新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中,90C ∠=︒.⑴已知6AC =,8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c +=解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二:利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。

把实物模型转化为数学模型后,．已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!根据勾股定理AC 2+BC 2＝AB 2， 即ＡＣ2+9２=1５2,所以AC ２=144,所以AC=12.例题２ 如图(8），水池中离岸边D 点１.5米的C 处,直立长着一根芦苇，出水部分BＣ的长是0.５米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.解析:同例题１一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△AC Ｄ中,∠ACD=90°,在Ｒt △ACD 中,只知道CD＝１．5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下(仅供参考）:解:如图2,根据勾股定理，AC 2+CD 2=A Ｄ2设水深AC= x 米，那么AD ＝A Ｂ=AC+CB ＝x +0.5ｘ２+1．52=( x ＋0.5）2 解之得x =2. 故水深为2米.题型三:勾股定理和逆定理并用——例题3 如图3，正方形ＡＢCD 中，E 是ＢC 边上的中点,F 是AB 上一点，且AB FB 41=那么△ＤEF 是直角三角形吗?为什么? CB D A解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。

仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由AB FB 41 可以设A Ｂ=４ａ，那么BE=CE=2 a ，A Ｆ=３ ａ,ＢF= a ,那么在Ｒt △ＡFD 、Rt △ＢＥＦ和 Rt △CD Ｅ中，分别利用勾股定理求出DF,ＥF 和DE 的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△D ＥＦ是否是直角三角形。

详细解题步骤如下:解：设正方形A ＢＣD 的边长为4a ,则BE=ＣＥ＝2 a ,ＡF=3 a ,B Ｆ＝ ａ在Rt △ＣDE 中，ＤE 2＝C Ｄ２+C Ｅ２=(4a )2+(2 ａ)2=20 a２ 同理E Ｆ2＝5a ２, DF ２＝2５ａ２ 在△DE Ｆ中,E Ｆ2+ ＤＥ2＝5ａ2+ 20ａ2=２５a 2=ＤF2∴△DEF 是直角三角形,且∠DEF=90°． 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

题型四：利用勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长方形ＡB ＣD 中AB=8c ｍ,ＢC=１0cm ，在边ＣＤ上取一点E ，将△AD Ｅ折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F,求C Ｅ的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

合理设元是关键。

注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与ＡB 边和CD 边，他测得AD=80ｃｍ,A Ｂ=60cm ，ＢD=100ｃｍ,AD 边与ＡB 边垂直吗?怎样去验证A Ｄ边与CD 边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。

我们通常截取部分长度来验证。

如图4,矩形ABCD 表示桌面形状,在AB 上截取A Ｍ=12ｃm,在AD 上截取AN=9ｃm （想想为什么要设为这两个长度？),连结ＭＮ，测量M Ｎ的长度。

①如果ＭN=15,则A Ｍ2+AN 2=MN 2,所以A Ｄ边与AB 边垂直;②如果ＭＮ=a ≠15，则9２＋1２2=81+14４=2２５, ａ2≠2２５,即９2+122≠ a 2，所以∠A 不是直角。

利用勾股定理解决实际问题——例题6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高４.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开，一个身高1．5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开?解析：首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米,可想而知应该是头先距离灯5米。

转化为数学模型，如图6 所示，A 点表示控制灯，BM 表示人的高度，BC∥MN,BC ⊥AN 当头(B 点）距离Ａ有5米时,求BC 的长度。

已知ＡＮ=4．５米,所以AC=３米,由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门４米的时候灯刚好打开。

题型六：旋转问题：例１、如图,△ABC 是直角三角形，ＢＣ是斜边，将△ABP 绕点A逆时针旋转后，能与△A ＣP ′重合,若AP=3，求PP ′的长。

变式1：如图,P 是等边三角形ABC 内一点，P Ａ=2,PB=23,ＰC ＝４,求△ＡＢC 的边长.分析：利用旋转变换,将△ＢPA 绕点B 逆时针选择６０°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式２、如图,△A ＢC 为等腰直角三角形,∠ＢＡC=９０°，E 、Ｆ是BC 上的点,且∠EA Ｆ=45°,试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由．题型七：关于翻折问题例1、如图,矩形纸片ＡB ＣD 的边ＡＢ＝1０cm,B Ｃ＝6c ｍ，E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE折叠，点B 恰好落在CD 边上的点Ｇ处，求ＢE 的长.变式:如图，AD 是△ＡB Ｃ的中线，∠ＡDC ＝45°,把△A ＤＣ沿直线ＡD 翻折,点C 落在点C ’的位置,ＢＣ＝4,求BC ’的长.题型八:关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路M Ｎ和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学,AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿P Ｎ方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少?题型九：关于最短性问题例5、如右图1-１9，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的Ｂ处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?(π取３.14，结果保留1位小数,可以用计算器计算）变式:如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为９个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？三、课后训练：一、填空题1．如图(1)，在高2米，坡角为3０°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需＿＿_＿＿___米.图（1)2.种盛饮料的圆柱形杯(如图）,测得内部底面半径为2.5㎝,高为1２㎝，吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做 ㎝。

３．已知：如图，△ABC 中,∠C = 90°，点O 为△AB Ｃ的三条角平分线的交点，ＯＤ⊥BC,ＯE ⊥AC,OF ⊥AB,点Ｄ、E 、Ｆ分别是垂足,且B Ｃ = ８cm ，CA = 6c ｍ，则点Ｏ到三边ＡＢ,ＡC 和ＢC 的距离分别等于 cm4．在一棵树的１0米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树2０米处的池塘的A 处。

另一只爬到树顶D 后直接跃到Ａ处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高__＿_＿_____＿＿____＿___＿米。

5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3ｄｍ、２dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到Ｂ点最短路程是___＿＿__＿_____． 二、选择题１．已知一个Rt △的两边长分别为３和４,则第三边长的平方是( )Ａ、25 ﻩB 、1４ ﻩC 、7ﻩ D 、7或2５2．Rt △一直角边的长为１1,另两边为自然数,则Ｒt △的周长为（ )A 、12１ﻩB 、120C 、132ﻩD 、不能确定3.如果Ｒｔ△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为( )A 、60∶13ﻩﻩＢ、5∶1２ﻩﻩC 、12∶１3ﻩﻩD 、６０∶１694．已知Rt △A ＢC 中,∠Ｃ=90°,若a ＋b=14ｃm,c=10c ｍ,则Rt △ＡBC 的面积是（ )A 、24cm ２ﻩﻩﻩＢ、36cm 2 ﻩC 、48ｃm 2 D 、60cm 25.等腰三角形底边上的高为8，周长为32,则三角形的面积为( ）A 、56ﻩﻩ ﻩB 、4８ ﻩC 、40ﻩﻩﻩＤ、326．某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a 元,则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 ﻩB 、225a 元ﻩ Ｃ、１50ａ元 ﻩﻩD 、300ａ元7.已知，如图长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=９cm,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为ＥF ，则△A ＢE 的面积为( )COA BD EF 第3题图 D B C A 第4题图 2032A B150° 20m 30m 第6题图 A B E F D C 第7题图A、6cm２ﻩB、8ｃm2ﻩﻩC、1０ｃm2ﻩﻩＤ、12ｃｍ28.在△ABＣ中,AB=15，ＡC=13,高ＡD＝1２，则△ABＣ的周长为A.４2B．32ﻩﻩC．42或3２ﻩＤ.37或３39．如图，正方形网格中的△AＢＣ，若小方格边长为1,则△ABC是（)(Ａ）直角三角形 (Ｂ)锐角三角形 (C)钝角三角形(D)以上答案都不对A BC。