一次函数与方程、不等式教案-数学八年级下第十九章19.2一次函数19.2.3人教版

第十九章一次函数
19.2 一次函数
19.2.3一次函数与方程、不等式
1 教学目标
1.1 知识与技能：
[1]认识一次函数与一次方程、一元一次不等式之间的联系。

会用函数观点解释方程和不等
式及其解（解集）的意义；
[2]经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的
数形结合思想。

1.2过程与方法：
[1]引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数
形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。

[2]通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的
合作意识。

1.3 情感态度与价值观：
[1]通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与
整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识。

2 教学重点/难点
2.1 教学重点
[1]探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。

2.2 教学难点
[1]对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示。

3 专家建议
从复习函数、方程、不等式的基础知识进入新课,引入部分简单过渡,激发兴趣,为后面作铺垫。

一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的相互转化，从学生对一次函数图象的认识以及通过观察函数图象得出变量的范围，渗透数形结合的思想,由浅入深地把函数、方程、不等式三者联系起来。

让学生学会用函数与方程的思想来解决实际问题，通过对实际问题的分析，寻找出变量之间的函数关系，并能利用函数的图象和性质求出实际问题的答案。

4 教学方法
启发式教学
5 教学用具
多媒体课件，教学用直尺、三角板等。

6 教学过程
6.1复习旧知、提出课题
前面我们学习了一次函数。

实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。

它与我们七年级学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必然的联系。

【师】复习一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的形式。

【生】师生共同回答。

这节课开始，我们就学着用函数的观点去看待方程(组)与不等式，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程(组)不等式的求解问题。

这是我们学习数学的一种很好的思想方法。

【板书】
第十九章一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式
6.2创设情境、讲授新课
[1]探究一
【师】出示问题：已知一次函数y=2x+1，求当函数值y =3、y =0、y = -1时，自变量x的值。

【师】当y=3时，2x+1等于几？当y =0、y = -1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？
【生】可以写成2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1的形式。

就变成了一元一次方程。

【师】也就是说当一个一次函数y=kx+b,只要确定了y的值，它就变成了一个一元一次方程。

也就是说，每一个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具体情况。

【师】既然一次函数和方程有这样的联系，那么你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
【生】思考怎么解释。

【师】适时点拨，可以先做出函数y=2x+1的图像，再来进行解释。

【生】画出一次函数的图象。

【生】上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具
体情况。

当y=3时，x=1；
当y=0时，x=- ；
当y=-1时，x= -1。

【师】这三个方程的解则刚好是自变量x的一个值。

【师】用函数的观点看：解一元一次方程ax +b =c 就是求当函数值为c 时对应的自变量的值。

【师】当一次函数y=2x+1的函数值为4时，可得到的方程是什么？当一次函数y=2x+1的函数值为-5时，可得到的方程又是什么？
【生】2x+1=4和2x+1=-5。

【师】一元一次方程都可以转化为ax +b =c的形式，求方程2x+1=4的解也就是求函数y=2x+1当 y=4时，自变量x的的值。

求方程2x+1=-5的解也就是求函数y=2x+1当 y=-5时，自变量x的的值。

【板书】
解一元一次方程 ax +b =c 就是求当函数值为c 时对应的自变量的值
[2]小练习
练习1：根据函数y=2x+20的图象，说出它与x轴的交点坐标；说出方程2x+20＝0的解.
解：直线y=2x+20与x轴的交点坐标为(-10，0）。

方程的解 x= -10 ，是直线y=2x+20与x轴交点的横坐标。

练习2：根据图象,请写出图象所对应的一元一次方程的解。

【师】引导学生从函数图像上，如何将图像问题转化为代数问题，从而达到理解数形结合思想的目的。

通过实例来巩固一次函数与一元一次方程的关系，学会怎么进行转化。

解：（1）函数是y=5x ，从图像上看y 的值是0，可以看作是解方程5x=0，方程的解是x=0。

（2）同理，x=-2；
（3）同理，X = 2；
（4）同理，X =3。

[3] 探究二
【师】已知一次函数y=3x+2，求函数值y ＞2、y ＜0、y ＜-1时，自变量x 的取值范围。

【师】当y ＞2时，3x+2大于几？当y ＜0、y ＜-1时，3x+2又小于几呢？
【生】可以写成3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1的形式。

就变成了一元一次不等式。

【师】刚才我们类比一次函数和一元一次方程的关系，能用函数观点看一元一次不等式吗？
【师】这三个不等式有什么共同特点？
【生】三个不等式的左边都是代数式，而右边分别是2，0，-1。

它们可以看成y=3x+2 的函数值y 大于2、小于0、小于-1 时自变量x 的取值范围。

【师】你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？
【生】画出一次函数的图象。

【生】上面的三个不等式可以看成y=3x+2 的函
数值y 大于2、小于0、小于-1 时自变量x 的取
值范围。

当y ＞2时, x ＞0；
当y ＜0时, x ＜ - ； 当y ＜-1时, x ＜-1。

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【师】由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。

从数的角度看，求ax+b＞0(a≠0)的解，也就是求x为何值时y=ax+b的值大于0。

【师】不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围。

【板书】
解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。

[4]小练习
根据一次函数的图象，直接写出不等式2x－4>0的解集。

【师】由图像回答下列问题：（1）2x－4>0，从“数”的角度，等价于y>0；
（2）从“形”的角度，图像只能够在x上方，通过函数图像可以看出解集为x>2。

6.3课堂小结
【师】和学生一起回顾本节课所学主要内容。

【师】这节课我们学到了： 1．函数与方程、不等式有着必然的联系； 2．用函数的观点看待方程、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法。

3．一次函数与一元一次方程的关系：
从数的角度看：
求ax+b=0(a≠O)的解即是求x为何值时y=ax+b的值为0；
从形的角度看：
求ax+b=0(a≠0)的解即是确定直线y=ax+b与x轴的横坐标。

4．一般的一元一次不等式与一次函数的求值、利用图象分析数量关系等问题关系很密切。

从数的角度看：
求ax+b>0(a≠0)的解即是求x为何值时y=ax+b的值大于0；
从形的角度看：
求ax+b>0(a≠0)的解那是确定确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x值。

6.4检测反馈
1、1、直线 y=3x+9 与 x 轴的交点是（）
A．（0，-3）B．（-3，0） C．（0，3） D．（0，-3）
答案提示：B。

2、方程3x+2= 8 的解是，则函数y=3x+2 在自变量x 等于时的函数值是8。

答案提示：x=2；2。

3、根据图象，你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗？
答案提示：解：由图象可知χ+3=0的解为χ= −3。

或从“形”上看:直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3,0 ），这说明方程χ＋3＝0的解是x=-3。

4、根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集。

答案提示：
7 板书设计
第十九章一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 ax +b =c 就是求当函数值为c 时对应的自变量的值。

解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。

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