等比数列证明方法
第4节 等比数列通项公式
第二章
数列
第四节 等比数列通项公式
必备新知：
1.等比数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于
同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常
用字母 q 表示(q≠0)．
典例分析：
例 1：已知数列{an}是首项为 2，公差为﹣1 的等差数列．令 bn=（ ）
∴
，解得
或
，
∴a4= =16．
故选：B． 解法二：∵等比数列{an}满足 a2=4，a6=64， ∴a42=a2a6=4×64=256， ∵偶数项的符号相同，∴a4=16． 故选：B．
练习：等比数列{an}的各项均为正数，且 a1+2a2=4，a42=4a3a7，则 a5=（ ） A． B． C．20 D．40
则 a13a14a15=q36•a1a2a3=24×3=48， 故选：A．
例 6：设数列{an}是单调递增的等差数列，a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
则 a2017=（
）
A．1008 B．1010 C．2016 D．2017
解：∵数列{an}是单调递增的等差数列，
a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
∴
，
（2+2d）2=（2﹣1）（2+4d+5）， 解得 d=﹣ （舍）或 d= ，
∴a2017=2+2016×（ ）=1010． 故选：B．
练习：已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，
A．
B．
C．
D．a3，
成等差数列，
∴
，则
，
化简得，q2﹣q﹣1=0，解得 q=
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na in⑵当q 1时，5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项：a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式：a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * ， q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0，首项：a 1;公比：q推广：a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义：对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）{a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 17、等比数列的性质：(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。
(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。
特别的，当m n 2k 时，得2a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。
4.3.1等比数列的判定及性质
102.6
5
107.2
12
100.6
6
107.2
13
98.1
7
106.9
14
95.0
观察发现，数列{ }先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 ≥ 时，
{ }递减，且 < 即可.
新知探究
由 + +
=
.+ ×[−(+)]
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
教学目标
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算；
3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数
学运算素养
01
复习导入
复习回顾
1.等比数列的定义是什么？
. ×(−)
< ，
得 > .
所以，当 ≥ 时，{ }递减.
又 ≈ < ，所以，当 ≤ ≤ 时， ≤ < .
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
新知探究
方法总结
1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.
（2）如果数列{ }是各项均为正的等比数列，那么数列{ }是等差数列.
04
等比数列的实际应用
新知探究
例1.用 10000元购买某个理财产品一年.
l
(1)若以月利率. %的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息
高中高考专题之数列的方法技巧及应用
1． 等差数列的证明方法：（1）.定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）.等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2．等比数列的证明方法： （1）.定义法：1n na q a +=(常数) （2）.等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥例1.设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛nS n｝的前n 项和，求T n ．解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则S n =na 1＋21n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧=+=+,7510515,721711d a d a 即⎩⎨⎧=+=+,57,1311d a d a解得a 1＝－2，d ＝1．∴n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21（n －1）．∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列｛n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为21，∴T n ＝41n 2－49n ． 例2．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －（2t +3）S n －1=3t （t >0，n =2，3，4，…） 求证：数列{a n }是等比数列； 解：（1）由a 1=S 1=1，S 2=1+a 2，得a 2=tta a t t 323,32312+=+ 又3tS n －（2t +3）S n －1=3t ① 3tS n －1－（2t +3）S n －2=3t ② ①－②得3ta n －（2t +3）a n －1=0 ∴tt a a n n 3321+=-，（n =2，3，…）所以{a n }是一个首项为1，公比为tt 332+的等比数列. 练习：(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 答案.(2) 213nn T -=,2131nn a -=-; 二．通项的求法（1）.利用等差等比的通项公式 (2).累加法：1()n n a a f n +-= 例3．已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
等比数列的概念与通项公式
教学课题 课型
2012 教师备课纸
[课题] 2.3.1等比数列的概念与通项公式 [知识摘记]
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
-n n a a =q （q ≠0）
2．等比数列的通项公式 ① 111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠②1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠ 3．证明数列{}n a 为等比数列： ①定义：证明
1n n
a a +=常数； ②中项性质：2
121
21
n n n n n n
n a a a a a a a +++++==
或；
[例题解析]
例1判断下列数列是否为等比数列： （1）1,1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）11111,,,,24816
--.
例2．求出下列等比数列中的未知项： （1）2,,8a ； （2）14,,,2
b c -．
例3在等比数列{a n }中，
(1)已知13,2a q ==-，求6a ；（2）已知3620,160a a ==，求n a ．
【例4】在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．。
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学1. 引言1.1 等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。
换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。
1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。
数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。
等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。
在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。
通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。
1.2 等比数列的性质等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。
我们来看等比数列的负项。
如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。
这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。
等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。
等比数列的任意项也具有一定的性质。
假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。
这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。
等比数列的等比中项也有着特殊的性质。
等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。
这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。
等比数列的性质包括每一项与其负项构成等比数列、任意项的计算公式以及等比中项的特殊性质。
等比数列的有关概念公式与性质
等比数列的有关概念公式与性质一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足1(n na q q a +=为常数），则数列{}n a 叫做等比数列 （2）等比数列的证明方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中 0,0nq a ≠≠ 或 11n n n n a a a a +-= (2)n ≥。
（3）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 由此得非零实数,,a A b 成等比数列⇔ab A =22.等比数列主要公式（1）等比数列的通项公式：1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；（2）两项之间的关系式：mn m n q a a -= （3）前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩3.等比数列的性质： （1）当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地当2m n p +=时，则有2.p n m a a a =(2)若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列，公比n q Q=；当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4)当1q≠时，b aq qa q qa S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征. (5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.1212321--=⋅⋅⋅n n n a a a a a(6)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。