2021中考数学冲刺专题训练压轴题含解析
压轴题
一、选择题（本大题共8个小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是符合题目要求的）
1．如图.△ABC 中.AB=AC=2.∠B=30°.△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''?.''B C 与BC.AC 分别交于点D.E.设CD DE x +=.AEC ?'的面积为y .则y 与x 的函数图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
连接B′C .作AH ⊥B′C′.垂足为H. ∵AB=AC.∠B=30°. ∴∠C=∠B=30°.
∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''?. ∴AB′=AB=AC=AC′=2.∠AB′C′=∠C′=30°. ∴AH=
1
2
AC′=1. 223AC AH '-=3∵AB′=AC . ∴∠AB′C=∠ACB′. ∵∠AB′D=∠ACD=30°.
∴∠AB′C -∠AB′D=∠ACB′-∠ACD. 即∠DB′C=∠DCB′.
∴B′D=CD . ∵CD+DE=x.
∴B′D+DE=x .即B′E=x . ∴C′E=B′C′-B′E=23-x. ∴y=
12C E AH '=12
×(23-x)×1=1
32x -+. 观察只有B 选项的图象符合题意. 故选B.
2．如图.抛物线2
144
y x =
-与x 轴交于A 、B 两点.P 是以点C （0,3）为圆心.2为半径的圆上的动点.Q 是线段PA 的中点.连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）
A ．3
B ．
412
C ．
72
D ．4
【答案】C 【解析】 ∵抛物线2
144
y x =
-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0）.B （4,0）.即OA=4. 在直角三角形COB 中
2222345+=+=OC OB ∵Q 是AP 上的中点.O 是AB 的中点
∴OQ 为△ABP 中位线.即OQ=
12
BP 又∵P 在圆C 上.且半径为2.
∴当B 、C 、P 共线时BP 最大.即OQ 最大 此时BP=BC+CP=7 OQ=
12
BP=72.
3．如图.点A 的坐标是(-2,0).点B 的坐标是(0,6).C 为OB 的中点.将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到
A B C '''?．若反比例函数k
y x
=
的图象恰好经过A B '的中点D.则k 的值是（ ）
A ．9
B ．12
C ．15
D ．18
【答案】C 【解析】
作A H y '⊥轴于H ．
∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=?.
∴90ABO A BH ∠+∠'=?.90ABO BAO ∠+∠=?. ∴BAO A BH ∠=∠'. ∵BA BA ='.
∴()AOB BHA AAS '≌.
∴OA BH =.OB A H ='.
∵点A 的坐标是()2,0-.点B 的坐标是()0,6. ∴2OA =.6OB =.
∴2BH OA ==.6A H OB '==. ∴4OH =. ∴()6,4A '. ∵BD A D ='. ∴()3,5D . ∵反比例函数k
y
x
=的图象经过点D . ∴15k =． 故选：C ．
4．如图.在四边形ABCD 中.AB
DC .90ADC ∠=.5AB =.3CD AD ==.点E 是线段CD 的三等分
点.且靠近点C .FEG ∠的两边与线段AB 分别交于点F 、G .连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若
3
2
BG =
.45FEG ∠=.则HK =( )
A ．
22
3
B ．
2
6
C ．
32
2
D ．
132
6
【答案】B 【解析】
∵90ADC ∠=.3CD AD ==.∴32AC =∵5AB =.32BG =.∴72
AG =. ∵AB
DC .∴CEK
AGK ??.∴
CE CK EK
AG AK KG
==. ∴172
CK EK
AK KG
==
.∴27
CK EK AK KG ==.
∵32CK AK +=.∴22
CK =
. 过E
作EM AB ⊥于M .则四边形ADEM 是矩形. ∴3EM AD ==.2AM DE ==.∴32
MG =
. ∴2235
EG EM MG =
+=
. ∵
27EK KG =.∴5
3
EK =. ∵45HEK KCE ∠=∠=.EHK CHE ∠=∠.
∴HEK
HCE ??.∴55HE EC HK EK ===
.
∴设3HE x =.5HK x =. ∵HEK
HCE ??.∴
EH HK
HC EH
=. ∴5322
53
x
x x =+.解得：106x =.∴52
6
HK =. 故选：B ．
5．如图.正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C .D .E 在同一条直线上.顶点B .C .G 在同一条直线上．O 是EG 的中点.∠EGC 的平分线GH 过点D .交BE 于点H .连接FH 交EG 于点M .连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③
2BC
CG
=﹣1；④
HOM HOG
S S ＝22.其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】A 【解析】 如图
.
∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形. ∴BC ＝CD.CE ＝CG.∠BCE ＝∠DCG. 在△BCE 和△DCG 中.
BC CD BCE DCG CE CG =??
∠=∠??=?
∴△BCE ≌△DCG （SAS ）. ∴∠BEC ＝∠BGH.
∵∠BGH+∠CDG ＝90°.∠CDG ＝∠HDE. ∴∠BEC+∠HDE ＝90°. ∴GH ⊥BE ． 故①正确；
∵△EHG 是直角三角形.O 为EG 的中点. ∴OH ＝OG ＝OE.
∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上. ∵EF ＝FG.
∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°.∠HEG ＝∠HFG. ∴△EHM ∽△GHF. 故②正确； ∵△BGH ≌△EGH. ∴BH ＝EH.
又∵O 是EG 的中点. ∴HO ∥BG. ∴△DHN ∽△DGC.
DN HN
DC CG
∴
= 设EC 和OH 相交于点N ．
设HN ＝a.则BC ＝2a.设正方形ECGF 的边长是2b.则NC ＝b.CD ＝2a.
222b a a
a b
-∴
= 即a 2
+2ab ﹣b 2
＝0.
解得：a ＝b ＝（﹣ b.或a ＝（﹣1b （舍去）.
2
12a
b ∴
=
1BC CG
∴= 故③正确； ∵△BGH ≌△EGH. ∴EG ＝BG.
∵HO 是△EBG 的中位线.
∴HO ＝
1
2BG. ∴HO ＝1
2
EG.
设正方形ECGF 的边长是2b.
∴EG ＝ b.
∴HO b. ∵OH ∥BG.CG ∥EF.
∴OH ∥EF. ∴△MHO △MFE.
∴
OM OH EM EF 2b 2
===
. ∴EM
OM.
∴
1OM OE ===.
∴
1HOM
HOE
S S ??= ∵EO ＝GO. ∴S △HOE ＝S △HOG .
∴
1HOM
HOG
S S ??= 故④错误. 故选：A ．
6．抛物线2
y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-.且过点（1.0）.顶点位于第二象限.其部分图像如图所示.给出以下判断： ①0ab >且0c <； ②420a b c -+>； ③8>0+a c ； ④33c a b =-；
⑤直线22y x =+与抛物线2
y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、.则12125x x x x ++?=-.其中
正确的个数有( )
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
【答案】C 【解析】
∵对称轴在y 轴左侧.图象与y 轴交于y 轴正半轴. ∴ab>0.c>0.故①错误.
∵图象过点（1.0）.对称轴为x=-1. ∴图象与x 轴的另一个交点为（-3.0）. ∵抛物线的开口向下. ∴a<0.
∴x=-2时.4a-b+c>0.故②正确. ∵对称轴x=2b
a
-=-1. ∴b=2a.
∵x=1时.a+b+c=0. ∴3a+c=0.
∴8a+c=5a<0.故③错误. ∵3a+c=0. ∴c=-3a.
∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c.故④正确. ax 2
+bx+c=2x+2.
整理得：ax 2+(b-2)x+c-2=0.
∵直线22y x =+与抛物线2
y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、. ∴x 1+x 2+x 1?x 2=2b a --
+2c a -=22(3)2
a a a
-++--=-5.故⑤正确.
综上所述：正确的结论为②④⑤.共3个.
故选C.
7．如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=90°.E是AB上一点.且DE⊥CE．若AD=1.BC=2.CD=3.则CE与DE 的数量关系正确的是
A．CE=3DE B．CE=2DE
C．CE=3DE D．CE=2DE
【答案】B
【解析】过点D作DH⊥BC.垂足为H.∵AD=1.BC=2.∴CH=1.根据勾股定理可得DH=AB=2222
DC CH
-=.
∵AD∥BC.∠ABC=90°.∴∠A=90°.∴∠AED+∠ADE=90°.
又∵DE⊥CE.∴∠AED+∠BEC=90°.∴∠ADE=∠BEC.∴Rt△ADE∽Rt△BEC.∴AD AE DE
BE BC CE
==.设BE=x.则
AE22x
=-.即122x
x
-
=.解得x=2.∴
2
DE
CE
=.即CE=2DE.故选B．
8．如图.在正方形ABCD中.E、F分别是BC、CD上的点.且∠EAF＝45°.AE、AF分别交BD于M、N.连按EN、
EF、有以下结论：①AN＝EN.②当AE＝AF时.BE
EC
＝22.③BE+DF＝EF.④存在点E、F.使得NF＞DF.其中
正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B
【解析】
①如图1.
∵四边形ABCD是正方形.
∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°.
∵∠MAN＝∠EBM＝45°.∠AMN＝∠BME.
∴△AMN∽△BME.
∴AM MN BM EM
.
∵∠AMB＝∠EMN.
∴△AMB∽△NME.
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∴∠NAE＝∠AEN＝45°.
∴△AEN是等腰直角三角形. ∴AN＝EN.
故①正确；
②在△ABE和△ADF中.
∵
AB AD
ABE ADF90 AE AF
?
=
?
?
∠=∠=
?
?=
?
.
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.
∴BE＝DF.
∵BC＝CD.
∴CE＝CF.
假设正方形边长为1.设CE＝x.则BE＝1﹣x. 如图2.连接AC.交EF于
H.
∵AE＝AF.CE＝CF.
∴AC是EF的垂直平分线.
∴AC⊥EF.OE＝OF.
Rt△CEF中.OC＝1
2
EF＝
2
2
x.
△EAF中.∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°. ∴OE＝BE.
∵AE＝AE.
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL）.
∴AO＝AB＝1.
∴AC2＝AO+OC.
∴1+
2
2
x2.
x＝22.
∴BE EC
＝
1(22)
22
--
-
＝
(21)(22)
-+
＝
2
；
故②不正确；
③如图3.
∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH.则AF＝AH.∠DAF＝∠BAH. ∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE.
∵∠ABE＝∠ABH＝90°.
∴H、B、E三点共线.
在△AEF和△AEH中.
AE AE
FAE HAE
AF AH
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
.
∴△AEF≌△AEH（SAS）.
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF.
故③正确；
④△ADN中.∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°.
∠FDN＝45°.
∴DF＞FN.
故存在点E、F.使得NF＞DF.
故④不正确；
故选B．
二、填空题（本大题共4个小题.每小题6分.共24分）
9．若数a使关于x的不等式组
21
2 22
24
x
x
x a
-
?
≤-+
?
?
?+>-
?
有且仅有四个整数解.且使关于y的分式方程
2
a
y
+
-
2
2y
-
=2有非负数解.则满足条件的整数a的值是__________．
【答案】-2
【解析】解不等式组
21
2
22
24
x
x
x a
-
?
≤-+
?
?
?+>-
?
.可得
3
4
2
x
a
x
≤
?
?
?+
>-
??
.∵不等式组有且仅有四个整数解.
∴-1≤
4
2
a+
-<0.∴-4 2 22 a y y + -- =2.可得y= 2 2 a+ . 又∵分式方程有非负数解.∴y≥0.且y≠2.即 2 2 a+ ≥0. 2 2 a+ ≠2.解得a≥-2且a≠2.∴-2≤a≤3.且a≠2. ∴满足条件的整数a的值为-2.故答案为：-2． 10．如图.过点C(3,4)的直线2 y x b =+交x轴于点A.∠ABC=90°.AB=CB.曲线0 k y x x => （）过点B.将点A 沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上.则a的值为________． 【答案】4 【解析】 分别过点B、点C作y轴和x轴的平行线.两条平行线相交于点M.与x轴的交点为N.则∠M=∠ANB=90°. 把C(3,4)代入2 y x b =+.得4=6+b.解得：b=-2. 所以y=2x-2. 令y=0.则0=2x-2.解得：x=1. 所以A(1.0). ∵∠ABC=90°. ∴∠CBM+∠ABN=90°. ∵∠ANB=90°. ∴∠BAN+∠ABN=90°. ∴∠CBM=∠BAN. 又∵∠M=∠ANB=90°.AB=BC. ∴△ABN ≌△BCM. ∴AN=BM.BN=CM. ∵C(3.4).∴设AN=m.CM=n. 则有413m n m n +=??+-=?.解得31m n =??=? . ∴ON=3+1=4.BN=1. ∴B(4.1). ∵曲线0k y x x =>（）过点B. ∴k=4. ∴4y x = . ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上.此时点A 移动后对应点的坐标为(1.a). ∴a=4. 故答案为：4. 11．如图.反比例函数()0k y x x = >的图象经过矩形OABC 对角线的交点M .分别交AB .BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12.则k 的值为______． 【答案】4 【解析】 ∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上. ∴12OCE S k ?= .1 2 OAD S k ?=. 过点M 作MG y ⊥轴于点G .作MN x ⊥轴于点N . ∴四边形ONMG 是矩形. ∴ONMG S k =矩形. ∵M 为矩形ABCO 对角线的交点. ∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形. ∵函数图象在第一象限. ∴0k >. ∴ABCO S =矩形OCE S ?+OAD S ?+S 四边形ODBE =12422 k k k ++=. 解得：4k =． 故答案为：4 12．如图.直线1 13 y x = +与x 轴交于点M .与y 轴交于点A .过点A 作AB AM ⊥.交x 轴于点B .以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1.延长A 1C 交x 轴于点B 1.以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去.再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形.每个小正方形的每条边都与其 中的一条坐标轴平行.正方形ABCA 1.A 1B 1C 1A 2.….111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1.S 2.….S n .则 S n 可表示为_____． 【答案】42 223 n n -． 【解析】 在直线1 13 y x = +中.当0x =时.1y =；当0y =时.3x =-； ∴1OA =.3OM =.∴1 tan 3 AMO ∠=. ∵90OAB OAM ?∠+∠=.90AMO OAM ?∠+∠=. ∴OAB AMO ∠=∠. ∴1tan 3OB OAB OA ∠= =.∴1 3 OB =． ∵正方形ABCA 1中的四个小正方形都与△AOB 全等. ∴第一个阴影正方形的边长为：12 133 - =. ∴2 12439 S ??== ???. 同理：111 tan tan 3 B C CBB OAB BC ∠= =∠=. ∴11 111 333B C BC AC AB ===. ∴114 3 A B AB =. ∴2 21141639S S S ??== ??? . 同理可得 2321161699S S S ??== ? ??.3431161699S S S ??== ??? (1) 1 116164999 n n n S S --????==? = ? ? ?? ?? 1 4244242 22222222222333 33n n n n n ----?????=?= ? ??? ??． 故答案为：42 223 n n -． 三、解答题（本大题共3个小题.每小题12分.共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．综合与探究 如图.抛物线2 6y ax bx =++经过点A(-2,0).B(4,0)两点.与y 轴交于点C.点D 是抛物线上一个动点.设点 D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC.BC.DB.DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的 3 4 时.求m 的值； (3)在(2)的条件下.若点M 是x 轴上的一个动点.点N 是抛物线上一动点.试判断是否存在这样的点M,使得以点B.D.M.N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在.请直接写出点M 的坐标；若不存在.请说明理由. 【答案】(1)233 642 y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 (1)抛物线2 y ax bx c =++经过点A(-2,0).B(4,0). ∴426016460a b a b -+=?? ++=? . 解得3432a b ?=-????=?? . ∴抛物线的函数表达式为233 642 y x x =- ++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E.交BC 于点G.作CF ⊥DE.垂足为F. ∵点A 的坐标为(-2,0).∴OA=2. 由0x =.得6y =.∴点C 的坐标为(0,6).∴OC=6. ∴S △OAC = 11 26622OA OC ??=??=. ∵S △BCD =3 4S △AOC . ∴S △BCD =39 642 ?=. 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+. 由B.C 两点的坐标得406k n n +=??=?.解得326 k n ? =-? ??=?. ∴直线BC 的函数表达式为3 62 y x =-+. ∴点G 的坐标为3 (,6)2 m m - +. ∴22 33336(6)34224 DG m m m m m =-++--+=-+. ∵点B 的坐标为(4,0).∴OB=4. ∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111 ()2222 DG CF DG BE DG CF BE DG BO ??+??=?+=??. ∴S △BCD =22133 346242m m m m -+?=-+（） . ∴239622 m m -+=. 解得11m =(舍).23m =. ∴m 的值为3； (3)存在.如下图所示.以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图. 以BD 为边时.有3种情况. ∵D 点坐标为15(3, )4 .∴点N 点纵坐标为±154. 当点N 的纵坐标为15 4 时.如点N 2. 此时23315 6424x x - ++=.解得：121,3x x =-=(舍). ∴215 (1,)4 N -.∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为15 4 -时.如点N 3.N 4. 此时23315 6424 x x -++=-.解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-.415 (114,)4 N -. ∴3(14,0)M .4(14,0)M -； 以BD 为对角线时.有1种情况.此时N 1点与N 2点重合. ∵115(1,)4 N -.D(3.154). ∴N 1D=4. ∴BM 1=N 1D=4. ∴OM 1=OB+BM 1=8. ∴M 1(8.0). 综上.点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，. 2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE， 中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图② E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0）， 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直 中考数学压轴题专集二：一次函数 1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－ 1 4 x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式． 解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－ 1 4 x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2） （2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5 在y ＝－ 1 4 x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3 ∴C （0，3），OC ＝3 过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝ EC 2 －CF 2 ＝ 5 2 －4 2 ＝3 ∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1） 设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入 得：?????b ＝3 4k ＋b ＝1 解得 ?????k ＝－ 1 2 b ＝3 ∴直线l 的解析式为y ＝－ 1 2 x ＋3 2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点C的坐标和k的值； （2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1 2S△ABC，求点P的坐标． （1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H 则∠HCG＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH 又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC ∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH 在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4 设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x 解得x＝1，∴C（1，1） ∴k＝1 （2）由（1）知，CG＝1，AG＝3 ∴AC2＝BC2＝12＋32＝10 ∴S△ABC＝1 2AC 2＝5，S △PBC ＝ 1 2S△ABC＝ 5 2 当点P在点G左侧时 S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4＋ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝1 3，∴P1（－ 1 3，0） 当点P在点G右侧时 S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4－ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝3，∴P2（3，0） 一、中考数学压轴题 1．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于A B 、两点． （1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度． （2）已知M 是 O 一点，1cm OM =． ①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ． 2．如图1，在 O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ， AD AB =． （1）求证：2CAO CDB ∠=∠ （2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE += （3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长． 3．已知抛物线2 17 22 2 y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标； （3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形． 4．已知，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB =EF =6，如图1，D 是斜边AB 的中点，将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ． （1）如图1，当α=60°时，求证：DM =BN ； （2）在上述旋转过程中， DN DM 的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明； （3）如图3，在上述旋转过程中，当点C 落在斜边EF 上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积． 5．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接 BE ，DE ． （1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长； （2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且 DF CD =，求证：12 AB EF =； （3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系 6．如图，90EOF ∠=?，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =， 3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时， 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+< 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； 中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 2019年各省市中考数学压轴题合辑（五） 1．（2019?长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ． （1）求点A 的坐标； （2）过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =； ②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a = ，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE -的值． 2．（2019?长沙）已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b ，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m ≤x ≤n 时，恰好≤≤， 求m ，n 的值． 3．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”)． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题） ③两个大小不同的正方形相似．(命题） （2）如图1，在四边形ABCD和四边形 1111 A B C D中， 111 ABC A B C ∠=∠， 111 BCD B C D ∠=∠，111111 AB BC CD A B B C C D ==．求证：四边形ABCD与四边形 1111 A B C D相似． （3）如图2，四边形ABCD中，// AB CD，AC与BD相交于点O，过点O作// EF AB分 别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为 1 S，四边形EFCD的面积为 2 S，若 四边形ABFE与四边形EFCD相似，求2 1 S S 的值． 中考数学压轴题专题Prepared on 21 November 2021 专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-=。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 1、（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－ 3 2x 2 +b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2 -x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分） （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分） （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 2、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB = ABOC 绕点O 按顺时针 方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2 y ax bx c =++过点 A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y O 第26题图 D E C F A B （第25题图） A x y B C O 3、如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2 23 (0)y ax x c a =- +≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为 1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经 过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）； （2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？ 图14 y x O A B M O 1 A O x y B F C 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日 三、解答题 23.（11分）如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1， 1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速 度移动．过点P作PQ⊥OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题 23. （11分）如图，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点， 与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标． （2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标． （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ．若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q ′，是否存在点P ，使点Q ′恰好在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 做题时间：_______至_______ 家长签字：_____________ 共__________分钟日期：_____月_____日 三、解答题 23.（11分）如图，已知直线 1 1 2 y x =-+与坐标轴交于A，B两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E． （1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式； （2 个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落 在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 备用图 一、中考数学压轴题 1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动 点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ； （3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 5．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
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