确定抛物线y=ax2+bx+c平移、翻折、
二次函数y=ax2+bx+c 与平移变换
二次函数是一种常见的代数函数，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
在数学中，二次函数通常用来描述抛物线的形状，而平移变换则是在二次函数的图像上进行位置的移动。
本文将围绕二次函数和平移变换展开讨论，以深入探究二次函数与平移变换之间的关系。
一、二次函数的基本形式1.1 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
其中，a决定了抛物线的开口方向和形状，而b则决定了抛物线在x轴方向上的平移，c则决定了抛物线在y轴方向上的平移。
1.2 二次函数的图像特点当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
抛物线在x轴方向上的平移量由b决定，当b>0时向右平移，当b<0时向左平移。
而在y轴方向上的平移量由c决定，当c>0时向上平移，当c<0时向下平移。
二、二次函数的平移变换2.1 x轴方向的平移变换对于二次函数y=ax^2+bx+c，当x发生变换x→(x-h)时，抛物线将沿x轴方向平移h个单位。
平移后的二次函数为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c，其图像在横轴上右移h个单位。
2.2 y轴方向的平移变换对于二次函数y=ax^2+bx+c，当y发生变换y→(y-k)时，抛物线将沿y轴方向平移k个单位。
平移后的二次函数为y=a(x^2+bx+(c-k))，其图像在纵轴上上移k个单位。
三、二次函数与平移变换之间的关系3.1 平移变换对二次函数的影响平移变换可以改变二次函数的图像位置，使其整体在坐标平面上发生移动。
x轴方向的平移变换可以改变抛物线的水平位置，而y轴方向的平移变换可以改变抛物线的垂直位置。
平移变换对二次函数的图像产生了显著的影响。
3.2 二次函数的平移变换示例举例而言，对于二次函数y=x^2，当x发生变换x→(x-2)时，即为将y=x^2的图像沿x轴方向右移2个单位，变为y=(x-2)^2。
九年级数学下册第1章二次函数小结与复习课件(新版)湘教版
和开口方向.【教材P37页】
y
3
1 y 1 x2
3
2
y 1 x 22
4
1
2 y 1 x 22
4
–4 –3 –2 –1 –1
x
1 23 4 5
–2
–3
y 1 x2
–4
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
y
和开口方向.【教材P37页】
5
3 y2x32 2
4
小结与复习
知识结构
二次函数
二次函数的概念 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
沿 x 轴翻折
y = -ax2（a>0）的图象与性质
x O
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
当h < 0时， 向左平移 |h| 个单位
3
3
y
x
7 2
2
2
4
y
x
7 2
2
2
2 1
–1 –1
–2
x
123456
y 2 x 32 2
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
和开口方向.【教材P37页】
y
3
y x2 10x 21
5yx27x11 2
1
6yx210x21
x
1 23 4 5 6 78
3
yax2x1
2
将点（0，-1）代入，得 a 1 2
y 1x2x1
2
顶点坐标
二次函数知识梳理
（3）抛物线 y ax2 bx c与 x 轴的两个交点的横 坐个标实数x1根、x.抛2，物是线对与应x一轴元的二交次点方情程况a可x以2 由b对x应的c一元0的二两
次方程的根的判别式判定：
①有两个交点 △＞0 抛物线与 x轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上） △＝0 抛物线与 x 轴
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
利用二次函数 y ax2 bx c 的图象
ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0
看图象与 x轴的交点 看 x轴上方的图象 看 x轴下方的图象
1.定义：一般地，如果 y ax2 bx c
（ a、b 、c 是常数，a 0），那么 y
叫做 x 的二次函数.
2.二次函数 y ax2 bx c用配方法可
化成：y ax h2 k 的形式.
其中: h b ，k 4ac b2
2a
4a
3.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.
y x2 x 2
抛物线
△＞0
顶点坐标 对称轴
△=0
开口方向
△＜0
a＞0
图
△＞0
a＜0
像
△=0
利润问题
△＜0
磁道问题
性质
最值
应用
拱桥问题
二
面积问题
次 顶点式 y ax h2 ka 0
y ax2 bx c(a 0)
函 交点式 y ax x1x x2 a 0
数
x1、x2是图象与x轴的交点的横标
k k
0，向上平移 0，向下平移
k 个单位 k 个单位
y
ax 2
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版
专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2） 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1） 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ） 抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2） 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--， 新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +， 顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3） 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1） 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图， 点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。
2023年中考数学总复习专题09二次函数与正方形存在性问题(学生版)
（全国通用）专题09二次函数与正方形存在性问题二次函数与正方形存在性问题1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．【例1】（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【例2】．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．【例3】（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y 轴上时，请直接写出点G的坐标．【例4】（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．1．（2020•乐平市一模）如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．（1）当抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则a＝；当抛物线y＝+k是美丽抛物线时，则k ＝；（2）若抛物线y＝ax2+k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；（3）若y＝a（x﹣h）2+k是美丽抛物线时，（2）a，k的数量关系成立吗？为什么？（4）系列美丽抛物线y n＝a n（x﹣n）2+k n（n为小于7的正整数）顶点在直线y＝x上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．2．（2016秋•西城区校级期中）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y＝x2，求a的值；（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．3．（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．4．（2022•临潼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（1，﹣）两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．5．（2022•松阳县一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C（0，4）．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB＝3：1．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．已知OE＝m，OF＝t①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．6．（2022•香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长．7．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．8．（2021•云南模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围．9．（2019秋•温州校级月考）如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y ＝﹣x²+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒．（1）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S△BCD＝6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝，CP＝，∠OP A ＝135°，直接写出此时AP的长度．10．（2021•峨眉山市模拟）如图，已知直线y＝与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）求抛物线的解析式；（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．11．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．（1）求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；（2）如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2与直线y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE＝S△MAE，求点D的坐标；（3）如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为，当m＝时，有最小值．12．（2021•社旗县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过（1，0），（3，0），（0，6）三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上．（1）求抛物线解析式，并直接写出当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差．（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，①当点C首次落在抛物线上，求h的值．②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．13．（2021•越秀区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+，以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．14．（2020秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．15．（2020•雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．16．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．17．（2020•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．（1）求A、B两点的坐标；（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．18．（2021•龙马潭区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？（3）点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求出此时点P的坐标．19．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点P，Q的相关矩形“．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（2，5），求点A，B的“相关矩形”的周长；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A和点C，求抛物线y＝x2+mx+n与y轴的交点D的坐标；（2）⊙O的半径为4，点E是直线y＝3上的从左向右的一个动点．若在⊙O上存在一点F，使得点E，F的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E的横坐标的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），在线段AB上取两点M、N（点M不与点A重合），点M、N关于这条抛物线的对称轴对称，点M在点N的左侧，分别过点M、N作x轴的垂线交抛物线于点P、Q，我们称这样的四边形MPQN为这条抛物线的“抛物线矩形．”（1）若抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的抛物线矩形MPQN的顶点M的坐标为（0，0），则点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx的抛物线矩形MPQN为正方形时，若点M的坐标为（﹣2，0），求b的值．（3）设抛物线y＝x2+4x﹣6的抛物线矩形MPQN的周长为C．点M的横坐标为m，求C与m之间的函数关系式．（4）将抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的抛物线矩形MPQN绕点P顺时针或逆时针旋转90°后，边MN恰好落在y轴上，若MN＝2，直接写出a的值．21．（2022•抚顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于点A （1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）求△BCD的面积；（3）点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2022•新化县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．23．（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞0，c＞0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．（1）如图2，若CD∥x轴．①求证：b2＝4c；②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；（2）当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．24．（2022•于洪区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象交y轴于点D，直线AB与之相交，且A（1，﹣）是抛物线y＝x2+bx+c的顶点．（1）b＝，c＝；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C，连接PC．①求直线PB的解析式；②求PC的长；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．。
第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题
二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。
3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动；例题：1、（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案．解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1，抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得y=﹣2x2﹣4x﹣3，故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质．2、（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．考点：二次函数图象与几何变换．专题：新定义．分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．解答：解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，∵OA=MA，∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．w W w .x K b 1.c o M点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．3、（2015•绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．4、（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．（2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．答案：。
二次函数抛物线,与方程关系,例题及解析
练习：1、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ A ）A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．的是（ B ） A. ab ＜0 B. ac ＜0C. 当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随xD. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.3、如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 ①c ＞0；②a +b +c ＜0；③2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4ac 中，正确的是（填写序号） ② 、④ ．4、二次函数221=++-y ax x a 的图象可能是（ B ）5、在反比例函数ay x=中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是下图中的（ A ）6、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ A ）7、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：（ D ）①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点AB A ．B ．C ．(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( D)A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大 9、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<； ⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（B ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ B ）． A.②④B. ①④C. ②③D. ①③11、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ B ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0(C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定12、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是（31，38）； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ B ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④(Ⅳ) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的平移二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)平移：a 不变，函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)移），，对于旋转、对称变换也是一样。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第七节 二次函数解析式的确定及图象变换
(7)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝m有实数根，则m的取值范围是mm≥≥－－4.4
5．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两 点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是xx＜＜－－1或1x或＞x＞3. 3
2．(2019·百色第9题3分)抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平
移得到的
（ A）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
3．★(2022·玉林第11题3分)小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻
解：(1)中的抛物线为 y＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6. 平移后抛物线的顶点坐标为(－1，4)， ∴平移后的抛物线的解析式为 y＝－(x＋1)2＋4， 即 y＝－x2－2x＋3
(5)若抛物线与(1)中的抛物线关于x轴对称，求此抛物线的解析式； 解：(1)中抛物线为y＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6， 与抛物线y＝－(x－2)2＋6关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(2，－ 6)，此时a＝1， ∴此抛物线为y＝(x－2)2－6＝x2－4x－2.
(2)若点 A 的坐标析式；
解：设抛物线的解析式为 y＝a(x－2)2＋6， 将 A(3，8)代入上式，得 a(3－2)2＋6＝8，解得 a＝2， ∴抛物线的解析式为 y＝2(x－2)2＋6
＝2x2－8x＋14.
(3)若点 A，B 的坐标分别为(－2，0)，(1，3)，且抛物线与 y 轴交于点
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(3) 将抛物线C3沿y轴翻折，所得抛物线C4的 解析式是 . (4) 将抛物线C4绕原点旋转180o，所得抛物线 C5的解析式是 . (5) 将抛物线C5绕它的顶点旋转180o，所得抛不变. 要抓顶点的平移或其它关键 点的平移，这是由于函数图象的平移是整体 的平移，每个点都做相同的变换．在解题时， 一定分清移动谁，不妨画草图.
2. 翻折：要抓顶点的变化及其它关键点的变 化 规律： 抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线 解析式是y= -ax2-bx-c 抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线 解析式是y= ax2-bx+c
3. 绕某一定点旋转180°：要抓顶点的变化， a取相反数. 规律： 抛物线y=a(xh)2+k绕顶点旋转 180°后的解析式为y= -a(xh)2+k 抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的 抛物线解析式是y= -ax2+bx-c