数学系一年级《数学分析》期末考试题
大学一年级《数学分析二》大学考试试题D卷及参考答案
2021年中央广播电视大学一年级期末考试试卷 大学一年级《数学分析二》大学考试试题D 卷及答案一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分）1、)212111(lim nn n n +++++∞→2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x x cpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(yxxy f u =， 求y x u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx xxp的敛散性。
3、讨论∑∞=-+133))1(2(n nnn n 的敛散性。
四、证明题：（每小题10分，共20分）3、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>⎰badx x f4、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu参考答案一、1、,0.0>∃>∀δε使得δδδ<<<∀210，成立εδδ<⎰--21)(a a dx x f2、设2R D ⊂为点集，mRD f →:为映射，,0.0>∃>∀δε使得D x x x x ∈<-∀2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f二、1、由于x+11在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )212111(lim nn n n +++++∞→ =2ln 11)11211111(1lim 10=+=+++++⎰∞→dx x nn n n n n （6分）2、 、所求的面积为：22023)cos 1(a dx x a ππ=-⎰（8分）3、 解：π=++=++⎰⎰-+∞→∞+∞-A A A dx x x dx x xcpv 2211lim 11)( (3分） 4、解：11lim 2=∞→nn x，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分）5、解： y u ∂∂=221y x f x f -（3分）322112212yxf xy f y f f y x u -++=∂∂∂（5分） 三、1、解、0lim lim lim ,1lim lim lim 202000200==+-==+-→→→→→→yy y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k+11所以重极限不存在（5分） 2、解：⎰⎰⎰∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对⎰10arctan dx x xp，由于)0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时⎰10arctan dx x x p 收敛（4分）；⎰∞+1arctan dx x x p，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π（4分）故p >1⎰∞+1arctan dx xx p 收敛，综上所述1<p <2，积分收敛 3、解：13123])1(2[lim3<+=-++∞→nn n n n 所以级数收敛（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由0)(≥x f 但不恒为0，至少有一点],[0b a x ∈ f （x ）在[a ,b ]连续（2分），存在包含x 0的区间],[],[b a d c ⊂，有0)(>x f （4分），0)()(>≥⎰⎰dcbadx x f dx x f （4分）2、证明：以二元函数为例ugradvvgradu v v u u u v u v u v v u v u u v v u u v v u uv grad y x y x y x y x y y x x +=+=+=++=),(),(),(),(),()(（10分）。
数学系一年级《数学分析》期末考试题
1 / 3数学系一年级《数学分析》期末考试题学号 姓名一、（满分分，每小题分）单项选择题：、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在,∀ >时有≤n a ≤n b n c ，则（ ）A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0,0,,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） .左连续； . 右连续 . 连续 . 不连续 、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ； . '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; . '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; . x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。
则 （ ） . ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ； . ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; . ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f > ；、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。
则在Ⅰ上有（ ） . ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ； . c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；2 /3 . ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； . c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；二、（满分分，每小题分）填空题 ： 、121323lim -+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 、)sgn(cos )(x x f =。
一年级数学分析期末
一年级数学分析期末第一篇：一年级数学分析期末2016-2017学年第一学期北师大版一年级数学期末质量分析一、基本情况一年级数学期末参试人数为22人，平均分94.68，及格人数21人，及格率95.45%；优秀人数20人，优秀率90.9%；良好人数21人，良好率95.45%。
整体来说，学生通过一学期的学习，成绩有了很大进步。
二、学生答题分析1、学生答题的总体情况: 大部分学生基础知识扎实，学习效果较好，特别是在计算部分、立体图形的认识、整时、半时的认读,数数、分类上失分较少。
但也反映出教学中存在的问题，学生在提出问题、分析问题、并解决问题上存在困难，不能用自己学到的知识解决生活中的实际问题。
同学之间还存在较大的差距，如何扎实做好培优辅差工作，如何加强班级管理，提高学习风气，在今后教育教学工作中应该引起足够的重视。
2、本次检测结合试卷剖析，学生主要存在以下几个方面的普遍错误类型：第一、不良习惯造成错误。
学生在答题过程中，不认真听老师读题，造成抄写数字错误、加减号看错等。
第二、审题不认真造成错误。
学生在答题过程中，审题存在较大的问题，有的题目需要学生在审题时必须通过分析才能找出答案，但学生经常大意。
三、存在问题本次检测，学生主要存在的问题有：1．第一题填空乐园。
学生在数一串珠子时，从左数，黑珠子是第几，黑珠子右边有几颗珠子，存在数错的情况。
2．第三题画一画，圈一圈。
第一小题，比较两个物体的多少，要求划出错误的答案，学生有划错的情况。
第二小题让小狗跳台阶，每次跳三下，有些孩子不会3个3个地数数，而失分。
3．第四题我是计算小能手。
第一小题学生做口算时分不清加减号，把加法当减法导致计算错误。
第三小题学生对一共有多少不知用什么方法计算，导致错误。
4.第五题解决问题，学生对一共有多少、还剩多少区分不清，不清楚用什么方法导致错误。
四、今后教学改进措施通过本次测试情况分析我们的教学现状，在今后的教学与评价过程中应作如下几方面的工作：1.培养学生良好学习习惯。
数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)
数列极限类 1. 证明: 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证 因为11211122222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n又11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ,由迫敛原理得112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证 由均值不等式得a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111,即{}n a 有下界. 又0212121=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =∞→lim .单调性的证明也可如下完成:11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2121. 3. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.证 由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞→lim ,对n n x x +=+61两边取极限得0662=--⇒+=a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞→n n x .4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在且等于A .证 由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞→lim ,再由()0lim =-∞→n n n a b 及A a n n =∞→lim 可得n n b ∞→lim 存在且等于A .5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +==>=>=++21,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞→∞→=lim lim .证 因为()1121++=+≤=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+21211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.在()121+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .6. 设0>n a ,且1lim1<=+∞→q a a nn n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞→n n a .证 因为1lim1<=+∞→q a a nn n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N qε,当0N n >时,有()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++111121212121, 所以,当0N n >时,有112210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞→n n a .闭区间上连续函数的性质7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根. 证 令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ,使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.8. 证明方程12=⋅xx 至少有一个小于1的正根.(10分)证 令()12-=xx x f ,则f 在[]1,0上连续且()()()011110<-=⋅-=⋅f f ,由闭区间上连续函数的零点存在定理,()1,0∈∃ξ，使得()12012=⋅⇒=-⋅=ξξξξξf .9. 设函数f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x .若f 在[)+∞,0上能取到负值,试证明:(1) [)+∞∈∃,00x ,使得()00=x f ; (2) f 在[)+∞,0上有负的最小值.证 由条件可设[)+∞∈',0x 且()0<'x f ,由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得()021>>M f ,由根的存在性定理,得()[)+∞⊂'∈∃,0,0M x x ,使得()00=x f .(1)得证. (2) 由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得当M x ≥时,有()021>>x f .又f 在[]M .0上连续,故[]M ,0∈∃ξ,使得()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.而当[)+∞∈,M x 时,()021>>x f ,故对[)+∞∈∀,0x 有()≥x f ()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.所以结论成立.10. 设n 为正整数,n a a a 221,,, 为n 2个实常数,且02<n a .求证多项式函数()n n n n n a x a x a x x P 21212122++++=--在()+∞∞-,内至少有两个零点.证 因为()0022<=n n a P ,又()()+∞=+∞=+∞→-∞→x P x P n x n x 22lim ,lim ,所以存在0>M ,使得()()0,022>>-M P M P n n ,又n P 2在[]0,M -和[]M ,0上都连续,由根的存在性定理,()0,1M -∈∃ξ和()M ,02∈∃ξ,使得()()02212==ξξn n P P ,所以,结论成立.11. 设()xt x x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛=,求()x f 的表达式,并指明()x f 的间断点及其类型.解: ()xx xx x t x x t xt xx t ex x t x t x f sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim sin sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛=-→-→,所以0=x 为第一类可去间断点;() ,2,1±±==k k x π为第二类无穷间断点.12. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈∃,使得()00x x f =.证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续,()()()()()()0<-⋅-=⋅b b f a a f b F a F .由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈∃,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈∃使得()00x x f =.13. 设()x f 是[]a 2,0上的连续函数,且满足条件()()a f f 20=.证明存在[]a x ,00∈,使得()()a x f x f +=00.证明: 令()()()a x f x f x F +-=,则()x F 在[]a ,0上连续,且()()()a f f F -=00,()()()()()()()02002=-=+⇒-=a f f a F F a f a f a F .若()()00==a F F ,则存在00=x 或a x =0使得()()a x f x f +=00.若()0F 与()a F 都不为零,则()()00<⋅a F F由连续函数的零点定理,必存在()a x ，00∈∃,使得()00=x F ,故()a x ,00∈∃使得()()a x f x f +=00.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14. 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x ,若存在()+∞∈,00x ,使得()00<x f ,求证:(1) ()+∞∈∃,0ξ使得()0=ξf ; (2) ()x f 在[)+∞,0上有负的最小值.证明: (1) 因为()1lim =+∞→x f x ,由函数的局部保不等式性,存在充分大的0>M (不妨设0x M >),使得M x >时,有()21>x f ,所以当M x >1时,()x f 在[]10,x x 上连续且()()010<⋅x f x f ,由连续函数的零点存在定理,存在[]()+∞⊂∈∃,0,10x x ξ使得()0=ξf .(2) 又()x f 在[]0,0x 上连续,故由最值定理,存在[]1,0x ∈η,使当[]1,0x x ∈时,()()ηf x f ≥,而()()00<≤x f f η,且[)+∞∈,1x x 时,()()ηf x f >>>021.所以()x f 在[)+∞,0上有负的最小值()ηf .15. 设()nx a x a x a x f n sin 2sin sin 21+++= ,若()x x f sin ≤,求证1221≤+++n na a a .证法1（用导数定义）因为 ()()n n na a a f nx na x a x a x f +++='⇒+++=' 212120cos 2cos 2cos . 又()()0000sin 0=⇒=≤f f ,所以()()()()1sin lim lim 00lim0000=≤=--='→→→xx x x f x f x f f x x x ,所以1221≤+++n na a a .证法2（用重要极限1）()1sin lim sin lim 2sin lim sin lim lim 0002010=≤+++=→→→→→xx x nxa x x a x x a x x f x x n x x x 所以1sin lim 2021=≤+++→xx na a a x n .导数与微分证明16. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 3x x xx x f 证明: ()x f 在0=x 处可微; ()x f '在0=x 处不可微 证 因为()()()01sin lim 00lim0200==--='→→xx x f x f f x x ,所以函数()x f 在处可导,由可导与可微的关系知()x f 在0=x 处可微;又当0≠x 时, ()xx x x x f 1cos 1sin32-=', 而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'-'→→x x x x f x f x x 1cos 1sin 3lim 00lim00极限不存在,故()x f '在0=x 处不可导, 由可导与可微的关系知()x f '在0=x 处不可微; 17. 设()0x f ''存在,证明: ()()()()0200002limx f hx f h x f h x f h ''=--++→ 证:()()()()()()()()()()()[]()0000000000020000)21lim 212lim 2limx f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h x f h x f h x f h h h ''=''+''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'=-'-+'=--++→→→ 18. 设()x f 为()+∞∞-,内的可导函数,周期为T .求证:()x f '也是以T 为周期的函数.证明:因为()()()()x f T x f x f T x f '=+'⇒=+,所以()x f '也是以T 为周期的函数. 中值定理的应用 19. 设01210=++++n a a a n ,证明多项式()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.证 作辅助函数()12101121+++++=n n x a n x a x a x F ,则()x F 在闭区间[]1,0满足罗尔中值定理的三个条件,故存在()1,0∈ξ使得()010=+++='n n a a a F ξξξ ,故()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.20. 设g f ,都是可导函数,且()()x g x f '<',证明当a x >时,()()()()a g x g a f x f -<-证 因为()()⇒'<'≤x g x f 0()x g 严格单调增.当a x >时, ()()a g x g >. 又由柯西中值定理得,存在()x a ,∈ξ使得()()()()()()()()()()()()()()()()a g x g a f x f g f a g x g a f x f g f a g x g a f x f -<-⇒<''=--⇒''=--1ξξξξ.21. 对任意的[)+∞∈,0x ,有()x x ≤+1ln ,且等号只在0=x 时成立.证明: 令()()(),001ln =⇒-+=f x x x f 存在()x ,0∈ξ,使得()()x f x f ξ'=,而()()001<⇒<+-='x f f ξξξ,当且仅当0=x 时()00=f ,所以结论成立.22. 设()x f 在[]a ,0上连续,在()a ,0内可导,且满足()()00==a f f ,求证:存在()a ,0∈ξ,使得()()02='+ξξξf f .提示:令()()x f x x F 2=,用罗尔中值定理可证.23. 设函数f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,连结点()()a f a A ,与点()()()b f b B ,的直线交曲线()x f y =于点()()c f c M ,,其中b c a <<.证明:存在()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf .证 因为B M A ,,三点共线,所以()()()()()()cb c f b f a c a f c f a b a f b f --=--=--. 在[]c a ,及[]b c ,上分别应用中值定理得: 存在()c a ,1∈η,使()()()a c a f c f f --='1η;存在()b c ,2∈η,使()()()cb c f b f f --='2η,即()()21ηηf f '='.由于f 二阶可导,故函数f '在区间[]21,ηη上满足罗尔中值定理的条件,故()()b a ,,21⊂∈∃ηηξ,使得()0=''ξf .24. 设10<<<b a ,证明不等式:abab a b 2arctan arctan -<-. 提示:在[]b a ,上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设b a <<0,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.26. 设()1,0∈x ,证明不等式()x x x x 2arctan 1ln <++<. 证 将要证的不等式变形为()2arctan 1ln 1<++<xxx ,令()()x x x f arctan 1ln ++=,则()()()x f x f ,1,0,00∈∀=在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,于是()(),01,0⊂∈∃x ξ使得()211110arctan 1ln ξξ+++=-++x x x , 又由x +11与211x +在[]1,0上的连续性与单调性可得11121,111212<+<<+<ξξ,所以 ()2arctan 1ln 1<++<xxx ,故要证的不等式成立.27. 已知()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数,且()()()00,00,00≠''≠'≠f f f ,证明:存在唯一的一组实数321,,λλλ,使当0→h 时,()()()()032321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）()()()()()()()()()()()()0942123924lim 23322lim032lim3213210321023210f h f h f h f h h f h f h f h f h f h f h f h h h ''++=''+''+'''+'+'=-++→→→λλλλλλλλλλλλ令()()009421321=''++f λλλ,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0940321321321321λλλλλλλλλ (2) 因为0941321111≠,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28. 设函数f 在),(+∞a 内可导,且()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在.证明()0lim ='+∞→x f x .证 当a x >时,由条件知,函数f 在区间[]1,+x x 上连续可导,故()1,+∈∃x x ξ,使得()()()ξf x f x f '=-+1.因为()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在,所以()x f x '+∞→lim =()()()[]()()0lim 1lim 1lim lim =-+=-+='+∞→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ.29. 证明;当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >证 令()x x x f tan =,则 ()xx xx x xx x x f 2222cos 2sin 21tan sec -=-='. 令()()⎪⎭⎫⎝⎛∈>-='⇒-=2,0,02cos 12sin 21πx x x g x x x g ,所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内单调增,则当0>x 时, ()()00=>g x g ,从而()0>'x f ,所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内单调增, 则当2021π<<<x x 时, ()()1212112212tan tan tan tan x x x x x x x x x f x f >⇒>⇒>.用单调性证明不等式30. 证明;当0>x 时, ()xx x +>+1arctan 1ln证 令()()()x x x x f arctan 1ln 1-++=,()()()()2221211;111ln 1x xx x f x x x f +++=''+-++=',当0>x 时,()0>''x f ,所以()x f '在()+∞,0内单调增,故当0>x 时, ()()00='>'f x f 因而得()x f 在()+∞,0内单调增, 故当0>x 时, ()()()xxx f x f +>+⇒=>1arctan 1ln 00. 31. 设e x 31≤≤,证明不等式:()1ln ln 23ln 122≤-≤-x x .32. 设0>x ，证明不等式11≤--xe x。
数学分析期末试题A答案doc
数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。
因此，答案为 D。
2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。
A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。
因此，答案为 B。
3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。
4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。
在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。
因此，答案为 C。
高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。
以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。
一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。
《数学分析》期末复习用 各章习题+参考答案
f f f (x) = x + 2 ； 2x + 3
f f f f (x) = 2x + 3 。 3x + 5
9． f (x) = f (x) + f (−x) + f (x) − f (−x) ， f (x) + f (−x) 是偶函数， f (x) − f (−x) 是奇
2
2
2
2
函数.
⎧− 4x + 3
2⋅4⋅6⋅
⋅ (2n) 。 (提示：应用不等式 2k > (2k − 1)(2k + 1) )。
9. 求下列数列的极限：
⑴
lim
n→∞
3n2 + 4n − 1 n2 +1 ;
⑵
n3 + 2n2 − 3n + 1
lim
n→∞
2n3 − n + 3 ;
2
⑶
3n + n3
lim
n→∞
3n+1
+ (n + 1)3
k∈Z ⎝
2
2⎠
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1) ∪ [1,+∞)，值域： [0,1)∪ (1,+∞).
x +1
5．（1）定义域： ∪ (2kπ ,(2k +1)π )，值域： (− ∞,0]； k∈Z
（2）定义域：
∪
k∈Z
⎢⎣⎡2kπ
−
π 2
,2kπ
+
π 2
⎤ ⎥⎦
，值域： [0,1]；
1
（3）定义域：
[−
4,1] ，值域：
⎢⎣⎡0,
《数学分析》试题(含答案)
考试科目： 数学分析(I)一 、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)1.n lim →∞⎛⎫++……解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++⎛⎫≤+≤……，故原式1=2.2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22n →∞→∞→∞→∞. 3.()42220011-cos 12lim =lim =sin ln 1+2x x xx x x x x x x →→•.4. 11limarcsin()1ln x x x x→--解：111limarcsin()arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)xxy x x =>,求y '.1(ln (ln 1))xx x x y x x x x x -'=++.6. 设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求2t dydxπ=和t dy dxπ=。
21t dy dxπ==.7. 设函数f 二阶可导，1()1x y f x -=+，22d y dx解：221()(1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++.二、解答题（每小题8分，共32分）1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限.解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞知n n lima =1.→∞2. 讨论函数()211sin x x f x e x-=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点.3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。
2010—2011 学年第一学期期末考试大学《数学分析 1》 试题及答案
五、证明题（3 小题，1,2 小题各题 6 分，3 小题 7 分，共 19 分）
1、设 an
=
sin1 2
+
sin 2 22
++
sin n 2n
，证明数列 an 收敛.
2、证明 f (x) = x2 在a,b上一致连续.
3、若函数
f
在 a,b上可导，且
f
+
(a
)
f
−
(b)
，
k
为介于
f
+
(a
)和f
−
(b)
( ) 1、已知 y = ln x + 1+ x2 ，求 dy ； dx
2、设
x y
= =
a(t a(1
− sin t) − cost)
，求
dy dx
；
3、设 y = xsin x ，求 y ；
4、设 y = arcsin 1− x2 ，求 dy .
5、求函数 f (x) = (2x − 5) 3 x2 的极值.
1
( ) d 1− x2 , ……………………………………3 分
( )2
1− 1− x2
( ) = 1 d 1 − x2 = − 1 x dx ……………………………………………………5 分 x 2 1− x2 x 1− x2
5、解：定义域 (− ,+)
f
(x) = 23
x2
+
(2
x
−
5)
2
x
−
( ) 9、若在 x0 附近 f (x) = pn (x)+ o (x − x0 )n ，则 pn (x)是唯一的，其中
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（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题学号 姓名一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b nc ，则（ ）A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；2、=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0,0,,sin x x k x k x x kx为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）A.左连续；B. 右连续C. 连续D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ； B. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。
则（ ）A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(，⎰+=c x G dx x g )()(。
则在Ⅰ上有（ ） A.⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ； 二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：1 121323lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ＝ ；2)sgn(cos )(x x f =。
)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 ；3 )(x f ＝x 2sin , =)6()11(πf；4 函数)(x f 在R 内可导，且在（1,∞-）内递增，在（+∞,1）内递减,)()(xxe f x F =，)(x F 的单调递减区间为 ；5 =+⎰dx x f x f x f )(1)()(2' ； 三、（满分36分，每小题6分）计算题：1、⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220sin 11lim ; 2、把函数2xx e e shx --=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ;3、dx e arctg ex x ⎰-+11；4、xex f =)(2,计算积分dx xx f ⎰)( ；5、⎰+--dx x x x 2332 ；6、斜边为定长c 的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;四、（满分7分）验证题：由有“N -ε”定义验证数列极限 3225332lim220=--+→n n n h ； 五、（满分32分，每小题8分）证明题：1 设函数)(x f 和)(x g 都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数)()(x g x f +在区间Ⅰ上一致连续；2 设函数)(x f 在点0x 可导且0)(0'≠x f ，试证明：y ∆～0)(x x x df =，其中)()(00x f x x f y -∆+=∆ ；3 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数，试证明：)()(2)()(lim''20a f ha f h a f h a f h =--++→ ； 4 试证明：0<x <2π时，有不等式 x sin >πx 2 .（二）一年级《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）判断题：1、无界数列必发散； （ ）2、若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续； （ ）3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）4、ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导 ； （ ）5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f ； （ ） 二、（满分20分，每小题4分）填空题 ：1、102862)12()12()2(lim+-+∞→n n n n ＝ ；2、曲线x x y ln =的所有切线中，与直线022=-+y x 垂直的切线是 ；3、)1ln(2x x y ++= ，=dxdy； 4、函数)(x f 二阶可导，)(x f ey = ， 则=22dxyd ； 5、把函数2)(x e x f -=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，=)(x f ；三、（满分30分，每小题6分）计算题:1、xe x x x xx 3lim)1(2)1ln(4lim220--++→ ；2、求 ,3)( ,0)(0'0==x f x f xx x f x ∆∆-→∆)2(lim00；3、xx x xx x y sin cos cos sin +-=， 求dy ；4、x x y sin 2=， 求)80(y ；5、210)lim (lim x x xx → ； 四、（满分40分，每小题8分）证明题：1、设函数)(x f 在区间Ⅰ上满足Lipschitz 条件：L ∃>0，∈∀21,x x Ⅰ， 有)()(21x f x f -21x x L -≤ ，证明f 在区间Ⅰ上一致连续；2、证明函数1)(-=x x f 在点1=x 不可导 ；3、设函数)(x f 在R 内连续且+∞=∞→)(lim x f x ，试证明)(x f 在R 有最小值；4、设0<a <b ，)(x f 在[b a ,]上可导，在（b a ,）内可导，证明),(b a ∈∃ξ，使得[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=- ；5、设函数f 和g 可导且0≠f ，又0)()()()(''=x g x f x g x f ，证明)()(x cf x g =，其中c 为常数.（三）一年级《数学分析》考试题一 对错判断题：1、设{}{}n n y x ,为两个数列，若n n y x （ 2 1、、=n ）则n n n n y x ∞→∞→lim lim ；（ ） 2、若函数)(x f 以A 为极限，则)(x f 可表为)1()(o A x f += ； （ ）3、设)(x f 定义于[b a ,]上，若)(x f 取遍)(a f 与)(b f 之间的任意值，则)(x f 比在[b a ,]上连续； （ ）4、若)(x f 在[)+∞,a 连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在[)+∞,a 有界;（ ）5、若)(x f y =的导数)('x f 在[b a ,]上连续，则必存在常数L,使2121)()(x x L x f x f -≤- ，[]b a x x , , 21∈∀ ； （ ）6、① 当0→x 时，0)n (m )()()( nm nmxo x o x o +=+ ； （ ）② )(n 0a )(n 0n ∞→→⇔∞→→n a ； （ ） 7、若)(x f 和)(x g 在0x 点都不可导，则)()(x g x f +在0x 点也不可导; （ ）8、)(x f 为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点321x x x 有：13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- （ ）9、若)(x f 在0x 二阶可导，则（()00,x f x ）为曲线)(x f y =的拐点的充要条件为0)(0''=x f ； （ ）10、若S 为无上界的数集，则存在一个递增数列{}S x n ⊂,使得 )( , ∞→∞←n x n ； （ ） 二 单项选择题：1、设 =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0 ,0 , )1(1x k x x x 在0=x 处连续， 则=k （ ） A. 1 B. e C.e1D. －1 2、设 =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=0 x 1 x 10 2 x x x 当0=x 是不连续是因为 （ ）A.)(x f 在0=x 无定义B.)(lim 0x f x →不存在C. )0()(lim 0f x f x ≠→ D.左，右极限不相等3、设 )()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续但不可导，则=)('a f （ ）A. 不存在B. )('a ϕC. )(a ϕD. －)('a ϕ 4、当x 很小时，下列近似公式正确的是 （ ）A. x e x≈ B.x x ≈ln C. x x n +≈+11 D. x x ≈sin5、若)(x f 和)(x g 对于区间（b a ,）内每一点都有)()(''x g x f =，在（b a ,） 内有 （ ）A.)()(x g x f =B.为常数）（2121 , c , )( , )(c c x g c x f ==D. )()(x cg x f =（c 为任意常数） D. c x g x f +=)()( （c 为任意常数） 三 证明题：1 证明 9921lim =+++∞→nnnnn ;2 证明不等式：h h h harctan 12+ ；3 对任意实数b a ,有)(212b ab a e e e+≤+ ； 4 证明：方程033=+-c x x （c 为常数）在[]1,0内不可能有两个不同的实根； 5 设函数)(x f 在点0x 存在左，右导数，试证)(x f 在0x 连续； 6 证明：若极限0lim x x →存在，则它只有一个极限；四 计算题：1 写出x x f sin )(=的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；2 求下列极限：① )1021(lim n n n n +++∞→ ；② xxx arctan lim0→ ；③ 11lim 1--→n m x x x ；3 求 )sin(b ax ey +=的微分；4 设函数)(x y y =的参量方程 ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos （π t 0）所确定，求dx dy.（四）一年级《数学分析》考试题一 叙述题：1 用δε-语言叙述A x f x x =-→)(lim 0（A 为定数）2 叙述Rolle 中值定理，并举出下列例子：1） 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 2） 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 3） 第三个条件不成立，结论成立的例子；二、计算题：1 求极限)122(lim n n n n ++-+∞→ ；2 求极限x n x-∞→-)21(lim ； 3 求)1ln()(x x f +=的带Peano 型余项的Maclaurin 公式； 4 求xx xx n sin tan lim0--→；三、研究函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧+=0 x 10 x 00 22 x x x 在0=x 处的左，右极限和极限；四、研究函数求数集{}22x x s =的上、下确界，并依定义加以验证； 五、证明题：1 用定义证明： 35lim22=+→x n ；2 证明：()()())()()(x g o x g o x g o =+ (0x x →)3 设)(x f 定义在区间Ⅰ上，若存在常数L ，'x ∀,∈''x Ⅰ,有'''''')()(x x L x f x f -≤-证明：)(x f 在Ⅰ上一致连续；4 设函数)(x f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明 )()(2)()(lim ''2a f ha f h a f h a f h =--++→ .（五）一年级《数学分析》考试题一 判断题：（满分10分，每小题2分）1、若0lim =∞→n n a ，则∞=∞→nn a 1lim； （ ）2、有限开区间（b a ,）内一致连续的函数)(x f 必在开区间内有界； （ ）3、设函数)(x f y =在点0X 的某领域内有定义，若存在数A ，使)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，（0→∆x ），则)(x f 在点0X 可导且)(0'x f A = ； （ ）4、ψϕ+=f ，若函数f 在点0X 可导，则函数ϕ和ψ都在点0X 可导； （ ）5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，若对),(b a x ∈∀，0)('≠x f ，则必有)()(b f x f ≠； （ ）二 单项选择题：（满分20分，每小题4分）1、函数)(x f 在点0x 连续的充要条件是 A. )0(0-x f 和)0(0+x f 中至少有一个存在； B. )0(0-x f 和)0(0+x f 存在且相等；C. )0(0-x f =)0(0+x f =)(0x f ;D. )(x f 在点0x 可导2、设函数f 定义在区间Ⅰ上，且满足Lipschitz 条件，0 L ∃，使对∈∀21,x x Ⅰ，有2121)()(x x L x f x f -≤-，则)(x f 在区间Ⅰ上 （ ）A. 连续但未必一致连续；B. 一致连续但未必连续；C. 必一致连续；D. 必不一致连续；3、)(0''x f 定义为：A.xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 ； B. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ；C.'000))()((lim x x f x x f x ∆-∆+→∆ ； D. '000))()(lim (xx f x x f x ∆-∆+→∆ ；4、设函数)(x φ和)(x ψ在区间Ⅰ内可导)()(''x x ψφ=，则在该区间内有 （ ）A. )()(x C x ψφ=+，其中C 为常数；B. )()(x C x ψφ=, 其中C 为常数;C. )()(x x ψφ=;D. )()(x x ψφ≠;5、=)(x f ⎩⎨⎧+≥3 x, b ax 3, 2 x x 为使f 在点3=x 可导，应取（ ）A.3=a ，0=b ；B. 0=a ，3=b ;C.6=a ，9-=b ;D. 9-=a ，6=b ; 三 计算题：（满分30分，每小题6分）1、1)(2-=x arctg x f ，求hh f f h )25()5(lim 0+-→ ；2、xx y ln )(sin =，求dxdy； 3、x e y xcos =，求)5(y ；4、)sin 11(lim 220xx x -→ ； 5、2)(-+=-xxaa x f ，其中0 a 且1≠a ，写出)(x f 的含4X 项且具Peano 型余项的Maclaurin 公式；四 验证题：（满分16分，每小题8分）1、用定义验证函数x x f sin )(=在（∞+∞- , ）内一致连续； 2 证明函数x x f =)(在点0=x 不可导； 五 证明题：（满分24分，每小题8分）1、设函数f 和g 在[]b a ,内连续，若对任何有理数),(b a r ∈，有)()(r g r f =，则在[]b a ,内)()(x g x f =；2、设函数)(x f 定义在（∞+∞- , ）内，且∈∀x （∞+∞- , ）和h ，有2)()(Mh x f h x f ≤-+，其中M 为正实数，证明)(x f 是（∞+∞- , ）内的常数函数； 3、设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（b a ,）内二级可导，且0)(=b f ，)()()(2x f a x x F -=，试证明：∈∃ξ（b a ,），使0)(''=ξF .。