平行线拐点问题六种模型题型
初中数学 中考复习 第01讲—平行线的五大拐点模型
模型一：铅笔头模型基础（1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB //总结：①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //模型一：铅笔头模型进阶如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】模型二：锯齿模型基础（1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型二：锯齿模型进阶【例1】如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠解答：①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想【例2】如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43解答：锯齿BAECD+锯齿BAFCD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想【例3】如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ） A.149B.5.149C.150D.5.150解答：锯齿CDFBA+铅笔头CDEBA ；得证B总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和【例4】如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A. 30)()(3241=+-+θθθθB.40)()(3142=+-+θθθθC.70)()(4321=+-+θθθθ D.180)()(4321=+++θθθθ解答：锯齿ADPCB+锯齿DAPBC ；得证A总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型三：臭脚模型基础如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠臭脚模型基础（汇总）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型三：臭脚模型进阶如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是解答：①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头AFGHQ+臭脚QHMNC 得证 40=∠GHM ②方法二：锯齿BFGHMND 得证40=∠GHM 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型四：蛇型基础如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型五：蜗牛模型基础如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线。
专题 平行线间的拐点问题(解析版)--七年级数学下册
专题01平行线间的拐点问题类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．【解答】解：延长AB交直线n于点D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故选：D．3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62°B．58°C．52°D．48°【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：过点E作直线HI∥AB．∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，∴CD∥HI，∴∠HEF＝∠EFD＝32°，∵GE⊥EF于点E，∴∠GEF＝90°，∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥HI，∴∠BGE＝∠GEH＝58°．故选：B．4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED 与∠BFD的关系．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故选：D．6．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（）A．120°B．130°C．140°D．150°【分析】过A作AB∥l1，得到AB∥l2，推出∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，即可求出∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．【解答】解：过A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l2，∴∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，∴∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．故选：D．二．填空题7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝30°．【分析】过P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，求出∠BPQ＝∠BPC ﹣∠CPQ＝30°，即可得到∠1的度数．．【解答】解：过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，∵∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝58°﹣28°＝30°，∴∠1＝30°．故答案为：30°．8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为20°．【分析】过F作FM∥DE，推出FM∥BC，得到∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，求出∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，即可得到∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．【解答】解：过F作FM∥DE，∵DE∥BC，∴FM∥BC，∴∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，∵∠ABC＝105°，∠EDF＝125°，∴∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，∴∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．故答案为：20°．9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝35°．【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，故答案为：35°．10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝100°．【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝60°，即可得到∠E的度数．【解答】解：如图，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠E+2∠BFC＝180°，①又∵∠E﹣∠BFC＝60°，∴∠BFC＝∠E﹣60°，②∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣60°）＝180°，解得∠E＝100°，故答案为：100°．11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝88°°．【分析】过点G，F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，根据平行线的传递性得出AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；【解答】解：过点G、F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，∴∠BNN＝∠1，∠NMD＝∠4，∵BM平分∠ABG，MD平分∠CDE，∴，∵∠BMD＝45°，∴2∠1+2∠3＝90°，∴∠5＝2∠1，∠10＝2∠3，∠6＝∠7，∠8＝∠9，∴∠GFE＝∠7+∠8＝∠6+∠9＝64°，∠FED＝∠9+∠D＝∠9+2∠3＝66°，∴2∠3﹣∠6＝2°，∴2∠1+∠6＝90°﹣2°＝88°，∴∠BGF＝∠5+∠6＝2∠1+∠6＝88°．故答案为：88°．三．解答题12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求证：MN∥PQ；（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．【分析】（1）过C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，从而得到MN∥PQ；（2）连接DC并延长交AE于点F，由已知可以得到∠DAC＝∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠CAD及平角的意义可以得到解答．【解答】（1）证明：过C作CS∥MN，如图，∵CS∥MN，∴∠NAC＝∠ACS，∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，∴∠BCS＝∠CBQ，∴PQ∥CS，∴MN∥PQ；（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，∴∠DAC＝∠NAC，∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠MAC+∠NAC＝（∠MAC+∠NAC）＝90°．13．（2022秋•莘县期末）综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；理由如下：如图②，∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD−∠AEM＝90°；（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，∴∠BHF＝∠PHE＝75°，∵AB∥CD，∴∠DFH+∠BHF＝180°，∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，∴∠OFN＝∠DFH＝105°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP ＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，最后可以求出∠APC＝110°；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，先证∠BEF＝∠PQB＝110°、∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，根据∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH可得答案．【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360°如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，∵∠A＝120°，∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∵∠C＝130°，∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：如图2，作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，∵∠APC＝20°，∠PAB＝150°，∴∠PCD＝130°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝130°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝130°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH＝∠FEG﹣∠BEG＝∠BEF＝65°．16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．【分析】（1）过P作PN∥AB，根据平行线的传递性得出PN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；（2）过点Q作QN∥AC，证出∠PHQ＝∠2，根据平行线的传递性即可证明；（3）根据三角形内角和即可算出∠1＝21°，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出∠PQH＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，结合（2）即可解出∠5＝18°，过K作KM∥AC，证出∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3，根据平行线性质得出∠EGA＝∠EHC，即可得∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，即可求解；【解答】解：（1）过P作PN∥AB，∴∠BAP＝∠1，∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠DCP＝∠2，∴∠APC＝∠1+∠2＝∠BAP+∠DCP；（2）过点Q作QN∥AC，∴∠ACP＝∠1，∵∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，∠1+∠2＝∠CQH，∴∠PHQ＝∠2，∴QN∥EF，∴AC∥EF；（3）∵CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠AKC+∠KAC＝159°，∵∠1＝180°﹣159°＝21°，∴∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，由（2）知∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，即42°+∠5＝180°﹣∠PQH，∴180°﹣42°﹣∠5＝84°+2∠5，∴∠5＝18°，过K作KM∥AC，∵AC∥EF，∴KM∥AC∥EF，∴∠CKM＝∠1，∠GKM＝∠3．∴∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3．∵AB∥CD，∠CKG＝∠CHQ，∴∠EGA＝∠EHC，即2∠3＝∠5+∠CHQ＝∠5+∠CKG＝∠5+∠3+21°，∴∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，∵AC∥EF，∴∠BAC＝∠EGA＝2∠3＝78°．17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．【分析】（1）过点P作PF∥AB，推出∠PEC＝∠EPF，进而得PF∥CD，根据平行公理的推论即可得证；（2）分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，推出∠PEM＝∠FPE，进而得PF∥EM，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E作EN∥AB，根据（1）（2）的思路证∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG ＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，结合角平分线的定义及（2）的条件得2β+2γ＝90°+α，接着分别用含α的式子代替β和γ，代入2β+2γ＝90°+α求出α的值即可．【解答】解：（1）证明：过点P作PF∥AB，∴∠B＝∠BPF，∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，∴∠PEC＝∠EPF，∴PF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，∴∠PEM＝∠FPE，∴PF∥EM，∴EM∥AB，∴AB∥CD；（3）如图3，过点E作EN∥AB，由（2）得AB∥CD，∴EN∥CD，∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，∵BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，∵BP⊥PE，∴∠P＝90°，由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，∴2β+2γ＝90°+α，∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°﹣（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°﹣∠BGE，∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，∴α+10°+β＝36°，∴β＝26°﹣α，∴2（26°﹣α）+2（2α+10°）＝90°+α，∴α＝18°．18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，即可得出结论；（2）过点A作AG平分∠BAD，由角平分线定义得出∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，证出∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，得出BM∥AG，DN∥AG，即可得出结论；（3）设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，得出∠BAD＝100°，∠BAQ＝100°+x，由平行线的性质得出∠BAC＝∠GCA＝50°+x，求出∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，由平行线的性质得出∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB ＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，求出∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+8°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD∥EC，AB∥CF，∴∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，∴∠ABE＝∠ADF；（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：则∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，∴∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，∵∠ABE＝∠ADF＝∠BAD，∴∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，∴BM∥AG，DN∥AG，∴BM∥DN；（3）解：∵AQ平分∠GAD，∴∠GAQ＝∠QAD，设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，∴∠BAD＝100°，∴∠BAQ＝100°+x，∵AB∥CF，∴∠BAC＝∠GCA＝50°+x，∵∠BAP+∠BAQ＝180°，∴∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：∵AD∥EC，∴∠BAD＝∠ABE＝100°，∠ABM＝∠ABE＝50°，∴∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，∴∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+80°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，∴∠MPA+∠PQF＝130°﹣x+100°+x＝230°．19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【分析】（1）过点E作EH∥AB，证明∠A＝∠AEF，再根据已知条件证明∠D＝∠DEF，从而证明EF ∥CD，最后根据平行公理的推论证明结论即可；（2）先根据平行线的性质证明∠A＝∠EHG，再根据外角性质证明∠A＝∠D+∠AED，通过变换得出结论即可；（3）设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，把∠BAI和∠EAB都用x表示出来，然后根据已知条件，找出角与角之间的关系，最后得出∠CHE＝∠CDE+∠AED，列出关于x的方程，求出x，最后根据∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I，求出答案即可．【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED 的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）；∴∠CDE＝（∠DEF）（两直线平行，内错角相等）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；【问题迁移】：请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC 之间满足的数量关系．【分析】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；∠DEF；两直线平行，内错角相等；角的和与差；等量代换；问题迁移：（1）∠APC＝a+β，理由见解析；（2）∠APC＝α﹣β或∠APC＝β﹣α【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；问题迁移：（1）过点P作PQ∥AB，可证∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ+∠CPQ 即可求解；（2）①当P在BN上时，过点P作PQ∥AB，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC ＝∠CPQ﹣∠APQ，即可求解；②当P在OD上时，过点P作PQ∥CD，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，即可求解．【解答】问题解决：解：过点E作EF∥AB，∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差），∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换），∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知），∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换），问题迁移：（1）解：∠APC＝a+β，理由：过点P作PQ∥AB，∴∠APQ＝∠BAP（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠CPQ＝∠DCP（两直线平行，内错角相等），又∵∠APC＝∠APQ+∠CPQ（角的和与差），∴∠APC＝∠BAP+∠DCP（等量代换），∵∠BAP＝α，∠DCP＝β（已知），∴∠APC＝α+β（等量代换），（2）如图所示：解：①如图，当P在BN上时，∠APC＝β﹣α，理由：过点P作PQ∥AB，由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，∴∠APC＝∠DCP﹣∠BAP，∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，∴∠APC＝β﹣α；②如图，当P在OD上时，∠APC＝α﹣β，理由：过点P作PQ∥CD，由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，∴∠APC＝α﹣β．。
平行线中的拐点(拐角)问题专题
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
B
A
∵AB∥CD
1
F
E
∴EF∥CD
2
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°
D
C
∵∠1+∠2=∠AEC ∴∠A+∠C+∠AEC=∠A+∠1+∠C+∠2=360°
②已知：∠AEC+∠A+∠C=360°，结论：AB∥CD
B
A 证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∴∠A=∠1
E1
F
2
∵∠AEC=∠1+∠2 ，且∠AEC=∠A+∠C ∴∠2=∠C
D
C
∴EF∥CD
∴AB∥CD
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
B
A
证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
∵AB∥CD
D
C
∴EF∥CD
E
F ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF ∵∠AEC=∠CEF-∠AEF
∴∠AEC=∠C-∠A
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
第二章 相交线与平行线
平行线中的拐点问题
模型1：平行线间的“M”模型（猪手）
①已知：AB∥CD，结论：∠AEC=∠A+∠C
B
A 证明： 过点E作EF,使得EF∥AB
七年级压轴题24题,平行线的探索拐角问题
七年级压轴题24题,平行线的探索拐角问题拐角问题——基本图形及辅助线方法技巧方法技巧1．过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角．2．涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解．题型一平行线＋单拐点（＋角平分线等）模型【例1】如图1，点A，C，B不在同一条直线上，AD∥BE．（1）求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°；（2）如图2，HQ，BQ分别为∠DAC，∠EBC的平分线所在的直线，试探究∠C与∠AQB 的数量关系；题型二平行线＋双拐点（＋角平分线等）模型【例2】如图1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．（1）若∠E＝50°，求∠F的度数；【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN．又∵AB∥CD，AB∥FN．∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN ＝＝70°，易得∠EFN＝∠MEF＝∠BEF－∠BEM ＝50°－20°＝30°．∴∠EFD＝∠EFN＋∠NIFD＝30°＋70°＝100°．（2）如图2，探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；．【解答】分别过点E，F作EM∥AB，FN∥A B．∴EM∥AB∥FN．∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN．∴∠D＋∠DFN＝180°，又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF＋20°，∠EFD＝∠EFN＋70°，∴∠EFD＝∠MEF＋70°，∴∠EFD＝∠BEF＋50°．（3）如图3，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．【分析】过点F作FH∥EP，结合（2）中结论，运用模型求解．【解答】过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF＋50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝(2x＋50)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF ＝21∠BEF ＝x °，∠EFG ＝21∠EFD ＝(x ＋25)°，∵FH ∥EP ，∴∠PEF ＝∠EFH ＝x °，∠P ＝∠HFG ，∵∠HFG ＝∠EFG －∠EFH ＝25°，∴∠P ＝25°．针对练习51．如图，CD ∥BE ，则∠2＋∠3－∠1的度数等于（）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°2．如图，AB ∥DE ，∠C ：∠D ：∠B ＝2：3：4，则∠B ＝．3．如图，直线l 3，l 4与l 1，l 2分别相交于点A ，B ，C ，D ，且∠1＋∠2＝180°．（1）直线l 1与l 2平行吗？为什么？（2）点E 在线段AD 上，若∠ABE ＝30°，∠BEC ＝62°，求∠DCE 的度数．【解答】（1）直线l 1与l 2平行．理由如下：∵∠1＋∠BAE ＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠BAE ．∴l 1∥l 2．（2）过点E作EF∥AB交BC于点F，可得∠BEF＝∠ABE＝30°．∴∠FEC＝62°－30°＝32°．∵l1∥l2，∴EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC＝32°．5．将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，如图，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连结，若AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B ＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°．（1）求∠F的度数；（2）计算∠B－∠CGF的度数是；（直接写出结果）（3）连接AD，∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD？并说明理由．【解答】（1）∵AF∥DE，∴∠F＋∠E＝180°．∴∠F＝180°－105°＝75°．（2）作MC∥AF．∵AF∥DE，∴AF∥CM∥DE，∴∠BCM＝∠FGC，∠MCD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠BCM＋∠MCD＝∠CGF＋∠CDE，∠B－∠CGF＝∠BCD＋10°－∠CGF＝∠CGF＋∠CDE＋10°－∠CGF＝∠CDE＋10°＝115°．（3）当∠ADE＋∠CGF＝180°时，BC∥A D．理由如下：∵AF∥DE，∴∠GAD＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠CGF＝180"．∴∠GAD＝∠CGF．∴BC∥A D．整体思想求角题型一设单个未知数求定角方法技巧巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角【例1】如图1，直线MN 与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ，AB ∥CD ，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点P ，EP 的延长线与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且CH ⊥EC ．（1）求证：PF ∥GH ；（2）如图2，连接PH ，K 是GH 上一点，∠PHK =∠HPK ，作PQ 平分∠EPK ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由图1图2【分析】（1）过点P 作AB 的平行线交MN 于点T ，运用平行线+拐点模型求∠EPF ，再根据∠ECH 的大小关系求解；（2）设∠PHK =∠HPK =x ，用x 表示未知角，运用整体思想求解。
平行线拐点问题六种模型题型
平行线拐点问题六种模型题型
已知：如图，AB\ \他若线段劭是拉直的橡皮筋，在劭上任取一点£向不同的方向拉动点£那么/8、No V之间有何关系呢?
探究1 :向左拉动£点，如图1 ,已知：AB\ \他问/氏z BED、No
的关系。
rvri
探究2 :向右拉动F点，如图2，已知：AB\ \ CD,问/8、n。
、之间的关系.
探究3 :将点E向线段/夕的左上方拉动，如图3，已知:力刚问N8、N O、之间的关系.
C
原（Q
探究4 :将点F向线段朋的右上方拉动，如图4,已知:48l I CD, 问/8、
乙D、朋之间的关系.
探究5 :将点E向线段。
的左下方拉动，如图5,已知:48l I他问N8、N。
、/8以？之间的关系.
探究6 :将点£向线段。
的右下方拉动，如图6,已知48" 他问
/8、2D、N88?之间的关系.
A。
平行线拐点问题六种模型题型
平行线拐点问题六种模型题型
性质定理与判定定理的区分
在刚开始学习写证明题时，要求我们做到每一步都有理有据，因此需要在每一步后面写上得到的理由，写理由时一定要分清是性质定理还是还是判定定理。
很多学生刚开始学时，不知道使用哪个定理，分不清什么是性质定理，什么是判定定理。
要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。
（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。
三线八角理解不透彻
很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。
要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。
对平行线的概念理解不透彻
例题3：判断题：同一平面内不相交的两条线，叫做平行线．
【分析】这句话，乍看没有问题，但是细看的话，与定义有出入。
平行的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；可知平行
的前提：这两条线必须是直线。
而题目中只是说是“两条线”，两条线的情况很多：两条都是直线；两条都是线段；两条都是射线；一条直线、一条线段等等，因此这句话是错误的。
不能很好的识别复杂图形
在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提。
平行线拐点问题六种模型题型
平行线拐点问题六种模型题型
已知：如图，AB∥CD，若线段BD 是拉直的橡皮筋，在BD 上任取一点E，向不同的方向拉动点E，那么∠B、∠D、∠BED 之间有何关系呢？
探究1：向左拉动E点，如图1，已知：AB∥CD，问∠B、∠BED、∠D 的关系。
探究2：向右拉动E点，如图2，已知：AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.
探究3 :将点E 向线段AB 的左上方拉动，如图3，已知:AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.
探究4 :将点E 向线段AB 的右上方拉动，如图4，已知:AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.
探究5 :将点E 向线段CD的左下方拉动，如图5，已知:AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.
探究6 :将点E 向线段CD的右下方拉动，如图6，已知:AB∥CD，问∠B、∠D、∠BED 之间的关系.。
初中数学 中考复习 第01讲—平行线的五大拐点模型
模型一：铅笔头模型基础（1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB //总结：①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //模型一：铅笔头模型进阶如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】模型二：锯齿模型基础（1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型二：锯齿模型进阶【例1】如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠解答：①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想【例2】如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43解答：锯齿BAECD+锯齿BAFCD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想【例3】如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ） A.149B.5.149C.150D.5.150解答：锯齿CDFBA+铅笔头CDEBA ；得证B总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和【例4】如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A. 30)()(3241=+-+θθθθB.40)()(3142=+-+θθθθC.70)()(4321=+-+θθθθ D.180)()(4321=+++θθθθ解答：锯齿ADPCB+锯齿DAPBC ；得证A总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和模型三：臭脚模型基础如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明解答：如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠臭脚模型基础（汇总）总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型三：臭脚模型进阶如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是解答：①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头AFGHQ+臭脚QHMNC 得证 40=∠GHM ②方法二：锯齿BFGHMND 得证40=∠GHM 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型四：蛇型基础如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型五：蜗牛模型基础如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明解答：过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B 总结：①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线。
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初一下学期，平行线拐角模型之猪蹄、臭脚、骨折模型，模型解题
平行线拐角模型除铅笔模型外，本章介绍拐角模型剩下的三个模型：猪蹄模型、臭脚模型和骨折模型，以及利用这三个模型进行解题。
01“猪蹄”模型
该模型类似英文字母“M”，我们称之为M模型，也类似猪蹄，又称之为“猪蹄”模型。
满足的条件为：点P在直线BC的左侧，在直线AB与直线CD的内部。
结论为：若AB∥CD，则∠P=∠B+∠C。
证明的方法与上一篇“铅笔”模型类似，我们提供一种思路进行验证。
02“臭脚”模型
“臭脚”模型需要满足的条件为：点P在直线BC的右侧，在直线AB、CD外部。
结论为：∠P=∠ABP-∠DCP或∠P=∠DCP-∠ABP。
要证明这个结论，需要用到的知识点有：平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和。
当然，也可以利用作平行线的方法来进行证明。
03“骨折”模型
“骨折”模型需满足的条件：点P在直线BC左侧，在直线AB与直线CD外部。
结论为：∠P=∠DCP-∠ABP。
证明的方法与前三种模型类似，这边不再重复证明，可以作任意一边的平行线为辅助线，也可以利用平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和来进行证明。
04模型应用
例题1：（2019秋金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°；（1）若∠E=60°，
则∠F=______°；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
例题2：（2019春梁园区期末）如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A=20°，∠C=50°，则∠AEC=______．②若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC= ______．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论．（2）拓
展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系.
在利用模型解题前，我们首先要知道这些模型的基本结构，以及证明的过程（这是关键），不单单是记住结论，因为题目千变万化，但是又万变不离其宗，解题的思路是类似的。
通过这两道例题，我们也可以发现，遇到平行线拐角模型时，最常做的辅助线为：过拐点作已知直线的平行线。
七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析
平行线四大拐点模型：“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“臭脚”模型、“骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。
本篇内容，接着介绍平行线中常见的六种易错题型。
01性质定理与判定定理的区分
在刚开始学习写证明题时，要求我们做到每一步都有理有据，因此需要在每一步后面写上得到的理由，写理由时一定要分清是性质定理还是还是判定定理。
很多学生刚开始学时，不知道使用哪个定理，分不清什么是性质定理，什么是判定定理。
要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。
（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。
【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．
02三线八角理解不透彻
很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。
要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。
【分析】∠A与∠B的共边线为直线AB，那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么∠A与∠B是同旁内角，正确；∠1与∠2是邻补角，错误；∠2与∠A的共边线为直线AC，是同位角，错误；∠2与∠3是内错角，错误。
03对平行线的概念理解不透彻
例题3：判断题：同一平面内不相交的两条线，叫做平行线．
【分析】这句话，乍看没有问题，但是细看的话，与定义有出入。
平行的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；可知平行的前提：这两条线必须是直线。
而题目中只是说是“两条线”，两条线的情况很多：两条都是直线；两条都是线段；两条都是射线；一条直线、一条线段等等，因此这句话是错误的。
04不能很好的识别复杂图形
在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提。
【分析】首先证明EF∥DM可得∠3=∠CDM，进而可得∠2=∠CDM，可证明MN∥CD，再根据平行线的性质可得∠AMN=∠C，结合已知条件再证明AB∥MN．。