傅里叶变换到计算机实现
单片机实现傅里叶变换
单片机实现傅里叶变换单片机是一种集成了微处理器、内存和输入输出设备等功能于一体的微型计算机系统。
在工程实践中，单片机广泛应用于各种控制系统中，包括自动化控制、仪器仪表控制、电力电子控制等。
傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将时域信号转换为频域信号，对信号的频谱特性进行分析。
本文将探讨如何利用单片机实现傅里叶变换。
傅里叶变换的基本原理是将一个周期性函数分解为一系列正弦函数的叠加。
在数字信号处理中，傅里叶变换可以通过离散傅里叶变换（DFT）来实现。
DFT是一种将离散信号转换为频域信号的方法，可以将时域上的数字序列转换为在频域上的能量谱密度。
要实现傅里叶变换，首先需要将输入信号进行采样。
采样是将连续信号离散化的过程，可以通过模数转换器（ADC）将模拟信号转换为数字信号。
在单片机中，可以通过ADC模块来实现信号的采样。
接下来，需要对采样信号进行存储和处理。
在单片机中，可以利用内存来存储采样信号，并利用处理器对信号进行处理。
通过计算，可以将离散信号转换为频域信号。
在单片机中，可以利用快速傅里叶变换（FFT）算法来实现傅里叶变换。
FFT算法是一种高效的计算DFT的方法，可以大大减少计算复杂度。
通过使用FFT算法，可以在较短的时间内完成傅里叶变换。
在单片机中，可以通过软件或硬件来实现FFT算法。
软件实现需要编写相应的程序代码来实现FFT算法，而硬件实现则可以利用专门的FFT芯片或者FPGA来加速计算。
除了傅里叶变换，单片机还可以实现其他的频域分析方法，如离散余弦变换（DCT）、小波变换等。
这些方法在不同的应用领域中有着广泛的应用，可以对信号进行更加深入的分析。
在实际应用中，单片机实现傅里叶变换可以用于音频信号处理、图像处理、通信系统等领域。
例如，在音频信号处理中，可以通过傅里叶变换来实现音频信号的频谱分析、滤波等操作。
在图像处理中，可以利用傅里叶变换来进行图像增强、去噪等操作。
在通信系统中，可以利用傅里叶变换来进行信号调制、解调等操作。
FFT的算法原理应用
FFT的算法原理应用FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算傅里叶变换的算法，它通过分治法和迭代的方式，将O(n^2)时间复杂度的离散傅里叶变换（DFT）算法优化到O(nlogn)的时间复杂度。
FFT算法在信号处理、图像处理、通信系统等领域应用广泛。
1.算法原理：FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分解为两个长度为n/2的子序列，然后通过递归的方式对子序列进行FFT计算。
在将子序列的FFT结果合并时，利用了傅里叶变换的对称性质，即可以通过递归的方式高效地计算出整个序列的FFT结果。
具体来说，FFT算法可以分为升序计算和降序计算两个过程。
升序计算是将原始序列转换为频域序列的过程，而降序计算则是将频域序列转换回原始序列的过程。
在升序计算中，序列的奇数项和偶数项被分开计算，而在降序计算中，FFT结果被奇数项和偶数项的和和差重新组合成原始序列。
2.算法应用：2.1信号处理：FFT算法在数字信号处理中广泛应用，可以将信号从时域转换为频域，从而实现滤波、降噪、频谱分析等操作。
例如，在音频处理中，可以利用FFT算法对音频信号进行频谱分析，从而实现声音的等化处理或实时频谱显示。
2.2图像处理：FFT算法在图像处理中也有重要的应用。
图像的二维傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域，从而实现图像的频域滤波、频域增强等操作。
例如，可以通过对图像进行傅里叶变换，找到图像中的频域特征，进而实现图像的降噪、边缘检测等功能。
2.3通信系统：FFT算法在通信系统中也有广泛应用，特别是在OFDM （正交频分复用）系统中。
OFDM系统可以将高速数据流分成多个低速子流，然后利用FFT对每一个子流进行频域调制，再通过并行传输的方式将它们叠加在一起。
这样可以提高信号的传输效率和容量，降低频率的干扰。
2.4数据压缩：FFT算法在数据压缩领域也得到了广泛应用。
例如，在JPEG图像压缩算法中，就使用了离散余弦变换（DCT），它可看做是FFT的一种变种。
FFT及IFFTC语言实现
FFT及IFFTC语言实现FFT（快速傅里叶变换）和IFFT（快速傅里叶逆变换）是傅里叶变换在计算机科学和信号处理中的高效实现方法。
它们广泛应用于图像处理、音频处理、通信系统等领域。
下面将详细介绍FFT和IFFT的C语言实现。
首先，让我们了解一下DFT（离散傅里叶变换）。
DFT将一个离散的时间域序列转换为离散的频域序列，其定义如下：其中，N表示序列的长度，x(n)是输入序列，X(k)是输出序列。
FFT是DFT的一种高效实现方法，它利用了序列的对称性质，将操作的复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。
IFFT则是FFT的逆过程，可以将频域序列恢复为时间域序列。
以下是FFT的C语言实现代码：```c#include <stdio.h>#include <math.h>typedef structdouble real;double imag;result.real = a.real * b.real - a.imag * b.imag;result.imag = a.real * b.imag + a.imag * b.real;return result;result.real = a.real + b.real; result.imag = a.imag + b.imag; return result;result.real = a.real - b.real; result.imag = a.imag - b.imag; return result;if (N <= 1)return;}for (int i = 0; i < N / 2; i++) even[i] = x[2 * i];odd[i] = x[2 * i + 1];}fft(even, N / 2);fft(odd, N / 2);for (int k = 0; k < N / 2; k++)x[k] = add(even[k], t);x[k + N / 2] = subtract(even[k], t); }//完整的IFFT实现代码略，与FFT相似int mai//输入序列x(n)int N = sizeof(x) / sizeof(x[0]);//调用FFTfft(x, N);//输出频域序列X(k)for (int k = 0; k < N; k++)printf("X(%d) = %.2f + %.2fi\n", k, x[k].real, x[k].imag);}//调用IFFT//...return 0;```IFFT的实现与FFT类似，只需将其中几处计算公式略作变换即可。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用信号处理是指对信号进行采集、处理和分析的过程，而傅里叶变换是信号处理领域中一种重要的数学工具。
本文将讨论傅里叶变换在信号处理中的应用，并介绍其原理和基本算法。
一、傅里叶变换原理傅里叶变换是数学中一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的核心思想是将一个信号表示成一系列谐波的叠加。
傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱特性，从而对信号进行更深入的了解和处理。
在数学表示上，傅里叶变换可以表示为以下公式：F(ω) = ∫[−∞, ∞] f(t)e^(−iωt)dt其中，F(ω)表示频域信号，f(t)表示时域信号，ω表示角频率， i是虚数单位。
傅里叶变换将时域信号f(t)变换为频域信号F(ω)，通过分析F(ω)可以了解信号的频谱特征。
二、傅里叶变换的算法傅里叶变换有多种算法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
这些算法在信号处理中具有广泛的应用。
以快速傅里叶变换为例，它是一种高效的计算傅里叶变换的算法。
FFT算法的核心思想是将傅里叶变换的计算复杂度由O(N^2)降低到O(NlogN)，使得快速傅里叶变换在计算机中得到快速的实现。
FFT算法的基本步骤如下：1. 将信号分为偶数点和奇数点。
2. 对偶数点和奇数点分别进行FFT变换。
3. 将两个FFT结果进行合并。
通过FFT算法，可以快速计算出信号的傅里叶变换结果，从而更快地获得信号的频域特性。
三、傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 信号滤波：傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的谐波分量，通过对特定频率的谐波分量进行滤波，可以实现对信号的降噪和去除干扰等目的。
2. 音频处理：傅里叶变换可以将音频信号转换为频谱图，通过分析频谱图可以了解音频信号的音调、音高以及音量等特性。
这在音频编码、音乐处理等领域中非常有用。
3. 图像处理：傅里叶变换在图像处理中也有重要的应用。
通过对图像进行傅里叶变换，可以得到图像的频域表示，从而实现图像的滤波、增强和压缩等操作。
基4FFT 原理及MATLAB 算法实现
使用 tic，toc 命令对自定义基 4FFT 和系统 FFT 进行测量发现， 系统 FFT 远远快于自
6
定义基 4FFT。如图 5 所示，每次运行程序，第一行为系统 FFT 运算时间，第二行为自定义 基 4FFT 运算时间。 分析认为，这是由于两方面原因造成的。一是 matlab 本身是解释性的高级语言，与 vb 属于同一种类型，运行时，要先对语句命令进行解释，翻译成计算机可识别的机器语言，然 后再执行。这就大大增加了自定义基 4FFT 运算时间。而系统自带的 FFT 显然是预先编译好 的内部代码，因此执行效率非常高。二是程序本身未最大限度的优化。例如本程序中，将递 推公式中重复计算的部分用变量代换： 令 X1=x(k1);X2=Wn^m*x(k2);X3=Wn^(2*m)*x(k3);X4=Wn^(3*m)*x(k4); 递推公式化简为： temp(k1)=X1+X2+X3+X4; temp(k2)=X1-1j*X2-X3+1j*X4; temp(k3)=X1-X2+X3-X4; temp(k4)=X1+1j*X2-X3-1j*X4; 从而避免了 X2，X3，X4 表达式中的乘法在 4 个递推表达式中各被重复计算 4 次。如 未作这样的处理，显然效率很低。由于个人能力原因，本程序仍有很大优化空间。 3.进一步提高运算速度的方法 1）采用 c 语言编程，编译成机器代码，大大提高执行效率。 2）事先建立旋转因子表，以空间换取时间的方法，提高运算速度。计算过程中，通过 查表的方式，获取旋转因子值，避免实时乘法运算增加的运算时间。 四、总结 本文在分析基 2FFT，参考借鉴多篇文章的基础上，对基 4FFT 的原理进行了分析，推 导出 4 点迭代运算公式，运用 matlab 实现该算法。所编程序可以对 4L 点采样数据进行 4L 点基 4FFT （L=1~8） 。在此基础上，对比了系统自带 FFT 与自定义基 4FFT 的运算效率。 提出了进一步提高运算效率的方法。
傅里叶变换 实验报告
傅里叶变换实验报告傅里叶变换实验报告引言：傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
本次实验旨在通过实际操作和数据分析，深入了解傅里叶变换的原理、特性以及应用。
一、实验目的本实验的目的是通过实际操作，掌握傅里叶变换的基本原理，了解其在信号处理中的应用，并能够正确进行频域分析。
二、实验仪器和材料1. 信号发生器2. 示波器3. 计算机4. 傅里叶变换软件三、实验步骤1. 将信号发生器与示波器连接，并设置合适的频率和幅度，产生一个正弦信号。
2. 通过示波器观察并记录原始信号的时域波形。
3. 将示波器输出的信号通过音频线连接到计算机的输入端口。
4. 打开傅里叶变换软件，选择输入信号源为计算机输入端口，并进行采样。
5. 在傅里叶变换软件中，通过选择合适的窗函数、采样频率和采样点数，进行傅里叶变换。
6. 观察并记录变换后的频域波形，并进行分析。
四、实验结果与分析通过实验操作和数据分析，我们得到了信号的时域波形和频域波形。
在时域波形中，我们可以清晰地看到正弦信号的周期性特征，而在频域波形中，我们可以看到信号的频率成分。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，通过分析频域波形，我们可以得到信号的频率成分。
在实验中，我们可以通过改变信号发生器的频率和幅度，观察频域波形的变化，进一步理解傅里叶变换的原理和特性。
此外，傅里叶变换还可以用于信号滤波。
通过观察频域波形，我们可以选择性地去除某些频率成分，从而实现信号的滤波处理。
这在音频处理、图像处理等领域中具有广泛的应用。
五、实验总结本次实验通过实际操作和数据分析，深入了解了傅里叶变换的原理、特性以及应用。
傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在信号处理、图像处理等领域中具有广泛的应用前景。
通过本次实验，我们不仅掌握了傅里叶变换的基本原理和操作方法，还深入了解了信号的时域和频域特性。
这对于我们进一步研究和应用傅里叶变换具有重要的意义。
总之，傅里叶变换是一项重要的数学工具，通过实际操作和数据分析，我们可以更好地理解和应用傅里叶变换，为信号处理和图像处理等领域的研究和应用提供有力支持。
傅里叶变换全息的计算机模拟
的振幅和相位编码也可用其它方法来完成． 只要把编码后 的数据制作成一张全息图， 它就可用激光束再现出 物体图像 ． 这就是罗曼最早关于计算傅里叶变换全息 的思想 ． Ｊ根据再现原理 ， 我们 同样可以用 ＭＡ Ｌ Ｂ ＴＡ
的 ＩＦ 函数 由计算 机 实现 ． ＦＴ
如果用计算机来制作全息图 ， 就不再需要大功率相干性能极好的可见光激光器 ， 也不再需要防震平台和
维普资讯
第３ ０卷 ６期
２ ０ 年 １ 月 ０７ １
安 徽 师范 大学 学报 （ 自然 科学 版 ） Ｊｕｎ ｆ ｈ ｉ ｏｍａ Ｕｎｖｒｉ ＮａｕａＳ ｉ ｃ） ｏ ｒａｏ ｕ ｒ ｌ ｉ ｓ ｙ（ ｔｒ ｃ ｎｅ ｌ Ａｎ Ｎ ｅ ｔ ｌ ｅ
Ｖｌ ． Ｏ Ｎｏ ６ （ ３ ） 】 ． Ｎｏ ｖ．２０ ０ ７
傅 里 叶变 换 全 息 的计 算 机 模 拟
徐 满 平 ， 周 杰
（ 嘉应学 院 物理系 ， 广东 梅州 ５４ １ ） １ ０５
摘 要 ： 傅里叶变换全息图不是记录物光本 身， 而是记录物光 的傅里叶频谱． 利用透镜的傅里叶变
息的全过程． 实际实验相 比较 ， 与 直观、 经济 ； 模拟 实验参数可调， 象明显， 现 可以加深对傅里叶变换
全 息理论 的理 解 ．
关键词 ： 里叶 变换 全 －夫琅 禾 费衍 射 ； ＴＡ Ｂ 数 字全 息 ； 算机模 拟 傅 ｇ； ＭＡ Ｌ ； 计
中图分 类号 ： Ｂ ７ Ｔ ８７ 文 献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ：０ １ ４ ３ ２ ０ ）６—０ ６ 一０ １０ —２ ４ （０ ７ ０ ６ ３ ４
在 拍摄 时 ， 首先 把物光 场 通过透 镜 （ 作傅 里 叶变换 ） 到它 的频 谱 ， 引 入一 参考 光 与 之相 干 涉 ， 可 记 得 再 便 录下 物光 波 的傅 里 叶变换 全息 图 ． 物光 场 的傅里 叶变换 可 以用 ＭＡ Ｌ Ｂ的 Ｔ Ａ 函数 由计 算机来 完成 ， 频谱
数字信号处理中的快速傅里叶变换
数字信号处理中的快速傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是数字信号处理中一种重要的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦波，可以提取出信号的频谱信息，进而进行频域分析和滤波等操作。
本文将介绍快速傅里叶变换的原理、算法流程以及在数字信号处理中的应用。
一、快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是以傅里叶变换为基础的一种高效的算法。
傅里叶变换是将一个周期函数（或有限长的信号）分解成若干个不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这些正弦和余弦波的频率和振幅反映了原始信号的频谱特征。
传统的傅里叶变换算法复杂度较高，难以在实时信号处理中应用。
而快速傅里叶变换通过巧妙地利用信号的对称性和周期性，将传统傅里叶变换的复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，大大提高了计算效率。
二、快速傅里叶变换的算法流程快速傅里叶变换算法采用分治法的思想，将信号逐步分解成更小的子问题，并通过递归地计算子问题的频域结果来获得最终的结果。
其算法流程如下：1. 输入原始信号，设信号长度为N。
2. 如果N为1，则直接返回原始信号。
3. 将原始信号分为偶数项和奇数项两部分。
4. 对偶数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D1。
5. 对奇数项序列进行快速傅里叶变换，得到频域结果D2。
6. 根据傅里叶变换的性质，将D1和D2组合成整体的频域结果，得到最终结果。
7. 返回最终结果。
三、快速傅里叶变换在数字信号处理中的应用1. 频谱分析：快速傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，通过分析信号的频谱特征，可以提取信号的频率成分，并得到各频率成分的振幅和相位信息。
在音频、图像处理等领域，频谱分析是常见的操作，可以实现音乐信号的频谱可视化、图像去噪和图像压缩等任务。
2. 滤波操作：快速傅里叶变换可以将信号转换到频域后进行滤波操作。
在通信系统中，为了提高信号抗干扰能力和传输效率，通常使用滤波器对信号进行处理。
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傅里叶变换到计算机实现
2013/8/16 Guan Jun 就拿我自身的例子来说，开始接触FFT （快速傅里叶变换）的时候并不是很熟悉，但是这种计算方法的确实很好用。
那么，这个doc 我想说的就是，如何从三角变换到FFT 。
0111()(cos()sin())n n n f x a a n t b n t ωω+∞
==++∑,这是说一个周期性函数(T 1)可以分解为不同频率的
三角函数的叠加，1
1
1
1
11cos()(e e )/2,sin()(e e )/2jn t jn t jn t jn t n t n t j ωωωωωω--=+=-，带到原函数中，经
过整理，令1()()/2n n F n a jb ω=-，1
1()()e jn t f x F n ωω+∞-∞
=∑，再把,n n a b 的表达式（高数书或者
信号与系统说的很清楚）带入1()F n ω中，我们就可以得到11
111
()()e jn t T F n f x dt T ωω-=
⎰。
以上是周期性函数的傅里叶变换，注意的是1()F n ω画出来的图是：在x 轴上频率ω的坐标为
11111...2,1,0,1,2...n ωωωωωω==--,即一系列间隔为1ω的点，另外也就是说，周期函数的傅里叶变换为频域之后，是分立的频谱，不是连续的。
举个栗子，cos(2)x π函数是周期性函数吧，其频率（角频率）为2π，也可写成1，也就是在11f ω±±或者会有值，其余地方就没有。
其实到这里，真的不难，因为求1()F n ω也就是带入公式的事么，不借助软件我们都能算好。
但是，偏偏有那么一些人没事干非要去研究非周期性函数的傅里叶函数，然后搞出一大堆理论，让我们去学…
废话不多说，如果是非周期性，是不是可以理解为周期无限大？这里的非周期函数也可由周期函数组成，例如在-1x ≤≤1上，()cos(2)f x x π=，其余等0.这是不是非周期性函数？答案很显然.如果非周期性，那么公式不再适用，为什么？这得问数学系的人了。
怎么办，把公式变变，1T 移到左边，1n ωω写成(此时频谱是连续的了，为什么，我也不晓得…)那么我
们就将看到最为熟悉的函数：+-()()e
j t
F f x dt ωω∞
-∞
=
⎰
，+-1
()()e
2j t
f x F d ωωωπ
∞
∞
=
⎰(也有书本写成：
+2-()()e
j ft
F f f x dt π∞
-∞
=
⎰
，+2-()()e
j ft
f x F f d f π∞
∞
=
⎰).就是把f ωπ写成2，而()()F F f ω中的坐标换成
自此，我们就开始学习一大堆公式，性质啊,我觉得这些性质不是不重要，而是没有实际的
应用！为什么我这么说，因为我们用傅里叶变换，是为了什么？服务于我们的数据，没错，是数据！一堆数据给你，你能看出这函数包含的频率？你能提炼出原函数吗？Okay ，你什么都没有，怎么办，望洋兴叹。
最近写的论文中，我就用到了FFT ，我有图像的曲线，有曲线的数据，而且曲线明显是正余弦函数(只相差/2π相位).大概的频率我也能看出来，但是！这个曲线并不完美，有瑕疵，但是我束手无策，这时计算机粉墨登场了，经过分析我也看出原来还是有很小的其他频率成分包含在里面。
也许对傅里叶变换感兴趣的童鞋看过不少人的介绍，说时间连续，时间不连续，频谱连续，频谱不连续。
2⨯2=4，这4种绕来绕去足以崩溃你（这里崩溃作动词).其实，时间连续，就是我上面讲的两种，但一个是周期性函数，一个是非周期，对应的频谱就是分立，连续。
那么时间（有时候不一定是时间，也可能是位置）不连续怎么办，其实大多数应用的就是这种方法，就是我们说的采谱，说简单点就是每隔一段时间（距离）采一个点，采点间隔相同，一个点一个值.
有时候觉得，数学应该是自然学科中最难的一门了.感兴趣的童鞋应该去找找资料，连续时间的傅里叶变换到离散时间傅里叶变换的过程（全是一个个公式的推导，很值得细究,我是没怎么看懂).这里，频谱连续我不想说了,说了我觉得也没用。
因为,计算机绘图是画一系列点，然后把这些点连起来，点越来图像越正确，那么连续谱也可以用离散的谱画出来，只是画点的时候取密一点，画的才真,至于取点的问题最后说.先说明几个量,s s T f 和指的是采点的周期和频率，=1/s s f T 共取点N 个,令第一个取点的时间为0，第二个就是s T ，第三个就是2s T ，最后一个就是(1)s N T -，那你说我取N+1个点行不行，也就是到s NT ，都可以,如果你把第一个点变成s T 都行.接下来，说明一点，画出的频谱图是分立的点，点与点之间的间距是1f ，而且1/s f f N =(为什么？自己查证).在这里我需要说明的就是s f 是你自己选取的，尽量大一点吧.时间是0,s T ,2s T ,3s T ,…(N-1)s T ,即,0:1s nT n N =-，对应的值我们就可以写成
()s f nT ,当然了，
我们只是写成这种形式而已,算的时候值往那个位置填即可.画频谱图的时候也是从0:1k N =-,即11,f kf k ωω==或，我们有公式1
10
1()()()exp(2)N n s
F f F kf f t j ft f π-===-∑,
1
11
1
()()()exp(2)N s
S
n s
F f F kf f nT j kf nT f π-===
-∑,
11/s f T N =,110
1
2()()exp()N s
n s
F kf f nT j
kn f N
π
-==
-∑ 1
s 1
2()()exp()N s
k f
f nT F kf j
kn N
N
π
-==∑,细心的同学肯定会发现书上跟我的公式不同，
但是我这是最根本的公式，书上的公式是把1()F kf 乘上s f 后的结果.关于取点呢，我想说的是,在s f 不变的情况下，1/s f f N =，如果减小1f ，就要变大N ，就是增大取点的时间或者增大取点的位置长度.而1f 值取的越小，就能更好地反应原函数的真实频率，举个栗子，原函数有一个频率值位于0.21，如果1f 等于0.02，也许就不准确，而0.01(121f 位于这个点上)就会非常准确，当然这些都得看实际情况了.本文写的不足之处，多多批评，最后我把我老师的一个实例函数放到这里供大家更好理解,这个函数最后我加了用()F f 还原原函数的程序（Matlab 软件编的，而我多次提到的FFT 就是在编程的过程中用一系列方法去简化步骤，让计算机更快的算出结果，有兴趣的同学可以去看看源程序，很复杂，我是没打算掌握，因为我懒…） %这个函数主要是进行FFT 变换和傅里叶变%换之间(上文的蓝色公式)的验证，原函数%为f(t)=2*e^-3t ，傅里叶变换后的函数为%F(w)=2/(3+w*j) clc,clear N=1000; t=linspace(0,10,N); Ts=t(2)-t(1); fs=Ts^-1; for k=0:N-1 y=0; for n=0:N-1 y=y+2*exp(-3*n*Ts)*exp(-j*2*pi*n*k/N); end F1(k+1)=y/fs; end f1=fs/N; w1=2*pi*f1;
w=(0:N/2)*w1; F2=2./(w*j+3); abs_F2=abs(F2); abs_F1=abs(F1); plot(w,abs_F1(1:N/2+1),'b') hold on, plot(w,abs_F2(1:N/2+1),'r--') figure, plot(t,2*exp(-3*t)) for n=0:N-1 y=0; for k=0:N-1; y=y+fs/N*F1(k+1)*exp(j*2*pi*n*k/N); end f(n+1)=y; end f=abs(f); hold on,plot(t,f,'r--')。