六年级最值问题教师版
小学六年级奥数第25讲 最大最小问题(含答案分析)
第25讲 最大最小问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －ba+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950 答：a －b a+b 的最大值是4950 。
练习1：1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －yx+y的最大值。
2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －ba+b的最小值。
3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+yx －y的最大值；②求x+yx －y的最小值。
【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1.有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
小学奥数专题-位值原理.教师版
5-7-1.位值原理教学目标1.利用位值原理的定义进行拆分2.巧用方程解位值原理的题知识点拨位值原理当我们把物体同数相联系的过程中,会碰到的数越来越大,如果这种联系过程中,只用我们的手指头,那么到了“十”这个数,我们就无法数下去了,即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上,只不过能数二十。
我们显然知道,数是可以无穷无尽地写下去的,因此,我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来,抽象地研究如何表示它们,如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数,记数时,同一个数字由于所在位置的不同,表示的数值也不同。
既是说,一个数字除了本身的值以外,还有一个“位置值”。
例如,用符号555表示五百五十五时,这三个数字具有相同的数值五,但由于位置不同,因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一,最左边的五表示五个百,中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了,现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义:同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。
也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式:以六位数为例:abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法宝:（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式,列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x,列方程解答例题精讲模块一、简单的位值原理拆分【例 1】一个两位数,加上它的个位数字的9倍,恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯,4年级,初赛,7题,六年级,初赛,第8题,5分【解析】这个两位数,加上它的个位数字的9倍,恰好等于100,也就是说,十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100,所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。
XX六年级奥数最值问题试题及答案
XX六年级奥数最值问题试题及答案奥数在综合测评中所占比重越来越大，很多的名校牛初也都看重孩子的奥数成绩。
对孩子思维的开发，以及今后的数学学习都大有裨益，当然，奥数经典问题也不少，下面跟一起来看看最值问题试题及答案吧!例：阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就坐时，某些排坐着的人数就一样多.我们希望人数一样的排数尽可能少，那么相同人数的至少有多少排.解：至少有4排.如果排人数各不相同，那么这10排最多分别坐16、15、14、13、……、7人，那么最多坐16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人);如果最多有2排人数相同，那么最多坐(16+15+14+13+12)×2=140 (人);如果最多有3排人数一样，那么最多坐(16+15+14)×3+13=148(人);如果最多有4排人数一样，那么最多坐(16+15)×4+14×2=152(人).由于148<150<152 ，所以只有3排人数一样的话将不可能坐下150个人，相同人数的至少有4排在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是同学们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中屡次出现求最值问题，但一些学生感到束手无策。
例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?【解析】开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，那么第4把不用试了，它一定能翻开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁那么不用再试了。
这样最多要试的次数为：3+2+1=6(次)。
例2 x3=84A(x、A均为自然数)。
A的最小值是。
【解析】根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A 的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
六年级奥数考点：极值问题
考点：极值问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数，求a－ba+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a－b a+b 的最大值是99－199+1=4950答：a－ba+b的最大值是4950。
练习1：1、（课后）设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求x－yx+y的最大值。
99 1012、a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求a－ba+b的最小值。
1 973、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。
（1）399 （2）201 199【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1.（课后）有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。
3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？一、二、三道工序所需的工人数的比是148：132：128＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。
小升初六年级奥数专题经典 最值问题答案
例1．1.有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？解答：两组人数的乘积即为比赛场数，故最多比赛4×5=20（场） 2.直角三角形斜边长为10cm ，求这个直角三角形面积的最大值。
解答：设直角三角形三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边长，根据勾股定理有a 2+ b 2=c 2=100，则当a 2= b 2=50时，a 2× b 2最大，为2500，所以面积a×b÷2最大为25.3.一个边长为30的正方形，四个角减去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？解答：假设减去的正方形边长为x ，则拼成的长方体的容积为x （30-2x ）(30-2x).由于4x+30-2x+30-2x=60,则当4x=30-2x=60÷3=20时，容积最大，为20×20×20÷4=2000.4.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成两个多位数，那么这两个多位数的乘积最大是多少？解答：先讨论确定两个多位数应为一个四位数和一个五位数。
再确定各个数位上的数字，高位数字越大则乘积越大。
再补上一个0（放在个位，计算出乘积后去掉），根据平均值定理：两个数和一定时，这两个数越接近，乘积越大。
可以得出最大值为：96420×87531÷10＝843973902。
5.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC 和一个两位数DE ，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH 和一个两位数IJ 。
求算式IJ FGH DE ABC ⨯-⨯的计算结果的最大值。
解答：为使IJ FGH DE ABC ⨯-⨯尽可能大，则要DE ABC ⨯尽可能大，IJ FGH ⨯尽可能小，后面类似例1的第4题，可得到算式的最大值为2046893751⨯-⨯=60483。
六年级(下)举一反三 最大最小问题
第二十五周 最大最小问题专题简析：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
例1：a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950。
练习1：1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y的最大值。
2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b的最小值。
3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y的最大值；②求x+y x －y的最小值。
例2：有甲、乙两个两位数，甲数27 等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？ 甲数：乙数=23 ：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1、 有甲、乙两个两位数，甲数的310 等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？ 2、 甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56 恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？3、 加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？例3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
六年级下册奥数最值问题全国通用
五名选手在一次数学竞赛中共得414分，每人得分互不相等且都是整数，并且其中得分最高的选手是92分。 现在有1g、2g、5g、10g、20g的砝码各若干个，至少要用其中的多少个砝码才能用天平一次称出39g的味精？ 6个人各拿一只水桶到一个水龙头处接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别为5分、4分、3分、10分、7分、6分。
求表面积最小的长方体的体积是多少？
现在有1g、2g、5g、10g、20g的砝码各若干个，至少要用其中的多少个砝码才能用天平一次称出39g的味精？ a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表自然数1至9中的某一个，如果每一个圆环内的各数字之和都相等，求每一个圆环内的数字和的 最大值和最小值。
用0——9这十个数字组成5个两位数， 一张圆桌有12个座位，已有n个人按某种方式就座，当某人就座时，发现无论他坐在哪个座位，都将与已经就座的人为邻，则n的最小
数，使这两个四位数的乘积最大。 用2—9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。
用0——9这十个数字组成5个两位数，每个数字只能用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大。 现在有1g、2g、5g、10g、20g的砝码各若干个，至少要用其中的多少个砝码才能用天平一次称出39g的味精？ 已知一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。 在P点有两辆自行车，如果使用自行车，速度可达每时15千米，但每辆自行车只能1个人骑。 已知一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。
六年级寒假班第4讲：有理数章节复习-教师版
有理数是初中数学六年级下学期第1章的内容．这一章中，我们学习了有理数的概念及运算，数轴，绝对值及科学记数法的相关内容．重点是有理数的四则运算，同学们需多加练习；难点是绝对值的相关运算，这一点将在春季班的课程中着重讲解．单元练习：有理数内容分析知识结构除法有理数乘法 减法 绝对值 加法 相反数数轴 转化 转化科学记数法有理数比较大小加法法则减法法则乘法法则除法法则加法运算律乘法运算律乘方选择题【练习1】关于“零”的说法正确的是（）①是整数，也是有理数；②不是正数，也不是负数；③不是整数，是有理数；④是整数，不是自然数．A．①、④B．②、③C．①、②D．①、③【难度】★【答案】C【解析】0是最小的自然数，则必为整数和有理数，但同时0非正非负，①②正确．【总结】考查数字“0”的特征，注意“0”的特殊性．【练习2】如果30%+表示增加30%，那么6%-表示（）A．增加24% B．增加6% C．减少6% D．减少36%【难度】★【答案】C【解析】正负号表示相反意义的量，“+”表示增加，“-”号表示减少，故选C．【总结】考查正负号表示相反意义的量．【练习3】下列说法中，正确的是（）A．存在最小的有理数B．存在最大的负有理数C．存在最小的正有理数D．存在最大的负整数【难度】★【答案】D【解析】数字的最值，只能是整数，最大的负整数是“1-”，最小的正整数是“1”，故选D．【总结】考查数的分类和数字中的一些最值问题．【练习4】数轴上表示2-的点在（）A．原点的右侧B．原点的左侧C．原点D．无法确定【难度】★【答案】B【解析】数轴上表示负数都在原点的左侧，正数都在原点的右侧，故选B．【总结】考查正负数在数轴上的表示．【练习5】 一个点从数轴上的表示2-的点开始，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，经过两次移动后到达的终点表示（ ） A ．5+B ．1-C ．1+D ．5-【难度】★【答案】C 【解析】“2-”向右移动5个单位得“3+”，“3+”向左移动2个单位得“1+”，故选C ．【总结】考查数轴上点的移动．【练习6】 下列结论中，正确的是（ ）A ．x -一定是负数B ．x -一定是非正数C ．x 一定是正数D ．x -一定是负数【难度】★【答案】B【解析】绝对值表示距离，即为非负数，可知x -为非正数，故选B ． 【总结】考查绝对值的意义，绝对值表示距离，即为非负．【练习7】 两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ）A ．0B ．1-C ．1+D ．不能确定【难度】★【答案】B【解析】两数和为零，即0a b +=，得a b =-，两有理数非零，则有()1a b b b ÷=-÷=-， 故选B ．【总结】考查数轴上到原点距离相等的两个点的商．【练习8】 下列各式运算结果为正数的是（ ）A ．425-⨯B ．()4125-⨯C ．()4125-⨯D ．()6135-⨯【难度】★【答案】B【解析】A 选项中一个负号，积为负数；B 选项中是负数的偶数次幂，为正数；C 选项中括 号中计算差为负数，积为负数；D 选项显然为负数，故选B ． 【总结】考查积的“奇负偶正”．【练习9】 若mn > 0，则关于m 、n 的说法正确的是（ ）A ．都为正B ．都为负C ．同号D ．异号【难度】★【答案】C 【解析】由0mn >，分类讨论可知00m n >⎧⎨>⎩或00m n <⎧⎨<⎩，即为同号，故选C ．【总结】考查由两数积的正负性判断两数符号的同异．【练习10】 计算()111112234⎛⎫-++⨯- ⎪⎝⎭时，要避免通分，可运用（ ）A ．加法交换律B ．加法结合律C ．乘法交换律D ．乘法分配律【难度】★【答案】D【解析】2、3、4都是12的因数，可知可利用乘法分配律简便计算，故选D ． 【总结】考查有理数的计算，合理利用乘法运算律．【练习11】 两数相加，其和小于每一个加数，则下列说法正确的是（ ）A ．两个加数必有一个是0B ．两个加数一正一负，且负数的绝对值较大C ．两个加数都为负数D ．两个加数一正一负，且正数数的绝对值较大 【难度】★★【答案】C【解析】设两数分别为a 、b ，由a b a +<且a b b +<，可知0a <且0b <，即两加数都 为负数，故选C ．【总结】考查根据题目条件确定相应未知数的正负，解决问题．【练习12】 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2016厘米的线段AB ，则AB 盖住的整点的个数是（ ） A ．2014或2015 B ．2015或2016 C ．2016或2017D ．2017或2018【难度】★★【答案】C【解析】若线段AB 的起点在整点上，覆盖整点个数为201612017+=个；若线段AB 的起 点不在整点上，则覆盖整点个数为2016个，故选C ．【总结】考查数轴上的一段距离中点的个数，注意起点位置的差别．【练习13】 如果a 、b 表示的是有理数，并且20a b +=，那么（ ）A ．a 、b 互为相反数B ．a = b = 0C ．a 和b 符号相反D ．a 、b 的值不存在【难度】★★【答案】B【解析】由20a b +=，0a ≥，20b ≥，可得20a b ==，则有0a b ==，故选B ． 【总结】考查平方和绝对值的非负性的应用．【练习14】 如果3x =，4y =，那么x y +的结果是（ ）A ．1B ．7C ．1或7D ．1-或7-【难度】★★【答案】C【解析】由3x =，4y =，可得3x =±，4y =±，则1x y +=±或7±，1x y +=或7． 【总结】考查根据绝对值得到对应的未知数的取值进行解题和应用．【练习15】 下列等式，一定成立的是（ ）A ．0a a +-=B ．0a a --=C ．0a a --=D ．0a a --=【难度】★★【答案】C【解析】互为相反数的两数的绝对值相等，则有a a =-，故选C ． 【总结】考查互为相反数的两数的关系．【练习16】 两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置而商不变，那么这两个数一定是（ ） A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．相等或互为相反数【难度】★★【答案】D【解析】除数与被除数交换位置商不变，说明商与商的倒数相等，即商只能为1±，由此可得 除数与被除数相等或互为相反数，故选D ． 【总结】考查根据特殊条件确定相应的未知数的关系．【练习17】 某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（250.1±）千克，（250.2±）千克，（250.3±）千克的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ） A ．0.8千克B ．0.6千克C ．0.5千克D ．0.4千克【难度】★★【答案】B【解析】根据面粉上的标识，可分别得到面粉产品质量范围为24.9~25.1kg ，24.8~25.2kg ， 24.7~25.3kg ，质量相差最多，则应为25.324.70.6kg -=，故选B ． 【总结】考查“±”符号的应用，表示一定的取值范围．【练习18】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第7次后剩下的小棒长为（ ）米A ．114B ．164C ．1128D ．1256【难度】★★★【答案】C【解析】第一次截去一半，剩余长度为12m ，第二次再截去一半，则剩余长度为212m ⎛⎫⎪⎝⎭，则第7次截得剩余长度为7112128m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C ．【总结】考查找规律计算的应用．【练习19】 若0a ba b+=，则下列结论中成立的是（ ） A ．0ab > B ．0ab = C ．0ab < D ．0a b +<【难度】★★★【答案】C 【解析】对任一非0有理数，必有1x x=±，由0a ba b+=，可知一个为1，一个为1-，即 a 、b 两数一个为正，一个为负，得0ab <，故选C ．【总结】考查根据1xx =±的应用判断未知数的正负．【练习20】 如果abcd < 0，a + b = 0，cd > 0，那么这四个数中负因数的个数至少有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【难度】★★★【答案】D【解析】由0abcd <，可知a 、b 、c 、d 都不为0，由0a b +=，可知a 、b 必为一正一 负，由0cd >，可知c 、d 同号，则负因数应为1个或3个，即至少1个，故选D ． 【总结】考查根据题目条件确定未知数的正负．【练习21】 如果1+表示比赛中赢了1局，那么2-表示___________________． 【难度】★ 【答案】输了2局．【解析】正负号表示相反意义的量，“+”表示赢，则“-”号表示输，即得“2-”表示输 了2局．【总结】考查正负号表示相反意义的量．填空题【练习22】 下列有理数中：2-， 1.0305-，47+，0，3，56-，5.21，0.016-，25.4%中，正数有_______个，负数有______个，正整数有______个，负分数有_____个． 【难度】★【答案】4，4，1，3．【解析】正数分别为47+、3、5.21、25.4%，共4个；负数分别为2-、1.0305-、56-、0.016-，共4个；正整数为3，共1个；负分数分别为 1.0305-、56-、0.016-，共3个．【总结】考查有理数的分类．【练习23】 在数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的数为______． 【难度】★【答案】3±．【解析】根据数轴的定义，距离原点距离为3的点在原点左右两边各有一个，为3±． 【总结】考查数轴上到原点距离为定值的点，一般来说有两个，且这两个数互为相反数．【练习24】 绝对值不小于1但小于4的整数是____________________． 【难度】★【答案】1±，2±，3±．【解析】绝对值不小于1但小于4的整数，则其绝对值为1，2，3，即得相应的整数分别为1±， 2±，3±．【总结】考查数轴上的绝对值相等的点有两个，注意临界值是否能取得．【练习25】 计算：（1）22133⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，（2）11232⎛⎫-÷⨯= ⎪⎝⎭______，（3）321120162016⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______，（4）()4433-+-=______． 【难度】★【答案】（1）1-；（2）112-；（3）12016-；（4）0． 【解析】（1）原式221133=-=-；（2）原式()1133224=-⨯⨯=-； （3）原式12016=-； （4）原式81810=-+=． 【总结】考查有理数的计算，注意计算中一些常见易错点，运算顺序的把握等．【练习26】 2010年，我国的第6次人口普查时，全国总共约13.4亿人，写成科学记数法形式为__________人．【难度】★【答案】91.3410⨯．【解析】根据科学计数法的原则，写作()10110n a a ⨯≤<的形式，913.4 1.3410=⨯亿．【总结】考查有理数的科学计数法．【练习27】 相反数等于它本身的数是______，倒数等于它本身的数是______，平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______． 【难度】★★【答案】略【解析】0，1±，0和1，0和1±． 【总结】考查有理数中的一些满足特殊条件的数字值．【练习28】 观察下列数字的排列规律，然后填入适当的数：3，7-，11，15-，19，23-，______，______． 【难度】★★【答案】27，31-．【解析】观察数字的变化规律，发现后面一个数字的绝对值比前面一个数字的绝对值大4， 同时数字的变化满足一正一负的变化规律，可知后面两个数字分别为27和31-． 【总结】考查找规律问题，注意符号的变化．【练习29】 已知：0a b <-<，比较a 、b 、a -、b -的大小得到：______ > ______ > ______ > ______． 【难度】★★【答案】a -，b ，b -，a【解析】由0a b <-<，可知0b a <-<，即0b a <<-，由此可得a b b a ->>->． 【总结】考查根据绝对值的大小确定相应未知数以及其相反数的大小关系．【练习30】 一个有理数的倒数是327的相反数，则这个数的80%是______．【难度】★★【答案】2885-． 【解析】327的相反数的倒数即这个有理数为717-，这个数的80%即为72880%1785-⨯=-．【总结】考查根据题目条件确定相关有理数的取值解决问题．【练习31】 若3x =，则x =______；若15x-=，则x =______． 【难度】★★【答案】3±，15±．【解析】由3x =，得3x =±；由15x -=，得15x-=±，则15x =±． 【总结】考查根据数字的绝对值确定相应数字的取值．【练习32】 已知2x >，则11x x +--=______． 【难度】★★【答案】2．【解析】由2x >，则有10x +>，10x -<，则()()11112x x x x +--=++-=． 【总结】考查根据题目条件进行去绝对值的化简计算．【练习33】 如果规定运算a b a b *=--，那么()31 1.24⎛⎫*-= ⎪⎝⎭______．【难度】★★【答案】1120-．【解析】根据运算法则，可知()()33111 1.21 1.24420⎛⎫*-=---=- ⎪⎝⎭．【总结】考查新定义计算，根据新定义计算的法则用数值替换字母计算即可．【练习34】 数轴上原点右边4厘米处的点表示的有理数是32，那么数轴上原点左边10厘米处的点表示的有理数是______． 【难度】★★【答案】80-．【解析】距原点4厘米处表示的点是32，则距原点10厘米处表示的数的绝对值即为()1032480⨯÷=，点在原点左边，故为负值，即为80-． 【总结】考查数轴的单位长度处处相等．【练习35】 两滴墨水洒在一个数轴上，如图所示．试根据图中标出的数值，计算墨迹盖住的整数共有______个． 【难度】★★ 【答案】277．【解析】墨迹盖住负数部分所包含的整数从109~12--，盖住的整数个数为()()12109198---+=，墨迹盖住的正数部分包含的整数从11~189，则整数个数为 18911117-+=，即墨迹盖住的整数共98179277+=个．【总结】考查数轴上的某一段距离的整点个数，计头计尾，同时注意数轴上点的大小的变化．【练习36】 已知4x =，5y =，且x y >，则y x -=______． 【难度】★★【答案】9-或1-．【解析】由4x =，5y =，可得4x =±，5y =±，由x y >，得，5y =-，由此则 有9y x -=-或1-．【总结】考查根据题目条件确定相应未知数的值进行解题计算．109.2-11.9-10.3【练习37】 你知道20162除以3的余数是多少吗？我们通过下面的实践来解决这个问题：（1）12032=⨯+，显然12除以3的余数为2； （2）22131=⨯+，显然22除以3的余数为1； （3）32=_______，显然32除以3的余数为_______； （4）42=_______，显然42除以3的余数为_______； ……观察右侧的结果所反映的规律，我们可以猜想出20162除以3的余数是______． 【难度】★★【答案】232⨯+，2，531⨯+，1，1．【解析】由以上过程，可知2的奇数次幂除以3的余数为2，2的偶数次幂除以3的余数为1， 即猜想得到20162除以3的余数是1． 【总结】考查找规律的方法并进行猜想应用．【练习38】 a 、b 、c 三个有理数在数轴上的位置如图所示，则1c a -、1c b -、1a b-中最大的 是______． 【难度】★★★【答案】1a b-． 【解析】根据数轴上点的位置关系，可知c b a <<，则有0c a -<，0c b -<，0a b ->，由此可得10c a <-，10c b <-，10a b >-，由此可知1a b -最大． 【总结】考查根据数轴上点的位置关系确定相应字母的大小关系进行解题应用．【练习39】 ()()242340x y z ++-+-+=，则y z x x +=______． 【难度】★★★【答案】8．【解析】由()()242340x y z ++-+-+=，根据20x +≥，()230y -≥，()440z -+≥， 可得203040x y z +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得234x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有()()34228168y z x x +=-+-=-+=．【总结】考查偶次方和绝对值的非负性．【练习40】 如果51x x -++是一个常数，则这个常数的值为______． 【难度】★★★【答案】6．【解析】分类讨论得：当5x ≤时，原式()51516x x x x =--++=-+++=；当5x >时，原式()5124x x x =-++=-；综上，当5x ≤时，式子值为常数，即得常数值为6． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．【练习41】 将 2.5-，12，2，0，2--，()3--在数轴上表示出来，并用“>”把它们连接起来．【难度】★★【答案】()13202 2.52-->>>>-->-，数轴略． 【解析】22--=-，()33--=，根据数轴的特性，数轴上的数从左往右依次增大，由此 可知()13202 2.52-->>>>-->-． 【总结】考查数轴上点的表示和相应数轴上表示数的大小的变化．【练习42】 数轴上表示数a 的点到原点的距离为5，求5a -的值． 【难度】★★【答案】0或10-．【解析】表示数a 的点到原点的距离为5，可知5a =±，则有50a -=或10-． 【总结】考查数轴上到原点距离相等的点有两个，互为相反数．【练习43】 某班学生上体育课，对男生做俯卧撑测试，以规定时间内做40个为达到标准，问：（1）这10名男生成绩的达标率为多少？ （2）他们共做了多少个俯卧撑？【难度】★★【答案】（1）70%；（2）408个．【解析】（1）达到40个即为达标，用正负表示0页包含在内，即达标的有7人，达标率为 710100%70÷⨯=；（2）共做俯卧撑()()()23103123231040408++-++-++-++++⨯=⎡⎤⎣⎦个． 【总结】考查相应计量标准的应用，注意计算总数量时不要忘记标准值．解答题【练习44】 已知x 、y 是有理数，且()()221210x y -++=，求x + y ．【难度】★★【答案】12或32-． 【解析】由()()221210x y -++=，()210x -≥，()2210y +≥，即得10x -=，210y +=， 解得：1x =±，12y =-，由此得12x y +=或32-．【总结】考查平方的非负性，根据性质即可求得对应字母取值．【练习45】 计算：（1）()()23551110.420.2119.711.73232⎡⎤⎡⎤--+--÷-⨯+⨯⎣⎦⎢⎥⎣⎦； （2）()()()323520.3873410⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-+⨯-÷-+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭；（3）()()2222213923133413⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+---÷-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （4）22223211218538232492255⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-+⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⨯-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）32；（2）56-；（3）9352；（4）252-． 【解析】（1）原式()()()5553111211.719.71281323222=----⨯⨯-=--⨯⨯-=-+=⎡⎤⎣⎦； （2）原式()()()()238422856=-⨯-⨯-+=-⨯=-⎡⎤⎣⎦； （3）原式419947794779329139413133613135252⎛⎫=+-+÷⨯=+⨯=+=⎪⎝⎭； （4）原式()351498882553492436122922525⎛⎫⨯-⨯-+⨯÷+ ⎪⎝⎭===--⨯÷-． 【总结】考查有理数的四则混合运算，注意运算顺序和运算律的运用．【练习46】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，若11m a b b a c c =+------，求1000m 的值．【难度】★★【答案】2000-．【解析】根据数轴上字母顺序，可知01b a c <<<<，则有0a b +<，10b -<，0a c -<， 10c ->，则有()()()()112m a b b a c c =-++-+---=-，得10002000m =-．【总结】考查去绝对值的运算，先根据绝对值中式子与0的大小关系去绝对值再代值计算．【练习47】 若201522016x =，求12345x x x x x x +-+-+-+-+-的值． 【难度】★★【答案】9．【解析】由201522016x =，可得23x <<，则0x >，10x ->，20x ->，30x -<，40x -<，50x -<，则原式()()()()()123459x x x x x x =+-+-------=．【总结】考查去绝对值的运算，先根据绝对值中式子与0的大小关系去绝对值再代值计算．【练习48】 已知三个有理数a 、b 、c 的积为负数，它们的和是正数，当a b c x abc=++时，求2018201620182017x x -+的值． 【难度】★★★【答案】2015．【解析】三个有理数积为负数，则必有三个同为负数或二正一负，又根据三数和为正数，可知必为二正一负，对任一非零数而言，必有1kk =±，本题中即可得()1111x =++-=，则20182016201820172016201820172015x x -+=-+=．【总结】考查根据条件确定数字的正负，结合1kk =±进行计算．【练习49】 化简32x x ++-． 【难度】★★★【答案】略．【解析】本题中未给出x 的具体取值范围，不能确定各绝对值中式子与0的大小关系，由此 需进行分类讨论，按照式子为0的相应x 值作为取值范围的分段： 当3x ≤-时，原式()()323221x x x x x =-+--=---+=--； 当32x -<<时，原式()()32325x x x x =+--=+-+=； 当2x ≥时，原式()()323221x x x x x =++-=++-=+． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．【练习50】 如果31x x -+-是一个常数，求x 的取值范围和这个常数的值． 【难度】★★★【答案】2，13x ≤≤．【解析】本题去绝对值需进行分类讨论，按照式子为0的相应x 值作为取值范围的分段：当1x <时，原式()()313124x x x x x =----=-+-+=-+； 当13x ≤≤时，原式()()31312x x x x =--+-=-++-=； 当3x >时，原式()()313124x x x x x =-+-=-+-=-； 综上，式子值为常数时，即为2，此时取值范围为13x ≤≤． 【总结】考查绝对值的分类去绝对值计算．。
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内容概述
均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最
小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚
举各种可能情形也是必要的．
在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题：
问题一：从A地道B地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有4班，汽车
有3班，轮船有2班。那么从A地道B地共有多少种不同的走法？
问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有3条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙
村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。
加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有
1
m
种不同的方法，第二类
方法中有2m种不同的方法…….第n类方法中有nm种不同的方法。那么，完成这件事共有
12n
Nmmm
种不同的方法。
乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。做第一步有
1
m
种不同的方法，做第二步
有2m种不同的方法……做第n步有nm种不同的方法。那么，完成这件事共有
12n
Nmmm
种不同的方法。
典型问题
2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?
【分析与解】 方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋
糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．
第34讲 最值问题
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则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D
这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．
这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．
方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，
有61616161abcabdacdbcd①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为
a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．
评注：
不能把不等式列为abc60 a+b+d60 a+c+d60 b+c+d60 ①②③④，如果这样将①+②+③+④得到
3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出
现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.
4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，
8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的
最大值．
【分析与解】 为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ
尽可能的小．
则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最
后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．
则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．
所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．
评注：
类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．
6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，
那么所得和数的最小值是多少?
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【分析与解】 我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我
们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．
然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也
不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．
所以，最小值为312．
8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?
【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，
所以lOa+b≡9a(mod a+b)，
设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．
特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的
倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；
所以当除数a+b不为18，即最大为17时，
:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t (t
为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；
：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，
除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t,(t为可取0的自然数)，a是一位数，
显然也不满足；
除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，
所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；
所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．
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10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三
位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?
【分析与解】 考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百
位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6
个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减
数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：
得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：
但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯
定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能
的形式为：
再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：
，所以差最大为784．
12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分
母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望
这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?
【分析与解】 设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非
零自然数)
有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，
我们从m=1,b=1开始试验：
恩施智博教育培训学校 数理化创新教育专家
5
12=16+13=14+14，13=112+14=16+1
6
，
14=120+15=18+18，15=130+16=110+1
10
，
16=15+110=112+1
12
，﹍
我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，
满足题中条件：
15+115=16+1
10
，所以最小的两个偶数和为6+10=16．
14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？
【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最
少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．
但是我们必须验证看是否有实例符合．
当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为
132+4=136，显然不满足：
当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为
2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍
然不满足；
当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为
2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，
12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．
类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，
7，9，11，13，15满足．
所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．