29、图形的平移、旋转和翻折[1]
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折
初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折在初中数学课程中，形的平移、旋转和翻折是非常重要的概念和技巧。
通过学习和理解这些概念，学生可以更好地认识和应用几何形状。
本文将对初中数学中形的平移、旋转和翻折进行归纳总结，并介绍相关的基本原理和技巧。
一、形的平移形的平移是指在平面内将一个形状整体移动到另一个位置，而形状保持不变。
在平移过程中，形状的大小、形状以及内部的相互关系都不会发生变化。
平移的基本原理是：确定一个平移向量，然后根据该向量的大小和方向，将形状内的每个点都移动到对应的新位置上。
平移向量可以用有序对表示，如(u, v)，其中u表示横向位移，v表示纵向位移。
形状中的每个点的新坐标可以通过将原坐标与平移向量的分量相加得到。
例如，将一个矩形形状A平移到新的位置B，平移向量为(3, 4)。
假设矩形角点的坐标为A(1, 2), B(4, 6)，则可以计算出新位置上的所有角点坐标为B(4, 6), C(4, 10), D(7, 10), E(7, 6)。
形的平移有以下几个重要性质：1. 平移前后的形状相等。
2. 平移前后形状内的各点之间的距离保持不变。
3. 平移不改变形状内角的度数。
二、形的旋转形的旋转是指将形状围绕某一固定点旋转一定角度，使得形状保持不变。
旋转中心可以位于形状内部、外部或者边上。
旋转的基本原理是：确定旋转中心和旋转角度，根据旋转的顺时针或逆时针方向将形状内的每个点绕旋转中心旋转一定的角度，并保持距离不变。
假设旋转中心为O(0, 0)，旋转角度为θ，对于一个点P(x, y)，点P 经过旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ例如，将一个矩形形状A绕原点逆时针旋转60度，矩形的角点坐标为A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(2, 4)。
根据旋转公式，可以计算出新位置上的所有角点坐标为A'(1.732, 1), B'(4.732, 1), C'(4.732, 4), D'(1.732, 4)。
了解小学数学中的几何变换平移翻折和旋转
了解小学数学中的几何变换平移翻折和旋转了解小学数学中的几何变换：平移、翻折和旋转几何变换是小学数学中非常重要的一个概念，它涉及到平面图形在空间中的移动、翻转和旋转等操作。
通过学习几何变换，学生可以更好地理解和应用各种几何概念，并培养出良好的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将对小学数学中的几何变换中的三种常见形式进行详细介绍：平移、翻折和旋转。
一、平移平移是指在平面内保持图形形状不变的情况下，将图形沿着某一方向平行地移动一定距离。
简单地说，就是将图形整体按照规定的方向和距离进行移动，而不改变其大小、形状和方向。
在平移中，需要注意以下几个概念：1. 平移向量：平移的方向和距离可以用一个向量表示，这个向量称为平移向量。
平移向量可以用箭头表示，箭头的方向表示平移的方向，箭头的长度表示平移的距离。
2. 平移前后的对应关系：在平移中，图形的每个点在平移前后应该有对应关系。
即平移后的点与平移前的点在同一平行线上，并且距离相等。
3. 平移特点：平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变其位置。
二、翻折翻折是指将图形围绕某条直线对称翻转得到另一个图形的操作。
在翻折中，需要注意以下几个要点：1. 翻折轴：翻折轴是指图形围绕的直线。
可以用实线或虚线表示。
翻折轴上的任意一点与其对称点关于翻折轴对称。
2. 翻折前后点的对应关系：在翻折中，图形中的每个点都应该有翻折后的对称点与之对应，两点关于翻折轴对称。
3. 翻折特点：翻折不改变图形的大小、形状和方向，只改变其位置。
三、旋转旋转是指将图形围绕某一点按照一定的角度顺时针或逆时针旋转的操作。
在旋转中，需要注意以下几个要点：1. 旋转中心：旋转中心是指图形所围绕的点。
可以是图形内部的一个点，也可以是图形外部的一个点。
2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度大小，可以用正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。
3. 旋转前后点的对应关系：在旋转中，图形中的每个点都应该有旋转后的对应点与之对应。
平移旋转与翻折的性质
平移旋转与翻折的性质平移旋转和翻折是几何学中常用的变换方式，它们具有一些特定的性质和规律。
在本文中，我们将探讨平移旋转与翻折的性质，并举例说明它们在几何学中的应用。
1. 平移的性质平移是指在平面上将一个图形按照指定方向和距离进行整体移动，而不改变其形状和大小。
平移的性质如下：(1) 平移不改变图形的大小和形状。
无论是几何图形还是图像，经过平移后，其大小和形状都保持不变。
(2) 平移保持图形内部的相对位置关系。
对于一个多边形或复杂图形而言，其中的点之间的相对距离和角度关系在平移前后保持一致。
(3) 平移可以叠加。
如果对同一个图形进行多次平移，结果将等同于进行一次相应方向和距离的平移。
这是平移的可加性质。
例如，将一个三角形ABC向右平移3个单位距离，得到三角形A'B'C'。
经过平移后，A'B'C'的形状和大小与ABC完全相同，只是位置改变了。
2. 旋转的性质旋转是指以一个固定点（旋转中心）为中心，按照一定的角度将图形或物体绕旋转中心旋转。
旋转的性质如下：(1) 旋转不改变图形的大小。
无论是几何图形还是图像，经过旋转后，其大小保持不变。
(2) 旋转保持图形内部的相对位置关系。
对于一个多边形或复杂图形而言，其中的点之间的相对距离和角度关系在旋转前后保持一致。
(3) 旋转可以叠加。
如果对同一个图形进行多次旋转，结果将等同于进行一次相应角度的旋转。
这是旋转的可加性质。
举例来说，将一个矩形顺时针旋转90度，其形状和大小保持不变，只是方向改变了。
3. 翻折的性质翻折是指将图形或物体按照某条直线将其两侧对称折叠在一起，使得折叠前后的形状完全一致。
翻折的性质如下：(1) 翻折不改变图形的大小。
翻折前后，图形的大小保持不变。
(2) 翻折使得图形对称。
图形中的每个点关于翻折轴对称，翻折后的形状与原始形状重合。
(3) 翻折可以叠加。
如果对同一个图形进行多次翻折，结果将等同于只进行一次翻折。
图形的旋转、平移与翻折
图形的旋转、平移与翻折在几何学中，图形的旋转、平移与翻折是常见的操作，可以通过这些操作改变图形的位置、形状和方向。
这些操作在数学、物理学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍图形的旋转、平移与翻折的基本概念和相关应用。
一、图形的旋转图形的旋转是指将图形绕一个旋转中心按一定角度旋转。
旋转可以使图形发生变化，同时保持图形的大小和形状不变。
旋转操作常用的单位是度数，顺时针为正方向，逆时针为负方向。
图形的旋转可以通过旋转矩阵来描述。
设图形的坐标为(x, y)，旋转的角度为θ，旋转中心为(x0, y0)，则旋转后的坐标可以表示为：x' = (x - x0) * cosθ - (y - y0) * sinθ + x0y' = (x - x0) * sinθ + (y - y0) * cosθ + y0通过这个公式，我们可以将任意点围绕旋转中心进行旋转变换。
图形的旋转可以应用于很多领域，例如地理学中的地图旋转变换、物理学中的刚体旋转运动等。
在计算机图形学中，旋转操作经常用于图像处理、动画制作等方面。
二、图形的平移图形的平移是指将图形沿着特定的方向和距离进行移动。
平移操作只改变图形的位置而不改变图形的形状和方向。
图形的平移可以通过平移向量来表示。
设图形的坐标为(x, y)，平移向量为(dx, dy)，则平移后的坐标可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy通过这个公式，我们可以将图形沿水平方向和垂直方向进行平移变换。
图形的平移操作在几何学中经常用于研究几何关系、证明定理等方面。
在计算机图形学中，平移操作经常用于图像编辑、游戏开发等方面。
三、图形的翻折图形的翻折是指将图形在一个轴线上进行对称变换。
翻折操作将图形上的每个点关于轴线镜像对称，使得图形在镜像轴两侧成为对称的。
图形的翻折可以通过翻折矩阵来表示。
设图形的坐标为(x, y)，轴线为x轴或y轴，对称变换为x轴翻折或y轴翻折，对应的翻折矩阵为：对于x轴翻折：x' = xy' = -y对于y轴翻折：x' = -xy' = y通过这个公式，我们可以将图形关于x轴或y轴进行翻折变换。
平移旋转与翻折的变换
平移旋转与翻折的变换平移、旋转和翻折是几种常见的图形变换方式，它们在几何学和计算机图形学中有着广泛的应用。
通过这些变换，我们可以改变图形的位置、方向和形状，从而得到全新的图形。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定的方向平行地移动一定的距离。
在平移变换中，图形的形状、大小和方向都保持不变，只是位置发生了改变。
平移变换可以用矢量表示，假设有一个图形上的点A(x,y)，要将该点沿着向量(vx,vy)平移，则新的坐标点B的坐标为B(x+vx, y+vy)。
通常，平移变换可以通过将图形上的每个点都同时加上平移矢量的方式来实现。
平移变换的应用非常广泛，例如在计算机图形学中，可以通过平移变换来实现图像的拖拽效果，或者对物体进行移动操作。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕一个中心点按照一定的角度进行旋转。
在旋转变换中，图形的形状和大小保持不变，只是方向发生改变。
旋转变换可以通过旋转矩阵来表示，假设有一个图形上的点A(x,y)，要将该点绕某个中心点O逆时针旋转θ角度，则新的坐标点B的计算公式如下：B(x', y') = (cosθ, -sinθ;sinθ, cosθ) * (x-xo, y-yo) + (xo, yo)其中(xo, yo)为旋转中心的坐标。
通过这个公式，可以计算出旋转变换后的新坐标点。
旋转变换的应用非常广泛，例如在计算机动画中，可以通过旋转变换来实现物体的旋转效果，或者在地图导航中，可以通过旋转地图来改变视角。
三、翻折变换翻折变换是指将图形按照某个轴进行对称翻转。
在翻折变换中，图形的形状、大小和方向都保持不变，只是镜像对称的。
翻折变换可以通过坐标轴的变换来实现，假设有一个图形上的点A(x, y)，要将该点按照某个轴进行对称翻转，则新的坐标点B的计算公式如下：B(x', y') = (x, -y) 或者 (x', y') = (-x, y)通过这个公式，可以计算出翻折变换后的新坐标点。
旋转平移翻折的几何变换与性质
旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。
本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。
一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。
对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。
二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
平移变换可以用一个向量来表示。
对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x + dxy' = y + dy其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。
三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。
对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = xy' = 2k - y其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。
以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。
下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。
实例一：旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。
现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。
根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二：平移变换假设有一条直线L，其方程为y = 2x - 1。
形的旋转平移和翻折操作总结
形的旋转平移和翻折操作总结形的旋转、平移和翻折是我们在几何学中经常遇到的操作。
通过这些操作，我们可以改变形状的位置、方向和形式。
在本文中，我们将对这些操作进行总结，以便更好地理解和应用它们。
一、形的旋转形的旋转是指将形状绕着一个中心点旋转一定角度，从而得到一个新的形状。
旋转可以是顺时针或逆时针方向的，取决于旋转角度的正负。
旋转操作的关键是确定旋转的中心点和旋转角度。
中心点可以是一个顶点、一个线段的中点或任意一点。
旋转角度通常用度数表示，如顺时针旋转90度或逆时针旋转45度。
例如，我们可以将一个三角形绕着顶点A顺时针旋转90度，得到一个新的三角形。
旋转后的三角形与原三角形共边，但是位置和方向不同。
二、形的平移形的平移是指保持形状不变，但将其整体沿着一个方向平行移动一定距离。
平移操作可以是水平、垂直或斜向的，取决于平移的方向。
平移操作的关键是确定平移的方向和距离。
方向可以是上、下、左、右或任意一个斜向的方向。
距离可以用长度单位表示，如平移2个单位或平移5个厘米。
例如，我们可以将一个矩形向右平移3个单位，得到一个与原矩形形状相同但位置发生改变的新矩形。
三、形的翻折形的翻折是指将形状沿着一个轴线对称折叠，从而得到一个镜像对称的新形状。
翻折操作有水平翻折和垂直翻折两种形式。
水平翻折是指将形状从上至下对称折叠，垂直翻折是指将形状从左至右对称折叠。
翻折轴线可以是一条边、一条对角线或任意一条直线。
例如，我们可以将一个正方形沿着一条垂直轴线翻折，得到一个左右对称的新正方形。
综上所述，形的旋转、平移和翻折是几何学中常见的操作。
通过这些操作，我们可以改变形状的位置、方向和形式，使得几何问题的解决更加灵活和多样化。
在实际应用中，我们可以利用这些操作解决一些形状变换和位置确定的问题，提高几何学的应用能力。
三年级数学认识平移旋转与翻折
三年级数学认识平移旋转与翻折数学是一门既有趣又充满挑战的学科，而对于三年级的学生来说，他们正处于接触和学习基本几何概念的阶段。
其中，平移、旋转与翻折是他们学习的重点之一。
本文将详细介绍这三个概念以及它们在三年级数学中的应用。
平移是指将一个图形沿着平面内的某条线段按照指定的方向和距离移动的操作。
在平移中，图形的大小和形状保持不变，只是位置发生改变。
例如，将一个正方形沿着x轴向右平移3个单位长度，那么正方形的每个边上的点都将向右移动3个单位长度。
平移可以让学生直观地感受到图形之间的位置关系。
旋转是指将一个图形沿着围绕某个点旋转一定角度的操作。
在旋转中，图形的大小和形状保持不变，只是方向发生改变。
例如，将一个矩形绕着它的中心点逆时针旋转90度，那么矩形的每个边将沿逆时针方向转动90度。
旋转可以让学生更好地理解图形之间的方向关系。
翻折是指将一个图形沿着一条线折叠成新的图形的操作。
在翻折中，图形的大小和形状保持不变，只是位置发生改变。
例如，将一个长方形沿着竖直中线对折，那么对折后的图形与原图形完全重合。
翻折可以帮助学生了解图形之间的对称性。
在三年级数学中，平移、旋转与翻折并不只是简单的操作，还需要学生能够通过抽象思维来分析和解决问题。
通过这些概念的学习，学生可以培养几何思维、观察比较和逻辑推理的能力。
其中，平移的重要性在于让学生认识到物体的位置会因平移而发生变化，进而理解平面上点的坐标和方向的概念。
通过平移，学生可以观察和描述移动后图形的位置，并学习如何使用坐标表示它们。
旋转的重要性在于让学生感受到物体旋转后形状和方向的变化。
通过旋转，学生可以观察和描述旋转后图形的特征，并学习如何使用角度来表示旋转。
翻折的重要性在于让学生理解图形的对称性。
通过翻折，学生可以观察和描述改变后图形的对称特征，并学习如何使用折线来表示对称轴。
在三年级数学的学习中，平移、旋转与翻折不仅仅是为了解决具体问题，更是为了培养学生的思维能力和几何思维。
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一、知识点
1、在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这个固定点叫做旋转中心，转动的角度称为旋转角。
3、平移、旋转、翻折都不改变图形的形状和大小．
4、平移的两个要素：方向、距离。
旋转的三要素：旋转中心、方向、旋转角。
二、精选例题：
．
落在边BC 上的A ′处，折痕为PQ ．当点A ′在BC 边上移动时，折痕端点P ，Q
也随之移动．若限定P ，Q 分别在AB 、AD 边上移动，求点A ′在BC 边上可移
动最大距离．
例3. 如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，
将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，BE ，DC ，DE
三者之间存在着某种数量关系，请你用等式表示出来 。
图
三、基础训练
1、 下列说法正确的是( )A.平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小B.平移和旋转的共同点是改变图形的位置C.图形可以向某方向平移一定距离,也可以绕某方向旋转一定距离D.由一次平移得到的图形也一定可由一次旋转得到
2、如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 作0○～90o
的
旋转，那么旋转时露出的△ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化，下面表示S
与n 的关系的图象大致是图⑵中的（ ）
（图1） （图2）
3、如图4，将四边形ABCD 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A 的对应点A ′的坐标是 。
图4 图5 图6
4、如图5，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(2,1)．如果将矩形OABC 绕点O 旋转180°，旋转后图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1坐标为
5、如图6，矩形ABCD 对角线AC ＝10，BC ＝8，则图中五个小矩形周长为 。
6．如图，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD=45°，将三角
形CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则 CD
OC 。
四、能力过关
7．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y
轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）．（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；（3）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．。