代数第二册第八章第3节分组分解法(二)拆项,配方,换元
分组分解法因式分解
因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
这种分解因式的方法叫做分组分解法。
二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。
解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。
这也是分组中必须遵循的规律之一。
(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。
可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。
解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。
观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。
解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。
解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。
代数第二册第八章第3节分组分解法(二)拆项、配方、换元
课程信息【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法(二)拆项、配方、换元二. 重点、难点拆项、配方、换元是因式分解常用到的技巧，这些技巧在今后的数学学习中还将大量用到。
拆项主要是把系数适当的拆分，再重新分组达到分解的目的。
配方主要用到完全平方公式，找到平方元素是配方的关键。
换元法的本质就是把相同的部分看作一个整体，这个整体有单个字母的作用。
以下是配方常用的公式2 2 2a b = (a b) -2ab2 2(a b) -4ab 二(a -b)(a -b)2 4ab 二(a b)2a(a 1)(a 2)(a 3) 1 = (a2 3a 1)2a2 (a 1)2 a2 (a 1)2 = (a2 a 1)2【典型例题】2［例1］分解因式：(a b -2ab)(a b -2) (1 -ab)分析：此题无公因式可提，也无法运用公式，只有两项也无法分组，但要把每一项乘开则太麻烦，注意到a b，ab把它们看作一个字母，用换元法即可。
解：设= a b，y = ab则原式=(x -2y)(x -2) (1 -y)22 2=x _2xy _2x 4y 1 _2y y=x2 -2xy y2 -2x 2y 1= (x-y)2 -2(x-y) 1= (x-y -1)22=(a b -ab -1)二[(a —ab) 一(1 —b)]2= (a-1)2(b-1)22 2[例2]分解因式：(1 - 2a - a )b a(a - 1)(2b -1)分析：此多项式展开后，项数较多，不易找到分解的方法，可把其中a-1看做一个整式，减少展开后的项数，简化问题。
解:令a _1 =x贝卩1 _2a_a2 =(a_1)2 _2a2 =x2 _2a2•••原式二(x2 -2a2)b ax(2b2 -1)2 2 2=x b - 2a b 2ab x - ax2 2 2=(x b -ax) (2ab x-2a b)=x(xb - a) 2ab(bx - a)=(xb - a)(x - 2ab)= [(a —1)b —a] [a —1)+2ab]=(ab - a -b)(a 2ab -1)说明：换元时可以进行部分换元，分解因式后再还原。
因式分解之分组分解法及添拆项法
分组分解法及添拆项法【知识要点】1．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的，即22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
例 把多项式am+bn+an+bm 分解因式。
解法一：原式=（am+an ）+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)解法二：原式=（am+bm ）+(bn+an)=m(a+b)+n(a+b)= (a+b)(m+n)（4）对于四项式，在分解时并不一定“二二”分组，有的需要“一三”分组， 例如：2221xy x y --+，在分组分解时，前三项为一组，最后一项为一组。
2221xy x y --+=2221(2)1()(1)(1)x xy y x y x y x y --+=--=+--+【典型例题】例1 分解因式（1）22x ax y ay --+ （2）432416x x x -+-（3）22244x xy y a -+- （4）27321a b ab a -+-（5）xy y y x x 2)1()1(-++-（6） )()(2222b a cd d c ab +++例2 分组后能直接运用公式的因式分解。
（1）22194m mn n +-+（2）2242x x y y --+例3 添拆项后再分组。
（1）44a +（2）4224a a b b ++（3）51a a ++ (4)1724+-x x(5)22222+++--+y x y x xy y x (6)22412a ax x x -+++例4 已知7,10x y xy +==,求（1）22x y +（2）44x y +的值。
分组分解法PPT优选课件
2020/10/18
1
7.10、分组分解法
•观察多项式:mx+my+nx+ny
。有没有公因式可提取？
。 多项式有几项能不能直接用公式法 或十字相乘法？
•这个多项式能否进行因式分解？
2020/10/18
2
mx+my+nx+ny =(mx+my)+(nx+ny) =m(x+y)+n(x+y) =(x+y)(m+n)
思考：本例能否按第1，3项，第2， 4项分组来分解呢？
2020/10/18
5
例2 把a²+2ab+b²-c²分解因式。
解：a²+2ab+b²-c² =(a²+2ab+b²)-c²
=(a+b)²-c² =[(a+b)+c][(a+b)-c] =(a+b+c)(a+b-c)
2020/10/18
6
例3、把2x²-5x-ax+3a-3分解因式
练习：1.ax+ay+x+y 2.5m(a+b)-a-b
（答案 (x+y)(a+1)、(a+b)(5m-1)来分解因式的方
法叫做分组分解法。
2020/10/18
4
例1、把x³-x²+x-1分解因式。
解：x³-x²+x-1 =(x³-x²)+(x-1) =x²(x-1)+(x-1) =(x-1)(x²+1)
分组分解法、拆项法、待定系数法因式分解PPT幻灯片课件
因式分解的方法
基本方法
提取公因式 公式法
拓展提高
十字相乘 分组分解 以退为进 换元法、 配方法、拆项法、待定系数法
5
练习：因式分解 （1）x4+x3+x2+2 （2）2a2-7ab-22b2-5a+35b-3 （3）x2+xy-2y2+2x+7x-3
6
x2 7x 6
你能用以上某种方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-x2-x-2 （2）4X4+8X3-X2-8X-3
3
请问：还记得用什么方法做这道题吗?
若代数式6x2+mx-6能被3x-2整除， 试确定m的值。
你能用上述方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-3x-2 （2）x2+2xy+y2+x+y-2 （3）3x²＋5xy－2y²＋x＋9y－4
因式分解1Fra bibliotek请问：用什么方法把下列式子因式分解? （1） 7x2 3y xy 21x
（2） 4x2 a2 6a 9
你能用类似方法把下列式子因式分解吗?
（1）(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc
（2）a3-(b2+bc+c2)a+bc(b+c)
2
请问：能用几种方法把下列式子因式分解?
分组分解法2PPT课件
2.已知x－2y=－2b=－4098，
2020年10月2求日 2bx2－8bxy+8by2－8b的值. 12
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
2020年10月2日
11
1.把下列各式分解因式：
(1)x3y－xy3；
(2)a4b－ab4；
(3)4x2－y2+2x－y； (4)a4+a3+a+1；
(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；
(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；
(7)x2+x－(y2+y)；
(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).
2020(年610月)2日25x2-4a2+12ab-9b2.
5
分解因式: (1)a2+2ab+b2-ac-bc; (2)4a2+4a-4a2b+b+1; (3)a4b+2a3b2-a2b-2ab2.
2020年10月2日
6
例2 把a4b+2a3b2－a2－2ab2分解因式. 解 ： 原式=
=
=
=
(1)a2+2ab+b2－ac－bc；
(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；
(3)4a2+4a－4a2b+b+1；
完整版)因式分解的常用方法及练习题
完整版)因式分解的常用方法及练习题因式分解是初等数学中常用的代数式恒等变形方法之一，它在解决数学问题时发挥着重要作用。
因式分解方法灵活多样，技巧性强，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能和思维能力也有独特的作用。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
本文将在此基础上进一步介绍因式分解的方法、技巧和应用。
一、提取公因式法：将多项式中的公因式提取出来，使其成为一个因式乘以一个多项式。
例如，ma+mb+mc可以提取公因式m得到m(a+b+c)。
二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，反向使用这些公式可以得到因式分解中常用的公式，例如平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式和完全立方公式等。
还有两个常用的公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2和a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)。
三、分组分解法：将多项式按照一定规律分成若干组，然后分别进行因式分解。
分组后能直接提取公因式的例子有am+an+bm+bn，可以将前两项分为一组，后两项分为一组，然后分别提取公因式得到(m+n)(a+b)。
分组后能直接运用公式的例子有2ax-10ay+5by-bx，可以将第一、二项为一组，第三、四项为一组，然后运用平方差公式得到(2a-b)(x-5y)。
因式分解方法的灵活性和技巧性需要通过大量的练才能掌握，只有掌握了这些方法和技巧，才能在解决数学问题时游刃有余。
例3、分解因式：x^2-y^2+ax+ay分析：将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，不能直接提公因式，需要另外分组。
改写：将x^2和ax分为一组，将-y^2和ay分为一组。
不能直接提公因式，需要另外分组。
例4、分解因式：a^2-2ab+b^2-c^2解：原式可以化为(a-b)^2-c^2，再用差平方公式得到(a-b+c)(a-b-c)。
代数第二册第八章第3节分组分解法(一)
【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法（一）二. 重点、难点：分组分解是一种很重要的方法，当提公因式法与运用公式法不能直接起作用时，要想到利用分组分解法，另外拆项，添项也可以看作是分组分解的拓展，分组分解在于恰当的分组，一般说来分组的方法不是唯一的。
【典型例题】[例1] 分解因式23323+++a a a分析：这是四项所以不能用公式，注意到3a 所以它可以用立方公式或者观察系数1，3，3，2适当的拆分即可。
解法一：原式33231)1(1)133(++=++++=a a a a ]1)1()1)[(11(2++-+++=a a a )1)(2(2+++=a a a解法二：原式)2()2()2(223+++++=a a a a a)1)(2()2()2()2(22+++=+++++=a a a a a a a a 解法三：原式)222()(223+++++=a a a a a )1(2)1(22+++++=a a a a a )2)(1(2+++=a a a 解法四：原式)333()1(23+++-=a a a )1(3)1)(1(22+++++-=a a a a a)1)(2()31)(1(22+++=+-++=a a a a a a说明：分组方法不唯一，此题解法一、四是将常2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解。
[例2] 分解因式（1）xy y y x x 2)1()1(-++- （2）)()(2222b a cd d c ab +++ （3）3232)1(x x x x -+++分析：显然上面几个式子均无公因式可提取，又无乘法分式可用，可考虑先将式子乘开，再重新分组。
解：（1）原式)()2(22222y x y xy x xy y y x x --+-=-++-= )1)(()()(2---=---=y x y x y x y x（2）原式)()(22222222cd b abd cd a abc cdb cda abd abc +++=+++= ))(()()(bc ad bd ac bc ad bd ad bc ac ++=+++= （3）原式362322)1(2)1(x x x x x x x -++++++= )1()1(2)1(332322-++++++=x x x x x x x)1)(1()1(2)1(232322++-++++++=x x x x x x x x x )]1(2)1)[(1(3322-++++++=x x x x x x x )1)(1(4322x x x x x x ++++++=说明：在上节课我们讲了两个拓展式)1)(1(123++-=-x x x x ，)1(13+=+x x)1(2+-x x 其中12++x x ，12+-x x 要同学们特别记住，很多情况下看到12++x x 与12+-x x 都要想到13-x 与13+x ，很多的拆项也是拆成12++x x 与12+-x x 的形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【本讲教育信息】一. 教学内容：分组分解法（二）拆项、配方、换元二. 重点、难点拆项、配方、换元是因式分解常用到的技巧，这些技巧在今后的数学学习中还将大量用到。
拆项主要是把系数适当的拆分，再重新分组达到分解的目的。
配方主要用到完全平方公式，找到平方元素是配方的关键。
换元法的本质就是把相同的部分看作一个整体，这个整体有单个字母的作用。
以下是配方常用的公式ab b a b a 2)(222-+=+ 22)(4)(b a ab b a -=-+ 22)(4)(b a ab b a +=+- 22)13(1)3)(2)(1(++=++++a a a a a a 222222)1()1()1(++=++++a a a a a a【典型例题】[例1] 分解因式：2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+分析：此题无公因式可提，也无法运用公式，只有两项也无法分组，但要把每一项乘开则太麻烦，注意到b a +，ab 把它们看作一个字母，用换元法即可。
解：设b a x +=，ab y = 则原式2)1()2)(2(y x y x -+--= 2221422y y y x xy x +-++--= 122222++-+-=y x y xy x1)(2)(2+---=y x y x2)1(--=y x 2)1(--+=ab b a 2)]1()[(b ab a ---= 22)1()1(--=b a[例2] 分解因式：)12)(1()21(22--+--b a a b a a分析：此多项式展开后，项数较多，不易找到分解的方法，可把其中1-a 看做一个整式，减少展开后的项数，简化问题。
解：令x a =-1则2222222)1(21a x a a a a -=--=--∴ 原式)12()2(222-+-=b ax b a xax x ab b a b x -+-=22222)22()(222b a x ab ax b x -+-=)(2)(a bx ab a xb x -+-= )2)((ab x a xb +-=]2)1][()1[(ab a a b a +---=)12)((-+--=ab a b a ab说明：换元时可以进行部分换元，分解因式后再还原。
[例3] 分解因式（1）1232234++++x x x x ；（2）20001999200024+++x x x解：（1）原式)1()()(223234++++++++=x x x x x x x x)1()1()1(2222++++++++=x x x x x x x x)1)(1(22++++=x x x x 22)1(++=x x（2）原式200020002000223234+++---++=x x x x x x x x)1(2000)1()1(2222+++++-++=x x x x x x x x)2000)(1(22+-++=x x x x说明：对于高次多项式12++x x 是经常出现的因式[例4] 分解因式：)()()(b a ab a c ca c b bc +--++分析：因为)()(b a c b a c +-+=-，所以可先将)(a c ca -进行拆项，然后再进行分组分解。
解：原式)()]()[()(b a ab b a c b ca c b bc +-+-+++= )()()()(b a ab b a ca c b ca c b bc +-+-+++= ))(())((b c b a a b a c b c ++-++= ))()((a c c b b a -++=[例5] 分解因式))((4)(2222222y z z x y x +--+分析：若直接乘开非常复杂，观察到222222)()(y x y z z x +=++-∴ 设a z x =-22 b y z =+22利用22)(4)(b a ab b a -=-+解：设a z x =-22 b y z =+22则222222y x y z z x b a +=++-=+ 原式ab b a 4)(2-+=2)(b a -=22222)(y z z x ---=2222)2(z y x --=[例6] 分解因式24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+分析：观察多项式，其首、末两项是完全平方式，可考虑对其进行配方。
解：原式2422)1()1()1(2)1(y x y x y y -+-+++=)1(2)1()1(2222y x y x y +--+- )]1()1[(2)]1()1[(22222y y x y x y ++---++=2222)2()1(x y y x x -++-=)21)(21(2222x y y x x x y y x x -++-+++-=)]1()12)][(1()12[(2222--+---++=x y x x x y x x)]1)(1()1)][(1)(1()1[(22-+---+-+=x x y x x x y x)1)(1)(1)(1(y xy x x y xy x x ----+-++= [例7] 分解因式（1）674+-x x ；（2）202811323+++x x x解：（1）原式6622334+--+-+-=x x x x x x x)1(6)1()1()1(23---+-+-=x x x x x x x)6)(1(23-++-=x x x x（2）原式20208833223+++++=x x x x x)1(20)1(8)1(32+++++=x x x x x)2083)(1(2+++=x x x说明：若一个多项式各项系数之和为0，则一定有1-x 这个因式，若一个多项式奇次系数之和与偶次系数之和相等一定有1+x 这个因式。
[例8] 分解64)3())(3(2++++-+y x y x y x解：原式64)](9)[(22++-+=y x y x64)(9)(24++-+=y x y x224)(2564)(16)(y x y x y x +-++++= 222)(25]8)[(y x y x +-++=)8552)(8552(2222+--+++++++=y x y xy x y x y xy x[例9] 分解因式2222)1(8)1(x x x x +-++分析：观察题目，前两项都是平方元素，但配方后却做不下去，联想前面的配方公式222222)1()1()1(++=++++a a a a a a 拆最后一项去做。
解：原式22222)1(9)1()1(+-++++=x x x x x 222)1(9)1(+-++=x x x )22)(44(22--++=x x x x)22()2(22--+=x x x[例10] 已知实数x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，求z y x 32++分析：原题中只有两个方程，按常规无法求出x 、y 、z 用消元法代入较复杂的式子中变形求解。
解：由5=+y x 得y x -=5 则9)5(2-+-=y y y z9522-+-=y y y z 09622=+-+y y z 0)3(22=-+y z∴ 0=z 03=-y 3=y∴ 5=x 235=-=y ∴ 80332232=⨯+⨯+=++z y x【模拟试题】（答题时间：80分钟）一. 判断题1. )3)(2(652--=--x x x x （ ）2. )1)(8(872+-=-+x x x x （ ）3. ))(2()2()2(y x x x y x x +-=---（ ）4. )4)(2(8222y x y x y xy x +-=-+（ ）5. )4)(5(21)1(2-+=--+x x x x （ ）6. )2)(6(12423-+-=+--a a a a a a （ ）7. )31)(21(61652--=+-x x x x （ ） 8. 2323b b a a -++因式分解可分组为)()(2233b a b a -++（ ）9. ac b a a c b a -+-++)()(2有因式c a +（ ）10. )1)(2)(1(6)4)(1(222-+-+=+-+++x x x x x x x x （ ）二. 填空题1. x x 253-，1253+x ，xy y x y x 2023-+的公因式是2. 分解因式=-+-y x y x 364223. 分解因式=-+6072x x4. +-x x 32=)2(+x （ ）5.=+-2209.054.010081n mn m 6. ++444y x － )22)(22(2222xy y x xy y x -+++=7. =++22107y xy x8. =+-4216171y y9. )4)(3(12722y kx y x y xy kx --=+-，则=k10. ))(1(6116223b ax x x x x x ++-=-+-，则=a三. 选择题1. 下面四个因式分解题：（1）)1)(6(652+-=+-x x x x ；（2）)7)(4(281122y x y x y x x --=+-；（3）22)21(4144+=++x x x ；（4）)1)(()()(3+--=---y x y x x y y x )1(--y x ，其中分解正确的题数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 多项式ab bx ax x +--2可分解为（ ）A. ))((b x a x -+B. ))((b x a x +-C. ))((b x a x --D. ))((b x a x ++ 3. 多项式822222--++-y x y xy x 可分解为（ ）A. )2)(4(+---y x y xB. )8)(1(----y x y xC. )2)(4(--+-y x y xD. )8)(1(--+-y x y x 4. 分解的结果等于)4)(24(-+x x 的多项式是（ ） A. 96502++x x B. 96202+-x xC. 96202-+x x D. 96102--x x5. 与多项式452+-x x 有一个相同因式的多项式是（ ）A. 652++x x B. 652-+x x C. 652+-x x D. 652--x x6. 如果62++mx x 能分解为系数是整数的两个一次因式的积，则整数m 可取的值为（ ）_A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个 7. 32312-+a a 分解因式得（ ） A. )31)(32(-+a a B. )31)(32(+-a aC. )13)(3231(+-a a D. )23)(313(-+a a8. 若)()())((2y x y x xy y x y x +=+--+M ⋅，且0≠+y x ，则M 是（ ）A. 22y x + B. 22y xy x +- C. 223y xy x +- D. 22y xy x ++四. 将下列各式因式分解 1. b a b a 36422-+-2. 123+--x x x3. 822--t t4. a a a 12423+--5. 1222---b b a6. 22128n mn m ++ 7. )1(4)(2-+-+y x y x8. 81264422++-+-y x y xy x9. xyz z y yz z y x +++++)()(210. xy y x y x y x 44816222244+---+五. 分解因式1. 1)4)(3)(2)(1(+----x x x x2. 323-++x x x3. 1442424++x x4. 422429y y x x ++六. 解答题1. 已知by ay bx ax 22-+-的值为12，b a 2-的值为4，求y x +的值。