勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
勾股定理实际应用(习题及答案)
勾股定理实际应用（习题）例题示范例1：如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为2m 的半圆，其边缘AB =CD =10m ，点E 在CD 上，且CE =2m ．若一滑行爱好者从点A 到点E ，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，π取整数3）思路分析：1.作侧面展开图2.找点，连线3.构造直角三角形，利用勾股定理进行计算①由已知得，AD 6≈，DE =8②在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AE =10过程书写：解：如图，作出U 型池的侧面展开图由题意得，AD 2262π⋅=≈，DE =8在Rt △ADE 中，∠D =90°由勾股定理，得AD 2+DE 2=AE 2∴62+82=AE 2∴AE =10∴他滑行的最短距离是10m巩固练习1.如图，有两棵树，一棵高10米，一棵高5米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米．第1题图第2题图2.如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=150°，沿BD的方向前进，取∠BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD和DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（）A．180m B．2603mC．(260280)-m-m D．(260380)3.在一次课外实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．13m B．12m C．4m D．10m 4.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方与较高的棕榈树之间的距离为__________．5.如图，一个三级台阶的每一级的长、宽、高分别为50cm，30cm，10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，需要爬行的最短路径长为__________．6.小明家新装修房子，其中有一段楼梯需要铺上地毯，楼梯高6米，斜面长10米，到底该买多长的地毯才能恰好把楼梯铺满呢（原则：铺满楼梯但不能浪费），小明爸妈也摸不着头脑．小明给爸妈的正确答案应是___________．第6题图第7题图7.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_________cm．8.如图，已知圆柱底面的周长为2cm，高为1cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为________．第8题图第9题图9.如图，圆柱体的高为10cm，底面圆的半径为4cm．在AA1上的点Q处有一只蚂蚁，QA=3cm；在BB1上的点P处有一滴蜂蜜，PB1=2cm．若蚂蚁想要沿圆柱体侧面爬到点P处吃蜂蜜，则爬行的最短路径长是___________．（π取整数3）10.长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为10cm、4cm和4cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐内壁，在长方形ABCD中心正上方1cm的点H处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（）cm．A．74B．8C．310D．34411.如图所示的一只玻璃杯，高为8cm，将一根筷子插入其中，若杯外最长4cm，最短2cm，则这只玻璃杯的底面直径是___________cm．第10题图第11题图12.如图，将一根长为24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是__________________．13.如图，某隧道的截面是一个半径为4.2米的半圆形，一辆高3.6米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？【参考答案】巩固练习1.132.D3.B4.20肘尺5.130cm6.14米7.138.22cm9.13m10.A11.612.11≤h≤1213.卡车能通过该隧道，理由略。
勾股定理例题单选题100道及答案解析
勾股定理例题单选题100道及答案解析1. 在直角三角形中，两直角边分别为3 和4，则斜边的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，即斜边= √(3²+ 4²) = 52. 一个直角三角形的两条直角边分别为6 和8，那么斜边上的高为（）A. 4.8B. 5C. 6D. 8答案：A解析：先求出斜边为√(6²+ 8²) = 10，三角形面积= 0.5×6×8 = 0.5×10×斜边上的高，解得斜边上的高为4.83. 若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x 的值可能有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个答案：B解析：当4 为斜边时，x = √(4²- 2²) = 2√3；当x 为斜边时，x = √(2²+ 4²) = 2√5，所以x 的值有2 个4. 已知直角三角形的两直角边长分别为5 和12，则斜边长为（）A. 13B. 14C. 15D. 16答案：A解析：斜边长= √(5²+ 12²) = 135. 直角三角形的一条直角边为9，另一条直角边为12，则斜边的长为（）A. 15B. 16C. 17D. 18答案：A解析：斜边= √(9²+ 12²) = 156. 一个直角三角形的斜边为10，一条直角边为6，则另一条直角边为（）A. 8B. 9C. 11D. 12答案：A解析：另一条直角边= √(10²- 6²) = 87. 若直角三角形的周长为12，斜边长为5，则其面积为（）A. 12B. 10C. 8D. 6答案：D解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 5 = 12，a + b = 7，(a + b)²= 49，即a²+ 2ab + b²= 49，又因为a²+ b²= 25，所以2ab = 24，面积= 0.5ab = 68. 直角三角形的两直角边分别为6 和8，则斜边上的中线长为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：斜边= 10，斜边上的中线长为斜边的一半，即 59. 在△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，则BC 的长为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：BC = √(13²- 12²) = 510. 若一个直角三角形的两条边长分别为3 和5，则第三条边长为（）A. 4B. √34C. 4 或√34D. 无法确定答案：C解析：当5 为斜边时，第三条边= √(5²- 3²) = 4；当 3 和5 为直角边时，第三条边= √(3²+ 5²) = √3411. 已知直角三角形的两边长分别为3 和4，则第三边长为（）A. 5B. √7C. 5 或√7D. 不确定答案：C解析：当4 为斜边时，第三边= √(4²- 3²) = √7；当 3 和4 为直角边时，第三边= √(3²+ 4²) = 512. 一个直角三角形的两条直角边分别为15 和20，那么这个三角形的周长是（）A. 60B. 75C. 80D. 85答案：D解析：斜边= √(15²+ 20²) = 25，周长= 15 + 20 + 25 = 6013. 直角三角形的一条直角边为12，斜边为13，则另一条直角边为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A解析：另一条直角边= √(13²- 12²) = 514. 若直角三角形的斜边长为25，一条直角边长为7，则另一条直角边长为（）A. 24B. 26C. 27D. 28答案：A解析：另一条直角边= √(25²- 7²) = 2415. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，若a = 5，b = 12，则c = （）A. 13B. 14C. 15D. 16答案：A解析：c = √(5²+ 12²) = 1316. 一个直角三角形的两条直角边分别为8cm 和15cm，则斜边为（）A. 17cmB. 18cmC. 19cmD. 20cm答案：A解析：斜边= √(8²+ 15²) = 17cm17. 若直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则其面积为（）A. 30cm²B. 60cm²C. 90cm²D. 120cm²答案：B解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 13 = 30，a + b = 17，(a + b)²= 289，即a²+ 2ab + b²= 289，又因为a²+ b²= 13²= 169，所以2ab = 120，面积= 0.5ab = 30cm²18. 直角三角形的一条直角边长为11，另一条直角边长为60，则斜边的长为（）A. 61B. 62C. 63D. 64答案：A解析：斜边= √(11²+ 60²) = 6119. 在直角三角形中，两直角边分别为5 和12，那么斜边上的中线长为（）A. 6.5B. 7.5C. 8.5D. 9.5答案：A解析：斜边= 13，斜边上的中线长为6.520. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为6 和8，那么这个直角三角形斜边上的高为（）A. 4.8B. 5C. 6D. 8答案：A解析：斜边= 10，三角形面积= 0.5×6×8 = 0.5×10×斜边上的高，解得斜边上的高为 4.821. 直角三角形的两直角边分别为9 和12，则此直角三角形的周长为（）A. 21B. 30C. 36D. 42答案：C解析：斜边= √(9²+ 12²) = 15，周长= 9 + 12 + 15 = 3622. 若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和4cm，则斜边上的高为（）A. 2.4cmB. 2.5cmC. 2.6cmD. 2.7cm答案：A解析：斜边= 5cm，三角形面积= 0.5×3×4 = 0.5×5×斜边上的高，解得斜边上的高为2.4cm23. 一个直角三角形的两条直角边分别为7和24，则斜边为（）A. 25B. 26C. 27D. 28答案：A解析：斜边= √(7²+ 24²) = 2524. 直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，则另一条直角边为（）A. 12B. 13C. 14D. 15答案：A解析：另一条直角边= √(13²- 5²) = 1225. 在△ABC 中，∠C = 90°，BC = 6，AC = 8，则AB 的长为（）A. 9B. 10C. 11D. 12答案：B解析：AB = √(6²+ 8²) = 1026. 若直角三角形的三边长分别为5，12，x，则x 的值可能是（）A. 13B. 14C. 15D. 17答案：A解析：当x 为斜边时，x = √(5²+ 12²) = 13；当12 为斜边时，x = √(12²- 5²) = √119，因为选项中只有13，所以x = 1327. 一个直角三角形的两条直角边分别为18和24，则这个三角形的周长为（）A. 60B. 72C. 84D. 96答案：C解析：斜边= √(18²+ 24²) = 30，周长= 18 + 24 + 30 = 7228. 直角三角形的一条直角边为16，斜边为20，则另一条直角边为（）A. 12B. 13C. 14D. 15答案：A解析：另一条直角边= √(20²- 16²) = 1229. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，若a = 8，b = 15，则c = （）A. 17B. 18C. 19D. 20答案：A解析：c = √(8²+ 15²) = 1730. 已知直角三角形的两边长分别为5和13，则第三边长为（）A. 12B. √194C. 12 或√194D. 不能确定答案：C解析：当13 为斜边时，第三边= √(13²- 5²) = 12；当 5 和13 为直角边时，第三边= √(5²+ 13²) = √19431. 一个直角三角形的两条直角边分别为10和24，则斜边为（）A. 25B. 26C. 27D. 28答案：B解析：斜边= √(10²+ 24²) = 2632. 若直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A. 24B. 36C. 48D. 96答案：B解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 10 = 24，a + b = 14，(a + b)²= 196，即a²+ 2ab + b²= 196，又因为a²+ b²= 100，所以2ab = 96，面积= 0.5ab = 2433. 直角三角形的一条直角边长为7，斜边为25，则另一条直角边为（）A. 24B. 26C. 27D. 28答案：A解析：另一条直角边= √(25²- 7²) = 2434. 在△ABC 中，∠C = 90°，AB = 17，AC = 15，则BC 的长为（）A. 8B. 9C. 10D. 11答案：A解析：BC = √(17²- 15²) = 835. 若一个直角三角形的两条边长分别为8和15，则第三条边长为（）A. 17B. √161C. 17 或√161D. 无法确定答案：C解析：当15 为斜边时，第三条边= √(15²- 8²) = √161；当8 和15 为直角边时，第三条边= √(8²+ 15²) = 1736. 已知直角三角形的两边长分别为8和10，则第三边长为（）A. 6B. 2√41C. 6 或2√41D. 不确定答案：C解析：当10 为斜边时，第三边= √(10²- 8²) = 6；当8 和10 为直角边时，第三边= √(8²+ 10²) = 2√4137. 一个直角三角形的两条直角边分别为20和21，则这个三角形的周长是（）A. 60B. 61C. 62D. 63答案：D解析：斜边= √(20²+ 21²) = 29，周长= 20 + 21 + 29 = 7038. 直角三角形的一条直角边为24，斜边为25，则另一条直角边为（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：A解析：另一条直角边= √(25²- 24²) = 739. 若直角三角形的斜边长为37，一条直角边长为12，则另一条直角边长为（）A. 35B. 36C. 37D. 38答案：A解析：另一条直角边= √(37²- 12²) = 3540. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，若a = 12，b = 16，则c = （）答案：A解析：c = √(12²+ 16²) = 2041. 一个直角三角形的两条直角边分别为12cm 和16cm，则斜边为（）A. 20cmB. 21cmC. 22cmD. 23cm答案：A解析：斜边= √(12²+ 16²) = 20cm42. 若直角三角形的周长为36cm，斜边长为15cm，则其面积为（）A. 54cm²B. 60cm²C. 72cm²D. 81cm²答案：A解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 15 = 36，a + b = 21，(a + b)²= 441，即a²+ 2ab + b²= 441，又因为a²+ b²= 15²= 225，所以2ab = 216，面积= 0.5ab = 54cm²43. 直角三角形的一条直角边长为18，另一条直角边长为24，则斜边的长为（）A. 30B. 32C. 34D. 36答案：A解析：斜边= √(18²+ 24²) = 3044. 在直角三角形中，两直角边分别为7和24，那么斜边上的中线长为（）A. 12.5B. 13C. 13.5D. 14答案：A解析：斜边= 25，斜边上的中线长为斜边的一半，即12.545. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为9和12，那么这个直角三角形斜边上的高为（）A. 7.2B. 7.5C. 7.8D. 8答案：A解析：斜边= 15，三角形面积= 0.5×9×12 = 0.5×15×斜边上的高，解得斜边上的高为7.246. 直角三角形的两直角边分别为15和20，则此直角三角形的周长为（）A. 60B. 70C. 80D. 90答案：B解析：斜边= 25，周长= 15 + 20 + 25 = 6047. 若直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的高为（）A. 6cmB. 8cmC. 60/13 cmD. 120/13 cm答案：C解析：斜边= 13cm，三角形面积= 0.5×5×12 = 0.5×13×斜边上的高，解得斜边上的高为60/13 cm48. 一个直角三角形的两条直角边分别为25和60，则斜边为（）A. 65B. 70C. 75D. 80答案：A解析：斜边= √(25²+ 60²) = 6549. 直角三角形的一条直角边为36，斜边为39，则另一条直角边为（）A. 15B. 16C. 17D. 18答案：A解析：另一条直角边= √(39²- 36²) = 1550. 在△ABC 中，∠C = 90°，BC = 8，AC = 15，则AB 的长为（）答案：B解析：AB = √(8²+ 15²) = 1751. 若直角三角形的三边长分别为8，15，x，则x 的值可能是（）A. 17B. 18C. 19D. 20答案：A解析：当x 为斜边时，x = √(8²+ 15²) = 17；当15 为斜边时，x = √(15²- 8²) = √161，因为选项中只有17，所以x = 1752. 一个直角三角形的两条直角边分别为30和40，则这个三角形的周长为（）A. 90B. 100C. 110D. 120答案：D解析：斜边= 50，周长= 30 + 40 + 50 = 12053. 直角三角形的一条直角边长为48，斜边为50，则另一条直角边为（）A. 14B. 16C. 18D. 20答案：A解析：另一条直角边= √(50²- 48²) = 1454. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，若a = 10，b = 24，则c = （）A. 25B. 26C. 27D. 28答案：B解析：c = √(10²+ 24²) = 2655. 已知直角三角形的两边长分别为12和16，则第三边长为（）A. 20B. 4√7C. 20 或4√7D. 不能确定答案：C解析：当16 为斜边时，第三边= √(16²- 12²) = 4√7；当12 和16 为直角边时，第三边= √(12²+ 16²) = 2056. 一个直角三角形的两条直角边分别为40和41，则斜边为（）A. 58B. 59C. 60D. 61答案：D解析：斜边= √(40²+ 41²) = 6157. 若直角三角形的周长为48，斜边长为20，则其面积为（）A. 48B. 96C. 192D. 384答案：B解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 20 = 48，a + b = 28，(a + b)²= 784，即a²+ 2ab + b²= 784，又因为a²+ b²= 20²= 400，所以2ab = 384，面积= 0.5ab = 9658. 直角三角形的一条直角边为50，斜边为52，则另一条直角边为（）A. 16B. 18C. 20D. 22答案：A解析：另一条直角边= √(52²- 50²) = 1659. 在△ABC 中，∠C = 90°，AB = 29，AC = 21，则BC 的长为（）A. 20B. 22C. 24D. 26答案：A解析：BC = √(29²- 21²) = 2060. 若一个直角三角形的两条边长分别为10和26，则第三条边长为（）A. 24B. 2√69C. 24 或2√69D. 无法确定答案：C解析：当26 为斜边时，第三条边= √(26²- 10²) = 24；当10 和26 为直角边时，第三条边= √(10²+ 26²) = 2√6961. 已知直角三角形的两边长分别为14和16，则第三边长为（）A. 2√51B. 2√65C. 2√51 或2√65D. 不确定答案：C解析：当16 为斜边时，第三边= √(16²- 14²) = 2√51；当14 和16 为直角边时，第三边= √(14²+ 16²) = 2√6562. 一个直角三角形的两条直角边分别为55和73，则斜边为（）A. 90B. 92C. 94D. 96答案：A解析：斜边= √(55²+ 73²) = 9063. 若直角三角形的周长为56，斜边长为25，则其面积为（）A. 84B. 96C. 108D. 120答案：A解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 25 = 56，a + b = 31，(a + b)²= 961，即a²+ 2ab + b²= 961，又因为a²+ b²= 25²= 625，所以2ab = 336，面积= 0.5ab = 8464. 直角三角形的一条直角边为65，斜边为68，则另一条直角边为（）A. 21B. 23C. 25D. 27答案：A解析：另一条直角边= √(68²- 65²) = 2165. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，若a = 18，b = 24，则c = （）A. 30B. 32C. 34D. 36答案：A解析：c = √(18²+ 24²) = 3066. 一个直角三角形的两条直角边分别为18cm和24cm，则斜边为（）A. 30cmB. 32cmC. 34cmD. 36cm答案：A解析：斜边= √(18²+ 24²) = 30cm67. 若直角三角形的周长为40cm，斜边长为17cm，则其面积为（）A. 30cm²B. 60cm²C. 90cm²D. 120cm²答案：B解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 17 = 40，a + b = 23，(a + b)²= 529，即a²+ 2ab + b²= 529，又因为a²+ b²= 17²= 289，所以2ab = 240，面积= 0.5ab = 60cm²68. 直角三角形的一条直角边长为32，另一条直角边长为24，则斜边的长为（）A. 40B. 42C. 44D. 46答案：A解析：斜边= √(32²+ 24²) = 4069. 在直角三角形中，两直角边分别为11和60，则斜边上的中线长为（）A. 30.5B. 31C. 31.5D. 32答案：C解析：斜边= 61，斜边上的中线长为30.570. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为13和14，那么这个直角三角形斜边上的高为（）A. 12B. 12.5C. 120/13D. 130/14答案：C解析：斜边= √(13²+ 14²) = √365，三角形面积= 0.5×13×14 = 0.5×√365×斜边上的高，解得斜边上的高为120/1371. 直角三角形的两直角边分别为21和28，则此直角三角形的周长为（）A. 77B. 80C. 84D. 88答案：A解析：斜边= 35，周长= 21 + 28 + 35 = 8472. 若直角三角形的两直角边长分别为7cm和24cm，则斜边上的高为（）A. 72/25 cmB. 84/25 cmC. 168/25 cmD. 252/25 cm答案：B解析：斜边= 25cm，三角形面积= 0.5×7×24 = 0.5×25×斜边上的高，解得斜边上的高为84/25 cm73. 一个直角三角形的两条直角边分别为75和100，则斜边为（）A. 125B. 130C. 135D. 140答案：A解析：斜边= √(75²+ 100²) = 12574. 直角三角形的一条直角边为80，斜边为89，则另一条直角边为（）A. 39B. 41C. 43D. 45答案：A解析：另一条直角边= √(89²- 80²) = 3975. 在△ABC 中，∠C = 90°，BC = 12，AC = 9，则AB 的长为（）A. 13B. 14C. 15D. 16答案：C解析：AB = √(12²+ 9²) = 1576. 若直角三角形的三边长分别为15，20，x，则x 的值可能是（）A. 25B. 26C. 27D. 28答案：A解析：当x 为斜边时，x = √(15²+ 20²) = 25；当20 为斜边时，x = √(20²- 15²) = 5√7，因为选项中只有25，所以x = 2577. 一个直角三角形的两条直角边分别为84和13，则斜边为（）A. 85B. 86C. 87D. 88答案：A解析：斜边= √(84²+ 13²) = 8578. 若直角三角形的周长为60，斜边长为26，则其面积为（）A. 72B. 96C. 108D. 120答案：B解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 26 = 60，a + b = 34，(a + b)²= 1156，即a²+ 2ab + b²= 1156，又因为a²+ b²= 26²= 676，所以2ab = 480，面积= 0.5ab = 12079. 直角三角形的一条直角边为96，斜边为100，则另一条直角边为（）A. 28B. 32C. 36D. 40答案：B解析：另一条直角边= √(100²- 96²) = 3280. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，若a = 20，b = 21，则c = （）A. 29B. 30C. 31D. 32答案：A解析：c = √(20²+ 21²) = 2981. 已知直角三角形的两边长分别为20 和25，则第三边长为（）A. 15B. 5√41C. 15 或5√41D. 不确定答案：C解析：当25 为斜边时，第三边= √(25²- 20²) = 15；当20 和25 为直角边时，第三边= √(20²+ 25²) = 5√4182. 一个直角三角形的两条直角边分别为63 和16，则斜边为（）A. 65B. 67C. 69D. 71答案：A解析：斜边= √(63²+ 16²) = 6583. 若直角三角形的周长为70，斜边长为29，则其面积为（）A. 120B. 130C. 140D. 150答案：A解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 29 = 70，a + b = 41，(a + b)²= 1681，即a²+ 2ab + b²= 1681，又因为a²+ b²= 29²= 841，所以2ab = 840，面积= 0.5ab = 21084. 直角三角形的一条直角边为72，斜边为75，则另一条直角边为（）A. 27B. 29C. 31D. 33答案：A解析：另一条直角边= √(75²- 72²) = 2785. 在△ABC 中，∠C = 90°，AB = 37，AC = 35，则BC 的长为（）A. 12B. 14C. 16D. 18答案：A解析：BC = √(37²- 35²) = 1286. 若一个直角三角形的两条边长分别为18 和32，则第三条边长为（）A. 38B. 14√2C. 38 或14√2D. 无法确定答案：C解析：当32 为斜边时，第三条边= √(32²- 18²) = 14√2；当18 和32 为直角边时，第三条边= √(18²+ 32²) = 3887. 已知直角三角形的两边长分别为9 和11，则第三边长为（）A. √22B. √40C. √22 或√202D. 不确定答案：C解析：当11 为斜边时，第三边= √(11²- 9²) = √22；当9 和11 为直角边时，第三边= √(9²+ 11²) = √20288. 一个直角三角形的两条直角边分别为45和28，则斜边为（）A. 53B. 55C. 57D. 59答案：A解析：斜边= √(45²+ 28²) = 5389. 若直角三角形的周长为66，斜边长为26，则其面积为（）A. 96B. 108C. 112D. 120答案：B解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 26 = 66，a + b = 40，(a + b)²= 1600，即a²+ 2ab + b²= 1600，又因为a²+ b²= 26²= 676，所以2ab = 924，面积= 0.5ab = 11290. 直角三角形的一条直角边为108，斜边为110，则另一条直角边为（）A. 32B. 34C. 36D. 38答案：D解析：另一条直角边= √(110²- 108²) = 3891. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，若a = 30，b = 40，则c = （）A. 50B. 60C. 70D. 80答案：A解析：c = √(30²+ 40²) = 5092. 一个直角三角形的两条直角边分别为36cm 和48cm，则斜边为（）A. 60cmB. 62cmC. 64cmD. 66cm答案：A解析：斜边= √(36²+ 48²) = 60cm93. 若直角三角形的周长为56cm，斜边长为20cm，则其面积为（）A. 96cm²B. 112cm²C. 128cm²D. 144cm²答案：A解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 20 = 56，a + b = 36，(a + b)²= 1296，即a²+ 2ab + b²= 1296，又因为a²+ b²= 20²= 400，所以2ab = 896，面积= 0.5ab = 96cm²94. 直角三角形的一条直角边为78，斜边为85，则另一条直角边为（）A. 37B. 39C. 41D. 43答案：B解析：另一条直角边= √(85²- 78²) = 3995. 在△ABC 中，∠C = 90°，BC = 16，AC = 30，则AB 的长为（）A. 34B. 36C. 38D. 40答案：A解析：AB = √(16²+ 30²) = 3496. 若直角三角形的三边长分别为24，10，x，则x 的值可能是（）A. 26B. 22C. 26 或22D. 不能确定答案：C解析：当x 为斜边时，x = √(24²+ 10²) = 26；当24 为斜边时，x = √(24²- 10²) = 2297. 一个直角三角形的两条直角边分别为90和120，则斜边为（）A. 150B. 160C. 170D. 180答案：A解析：斜边= √(90²+ 120²) = 15098. 若直角三角形的周长为84，斜边长为37，则其面积为（）A. 120B. 126C. 132D. 138答案：B解析：设两直角边分别为a、b，a + b + 37 = 84，a + b = 47，(a + b)²= 2209，即a²+ 2ab + b²= 2209，又因为a²+ b²= 37²= 1369，所以2ab = 840，面积= 0.5ab = 12699. 直角三角形的一条直角边为132，斜边为137，则另一条直角边为（）A. 45B. 47C. 49D. 51答案：A解析：另一条直角边= √(137²- 132²) = 45100. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，若a = 48，b = 55，则c = （）A. 73 B. 75 C. 77 D. 79答案：A解析：c = √(48²+ 55²) = 73。
勾股定理典型练习题(含答案)
勾股定理典型练习题(含答案)1.勾股定理典型练题勾股定理是几何中的一个重要定理。
在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。
如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。
图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。
根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。
2.勾股定理典型练题XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。
若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 = 4.因此，答案为C。
3.勾股定理典型练题如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。
则图中阴影部分的面积是多少？首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。
同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。
因此，阴影部分的面积为8√2 - 2 × 2 - 2 ×1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。
4.勾股定理典型练题如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)² = 6.因此，答案为C。
5.勾股定理典型练题如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？首先，根据勾股定理，AB = √(BC² + AC²) = 2√2.因此，半圆的面积为π × (2√2 / 2)² = 2π。
(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
勾股定理经典题型（后附答案）
勾股定理经典题型（后附答案）第 1 页共 5 页勾股定理经典题型(后附答案)⼀、经典例题精讲题型⼀：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.题型三：勾股定理和逆定理并⽤——例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 41=那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？题型四：利⽤勾股定理求线段长度——例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？第 2 页共 5 页题型六：旋转问题：例题7 如图，△ABC 是直⾓三⾓形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
变式1: 如图，P 是等边三⾓形ABC 内⼀点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.变式2: 如图，△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题8 如图，矩形纸⽚ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上⼀点，将矩形纸⽚沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.题型⼋：关于勾股定理在实际中的应⽤：例题9 如图，公路MN 和公路PQ 在P点处交汇，点A处有⼀所中学，AP=160⽶，点A 到公路MN 的距离为80⽶，假使拖拉机⾏驶时，周围100⽶以内会受到噪⾳影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN ⽅向⾏驶时，学校是否会受到影响，第 3 页共5页请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千⽶/⼩时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例题10 如右图1－19，壁虎在⼀座底⾯半径为2⽶，⾼为4⽶的油罐的下底边沿A 处，它发现在⾃⼰的正上⽅油罐上边缘的B 处有⼀只害⾍，便决定捕捉这只害⾍，为了不引起害⾍的注意，它故意不⾛直线，⽽是绕着油罐，沿⼀条螺旋路线，从背后对害⾍进⾏突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了⼀顿美餐．请问壁虎⾄少要爬⾏多少路程才能捕到害⾍?（π取3.14，结果保留1位⼩数，可以⽤计算器计算）变式：如图为⼀棱长为3cm 的正⽅体，把所有⾯都分为9个⼩正⽅形，其边长都是1cm ，假设⼀只蚂蚁每秒爬⾏2cm ，则它从下地⾯A 点沿表⾯爬⾏⾄右侧⾯的B 点，最少要花⼏秒钟？三、课后训练：⼀、填空题1．如图(1)，在⾼2⽶，坡⾓为30°的楼梯表⾯铺地毯，地毯的长⾄少需________⽶． 2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底⾯半径为2.5㎝，⾼为12㎝，吸管放进杯⾥，杯⼝外⾯⾄少要露出 4.6㎝，问吸管要做㎝。
勾股定理(讲义及答案)及解析
一、选择题1．已知长方体的长2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）A ．29cmB ．5cmC ．37cmD ．4.5cm2．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE ，BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于点G ，下面给出四个结论:①2BD BE =； ②∠A=∠BHE ； ③AB=BH ； ④△BCF ≌△DCE ， 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④3．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．95．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为( )A ．3cmB ．14cmC ．5cmD ．4cm6．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．127．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3(如图)．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间 9．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（ ） A ．5 B ．4 C 7D ．4或5 10．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（ ） A ．::5:12:13a b c =B ．A BC ∠+∠=∠ C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=D ．6a =，12b =，10c =二、填空题11．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．12．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．13．如图，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的下底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的C 点处的食物，需要爬行的最短路程是___________________（π的值取3）．14．如图，Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________15．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________.16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．19．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝； （2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．23．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.24．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.25．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．26．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).27．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD 30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A的坐标；（2）判断DF与OE的数量关系，并说明理由；的周长.（3）直接写出ADG28．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．29．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．30．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA'，A C''，C B''，B B'剪开，得图1:22222AB AB BB'=+'=++=；(21)425（2）沿AC，CC'，C B''，B D''，D A''，A A'剪开，得图2:22222'=+'=++=+=；AB AC B C2(41)42529DD，B D''，C B''，C A''，AA'剪开，得图3:（3）沿AD，'22222'=+'=++=+=；AB AD B D1(42)13637综上所述，最短路径应为（1）所示，所以225AB '=，即5cm AB '=．故选：B ．【点睛】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．2．A解析：A【分析】先判断△DBE 是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BE ，故①正确；根据∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，可得∠BHE=∠C ，再由∠A=∠C ，可得②正确；证明△BEH ≌△DEC ，从而可得BH=CD ，再由AB=CD ，可得③正确；利用已知条件不能得到④，据此即可得到选项.【详解】解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC 于E ，∴在Rt △DBE 中，BE 2+DE 2=BD 2，BE=DE ，∴BE ，故①正确；∵DE ⊥BC ，BF ⊥DC ，∴∠BHE 和∠C 都是∠HBE 的余角，∴∠BHE=∠C ，又∵在▱ABCD 中，∠A=∠C ，∴∠A=∠BHE ，故②正确；在△BEH 和△DEC 中，BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BEH ≌△DEC ，∴BH=CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB=CD ，∴AB=BH ，故③正确；利用已知条件不能得到△BCF ≌△DCE ，故④错误，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.3．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
勾股定理练习题及答案解析
勾股定理练习题及答案解析一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ．二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．ACB2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？AECDB15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角． 8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．小汽车小汽车观测点10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ． 15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ． 答案：这辆小汽车超速了． 附：如何掌握好每学期应掌握的知识如何掌握好每学期应掌握的知识，每学期对知识归纳总结是打好基础的好方式， 可以遵循以下方式进行：一、地毯式扫荡。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案1. 直角三角形1.1 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：c = √(a^2 + b^2)其中，a和b分别为两个直角边的长度。
代入已知值，可以得到：c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm所以，斜边的长度为5cm。
1.2 已知直角三角形的斜边长度为10cm，其中一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。
解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2将已知值代入，可以得到：10^2 = 6^2 + b^2100 = 36 + b^2b^2 = 100 - 36b^2 = 64b = √64 = 8cm所以，另一条直角边的长度为8cm。
2. 直角三角形的应用2.1 一根长度为12cm的电话线在地面上拉出了一个直角三角形，其中一条直角边长为9cm，求另一条直角边和斜边的长度。
解答：根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为9cm，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 9^2 + b^2c^2 = 81 + b^2又已知三角形的斜边是长为12cm的电话线，所以可以得到另一个公式：c = 12将这两个公式结合，可以得到以下方程：81 + b^2 = 12^281 + b^2 = 144b^2 = 144 - 81b^2 = 63b = √63 ≈ 7.94cm所以，另一条直角边的长度约为7.94cm，斜边的长度为12cm。
2.2 一根高度为10m的电线杆倒在地面上形成了一个直角三角形，其中一条直角边长为8m，求另一条直角边和斜边的长度。
解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为8m，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 8^2 + b^2c^2 = 64 + b^2又已知三角形的斜边是高度为10m的电线杆，所以可以得到另一个公式：c = 10将这两个公式结合，可以得到以下方程：64 + b^2 = 10^264 + b^2 = 100b^2 = 100 - 64b^2 = 36b = √36 = 6m所以，另一条直角边的长度为6m，斜边的长度为10m。
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典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1. 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2. 在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐A. CD、EF、GHC. AB、CD GHB. AB、EF、GHD. AB、CD EF3. 直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a 4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*B. 3cmC. -Icni D kinHn題童分标本题着查勾股定理的应用祖：）解龜思路；車题若直接在中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，J\ACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。
所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。
勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。
方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。
例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。
清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。
”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。
”冠华兴致勃勃地说。
张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。
”A. 2cm 恿路分析：d“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。
”绣亚补充说。
几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。
同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答设直角三角形削三边长分别为久"亠如图，则圧二了米c -b c+B 1010（米）.匸解題后的慝曲』这是一道圈读理解奚试蕊这种题型特点鲜明、內容丰富、趙越常规，源于谨本，高干课本*不彳貝考査阅谨能力，而且还综合考杳数学意识和数学嫌合应用能打尤其着查薮字思缝能力和创新意込解题时"一股是通过阅满理解槪念，拿握方法』硕悟思想、抓住本质，然后才能解答间题汀+J知识点二、构造直角三角形使用勾股定理例4；如图,一个长方体形的木柜談在墙角处（与墙面和地面均没有耀隙），有一只蚂蚊从柜阳丿处沿着木柜表面爬到柜角G处.，⑴ 谜你画出蚂觀能够最快到达目的地的可能路径；Q⑵当曲"，^C=4 求蚂蚁爬过的震矩路径的艮亠又c^-b1 -a20 （米）・*十g10丿匕、求点.国到餵短踣径的距篱口思路分析：屮1＞躍分析；卞题苇查勾股定理例应用.P23解题思路；解決此粪间题的关国是把立悴圈形间題转化丸平面图形问题.从而制用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意养洛哪一条路径是最短的.心解答过程：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩珈上配4和XCT同.屮r蚂螃能够最快到达目的地的可能》§径有如图的AC1和⑴蚂蛾沿着木柜表面经娃段△禺到爬过的路径的桧是 "押+（4 +对二坷” 蚂軾沿着木柜表贡经线段刀耳到爬过的路徑的长是右二奸遍匚亨二J§§.,最短路径的长是耳=毘屮恥=坐AA = ^=5=—^⑶作耳左丄肚吁码则够、89^沖所求.4解題后的恿考…转化的思想是将夏朶问题特他分解次简单旳I可题，或将陌生的I可題转化为熟悉的间題来处理的一种慝想右法。
如’在许多实际间题中.首先将師习題转化为数学问题，另外，当间题中没有给出直甬三甬形时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。
脣一块直垢三用形的绿地，爲得两直角边长分别为皿 8m•现在妾将绿地扩充成等腰三角形!且扩充部分是以如为直角边的直角三角形‘ 求扩充后等腰三甬形绿地的周长.亠思翳分析：此题如戶圈形将变得很简单，搔圈形解答同网・但若没有图彩，则需藝讨论几种可能的情况.这正是肚无图题前细恩考，分粪讨论保周到二心解答5过程，在Rt△曲C中，ZACB - 90a, AC- & BC-6 f由勾股定理育；AS = 10.犷充部分次RtMOD,扩充成等睡△他氏应分旦卩三种情况’①如图L当= .45=10时，可求得△屈Q的周长酋伽1°②如图h ^AB = SD=W^,可求CD=4t 由勾股定理島应二4■^得△朋D的周长刘20+40"③^圈3)25当AB^底时"设皿二加 r则UD二;r-&由勾股走理得’分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。
知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6：( 1图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。
若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中间小正方形的面积。
(2)现有一张长为、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。
(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)甲乙Pn題意分析：本题考査湘坤勾股定理进行圈形的拼制剪接』23解題恿路'注青拼接过程中面积是不变的匸K®12S：彳(i)设直第三角形的较长亘角边长为肚较短宜角边长为虬则小正方形的边长酋負—切由题青得a◎ + b = 5①#由勾股定理，得云+沪=13 ②卩①：一②2血= 12.所［真⑺-&二立"—上"—2加二13—12二1 ③即所求的中间小正方形的面积为1」⑺所拼成的正気形的面租为&2 = 1牝酬)所以可按照图甲制由③得宀一3 = Id由①、③组成方程组解爲口 = 3-匕二—结合题意*每个直角三角形的较长直角边只能在妖片e.5cm的畏边上截取，去掉四乍直角三角形后，余下的面积蓟13 ——x3x2x4= 13-12= lfciM3)2 ，恰好等于中间的十正方形的面积.于是，得封朝下分劃拼合方法：解■題后09黒考=这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决间题的，但杲，要注意章握和运用好题目所绪的各个有用信息，否则，问题就不容易得到解决-1知识点四*砂应用勾股定理屮例九m以等Hf-ffi形MB审斜辺为直角辺向外作第：个等腰直箱三角形ABA1，再以等BS直角三角形阳衛的斜边対直角边向外作第3个等曉直角三角形AiEB Lf……，如此作下去'若QA=OB=h则第口个等樓直角三角形的更积爲=盟路分析」1＞題意分祈；本题萼查利用勾股定理进行归纳推理Q解題患路：先在RtAABO中，由OA=OB=1求出AB= ^2 ;再在RtAAB龟中，由AE = A 求出九B=l ................ ?再分别求出A AO0-. AABA L^ AAiBEr……的面机从中发现规律！猜想出结论。
叙\z在RtAAEO 中，由ZAOB=?C°i OA=OB=1,可求出AB= V2 , S 丄2>O B-2 >4^1= 2 =2i；RtAAB Ai 中，由ZAiAB=?u% AB=AAi = J_V2 P可求出盘田=2, S a=2xV2 x-JS =1=2°）在RtAAiBBi中，由N1AiBBi=?0% AiB=BBi = 2,可求出AiB】=2 J区耳=3 “a 2=2=24 在RiAAj BaBi中，由^^ = 9^,扎珀=如比=池,可2求出Ei 0g=4i £4= 2x2^2 x 2?/2 =4=22； ............... * 由此可UA猜想§^=2*»* 解題后的恩若；割匕归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似的对象诳行S寸比，作出归纳制断的一种科学硏究方法.在中苕數学中若查类比归纳法，皆在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由线织咸网.便知识有序化、系统f匕从而使学生拿握知识內在的规律.预习导学屮下一讲我（门将瞬認四辺形的应用.本讲內容是中垮堇点之一，如特殊四辺形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等s縣形）的性质和判定，以圧运肩这些知识解决买际间题.中着中常比迭择题、埴空題、解答题和证胡题諄膨式呈现，近年的中考中文出现了开議题、应用SL阅谨理解题* 学科闾综台题、动点间题、折醫问题等，这些都是热点题型，应引起同学们高度关注.p同步练习（答题吋间；6。
分钟）屮A. AB中点蛀C. AC中点处B. BC中核处屮D. 4；的平分线与朋的兗点处#3.如图,長方体的长为15,贯为10.高为加・点^到点C的距离汽5,貝蚂蚁如果要沿看长方悴的表面从点占爬至唸£,需要爬行的最題距鶴一、选择题21. 如图，每个小正育形00边长为L A.◎是小正方理的顶点.则/A 50°ft. 604 C. 45" D 3C°+J2如圈所示'扣&＞心分别耒示三个村庄，AB=10M米皿米, AC=S00米'在社会主义新农村建设中，为了车富群金生活，拟建一个文化活动中心，宴求这三个村庄到活动中心的距离相奪，则活动中心F处的位貫应在()屮肋C的度数为(C二、填空题赧4.某搂梯的侧面视图如图所示.其中AB二4米，二3『，ZC二沁S園某种活动要求铺设红色地毯，则在曲段楼梯所铺地毯的长JB应为_____ □卩5.已知应AAM的周长是4亠4历・斜迦上的中线长是n piJ S遊= - +J也如匡长方体的底面辺长分别为Mrn和3cm,高为Oum・如果用一丰艮細豪从巨月FfeSl 4 i观i£滬決一圈到丄丸E、需妾cm.如果从点A开始经过4个侧面麵疑«圈到达点B,那么所用细趺最短um. +■*fl7.圏甲是我国古代著名的”赵更弦圏"的示竟图*它是由四个全等的直角三角形圉成的-在RiAABC 若直角辺也C=£, BC=&将四个矗麹三驚理中边长为6的直角辺分别向夕涎长一e,得到图乙所示数学侃车％则这个风车的周按（图乙中的实线）是.屮B. 25C. lCN^ + 5 D35百度文库-让每个人平等地提升自我在花圃內走出了一条'潞他们仅［又少走了_______________ 歩路（假设2歩为1米），却足采伤了花草-#9.如圏所示的圆柱体中底H8的半径是I高为2,若一只小虫从百点出发沿着圆柱悴的侧面爬行到C点，则小主爬厅的最短路程是___________ （结杲保留根号）-屮丁夙车的外围周扶7呻3打）=7如三、解答题"10如图！卫‘ B是:路F仃为东西走向）两旁的两个村庄！曲村到公路』前距离TlC^lkm, B村到公路！的距离BZ）=2km, B村在卫村的南偏东4亍肓向上，屮（1）求出儿行两村之间的距离；屮（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公些汽车站R蔓求饮车鮎到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位苴（保留渚晰的作團痕迹，芥简要写明作陆）.4角你热爱生命吗？那么别浪费时词■因为时间是俎成生.=命的树料--富笛克林试题答案卩1. JH2晶）米」2. 舁3 10, 2肘十16/（或血）【解析】由题育碍’细线从廉月开始艷过4个侧面靈绕一圈到达点3、其最短扶度为将按亏体的四个侧面展幵即可构戚一牛貢第辺分别为理cm和6逊的直角三角形，所以细线的最短长度应沖lOcnii当细线经过四个侧面镰绕口闘h封诙点B的最短长度次2』9 H孑〔或J36+64』）cm*百度文库-让每个人平等地提升自我5. 4»6. 2麗卩7. 解析；(1)肓法一；设肿与CD的奁点矢O,根据题意可得吕=4亍二4J二△血0和厶0QO都是等腰直角三角形.*:.AO = -^2 , BO= 2-^2 B屮-岀占两村之间的距离蔚加二£0十$0 =庞十2症三負圧(km)n 4育陆二=过点対作直绽F的平行缕突丿。