最新数学分析第四学期试题

试题（1卷）一．填空（每小题3分，共15分） 1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出,且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件,则曲线L 在点0P 的切线方程为 ； 2.含参量积分⎰=)()(),()(x d x c dyy x f x F 的求导公式为=')(x F ；3. Γ函数的表达式为 =Γ)(s ,0>s ；4.二重积分的中值定理为:若),(y x f 在有界闭区域D 上连续,则存在D ∈),(ηξ,使⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.当0),,(≥z y x f 时，曲面积分⎰⎰S dSz y x f ),,(的物理意义是： . 二.完成下列各题(每小题5分,共15分)1.设5422222=-+-++z y x z y x ,求y z x z ∂∂∂∂,; 2. 设 ⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ∂∂∂∂, ;3. 求积分)0(ln 1>>-⎰a b dx x x x ab .三.计算下列积分(每小题10分,共50分)1. ⎰L xyzds,其中L 为曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段;2.⎰+-Ly x xdxydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向;3．作适当变换计算⎰⎰-+D dxdyy x y x )sin()(, 其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4. ⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22,其中V 是由x y z x x ====,0,2,1与y z =围成的区域;5.dS y x S)(22⎰⎰+,其中S 为圆锥面222z y x =+被平面1,0==z z 截取的部分.四.应用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x S333++⎰⎰,其中S 为球面2222a z y x =++的外侧.(10分)五.求全微分dz xy z dy xz y dx yz x )2()2()2(222-+-+-的原函数. (10分)试题（2卷）一．填空（每小题3分，共15分）1．若曲面S 由方程0),,(=z y x F 给出,且),,(z y x F 在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件,则曲面S 在点0P 处的切平面方程为 ；2.若),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上 ,且含参量反常积分⎰+∞=cdyy x f x I ),()(在],[b a 上 ,则)(x I 在],[b a 上连续；3.B 函数的表达式为=B ),(q p ,0,0>>q p ；4.二重积分的中值定理为:若),(y x f 在有界闭区域D 上连续,则存在D ∈),(ηξ,使得⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.曲线积分⎰+L dyy x Q dx y x P ),(),(的物理意义是： . 二.完成下列各题(每小题5分,共15分)1.设02=+--zxy e z e,求y z x z ∂∂∂∂,; 2. 设 ⎩⎨⎧=--=--,0,022xu v y yv u x 求x v x u ∂∂∂∂, ; 3. 设 dyex F x xxy ⎰-=22)( , 求 )(x F ' .三.计算下列积分(每小题10分,共50分)1.dsz y x L)(222++⎰,其中L 为螺旋线)0(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段;2.⎰+-Ldy dx y a )2(,其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=从0=t 到π2=t 的一段;3.作适当变换计算dxdyeDyx y x ⎰⎰+-,其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围区域; 4.⎰⎰⎰+Vdxdydzz x y )cos(,其中V 是由0,0,===z y x y 及2π=+z x 所围区域;5.⎰⎰++SdSz y x )(,其中S 为上半球面0,2222≥=++z a z y x . 四. 应用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x S222++⎰⎰,其中S 为立体h z y x ≤≤+22的边界曲面的外侧. (10分)五.应用斯托克斯公式计算 dzx y dy z x dx y z L )()()(-+-+-⎰,其中L 为平 面)0(>=++a a z y x 与三坐标面的交线,并取逆时针方向. (10分) 分析试题（三） 一、 填空题（每题3分，共30分） 1．已知22()x xy xF x edy-=⎰，则()F x '= ① 。

2． 2lim1(1)n ndx x n→+∞=++⎰② 。

3．含参量积分(,)Cf x y dy+∞⎰在[,]a b 上不一致收敛的一个充要条件是③ 。

4．若[0,1][0,1]D=⨯，则22max{,}x y Dedxdy⎰⎰= ④ 。

5． 若D 为圆域：221x y +≤，则D⎰⎰= ⑤ 。

6． 写出斯托克斯(Stokes)公式 ⑥ 。

7．已知1()2Γ=3(,2)2B =⑦ 。

8． 若L 为平面上封闭曲线，l 为任意方向向量，n 为曲线L 的外法线方向，则cos(,)Ll n ds =⎰Ñ ⑧ 。

9．空间有界区域V 可求体积的一个充要条件是 ⑨ 。

10． V 是椭球体2222221x y z a b c ++≤，则 222222()V x y z dxdydz a b c ++=⎰⎰⎰ ⑩ 。

二、 计算题（每题8分，共40分）1. 计算第一型曲线积分222()Cx y z ds ++⎰，其中C 为螺旋线：cos x a t=，sin ya t =，z bt =(02)t π≤≤的一段。

2. 计算第二型曲线积分22L ydx xdy I x y -=+⎰Ñ，其中L 为2221x y +=，方向取逆时针。

3.计算二重积分42DI dxdyx +=⎰⎰，其中D 为x 轴，yx=1+=和3+=围成的有界闭区域。

4. 计算第一型曲面积分222S dS x y z ++⎰⎰，其中S ={222(,,)|x y z x y R +=，0z H ≤≤}。

5. 计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为圆锥曲面z =被平面0z =，2z =所截部分的外侧。

三、 证明题（每题10分，共30分）1．利用二重积分证明22x edx +∞-=⎰，并由此导出1()2Γ=2. 设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰Ñ的值恒为常数。

（1）证明：对上半平面0y >内任意分段光滑简单闭曲线C ，有24()202Cy dx xydyx yϕ+=+⎰Ñ。

（2）求()y ϕ的表达式。

3.证明含参量非正常积分2xy dy+∞-⎰，对任意0δ>在[,)δ+∞上一致收敛，而在[0,)+∞上不是一致收敛的。

试题3参考答案和评分标准四、 填空题（每题3分，共30分）1． 253222x x x xy xxeey edy-----⎰2． 222ln1e e +3． 00ε∃>，N C ∀>，M N ∃>，0[,]x a b ∃∈，有00(,)Mf x y dy ε+∞≥⎰。

(注：此题解答不唯一)4．1e -5．2π6.()()()LSR QPdx Qdy Rdz dydz y zP R Q P dzdx dxdy z x x y ∂∂++=-+∂∂∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰⎰Ñ7．4158．09．V 的边界V ∂的体积为0。

(注：此题答案不唯一)10．45abc π五、 计算题（每题8分，共40分）22222222220222203221.()(cos sin (8)3C x y z ds a t a t b t a b t ba ππππ++=++=+=+⎰⎰⎰解： (第一个等号4分，后面两个等号各2分。

)2. 解：2222(,),(,)y xP x y Q x y x y x y ==-++，于是有Q P x y ∂∂=∂∂。

（2分）作圆222(0x y r r +=<<，方向取逆时针。

有格林公式知22220L C ydx xdy ydx xdyx y x y ---+=++⎰⎰蜒 （4分）从而 222221L C C ydx xdy ydx xdy ydx xdy x y x y r --==-++⎰⎰⎰蜒?22211222D dxdy r r r ππ=-=-=-⎰⎰。

（8分）3. 解：令,0u y vx +=-=，则22,x y ==。

由题意知(,)[1,3][0,1]u v ∈⨯。

（2分）3(,)(,)x y u v ∂==∂（4分）故443424133301(12240DD D u I dxdy x u u dudv dv u du ''+==+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

（8分）4. 解：考虑到被积函数在曲面上积分，被积函数关于x,y 都为偶函数，又曲面关于xoz,yoz 平面对称，则2222224S S dS dSx y z R z =+++⎰⎰⎰⎰其中2S 为S中0,0x y ≥≥的部分。

曲面2S 的方程为x =（0z H ≤≤）。

将2S 向yoz 平面投影得矩形区域：D={(y,z)|0y R,0 z H}≤≤≤≤（4分）故由计算公式有：224442arctan 8D D RHI dz HR z Rπ====+⎰⎰⎰（分）5. 解：设S 为圆锥的底面，由高斯公式知222(222)8SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ∑⋃++=++⎰⎰⎰⎰⎰（分）令cos ,sin ,x r y r z z θθ===，则02,02,0z r z θπ≤≤≤≤≤≤。

2203332200230(222)2(cos sin )cos sin 2()332284zVx y z dxdydz dz d r r r z drz z z dz d z dz ππθθθθθθππ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（分）而22244166S SDx dydz y dzdx z dxdy dxdy dxdy π++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰（分）故2228168x dydz y dzdx z dxdy πππ∑++=-=-⎰⎰。