八年级数学下册 解题技巧专题 勾股定理与面积问题习题 新人教版
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
()新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结
勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例１.在ABCC∠=︒．∆中，90⑴已知6AC=，求BC的长AB=，15AC=，8BC=．求AB的长⑵已知17跟踪练习：1.在ABC∠=︒.C∆中，90（1）若a=5,b=12,则c= ;（2）若a:b=3:4,c=15,则a= ,b= .（3）若∠A=30°，BC=2,则AB= ，AC= .2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C分别对的边为a，b，c，则下列结论正确的是( )A、 B、 C、 D、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )A、2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、54.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（）A、 B、 C、1 D、25.已知等边三角形的边长为2cm，则等边三角形的面积为（）A、 B、 C、1 D、6.已知直角三角形的两边为2和3，则第三边的长为___________.7.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AC=2，BC=1，，则BD=___________.8.已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，CD=2，那么BD等于（）A、4B、6C、8D、9.已知Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。
10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.(1)如图，以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S、2S、3S之间有何关系并说明理由。
1（2）如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S、1S、3S之间有何关系2面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。
（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米跟踪练习：1.如图（8），水池中离岸边D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A 、12米B 、13米C 、14米D 、15米3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A 、8米B 、10米C 、12米D 、14米题型三：勾股定理和逆定理并用——例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 41 那么△DEF 是直角三角形吗为什么注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
人教版八年级下《17.1.1勾股定理》练习含答案
《勾股定理》练习一、选择——基础知识运用1．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC 能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A．4 B．3 C．5 D．4.54．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c25．一个钝角三角形的两边长为3、4，则第三边可以为（）A．4 B．5 C．6 D．76．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=169，S2=144，则S3=（）A．50 B．25 C．100 D．30二、解答——知识提高运用7．在四边形ABCD中（见图），线段BC长5，∠ABC为直角，∠BCD为135°，AC=AD，而且点A到边CD的垂线段AE的长为12，线段ED的长为5，求四边形ABCD的面积。
8．画一个直角三角形，分别以它的三条边为边向外作等边三角形，要求：（1）画出图形；（2）探究这三个等边三角形面积之间的关系，并说明理由。
9．已知△ABC是边长为2的等边三角形，△ACD是一个含有30°角的直角三角形，现将△ABC 和△ACD拼成一个凸四边形ABCD．（1）画出四边形ABCD；（2）求出四边形ABCD的对角线BD的长。
10．如图所示．从锐角三角形ABC的顶点B向对边作垂线BE．其中AE=3√3，AB=5√3，∠EBC=30°，求BC。
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新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：若是直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 a 2b 2c 2勾股定理的由来： 勾股定理也叫商高定理， 在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦． 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾三，股四， 弦五 〞形式的勾股定理，此后代们进一步发现并证了然直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常有的是拼图的方法用拼图的方法考据勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②依照同一种图形的面积不相同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法以下：1方法一： 4 SS 正方形 EFGH S 正方形 ABCD ， 4 ab (b a)2c 2，化简可证．方法二：DCHEG F b aA cBb aacbccbcaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三AaD角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1ab c 22ab c 2大正方形面2积 为 S (a b)2 a 2 2ab b 2所 以 a 2 b 2c 2 方 法 三 ：bcE ca B bCS 梯形1 ( a b) (a b) ，S 梯形 2S ADE S ABE2 1 ab 1 c 2 ，化简得证222３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭穿了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 关于锐角三角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特色， 所以在应用勾股定理时， 必定了然所察看的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ，那么ca 2b 2 ， bc 2 a 2 ， ac 2 b 2 ②知道直角三角形一边，可得别的两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实责问题 ５ .勾股定理的逆定理若是三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为 斜边 ①勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它经过“数转化为形 〞来确定三角形的可能形状，在运用这必然理时，可用两小边的平方和a 2b 2 与较长 边的平方c 2 作比较，假设它们相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；假设222，时，以 a ，b， c 为三边的三角形是钝角三角形；222，时，以 a ，b，a b c假设 a b c c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ，b，边长 a ，b， c 满足斜边c 及 a2b2c2可是一种表现形式，不能认为是唯一的，如假设三角形三a2c2b2，那么以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能够说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2b2c2中， a ，b，c 为正整数时，称 a ，b， c 为一组勾股数②记住常有的勾股数能够提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2n, n2 1 〔 n2,n 为正整数〕；2n1,2n22n,2n22n1n为正整数〕m2n2 ,2 mn,m2n2〔 m n,m，n为正整数〕〔７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必定掌握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应想法增加辅助线〔平时作垂线〕，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们经过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在详细计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不能不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而获得错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实责问题或详细的几何问题中，是密不能分的一个整体．平时既要经过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常CA B D见图形：C CC30°A B A D B B D A10、互抗命题的看法若是一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，命题。
(完整版)新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题
新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数c ba HG FE D C B A b a c ba cc a b c a b a b c c b a E DC B A７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：A B C 30°D C B A AD B C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
八年级数学下册解题技巧专题：勾股定理与面积问题训练(附答案)
解题技巧专题：勾股定理与面积问题◆类型一 三角形中利用面积法求高1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013cm2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________．◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度3．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt△ABC 的面积是( )A ．48cm 2B ．24cm 2C ．16cm 2D ．11cm 24．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( )A ．7cmB ．10cmC ．(5＋37)cmD ．12cm5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6◆类型三 巧妙利用割补法求面积6．如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD 的面积．7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.参考答案与解析1．D2.355 解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB＝12＋22＝5，∴12×5h＝32，∴h＝355.故答案为355.3．D 4.D 5.C6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝52＋122＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，∴AE＝12AD＝12×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝AC2－AE2＝132－52＝12.∴S四边形ABCD ＝S△ABC＋S△CAD＝12AB·BC＋12AD·CE＝12×5×12＋12×10×12＝90.7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝AE2－AB2＝82－42＝43.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝CE2－DC2＝42－22＝23.∴S四边形ABCD ＝S△ABE－S△CDE＝12AB·BE－12CD·DE＝12×4×43－12×2×23＝6 3.8．81。
人教版八年级数学下册《勾股定理》（提高）知识点讲解及例题解析
勾股定理（提高）知识点讲解及例题解析【学习目标】1. 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．会运用方程思想解决问题．3. 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．用方程思想解决问题． 【要点梳理】【勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方..如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系的数量关系. .（（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的来，达到了解决问题的目的. .（（3）理解勾股定理的一些变式：）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+- 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（11）所示的正方形的正方形. .图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（22）所示的正方形的正方形. .图（图（22）中，所以.方法三：如图（方法三：如图（33）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形梯形. .，所以.要点三、勾股定理的作用 1.1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.2. 用于解决带有平方关系的证明问题；用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 3. 利用勾股定理，作出长为利用勾股定理，作出长为的线段的线段..【典型例题】类型一、勾股定理的应用1、如图所示，在多边形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝2，CD CD＝＝1，∠，∠A A ＝4545°，∠°，∠°，∠B B ＝∠＝∠D D ＝9090°，求多边形°，求多边形ABCD 的面积．的面积．【答案与解析】解：延长AD AD、、BC 相交于点E∵ ∠∠B ＝9090°，∠°，∠°，∠A A ＝4545°° ∴ ∠∠E ＝4545°，∴°，∴°，∴ AB AB AB＝＝BE BE＝＝2 ∵ ∠∠ADC ADC＝＝9090°，∴°，∴°，∴ ∠∠DCE DCE＝＝4545°，°，°， ∴ CD CD＝＝DE DE＝＝1∴ 12222ABE S=´´=△，111122DCE S =´´=△．∴ 13222ABE DCE ABCD S S S =-=-=△△四边形．【总结升华】求不规则图形的面积，关键是将其转化为规则的图形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等），转化的方法主要是割补法，然后运用勾股定理求出相应的线段，解决面积问题．决面积问题． 举一反三：【变式】（20182018•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，•西城区模拟）已知：如图，在△ABC，BC=2BC=2BC=2，，S △ABC =3=3，∠ABC=135°，求，∠ABC=135°，求AC AC、、AB 的长．的长．【答案】解：如图，过点A 作AD⊥BC 交CB 的延长线于D ， 在△ABC 中，∵S △ABC =3=3，，BC=2BC=2，， ∴AD===3=3，，∵∠ABC=135°，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°，∴∠ABD=180°﹣135°=45°， ∴AB=AD=3， BD=AD=3BD=AD=3，，在Rt△ADC 中，中，CD=2+3=5CD=2+3=5CD=2+3=5，， 由勾股定理得，由勾股定理得，AC=AC===．2、已知直角三角形斜边长为2，周长为26+，求此三角形的面积．形的面积．【思路点拨】欲求Rt Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为6，结合勾股定理又得其平方和为4，于是可转化为用方程求解． 【答案与解析】解：设这个直角三角形的两直角边长分别为a b 、，则，则2222262a b a b ì++=+ïí+=ïî 即即2264a b a b ì+=ïí+=ïî①②将①两边平方，得2226a ab b ++= ③③ ③－②，得22ab =，所以1122ab =因此这个直角三角形的面积为12．【总结升华】此题通过设间接未知数a b 、，通过变形直接得出12ab 的值，而不需要分别求出a b 、 的值．本题运用了方程思想解决问题．思想解决问题．3、（2018春•黔南州期末）春•黔南州期末）长方形纸片长方形纸片ABCD 中，中，AD=4cm AD=4cm AD=4cm，，AB=10cm AB=10cm，按如图方式折叠，使点，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF EF，，求DE 的长．的长．【思路点拨】在折叠的过程中，在折叠的过程中，BE=DE BE=DE BE=DE．从而设．从而设BE 即可表示AE AE．在直角三角形．在直角三角形ADE 中，根据勾股定理列方程即可求解．中，根据勾股定理列方程即可求解． 【答案与解析】解：设DE=xcm DE=xcm，则，则BE=DE=x BE=DE=x，，AE=AB AE=AB﹣﹣BE=10BE=10﹣﹣x ，△ADE 中，中，DE DE 22=AE 22+AD 22，即x 22=（1010﹣﹣x ）22+16+16．．∴x=（cm cm））． 答：答：DEDE 的长为cm.思路点拨】其中一只猴子从另一只猴子从B→D→A于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得：解：如图②所示，由题意可得： 12AA ¢=，12392A B p ¢=´´=在在Rt Rt△△AA AA′′B 中，根据勾股定理得：中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ¢¢=+=+=则则AB AB＝＝15cm ．所以需要爬行的最短路程是所以需要爬行的最短路程是15cm ．。
部编人教版八年级数学下册勾股定理专题
部编人教版八年级数学下册勾股定理专题（含解答）目录1.勾股定理与特殊角问题－－化斜为直2.勾股定理与半夹角模型3.勾股定理与面积问题4.勾股定理与2和3问题5.勾股定理与分类讨论6.折叠中勾股定理与方程7.勾股定理与旋转问题8.借助勾股定理求最值专题一 勾股定理与特殊角问题－－作垂化斜为直【方法技巧】①含ο30角的直角三角形中，勾∶股∶弦＝2:3:1②含ο45角的直角三角形中，勾∶股∶弦＝2:1:1重点强化一 ο30 或ο45 或ο60→作垂线→ 构成特殊直角三角形1. （2019年盐城）如图，在△ABC 中 ， ,45,30,26οο=∠=∠+=C B BC 求AC 的长。
重点强化二 ο75 或ο105 →作垂线→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形2. 如图，在△ABC 中，的长。
求AB AC A B ,32,75,45==∠=∠οο3. 如图，在△ABC 中 ，的长。
求BC AC BAC C ,2,105,45==∠=∠οο重点强化三， ο120 或ο135 →作垂线→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形4. 如图，在△ABC 中 ，的长。
求AC AB B C ,32,30,120==∠=∠οοABC5. 如图，在，在△ABC 中 ，的长。
和求BC AC AB B C ,22,135,30==∠=∠οο重点强化四 ο15 或ο5.22 →加倍→ 转化为 ο30 或ο45直角三角形6.（1）【阅读材料】，如图1：在Rt △ABC 中的值。
求CDAC D C ,5.22,90οο=∠=∠图1 图2 解：在CD 上截取BD ＝AB ，则ο452=∠=∠D ABC12a)12(a ,a 12a2,a ,a -=+++==＝）＝（＝又＝则＝设CD AC CB BD CD BD AB BC AC Θ （2）【实际运用】如图2：在Rt △ABC 中的值。
求CDAC D C ,15,90οο=∠=∠参考答案1.解：如图：过点A 作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵,45,30οο=∠=∠C B21326213226,2133,3＝）（＝＝＝＝＝－－＝又+++∴+=+∴∴==BC AC BC DC AC BCDC DCDC BC DCBC BD DCAD AD BD ΘΘ ,45,30,26οο=∠=∠+=C B BC2. 解：过点A 作AD 垂直于BC 于DοοοΘ60,75,45=∠∴=∠=∠C A B在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，,60,45οο=∠=∠C B,2,23AD AB AC AD ==∴ ,32=AC Θ又2332232=••=∴AB3.解：过点A 作AD 垂直于BC 于D A B C D.30,105,45οοοΘ=∠∴=∠=∠B BAC C在Rt △ABD 和Rt △ADC 中AC DC AD BD 22,3==∴ 2,=AC DC AD ＝又Θ1222,32223=•==••∴DC BD ＝ ,DC BD BC +＝又Θ13+∴＝BC4.解：过点C 作CD 垂直于AB 于D在△ABC 中,30,120οοΘ=∠=∠B C ,30ο=∠∴A DB AD =∴ ,32=AB Θ又,3=∴AD在Rt △ADC 中，632332=•=•=∴AD AC5.解：过点A 作CB 延长线的垂线于D,45,135οοΘ=∠∴=∠BDA B在Rt △ADB 中AB BD AD 22==∴ 22222,22=•==∴=BD AD AB Θ 在Rt △ADC 中,30οΘ=∠C AD CD AD AC 3,2==∴32,4==∴CD AC232-=-=∴DB CD BC6. 解：如图，过点A 作AB 交DC 于B ，使ο30=∠ABC在△ADC 中，,15,90οοΘ=∠=∠D C ,75ο=∠∴DBCοΘ30=∠ABCBA BD BAD =∴=∠,15οΘAC BC BD BA AC 3,2121===∴ 3232132-=+=+=+=∴AC AC AC BC BD AC CD AC专题二 勾股定理与夹半角模型【方法技巧】夹半角，巧旋转，线集中，勾股解。