整式基本概念(含答案)
整式的基本概念与运算
括号前面是加 号或乘号时， 去掉括号，括 号内的各项不
变
括号前面是减 号时，去掉括 号，括号内各
项都变号
括号前面是除 号时，去掉括 号，把括号内 各项乘以除数
的倒数
括号在乘方运 算中，先进行 乘方运算，再
去括号
确定未知数： 明确需要解 决的问题， 并确定未知 数。
列出方程： 根据问题描 述，列出整 式方程。
XX,a click to unlimited possibilities
01 整 式 的 定 义 与 分 类 02 整 式 的 加 减 运 算 03 整 式 的 乘 法 运 算 04 整 式 的 除 法 运 算 05 整 式 的 幂 运 算 06 整 式 的 混 合 运 算
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等运算符号和括号组成的代数式
除法运算的注意事项：注意结果的符号，以及余数的次数不能高于除数的次数
除法运算的应用：在代数、几何等领域有广泛的应用
幂的定义：一个数的n次方表示该数与自身相乘n次 幂的性质：a的0次方等于1，a的负数次方等于a的倒数的正数次方，幂的乘法满足结合律和分配律
幂的乘法：同底 数幂相乘时，指 数相加
幂的除法：同底 数幂相除时，指 数相减
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举例：2x^3y与3xy^2相乘得到 6x^4y^3。
运算性质：单项式乘以单项式的 运算是整式运算中的基本运算之 一，掌握其运算法则对于后续学 习多项式乘法、除法等具有重要 意义。
定义：将单项式中 的每一个字母因数 与多项式中的每一 项相乘，得到新的 多项式
举例：如(a+b+c) 乘以x得到 ax+bx+cx
注意事项：注意 符号的运算，负 负得正
7.整式的概念
整式的概念知识总结归纳一. 提出问题：有了用字母表示数之后，就出现了形形色色的代数式。
为了便于研究，我们往往把代数式分成类，然后归类去讨论它的特征和运算。
二. 梳理知识：1. 单项式：因为它分母中含有字母，所以也就不是整式，故判断单项式的方法主要从两个角度出发，一是看运算中是否只含乘除法运算；二是看分母中含不含字母。
特别要注意的是，单独的一个数或一个字母也是单项式。
如－8，a，y也都是单项式。
在单项式中，有两个重要概念：（1）系数：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数。
12单项式ab的系数是1，但省略不写，单项式－xy3的系数是－1，只保留一个“－”号，1字省略不写（2）次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如232，y的指数是3，所以5x2y3的次数就是5，同样48单项式ab的次数是2学习单项式应注意的几点：单项式是初一代数中一个重要的基本概念，同学们在学习这一概念时，应注意以下几点。
1.式。
特别要强调的是：单独的一个数或一个字母也是单项式，如m，x，－2，0等都是单项式。
2.1或－1时，1通常省略不写。
如：mn2，－x3y4的系数分别是1与－1，而不是没有系数。
有的单项式含有多个字母，有时为了需要，往往把其中一个或几个字母作为主要字母，这时单项式中的数字因数和其它字母因数都被称为这个单项式的系数。
例如：单项式3mx2y，一般情况下，其系数是3，若以x2y为主要字母，则系数就是3m；若以y为主要字母，则其系数就是3mx2。
4b3c2的字母a，b，c的指数的和是4＋3＋2＝94b3c2是一个九次单项式。
单独一个非零的数，例如：3，－7都叫做零次单项式。
因数零与任何一个或几个字母的乘积还是零，所以可以把零看作与任何一个或几个字母的乘积，故零也可以看成是次数不能确定的单项式。
4. 2b3c，对于字母a，b，c来讲是六次单项式；对于字母a来讲是二次单项式；对于字母b来讲是三次单项式；对于字母c来讲是一次单项式。
七年级整式知识点总结归纳
七年级整式知识点总结归纳整式是代数学中非常重要的一种形式，是由一些常数和变量以及运算符号组成的多项式。
它是整体式子的表示，可以表示出一些非常重要的代数关系，是许多数学问题的关键。
在七年级的数学知识点中，整式的概念和应用非常重要，下面将对七年级整式进行总结归纳。
一、整式的基本概念整式是由常数、变量及其系数，以及加、减、乘、幂运算组成的多项式。
它有以下几个基本要素：1. 项：整式中加、减的单元就是项，由变量及其次数和常数乘积组成。
2. 单项式：只含有一个项的整式，也就是kx^n这样的式子，其中k是常数，x是变量，n是整数。
3. 多项式：由若干个单项式相加或相减得到的式子，也就是整数加减的组合。
4. 次数：整式中所有单项式中次数最高的那个就是整式的次数，只有多项式才有次数。
二、整式的基本性质整式有以下几个基本性质：1. 加法交换律和结合律：整式加法满足交换律和结合律，也就是说，不管多项式中各项的顺序如何，整式的值都一样。
2. 乘法交换律和结合律：整式乘法满足交换律和结合律，也就是说，不管整式中各项的顺序如何，整式的值都一样。
3. 同类项的加减：同类项指的是变量相同且次数相同的单项式，可以通过合并同类项来简化整式。
4. 因式分解：整式可以通过因式分解来化简，使得整式的阶数降低，计算更加简便。
三、整式的应用整式在数学中有很多重要应用，如下：1. 代数方程的解：代数方程可以通过变形将其变为整式形式，从而求解。
2. 几何问题的解：整式可以表示几何实体的属性，如面积、体积等，从而解决几何问题。
3. 理论分析：整式可以表示出很多复杂的代数关系，对理论的分析和研究提供了基础。
四、整式的乘法公式整式的乘法也有一些非常实用的公式，如下：1. (a+b)^2=a^2+2ab+b^22. (a-b)^2=a^2-2ab+b^23. (a+b)(a-b)=a^2-b^24. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^35. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^36. a^2-b^2=(a+b)(a-b)以上这些公式，在解决代数问题的时候会非常有用。
七年级数学整式的除法
关键知识点总结
除法运算步骤 将被除式与除式按降幂排列。
用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
关键知识点总结
将商式的第一项与除式相乘， 得到积式。
用被除式减去积式，得到差式 。
将差式作为新的被除式，重复 以上步骤，直到差式为0或次 数低于除式。
关键知识点总结
注意事项 在除法运算中，要保证每一步的运算都是准确的。
整式的除法与因式分解有着密切的联系。在 整式的除法中，如果被除式可以分解为两个 因式的乘积，那么可以通过因式分解的方法 简化运算过程。同时，因式分解也可以看作 是整式的除法的一种特殊情况，即被除式为 0的情况。因此，掌握因式分解的方法对于
理解和应用整式的除法具有重要意义。
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练习题与答案
$a$ 的指数部分
$a^4 div a^2 = a^{(4-2)} = a^2$
$b$ 的指数部分
$b^3 div b = b^{(3-1)} = b^2$
练习题与答案
02
01
03
$c$ 保持不变 因此，$(15a^4b^3c) div (5a^2b) = 3a^2b^2c$ 练习题2：计算 $(18x^5y^6z^3) div (9x^3y^3z)$
整式除法可用于解决经济问题中的利 润率、折扣率、税率等问题。
工程问题
在工程问题中，利用整式除法可以计 算工作效率、工作时间、工作总量等 问题。
05
整式除法运算技巧与注意事项
简化计算过程技巧
01
02
03
利用乘法分配律
将除法转化为乘法，简化 计算过程。
提取公因式
在整式除法中，可以提取 被除数和除数的公因式， 使计算更简便。
整式基本概念(含答案)
一、【原章基原观念】★☆▲之阳早格格创做1、单项式战多项式统称整式.①单项式：由数取字母的积或者字母取字母的积所组成的代数式称为单项式.单独一个数或者一个字母也是单项式，如a ，5.·单项式的系数：单式项里的数字果数喊搞单项式的系数.·单项式的次数：单项式中所有字母的指数的战喊搞单项式的次数.②多项式:几个单项式的战喊搞多项式.其中，每个单项式喊搞多项式的项，没有含字母的项喊搞常数项.·多项式的次数：多项式里次数最下项的次数，喊搞多项式的次数.·多项式的命名：一个多项式含有几项，便喊几项式.所以咱们便根据多项式的项数战次数去命名一个多项式.如：3n4－2n2＋1是一个四次三项式.2、共类项——必须共时具备的二个条件（缺一没有成）：①所含的字母相共；②相共字母的指数也相共.·合并共类项，便是把多项式中的共类项合并成一项. 要领：把共类项的系数相加，而字母战字母的指数没有变.3、去括号规则规则1.括号前里是“+”号,把括号战它前里的“+”号去掉,括号里各项皆没有变标记；规则2.括号前里是“－”号,把括号战它前里的“－”号去掉,括号里各项皆变标记.▲去括号规则的依据本质是乘法调配律.〖注意1〗要注意括号前里的标记,它是去括号后括号内各项是可变号的依据.〖注意2〗去括号时应将括号前的标记连共括号所有去掉.〖注意3〗括号前里是“－”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变标记,没有克没有及只改变括号内第一项或者前几项的标记,而记记改变其余的标记.若括号前是数字果数时,可使用乘法调配律先将数取括号内的各项分别相乘再去括号,免得爆收过失.〖注意4〗逢到多层括号普遍由里到中,逐层去括号,也可由中到里.数“－”的个数.4、整式的加减整式的加减的历程便是去括号战合并共类项.如逢到括号，则先去括号，再合并共类项，合并到最简式为止.5、原单元需要注意的几个问题①整式（既单项式战多项式）中，分母一律没有克没有及含有字母.②π没有是字母，而是一个数字，③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起去，才搞举止估计.④去括号时，要特地注意括号前里的果数.。
数学整式的概念
数学整式的概念全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学整式是代数学中的一种基本概念，是由数字、变量和运算符组成的代数表达式。
整式是由一项或多项代数式通过加法和减法运算得到的。
整式在代数中有着非常重要的作用，它能够描述和求解各种与未知数有关的问题，解决代数方程和不等式，推导出各种数学公式和定理等。
整式也是数学中许多其他概念的基础，如多项式、多项式函数、二次函数等等。
整式可以分为一元整式和多元整式两种。
一元整式是指只含有一个变量的整式，如3x² - 2x + 5；多元整式是指含有两个或两个以上变量的整式，如3x²y + 2xy + 5。
整式的计算可以通过多种方法进行，如合并同类项、分解、因式分解等。
整式的运算规则和性质也有很多，如整式的加法和减法可以使用分配律，整式的乘法可以使用交换律、结合律和分配律等。
在实际生活和科学研究中，整式也有着广泛的应用。
比如在物理学中，运动学方程中使用的时间、速度、加速度等参数通常用整式来表示；在经济学中，成本、收益、利润等经济指标也可以用整式来描述；在工程技术中，电路分析、结构设计、信号处理等问题也常常用整式来建模和求解。
数学整式是代数学中的基本概念，它是由数字、变量和运算符组成的代数表达式，可以描述和求解各种与未知数有关的问题，是代数学研究的基础和核心内容之一。
整式的研究不仅有助于提高学生的数学素养和逻辑思维能力，也对推动数学领域的发展和实际应用具有重要意义。
第二篇示例：数学整式是数学中一种基本的代数表达式形式，通常由数字、变量、运算符号和幂指数的组合构成。
整式是数的各种形式的代数和。
整式中的变量可以是任意事先给定的数。
整式是代数式的一种，代数式是有字母的数学表达式，即用字母表示变量，用数表示常数。
整式是一种数学概念，广泛应用于数学的各个领域。
在代数学中，整式是代数式的简化形式，整式中包含了代数运算的各种规则，是数学计算和推理的基础。
通过学习整式的概念和性质，可以更深入地理解数学表达式的结构和计算方法，为解决数学问题提供了重要的思维工具。
第二讲_整式
3 针对训练 2 1: 计算( 2x) ÷ x的结果正确的是(
)
( A) 8x2 ( B) 6x2 ( C) 8x3 ( D) 6x3 解析: 原式= 8x3÷ x= 8x2, 故选 A. 针对训练 2 2: ( 2011 年成都)下列计算正确的是( ( A) x+x=x2 ( B) x· x= 2x
• 例1，下列各式子中，是单项式的有___①、 ②、④、⑦ • ___________（填序号
多项式的项数与次数
• • • （1）多项式的次数不是所有项的次数的和，而是它的最高次项次数； （2）多项式的每一项都包含它前面的符号； （3）再强调一次， “π”当作数字，而不是字母
• （4）一个多项式的次数最高项的次数是几，就说这个多项式是几次多 项式。 • （5）.在多项式中，每个单项式都是这个多项式的项，每一项都有系 数，但对整个多项式来说，没有系数的概念，只有次数的概念。
• 【例1】若单项式-5x3ym的次数是9，求m 的值. • 【思路点拨】根据单项式次数的定义得到 关于m的一元一次方程，解方程得m的值. • 【自主解答】根据题意，得m+3=9, • 解得m=6.
• 3.(2010· 肇庆中考)观察下列单项式：a,2a2,4a3,-8a4, • 16a5,…按此规律第n个单项式是_____.(n 是正整数) • 【解析】由题意知第n项的系数为(1)n+12n-1, • 第n项a的次数为n, • 所以第n个单项式是(-1)n+12n-1an. • 答案：(-1)n+12n-1an
同类项
1，同类项的判定与合并同类项的法则： 例1 判断下列各式是否是同类项？
(1)2a b 与2 x y
2 3
2 3
第3讲 整 式
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2.检查一个多项式分解是否彻底时，要注意以下几个方面：（1）每 一个多项式都不能再分解；（2）重因式的乘积写成幂的形式；（3）不能
含有多重括号.
另外，注意书写最后结果时，单项式要写在多项式的前面.可以用整 式乘法来检验因式分解的结果是否正确.
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B．(－2a)2＝－2a2
D．－2(a－1)＝－2a－1
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(3)题均从四个方面考查整式的运算，解答此题需要逐项检验． 【解答】(1)B (2)C (3)A
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【点拨】(1)题考查幂的四种运算，正确掌握运算法则是关键；(2)、
(1)(2010·红河自治州)如果3x2n－1ym与－5xmy3是同类项，则m和
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考查平方差公式和完全平方公式的特征．
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【点拨】(1)、(4)、(5)考查分解因式的一般步骤及检验；(2)、(3)
【解答】(1)D (2)C (3)D (4)2(2a＋1)(2a－1) (5)－3(x－y)2 方法总结 1.当多项式是二项式，且该二项式又可看作某两项平方的差时，可用
n的取值是(
)
A．3和－2
C．3和2
B．－3和2
D．－3和－2
(2)(2011·北京)已知a2＋2ab＋b2＝0，求代数式a(a＋4b)－(a＋ 2b)(a－2b)的值．
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【点拨】(1)题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意 2n－1＝m， m＝3， 得 解得 m＝3， n＝2. (2)①括号前是负号，去括号时要注意改变符号．如－(a －4b )应 2 2 2 2 等于－a ＋4b ，不能化成－a －4b . ②利用整体代入求值的方法求代数式的值，体现了整体思想．
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一、【本章基本概念】★☆▲
1、单项式和多项式统称整式。
①单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式称为单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。
·单项式的系数：单式项里的数字因数叫做单项式的系数。
·单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
②多项式:几个单项式的和叫做多项式。
其中，每个单项式叫做多
项式的项，不含字母的项叫做常数项。
·多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做多项式的次数。
·多项式的命名：一个多项式含有几项，就叫几项式。
所以我们就根据多项式的项数和次数来命名一个多项式。
如：3n4－2n2＋1是一个四次三项式。
2、同类项——必须同时具备的两个条件（缺一不可）：
①所含的字母相同；
②相同字母的指数也相同。
·合并同类项，就是把多项式中的同类项合并成一项。
方法：把同类项的系数相加，而字母和字母的指数不变。
3、去括号法则
法则1.括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去
掉,
括号里各项都 不变 符号；
法则2.括号前面是“－”号,把括号和它前面的“－”号
去掉,
括号里各项都 变 符号。
▲去括号法则的依据实际是 乘法分配律 。
〖注意1〗要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
〖注意2〗去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
〖注意3〗括号前面是“－”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号. 若括号前是数字因数时,可运用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号,以免发生错误.
〖注意4〗遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数“－”的个数.
4、整式的加减
整式的加减的过程就是 去括号和合并同类项 。
如遇到括号，则先 去括号 ，再 合并同类项 ，合并到 最简式 为止。
5、本单元需要注意的几个问题
①整式（既单项式和多项式）中，分母一律不能含有字母。
②π不是字母，而是一个数字，
③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
④去括号时，要特别注意括号前面的因数。