二类间断点中的无穷间断点．(3) 显然函数)(x f 的定义域是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而函数)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，∞=-=-→→111)(limlim x xx x e x f ，因此0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于1=x ，011)(111limlim =-=-→→++x x x x ex f ，111)(111limlim =-=-→→--x x x x ex f ，即函数)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．21arctan)(lim lim 00π==++→→x x f x x ， 21arctan)(lim lim 00π-==--→→x x f x x ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点． (5) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，0223)(limlim 0=-=→→xx f x x ，因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于1=x ，∞=-=→→xx f x x 223)(limlim 11，因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，1=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(6) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．22cos 1cos 1)(2000lim limlim =-=-=+++→→→x x x x x f x x x ， 22cos 1cos 1)(200lim limlim -=--=-=---→→→x x x x x f x x x ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(7) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为1=x ．∞=--=→→xxx f x x 12)(limlim 11，因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点． 1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当1<x 时，02lim =∞→nn x，则有x x xx x f nnn =⋅+-=∞→2211)(lim ；当1>x 时，∞=∞→nn x2lim ，并且11122lim -=+-∞→n n n x x ，则有x x xx x f nnn -=⋅+-=∞→2211)(lim ；当1±=x 时，012=-n x ，则有011)(22lim=⋅+-=∞→x x xx f nnn ．因此111,,0,)(<±=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，1)(lim lim 11-==++-→-→x x f x x ， 1)()(lim lim 11=-=---→-→x x f x x ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，1)()(lim lim 11-=-=++→→x x f x x ， 1)(lim lim 11==--→→x x f x x ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(2) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义；当1<x 时，0l i m=∞→nn x ，则有01)(lim =+=∞→n n n x x x f ；当1>x 时，∞=∞→nn x lim ，则有11)(lim =+=∞→nn n x x x f ；当1=x 时，1=nx ，则有211)(lim =+=∞→nn n x x x f ．因此111,0,21,1)(<=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，00)(lim lim 11==++-→-→x x x f ， 11)(lim lim 11==---→-→x x x f ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，11)(lim lim 11==++→→x x x f ， 00)(lim lim 11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(3) 当10<≤x 时，0l i m =∞→nn x ，则有111)(li m =+=∞→n n xx f ；当1>x 时，∞=∞→nn x l i m ，则有011)(lim =+=∞→nn xx f ；当1=x 时，1=n x ，则有2111)(lim =+=∞→nn x x f ．因此1011,1,21,0)(<≤=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,0(+∞内连续．对于0=x ，)0(11)(lim lim 0f x f x x ===++→→，因此)(x f 在0=x 处右连续．对于1=x ，00)(lim lim 11==++→→x x x f ， 11)(lim lim 11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,0[+∞，1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 当0<x 时，∞==-∞→∞→xn xn nnlim lim ,0，则有1)(lim -=+-=--∞→xxxx n n n n n x f ；当0>x 时，0,lim lim =∞=-∞→∞→xn xn nn ，则有1)(lim =+-=--∞→xxxx n nn n n x f ；当0=x 时，1=±xn，则有0)(lim =+-=--∞→xxxx n nn n n x f ．因此000,1,0,1)(<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x f ．显然函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内连续．对于0=x ，11)(lim lim 00==++→→x x x f ， 1)1()(lim lim 00-=-=--→→x x x f ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),0(),0,(+∞-∞，0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义．又xe x n x n xf x xnn nxn +=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→1111111)(lim lim ，因此xe xf x+=1)(，并且定义域为),1()1,(+∞---∞ ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，∞=+=-→-→xe xf xx x 1)(lim lim 11，因此1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,(+∞---∞，1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．2 (1) 因为函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点0=x 处连续，即)0()()(lim lim 0f x f x f x x ==-+→→．又在0=x 处，b f =)0(，b b ax x f x x =+=++→→)()(lim lim 0，1)(lim lim 0==--→→xx x ex f ，因此1=b ．由于2)1(=f ，即2=+b a ，因此1=a ．综上当1,1==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续．(2) 因为函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点1±=x 处连续，即)1()()(lim lim 11-==-+-→-→f x f x f x x ，)1()()(lim lim 11f x f x f x x ==-+→→．在1-=x 处，1)1(-=-f ，b a bx ax x f x x -=+=++-→-→)()(211lim lim ，11)(limlim 11-==---→-→xx f x x ，因此1-=-b a ．在1=x 处，1)1(=f ，11)(limlim 11==++→→xx f x x ， b a bx ax x f x x +=+=--→→)()(211lim lim ，因此1=+b a ．于是有⎩⎨⎧=+-=-11b a b a ，解得1,0==b a ．综上当1,0==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续． 3 )(x f 在1=x 处连续，则)1()(lim 1f x f x =→，即4313)(lim1=+-+++→x x b x b a x ．由于()0313lim 1=+-+→x x x ，则有[]0)(lim 1=++→b x b a x ，即02=+b a ，进而b a 2-=．从而313313)(limlim11+-++-=+-+++→→x x b bx x x b x b a x x()()()313313313)1(lim1++++-++++--=→x x x x x x x b x())1(2313)1(lim1-+++--=→x x x x b x()b x x b x 22313lim1-=+++-=→．因此42=-b ，即2-=b ，于是4=a ．综上当2,4-==b a 时，)(x f 在1=x 处连续．1.6 闭区间上连续函数的性质1若)0()(f a f =，则0=δ或a =δ．因此下面假设)0()(f a f ≠．令)()()(a x f x f x F +-=．显然)(x F 在],0[a 上连续，并且)2()()(),()0()0(a f a f a F a f f F -=-=．由于)2()0(a f f =，所以有0)]0()()][()0([)()0(<--=⋅f a f a f f a F F ，从而根据根的存在定理知，),0(a ∈∃δ，使得0)(=δF ，即)()(a f f +=δδ．综上存在一点],0[a ∈δ，使得)()(a f f +=δδ．2由于b x f a <<)(，则b b f a f a <<)(),(．令x x f x F -=)()(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F ，从而根据根的存在定理知，],[),(b a b a ⊂∈∃δ，使得0)(=δF ，即δδ=)(f ．3令bx b x a ax B x f A x F =<<=⎪⎩⎪⎨⎧=,),(,)(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且A a F =)(，B b F =)(．又0<AB ，因此0)()(<b F a F 从而根据根的存在定理知，),(b a ∈δ，使得0)(=δF ，即0)(=δf ．4方程可以变为),,(0))(())(())((321213312321λλλλλλλλλ≠=--+--+--x x x a x x a x x a ．令))(())(())(()(213312321λλλλλλ--+--+--=x x a x x a x x a x F ．显然)(x F 在],[],,[3221λλλλ上连续，并且))(()(322111λλλλλ--=a F ， ))(()(321222λλλλλ--=a F ， ))(()(131333λλλλλ--=a F ．由于321λλλ<<，0,,321>a a a ，所以0)(1>λF ，0)(2<λF ，0)(3>λF ．进而根据根的存在定理知，),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0)(1=ξF ，0)(2=ξF ，即),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0313212111=-+-+-λξλξλξa a a ，0323222121=-+-+-λξλξλξa a a ．5 (反证法)假设存在),(βαδ∈∃，使得0)(<δf ．若δγ< (或δγ>)，则函数)(x f 在],[δγ (或],[γδ)内连续，并且0)(>γf ，0)(<δf ，即0)()(<δγf f ．因此存在),(δγξ∈ (或),(γδξ∈)，即),(βαξ∈，使得0)(=ξf ．这与α=x 和β=x 是0)(=x f 相邻的两个根相矛盾．故),(βα∈∀x 都有0)(>x f ．6若1)sin(=+b a ，则显然方程b x a x +=sin 有一个根是b a x +=．下面假设1)sin(≠+b a ．令b x a x x f --=sin )(．显然)(x f 在],0[b a +上连续，并且0)0(<-=b f ，0)]sin(1[)sin()(>+-=-+-+=+b a a b b a a b a b a f (因为0,0>>b a )，进而0)()0(<+b a f f ．因此存在),0(b a +∈ξ，使得0)(=ξf ，即b x a x +=sin 在区间),0(b a +上至少有一个根．综上方程b x a x +=sin 至少有一正根，并且它不超过b a +．7 令)}(,),(),(m in{21n x f x f x f m =，)}(,),(),(m ax {21n x f x f x f M =，则n x x x ,,,21 中至少有一个i x 使得m x f i =)(，至少有一个j x 使得M x f j =)(，显然有M x f nxf x f m j nk ki =≤≤=∑=)()()(1．若这个不等式中有一等号成立，则对应的i x 或j x 即为所求的点ξ．若不等式都是严格不等式时，又)(x f 在],[j i x x 或],[i j x x 上连续，由介值定理知，至少存在一点ξ介于i x 与j x 之间，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．综上存在],[b a ∈ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．习题 11 0>∀ε，要使ε<=--+-n n n n 11)1(1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ，当N n >时，ε<--+-1)1(1n n n ，因此1)1(1lim =-+-∞→n n n n ． 2由于当0→x 时，x e x~1-，所以x e x3~13-．进而331lim lim 030==-→→x xx e x x x ． 3因为n n n n 333213⋅<++<，则有n nnn 33)321(31<++<，并且n n 33lim ∞→ 3=，因此3)321(1lim =++∞→nnnn ．4 令x t arcsin =，则t x sin =，并且00→⇔→t x ．因此1sin arcsin lim lim 00==→→ttx x t x ． 53sin 2tan 2limxx x x +-+→ ()()()xx x xx xx x sin 2tan 2sin 2tan 2sin 2tan 23lim+++++++-+=→()xx x x x x sin 2tan 2sin tan 3lim+++-=→()xx x x x x sin 2tan 2)cos 1(tan 3lim+++-=→()x x x x x x sin 2tan 22132lim+++⋅=→()x x x sin 2tan 221lim 0+++=→82241==． 6任取),(0b a x ∈，对0>∀ε，存在0>=kεδ，当δ<-<00x x 时，εδ=⋅<-≤-k x x k x f x f 00)()(．因此)()(0lim 0x f x f x x =→，即)(x f 在0x x =处连续．由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续．当δ<-<a x 0时,εδ=⋅<-≤-k a x k a f x f )()(．因此)()(lim a f x f a x =+→，即)(x f 在a x =处右连续．当0<-<-b x δ时，εδ=⋅<-≤-k b x k b f x f )()(．因此)()(lim b f x f bx =-→，即)(x f 在b x =处左连续．综上)(x f 在],[b a 上连续，又由于0)()(<b f a f ，所以根据根的存在定理知，存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ．7 函数)(x f 的定义域为),2()2,1()12,12(0,+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-<∈ k Z k k k ．显然)(x f 的间断点只可能是)0,(12<∈+=k Z k k x ，0=x 和2=x ．由于)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内是初等函数，因此)(x f 在这些区间上连续．对于2=x ，∞=-→4222lim x x ，则有42sin )(222lim lim -=→→x x f x x 不存在，但是在1-到1之间来回振荡，因此2=x 是)(x f 的第二类间断点中的振荡间断点．对于0=x ，21sin 42sin)(2lim lim -=-=++→→x x f x x ， 02cos)1()(limlim 0=+=--→→xx x x f x x π，即左右极限存在但不相等, 因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1-=x ,)1(2cos )1(2cos)1()(limlimlim 0111--+=→+=-→-→=t t t x x x x f t x t x x ππππππ2)1(22)1(2sin )1(lim lim lim 000-=-=-=-=→→→t t t t t t t t t t ，因此1-=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)1,(12-<∈+=k Z k k x ，∞=+=+→+→xx x x f k x k x 2cos)1()(limlim1212π，因此12+=k x)1,(-<∈k Z k 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，函数)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内连续；0=x 是第一类间断点中的跳跃间断点；1-=x 是第一类间断点中的可去间断点；2=x 是第二类间断点中的振荡间断点；)1,(12-<∈+=k Z k k x 是第二类间断点中的无穷间断点．8先证命题：若)(x F 在],[b a 上连续，则)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(x F 在],[b a 上连续，则任取],[0b a x ∈，)()(0lim 0xF x F x x =→ (a x =0时取右极限，b x =0时取左极限)．若)0(0)(0<>x F ，则根据极限的局部保号性知，在0x 的某个邻域内)0(0)(<>x F ，进而)()()()(0lim lim 0x F x F x F x F x x x x ===→→()()()()(0lim lim 0x F x F x F x F x x x x =-=-=→→)，注意a x =0时取右极限，b x =0时取左极限．因此)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，则)()(x g x f -在],[b a 上连续，进而)()(x g x f -在],[b a 上连续．又2)()()()()}(),(max {x g x f x g x f x g x f -++=，因此)}(),(max{x g x f 在],[b a 上连续．9由于n 为非零有理数，则可令qp n =，其中q p ,为非零整数，并且0>p ．进而α=nx 与方程0>==qp x αβ同解．(存在性)令px x f =)(．则)(x f 在),0[+∞内连续，并且当+∞→x 时，+∞→)(x f ．因此存在),0(+∞∈a 使得β>)(a f ．显然)(x f 在],0[a 上连续，并且)()0(0a f f <<=β，根据介值定理知，存在),0(a ∈ξ，使得βξ=)(f ，即ξ是方程β=p x 的一个正根．(唯一性)假设21,ξξ是方程β=px 的两个正根. 进而有pp21ξξ=，即))((012221221112121----++++-=-=p p p p p p ξξξξξξξξξξ ，由于0,21>ξξ，则01222122111>++++----p p p p ξξξξξξ ．因此21ξξ=，即方程β=p x 只有一个正根．10狄利克雷(Dirichlet)函数是无理数是有理数，，x x x D ⎩⎨⎧=01)(．显然狄利克雷函数在),(+∞-∞上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续．第二章一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) A A x f x f A x f ==⇔=+)(')(')('00_0； (2)2 函数在0x x =处可导，则函数在0x x =处必连续； (3) 0 4ln )(=x f 是常值函数，因此0)('=x f ； (4) 0 驻点：函数的导数值为0的点． 2 (1)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆2)()2(2)()2(000000lim lim)('22)()2(20000limx f xx f x x f x =∆-∆+=→∆．(2)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆--∆--=∆-∆-→∆→∆)()()()(000000lim lim)(')()(0000limx f xx f x x f x -=∆--∆--=→∆．(3)[][]hx f h x f x f h x f h h x f h x f h h )()()()(212)()(00000000limlim----+=--+→→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→h x f h x f h x f h x f h )()()()(2100000lim )(')()()()(210000000lim lim x f h x f h x f h x f h x f h h =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→→． (4)[]0000)()()()(lim limx x x f x f x x x f x f x x x x ---=--→→)(')()(000limx f x x x f x f x x -=---=→．3 (1) 22)12(]1)(2['lim lim lim 000=∆∆=∆---∆+=∆∆=→∆→∆→∆xx x x x x x y y x x x ；(2) x x x x x x x x x y y x x x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆2sin2sin 2cos )cos('lim lim lim 000 x x xx x x sin 22sin2sin lim 0-=∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆； (3) x x x x x x x x y y x x ∆--∆+-∆+=∆∆=→∆→∆)()]()[('2200lim lim []12)12()()12(lim lim 020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x x x x x x x x x ；(4) 1)1()](1['lim lim lim 000-=∆∆-=∆--∆+-=∆∆=→∆→∆→∆xxx x x x x y y x x x ． 4因为0)0(=f ，01sin)(lim lim 0==→→x x x f x x ，即)0()(l im 0f x f x =→，因此)(x f 在0=x 处连续．因为x x x x x f x f x x x 1sin 1sin0)0()(lim lim lim 00→→→==--不存在，因此)(x f 在0=x 处不可导．5 (1) 因为x y cos '=，故曲线在点)0,0(处的切线斜率为10cos '====x y k ，进而曲线x y sin =在点)0,0(处的切线方程是x y =，法线方程是x y -=．(2) 因为x y sin '-=，故曲线在点)1,0(处的切线斜率为00sin '=-===x y k ，进而曲线x y cos =在点)1,0(处的切线方程是1=y ，法线方程是0=x ．(3) 因为xy 1'=，故曲线在点)0,1(处的切线斜率为1'1===x y k ，进而曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ，法线方程是1+-=x y ．6因为速度是t t t t S t V 22)'211()(')(2+=++==，加速度是)(')(t V t a =2)'22(=+=t ，因此速度2)2(,6)2(==a V ，即2=t 秒时，运动物体的速度是s m /6，加速度是2/2s m ．2.2 求导公式和求导法则1 (1)1620'3+-=x x y ．(2)'221'21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=--x x mx x m y32232121111xx x m m x x mx m -+-=-+-=---． (3)x x y 55ln 5'4⋅+=．(4)01111'22=---=xxy ．(5)52)2()3()'3)(2()3()'2('+=+++=+++++=x x x x x x x y ．(6)xx x x x x x x x x x x y 1ln 21)1(ln 2)')(ln 1(ln )'1('2222++=⋅++=+++=．(7)xx x x x x e e e e e y 3)13(ln )3ln()3(]')3[()'3('+====． (8))'(sin sin )'()'(cos '22x x x x x y ++=x x x x x x x x x cos sin )12(cos sin 2sin 22+-=++-=．(9)x x x x y 22csc sec tan '++= ．(10))'(ln sin ln )'(sin ln sin ''x x x x x x x x x y ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=x x x x x x xxx x x x x x sin ln cos ln sin sin ln cos ln sin +⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅=． (11)222ln 1ln 1'ln )'(ln 'xxx xx x x x x x x y -=-⋅=⋅-⋅= ． (12)()2cos 1)'cos 1(sin )cos 1()'(sin 'x x x x x y ++⋅-+=()()xx xx xx x x cos 11cos 1cos 1cos 1sin sin )cos 1(cos 22+=++=+⋅++⋅=．另解2sec 21'2tan 'cos 1sin '2x x x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=．(13)22''sin cos sin cos sin sin sin 'x xx x x x x x x x x x y -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． (14)422)')(ln ()'ln ('xx x x x x x y +-⋅+= 342ln 21)ln (211xx x x x x x x x --=+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=． (15)2)ln 1()'ln 1)(ln 1()ln 1()'ln 1('x x x x x y --+--+=22)ln 1(2)ln 1(ln 1ln 1x x x x xx x -=-++-=．另解222)ln 1(2)ln 1(12)ln 1()'ln 1(2'1ln 12'x x x x x x x y -=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． (16)2222)1()'1(ln )1()'ln ('x x x x x x x y ++⋅-+= 22222222)1(ln )1(1)1(ln 2)1)(1(ln x xx x x x x x x +-++=+-++=． 2 (1) 2222222)'(1'x a x x a x a y --=-⋅-=． (2))53cos(3)'53()53cos('-=-⋅-=x x x y ． (3))1sin(2)1()1sin('222+-=+⋅+-=x x x x y ． (4)xx x x y ln 1)'(ln ln 1'=⋅=． (5)x xe x ey 333)'3('=⋅=．(6)222)'('2x x xe x e y ---=-⋅=．(7)22'24121212211'xx x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=．(8)()422212)'(11'x xx x y +=⋅+=．(9)222'21111111111'x x x x x y +=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=． (10)222'211)1(21111111111'x x x x x x x x y +=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=． (11)()()x e x e x e x e y x x x x 3sin 33cos 3cos 3cos '''------=⋅+⋅=．(12)()'2'21sin 1sin '⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=x x x xyx x x x xx x x 1cos 1sin 21cos 11sin222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=． (13)())'(arccos 1arccos 1'2'2x x x x y ⋅-+⋅-=11arccos 111arccos 12222---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-+⋅--=x xx x x x x x． (14)''11112111111111'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅+-⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-=x x xx x x x x x x y ()()1112112122-=+-⋅+-=x x xx ．另解()11111121)1ln()1ln(21'2'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=x x x x x y ． (15))'(sin )sin 2(22ln )'(sin 22ln '22sin 2sinx x x y x x⋅⋅⋅=⋅⋅=x x x x x 2sin 22ln cos )sin 2(22ln 22sin sin ⋅=⋅⋅⋅=．(16)x xx x x x x y 4csc 42cos 2sin 2)]2(sec 2[2tan 1)'2(tan 2tan 1'2==⋅=⋅=．(17)x x x x x y 6sin 3)3cos 3()3sin(2)'3(sin 3sin 2'=⋅=⋅=． (18)())'12(sin sin '21212'12122222++⋅⋅-=⋅-=++++++++x x e ee ey x xx x x xx x121212122222sin )1(2)22(sin +++++++++-=+⋅⋅-=x xx xx xx xe e x x e e ．3 (1) 由于()22222)21(2)('22'x x x xx e x e x ee x e xf ------=-=⋅+=，因此1)21()0('022=-==-x xe xf ．(2) 由于()xx x x xx x f 42ln 214)44(ln 4)('2⋅-=⋅⋅-=，因此142ln 21)1('=⋅-=x x x f42ln 21-=． (3) 由于2tan42sec 2sec 212tan 212tan 2tan 21)('22'xxx x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，因此 2122tan42sec 2'2===⎪⎭⎫ ⎝⎛ππx x xf ． (4) 由于()'22221)('a x x a x x x f -+⋅-+=222222111ax a x xa x x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+=，因此aax a x a f 3321)2('22==-=． 4 (1)[])('3)'()(')(3233'3x f x x x f x f dxdy=⋅==． (2) [])'(cos )(cos ')'(sin )(sin ')(cos )(sin 2222'22x x f x x f x f x f dxdy⋅+⋅=+=)sin cos 2()(cos ')cos sin 2()(sin '22x x x f x x x f -⋅+⋅=)](cos ')(sin '[2sin 22x f x f x -⋅=．(3)[])(')()'()(')(1'e x e x e x e x e x x e f ex e x e x e f x e f dxdy+⋅+=+⋅+=+=-． (4) [][][]')()('')()()()(x f x x f x x f x e e f e e f e e f dxdy+== )()()()(')('x f x x f x x e e f x f e e f e +=．。

超星尔雅《高等数学》上李焕琴答案汇总1

1【单选题】以下学科不属于计算数学范畴的是（）。

•A, 微分方程数值解•B, 优化与限制理论及其数值计算•C, 有限元方法理论•D, 代数群与量子群正确答案: D2【单选题】下面哪部著作是欧几里得的原著（）。

•A, 几何原本•B, 九章算术•C, 方法论•D, 自然哲学的数学原理正确答案: A3【单选题】以下哪个学科把数学带入新的时代（）。

•A, 拓扑学•B, 泛函分析•C, 近世代数•D, 微积分正确答案: D4【推断题】有理数的发觉造成了第一次数学危机。

（）正确答案: ×5【推断题】生物学中DNA和数学拓扑学有着紧密的联系。

（）正确答案: √经典问题——变速直线运动的瞬时速度问题1【单选题】•一物体做变速直线运动, 它的位置函数是s=2+1, t=1时该物体的瞬时速度为（）。

•A,1••B,2••C,3••D,4•正确答案: D2•【单选题】一物体做变速直线运动, 它的速度函数是v=2t+1, t=1时该物体的瞬时加速度为（）。

•A, 1•B, 2•C, 3•D, 4正确答案: B3【推断题】一物体做变速直线运动, 它的位置函数是s=, t=2时该物体的瞬时速度为4。

（）正确答案: √经典问题——变速直线运动的位移问题1【单选题】•一物体做变速直线运动, 它的速度函数是s=+2t, 在[1,2]时间段内该物体的位移为()。

•A,1••B,3••C,5••D,7•正确答案: C2•【单选题】一物体做变速直线运动, 它的速度函数是v=4t, 在[1,2]时间段内该物体的位移为()。

•A, 2•B, 4•C, 6•D, 8正确答案: C3•【单选题】一种喷气推理的试验车, 从静止开始可以1.80s内加速到1600km/h的速率, 它的加速度为()。

•A, 23.8g•B, 24.6g•C, 24.8g•D, 25.2g正确答案: D4【推断题】一物体做变速直线运动, 它的速度函数是v=2t, 在[1,2]时间段内该物体的位移为3。

高等数学作业(上)参考答案

π
2
，第一类可去,
分别补充定义 1,0;
x = kπ（k ≠ 0）为第二类无穷.
(3) x = 0 第一类跳跃（4） x = 0 第二类无穷
(2) 极限不存在.
(3) arctan x →
π
2
，
1 ），（1， ∞） + 2. （ ∞， 2），（ 2，
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x → ∞ 时, arctan x 的极限不存在.
(5) y =
4 x x + x + 2 x +1 8 x x+ x x+ x+ x
(4)
2x dx. 1 + x4
7.
1 2
2.3 高阶导数
2． dx 3.提示：利用 f ( x) ≈ f (0) + f ′(0) x
1 1. (1) 4 - 2 x
(3) y =
(2)
a 2
(a
2
x2 )
3
2
x
（7） y ′ =
(8) y ′ = 3e ( shx + chx) sec x tan x 2、（1）-2 （2） 4 cos 4 +
3
ln 2 + 1 ; (2) 0 ; (3) 1/2 ; (4)-1/56 ; (5) 1/2 ; e +1
2
1 sin 4 2
(6) 0 ; (7) e
;
x (1 + x 2 )3
x
2．(1) n ! (2) ( x + n)e . (3) y = 2
x
n -1
sin(2 x +
n -1 π ). 2

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高等数学上1.1 高等数学学习谈1微积分是高等数学的重要组成，其理论是由（）和莱布尼兹完成的。

我的答案：第一空：牛顿2高等数学也称为微积分，它是几门课程的总称，具有高度的（）、严密的（）以及和广泛的（）。

我的答案：第一空：抽象性第二空：逻辑性第三空：应用性1.2 微积分的基本思想和方法1.2.1 经典问题——变速直线运动的瞬时速度问题1一物体做变速直线运动，它的位置函数是s=t2，t=2时该物体的瞬时速度为（）。

我的答案：第一空：42一物体做变速直线运动，它的位置函数是s=2t^2-1，t=2时该物体的瞬时速度为（）。

我的答案：第一空：82 1.2.2 经典问题——变速直线运动的位移问题1物体在一条直线上运动，如果在相等的时间里位移（），这种运动就叫做变速直线运动。

简而言之，物体（）的直线运动称为变速直线运动。

正确答案：第一空：不等第二空：运动速度改变2一物体做变速直线运动，它的速度函数是v=2t，在[1,2]时间段内该物体的位移为（）。

正确答案：第一空：31.2.3 微积分的基本思想及构成1微积分是研究函数的（）、（）以及有关概念和应用的数学分支。

正确答案：第一空：微分第二空：积分2微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的，主要内容包括极限、连续、可微和重积分，最重要的思想就是（）和（）。

正确答案：第一空：微元第二空：无限逼近2 函数、极限、连续2.1 集合、映射与函数2.1.1 集合以及实数集的相关性质1下列集合中（）是空集。

A、B、C、D、正确答案：B2设A =(−∞, −5)∪(5, +∞), B =[−10, 3), A∪B =( )，A∩B =（）。

正确答案：第一空：(−∞, 3)∪(5, +∞)第二空：[−10, −5)2.1.2 映射与函数的概念1下列对应是从集合A到集合B的映射的是( ) 。

A、A=R，B={x|x＞0且x∈R}，x∈A，f：x→|x|B、A=N，B=N＋，x∈A，f：x→|x－1|C、A={x|x＞0且x∈R}，B=R，x∈A，f：x→x2D、A=Q，B=Q，f：x→正确答案：C2设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有( )。

A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数C、F(x)是周期函数f(x)是周期函数D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数正确答案：A2.1.3 复合映射与复合函数1若2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则的值为（）。

A、4B、1或C、1或4D、正确答案：D2.1.4 逆映射与反函数1若y＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a为常数)的实根的个数为( )。

A、无实数根B、只有一个实数根C、至多有一个实数根D、至少有一个实数根正确答案：C2设集合A=N,B={偶数}，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是( )。

正确答案：52.1.5 初等函数与双曲函数1下列函数中，（）不是基本初等函数．A、B、C、D、正确答案：B2设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是（）。

A、f(x)f(-x)是奇函数B、f(x)是奇函数C、f(x)+f(-x)是偶函数D、f(x)-f(-x)是偶函数正确答案：C2.2 数列的极限2.2.1 数列极限的概念2.2.1.1 数列及其简单性态2.2.1.2 数列极限的定义1数列0，，，，，……（）.A、以0为极限B、以1为极限C、以为极限D、不存在极限正确答案：B2下列数列发散的是（）。

A、0.9，0.99，0.999，0.9999，……B、，，，……C、{f(n)},其中f(n)=D、f(n)=正确答案：B2.2.1.3 数列极限的几何解释及例题举证1下列极限正确的个数是( ) 。

①②③ ④A、2B、3C、4D、都不正确正确答案：B2若数列{}有极限a,则在a的邻域之外，数列中的点（）。

窗体顶端A、必不存在B、至多只有有限多个C、必定有无穷多个D、可以有有限个，也可以有无限多个正确答案：B2.2.2 收敛数列的性质2.2.2.1 收敛数列的唯一性1若和都收敛，则收敛。

( )我的答案：X2若}和}都收敛，且有相同的极限，则收敛。

( ) 我的答案：√2.2.2.2 收敛数列的有界性1下列命题正确的是（）。

A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界C、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛我的答案：D2数列有界是数列收敛的（）。

窗体顶端A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既非充分也非必要我的答案：B2.2.2.3 收敛数列的保号性及四则运算法则1。

正确答案：第一空：02设中一个是收敛数列,另一个是发散数列，则是（）。

正确答案：第一空：发散数列2.2.3 数列收敛性的判别准则2.2.3.1 夹逼准则2.2.3.2 单调有界准则2.2.3.3 重要极限1。

正确答案：第一空：2。

正确答案：第一空：2.2.3.4 数列与其子列的收敛关系及归并原理1若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列（）。

正确答案：第一空：若数列的奇数列和偶数列都收敛到a，则原数列也收敛到( )。

正确答案：第一空：a2.2.3.5 闭区间套定理1设闭区间列具有如下性质：（¡），；（¡¡），则称为（）；构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足不等式（）。

正确答案：第一空：闭区间套第二空：2若是区间套所确定的点，则对任给的>0，存在N>0，使得当>N时有（）。

正确答案：第一空：。

2.2.3.6 Weierstrass定理1有界数列必有( )。

正确答案：第一空：收敛子列2从任意数列中必可取出一个（）的子数列。

正确答案：第一空：单调2.2.3.7 Cauchy收敛原理2.2.4 数列极限的知识回顾2.3 函数的极限2.3.1 函数极限的概念2.3.1.1 自变量x无限增大时的函数极限2.3.1.2 自变量x趋于有限值时函数的极限2.3.1.3 函数的左、右极限2.3.1.4 函数极限的统一定义1若函数在某点极限存在，则( )．A、在的函数值必存在且等于极限值B、在函数值必存在，但不一定等于极限值C、在的函数值可以不存在D、如果存在的话，必等于极限值正确答案：C2（）(是常数)；（）。

正确答案：第一空： C第二空：2.3.1.5 Heine定理2.3.2 函数极限的性质1要使，则应满足（）。

正确答案：第一空：>12，则（）。

正确答案：第一空： 22.3.3 函数极限的有理运算法则1=（）。

正确答案：第一空：2=（）。

正确答案：第一空：-12.3.4 复合函数求极限法则1=（）。

正确答案：2=（）。

正确答案：第一空：2.3.5 两个重要极限2.3.5.1 两个重要极限的证明及应用（一）1( )。

A、B、不存在C、1D、0正确答案：C2=（）。

正确答案：第一空：1/62.3.5.2 两个重要极限的证明及应用（二）1=（）。

正确答案：2=（）。

正确答案：第一空：2.3.6 函数极限的存在准则1（）。

正确答案：第一空： 12利用两边夹准则是求极限的一个重要手段将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出具有（）且（）的函数g(x)和h(x)即可。

正确答案：第一空：共同极限值第二空：易求极限2.4 无穷小量与无穷大量2.4.1 无穷小量及其阶2.4.1.1 无穷小量的概念及其与函数极限的关系1按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( )。

A、()B、C、()D、()正确答案：C2无穷小量是( )。

A、比零稍大一点的一个数B、一个很小很小的数C、以零为极限的一个变量D、数零正确答案：C2.4.1.2 无穷小的运算性质1有限个无穷小的代数和不一定是无穷小。

（）正确答案：×2无穷小与任意函数的积是无穷小。

（）正确答案：×2.4.1.3 无穷小的阶1当时，下列与同阶(不等价)的无穷小量是( )。

窗体顶端A、B、C、D、正确答案：B2.4.2 无穷小量的等价代换1当时，要无穷小与等价，应等于（）。

正确答案：第一空：22当时，等价于（）。

正确答案：第一空：2.4.3 无穷大量2.4.3.1 无穷大量及其与无穷小的关系1设函数，则( ) 。

A、当时，是无穷大B、当时，是无穷小C、当时，是无穷大D、当时，是无穷小正确答案：B2.4.3.2 垂直渐近线1若曲线C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时，点M 与某一直线L 的距离趋于0, 则称直线L 为曲线C 的（）。

正确答案：第一空：渐近线2曲线的渐近线为（）。

正确答案：第一空：y=2；x=1。

2.5 连续函数2.5.1 连续函数的概念与基本性质2.5.1.1 连续函数的概念1设在上有定义，函数在点左、右极限都存在且相等是函数在点连续的( ) 。

A、充分条件B、充分且必要条件C、必要条件D、非充分也非必要条件正确答案：C2的连续区间为（）。

正确答案：第一空：2.5.1.2 连续函数定义的例题举证1若当时，，且处连续，则（）。

正确答案：第一空：22函数在处连续是在连续的（）条件。

正确答案：第一空：充分2.5.1.3 连续函数的基本性质1=（）。

正确答案：第一空：2=（）。

正确答案：第一空： 12.5.2函数的间断点2.5.2.1 间断点的划分1函数在x=0处是第（）类间断点。

正确答案：第一空：二2设，则x=1为y的（）间断点。

正确答案：第一空：可去2.5.2.2 间断点的应用举例1函数有间断点( )，其中( )为其可去间断点。

正确答案：第一空：第二空：2函数的间断点是（）。

正确答案：第一空：X=1,x=22.5.3 闭区间上连续函数的性质2.5.3.1 闭区间上连续函数的有界性1若函数在闭区间上（），则在闭区间上有界。

正确答案：第一空：连续2设f (x)在(-∞, +∞)上连续，且存在，则f (x)在(-∞, +∞)上有界。

正确答案：√2.5.3.2 最大值与最小值定理1（），（）；（），（）。

正确答案：第一空：1第二空：-1第三空： 1第四空：12在（）上连续的函数一定有最大值和最小值。

正确答案：第一空：闭区间2.5.3.3 零点定义及存在定理1连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的不同侧，则曲线弧与x轴（）交点。

正确答案：第一空：零点2.5.3.4 零点存在定理的证明2.5.3.5 介值定理2.5.4 函数的一致连续性2.5.4.1 一致连续函数2.5.4.2 不一致连续及闭区间一致连续定理1若在上均一致连续，则函数在上（），特别的，若为有限区间，则，在上（）。

A、一致连续，一致连续B、不一致连续，一致连续C、一致连续，不一致连续D、不一致连续，不一致连续正确答案：A2证明在内（），在内（）。