2021中考数学冲刺专题训练压轴题含解析
2021年中考数学压轴题提升训练实际问题中的方程组与函数题型含解析
实际问题中的方程（组）与函数题型【例1】俄罗斯世界杯足球赛期间,某商店销售一批足球纪念册,每本进价40元,规定销售单价不低于44元,且获利不高于30%,在试销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300本,销售单价每上涨1元,每天销售量减少10本,现商店决定提价销售,设每天销售量为y本,销售单价为x元.（1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时,商店每天获利2400元？（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时,商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）y=300－10(x－44),整理得：y=－10x+740,（44≤x≤52）；（2）由题意得：（x－40）（－10x+740）=2400,解得：x=50,x=64（舍）,即当每本足球纪念册的销售单价是50元时,商店每天获利2400元.（3）由题意得：w=（x－40）（－10x+740）=－10（x－57）2+2890∵－10<0,对称轴为x=57,∴当x<57时,w随x增大而增大,∵44≤x≤52,∴当x=52时,w取最大值,最大为2640元,即当每本足球纪念册的销售单价是52元时,商店每天的利润最大,最大利润是2640元.【例2】某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜,已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2倍多200元,买3头甲种牲畜和1头乙种牲畜共需5700元.（1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95%和99%,若购买以上两种牲畜共50头,并使这50头的成活率不低于97%,且要使购买的总费用最低,应如何购买？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种牲畜的单价为x元,由题意得：3x+2x+3000=7500,解得：x=1100,2×1100+200=2400,即甲种牲畜的单价为1100元,乙种牲畜的单价为2400元.（2）设购买甲种牲畜m头时,总购买费用为w元,则w=1100m+2400（50－m）=－1300m+120000,由题意知：95%m+99%（50－m）≥97%×50,解得：m≤25,即0≤m≤25,∵－1300<0,∴w随m的增大而减小,当m=25时,w取最小值,即费用最低,∴购买两种牛各25头时,费用最低.【变式2-1】水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80千克的钱,现在可买88千克．（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）【答案】见解析．【解析】解：（1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元,则原来价格为每千克（a+2）元,由题意,得：80（a+2）＝88a,解得：a ＝20．即现在实际购进这种水果每千克20元；（2）①设y 与x 之间的函数关系式为：y ＝kx +b ,将（25,165）,（35,55）代入y ＝kx +b 得,251653555k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解得：11440k b =-⎧⎨=⎩, 即y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣11x +440；②设这种水果的销售价格为x 元/千克时,利润为w 元,则w ＝（x ﹣20）y＝（x ﹣20）（﹣11x +440）＝﹣11（x ﹣30）2+1100,∵﹣11<0,∴当x ＝30时,w 有最大值,最大值为1100．即这种水果的销售单价定为30元时,能获得最大利润,最大利润是1100元．【例3】在江苏卫视《最强大脑》节目中,搭载百度大脑的机器人小度以3:1的总成绩,,斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格,人工智能时代已经扑面而来．某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售,很快销售一空,商家又用24000元第二次购进同款机器人,所购进数量是第一次的2倍,但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售,要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素）,那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设该商家第一次购进机器人x 个, 由题意得：1100024000102x x+=, 解得：x =100．经检验,x =100是所列方程的解,且符合题意．答：该商家第一次购进机器人100个．（2）设每个机器人的标价是a 元．由题意得：a ﹣11000﹣24000≥×20%,解得：a ≥140．答：每个机器人的标价至少是140元．【变式3-1】由于技术更新,智能电视的功能越来越强大,价格也逐渐下降,某电器商行经营的A 款40英寸智能电视去年销售总额为5万元,今年每台销售价比去年降低400元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%．（1）今年A 款40英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该电器商行计划新进一批A 款40英寸智能电视和新款B 款40英寸智能电视共60台,且B 款40英寸智能电视的进货数量不超过A 款40英寸智能电视数量的两倍,应如何进货才能使这批智能电视获利最多？A ,B 两款40英寸智能电视的进货和销售价格如下表：【答案】见解析.【解析】解：设今年A 款40英寸智能电视每台售价为x 元,则去年每台售价为（x +400）元,由题意得： ()50000120%50000400x x⨯-=+, 解得：x =1600,经检验,x =1600是原方程的解,符合题意,∴今年A 款40英寸智能电视每台售价为1600元.（2）设购进A 款电视a 台,则购进B 款（60－a ）台,此时获利y 元,y =（1600-1100）a +（2000-1400）（60-a ）=-100a +36000,其中：60-a ≤2a ,0≤a ≤60,即20≤a ≤60,且a 为整数；∵-100<0,∴y 随a 的增大而减小,当a =20时,y 取最大值,即当进A 款电视20台,B 款电视40台时,获利最大.【例4】紫石中学为了给同学们提供更好的学习环境,计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园,经市场调查发现购买2棵桂花树3棵香樟树共需360元,购买3棵桂花树2棵香樟树共需340元．（1）桂花树香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况,需购买两种树苗共150棵,总费用不超过10840元,且购买香樟树的棵树不少于桂花树的1.5倍,请你算算,该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案．【答案】见解析.【解析】解：（1）设桂花每棵x 元,香樟树每棵y 元,由题意得：2336032340x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得：x =60,y =80,答：桂花树每棵60元,香樟树每棵80元.（2）设桂花树购买x 棵,则香樟树购买（150－a ）棵,由题意得：()608015010840150 1.5x x x a ⎧+-≤⎨-≥⎩, 解得：58≤x ≤60,∴有三种购买方案：桂花树58棵,香樟树92棵；桂花树59棵,香樟树91棵；桂花树60棵,香樟树90棵.【变式4-1】冬季来临,某网店准备在厂家购进 A ,B 两种暖手宝共 100 个用于销售,若购买 A 种暖手宝 8 个,B 种暖手宝 3 个,需要 950 元；若购买 A 种暖手宝 5 个,B 种暖手宝 6 个,则需要 800 元．（1）购买 A ,B 两种暖手宝每个各需多少元？（2）①由于资金限制,用于购买这两种暖手宝的资金不能超过 7 650 元,设购买 A 种暖手宝 m 个,求②在①的条件下,购进A种暖手宝不能少于 50 个,则有哪几种购买方案？（3）购买后,若一个A种暖手宝运费为 5 元,一个B种暖手宝运费为 4 元, 在第（2）问的各种购买方案中,购买 100 个暖手宝,哪一种购买方案所付的运费最少？最少运费是多少元？【答案】见解析.【解析】解：（1）设A、B两种暖手宝的价格分别为x元/个、y元/个,由题意得：83950 56800x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：x=100,y=50,即A、B两种暖手宝的价格分别为100元/个,50元/个.（2）①由题意得：100m+50（100－m）≤7650,解得：m≤53,∴m的取值范围是：0≤m≤53,且m为整数；②∵50≤m≤53,∴共有以下四种购买方案,A种50个,B种50个；A种51个,B种49个；A种52个,B种48个；A种53个,B种47个；（3）设总运费为w元,则：w=5m+4(100－m)=m+400,∵1>0,∴w随m的增大而增大,当m=50时,运费最少,最少为450元,∴当购买A种产品50个,B种产品50个时,总运费最少,最少为450元 .1.为支持国家南水北调工程建设,小王家由原来养殖户变为种植户, 经市场调查得知,种植草莓不超过20 亩时,所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1 500 m；超过20亩时,y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时,每亩可获得利润 1800 元；超过 15 亩时,每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式为z=－20x+2 100．（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元,直接写出P关于x的函数关系式,并写出自变量（2）如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃,当种植樱桃面积（x 亩）满足0＜x ＜20时,求小王家总共获得的利润w （元）的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：()()2180001520210015x x p x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩（2）种植樱桃面积x 亩,则种植草莓面积（40－x ）亩,由题意知,①当0<x ≤15时,w =1800x +1380(40－x )+2400=420x +57600,∵420>0,∴w 随x 的增大而增大,当x =15时,w 最大,最大值为63900,②当15<x ≤20时,w =－20x 2+2100x +1380(40－x )+2400=－20（x －18）2+64080,∵－20<0,∴当x =18时,w 取最大值,最大值为64080,∵64080>63900,∴当x =18时,小王家总共获得的利润w 取最大值,最大值为64080元.2.某游乐园的门票销售分两类：一类个人门票,分为成人票,儿童票；一类为团体门票（一次购买门票 10 张及以上）,每张门票在成人票价格基础上打 6 折．已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元；两个成人带一个儿童购门票需 100 元．（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？（2）光明小学 4 名老师带领 x 名儿童到该游乐园,设购买门票需 y 元．①若每人分别购票,求 y 与 x 之间的函数关系式；②若购买团体票,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围；③请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案．【答案】见解析.【解析】解：设成人票每张a元,儿童票每张b元,由题意得：a+2b=80,2a+b=100,解得：a=40,b=20,即成人票每张40元,儿童票每张20元；（2）①y=4×40+20x=160+20x②y=40×0.6（x+4）=24x+96,由x+4≥10,得x≥6,且x为整数.③（i）当160+20x>24x+96,即x<16,∴当6≤x<16且x为整数时,应全部购买团体票较为优惠；（ii）当160+20x=24x+96,即x=16,∴当x=16时,购买团体票或分别购买均可以；（iii）当160+20x<24x+96,即x>16,∴当x>16且x为整数时,应分别购买较为优惠.3..近几年,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也在逐年增加,某商场从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 80 台,其中B型空气净化器的进货量不多于A 型空气净化器的 2 倍,为使该公司销售完这 80 台空气净化器后的总利润最大,请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时,B型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时,某长方体室内活动场地的总面积为 200 m2,室内墙高 3 m,该场地负责人计划购买 5 台空气净化器每天花费30 分钟将室内空气净化一新,若不考虑空气对流等因素,至多要购买A型空气净化器多少台？【答案】见解析.【解析】解：(1)设每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是x元,y元,由题意得：5395034900x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：x=100,y=150,∴每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是100元,150元. （2）设购买A型m台,则购进B型（80－x）台,利此时润为w元,由题意知：80－m≤2m,0≤m≤80,m为整数可得：803≤m≤80,m为整数,W=100m+150（80－m）=－50m+12000,∵－50<0,∴w随m的增大而减小,当m=27时,w取最大值,80－27=53,即购进A型27台,B型53台时,售完后获利最大. （3）设购买A型a台,则够买B型（5－a）台,∴12×200a+12×300（5－a）≥200×3,解得：a≤3,∵0≤a≤5,∴0≤a≤3,且a为整数,即至多要购买A型空气净化器3台.4.某水果店购买一批时令水果,在20天内销售完毕,店主将本次此销售数据绘制成函数图象,如图①,日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图②,销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？【答案】见解析．【解析】解：（1）分两种情况：①当0≤x≤15时,设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x,∵直线y=k1x过点（15,45）,∴15k1=45,解得k1=3,∴y=3x（0≤x≤15）；②当15＜x≤20时,设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b, ∵点（15,45）,（20,0）在y=k2x+b的图象上,∴15k2+b=45, 20k2+b=0解得：k2=－9,b=180∴y=﹣9x+180（15＜x≤20）；∴y与x之间的函数关系式为：y=3015 91801520x xx x≤≤⎧⎨-+<≤⎩．①当0≤x＜10时,p=25,当10≤x≤20时,设销售单价p与销售时间x之间的函数解析式为：p=mx+n, ∵点（10,25）,（20,15）在p=mx+n的图象上,∴10m+n=25,20m+n=15,解得：m=－1,n=35,∴p=﹣x+35（10≤x≤20）,∴p=25010351020xx x≤<⎧⎨-+≤≤⎩；（2）若日销售量不低于36千克,即y≥36．当0≤x≤15时,y=3x,3x≥36,解得：x≥12；当15＜x≤20时,y=﹣9x+180,﹣9x+180≥36,解得：x≤16,∴12≤x≤16,∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；∵p=﹣x+35（10≤x≤20）,k=﹣1＜0,∴p随x的增大而减小,∴当12≤x≤16时,x取12时,p有最大值,此时p=﹣12+35=23．∴此次销售过程中“最佳销售期”共有5天,在此期间销售金额最高是第12天．5..某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器,购买2个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元；购买1个A品牌和2个B品牌的计算器共需124元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕,该商店举行促销活动,具体办法如下：购买A品牌计算器按原价的九折销售,购买B 品牌计算器超出10个以上超出的部分按原价的八折销售．①设购买x个A品牌的计算器需要y1元,购买x个B品牌的计算器需要y2元,分别求出y1、y2关于x的函数关系式；②小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器,若购买计算器的数量超过10个,问购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设A品牌计算器的单价为m元,B品牌计算器的单价为n元,由题意得：2m+n=122,m+2n=124,解得：m=40,n=42,即A品牌计算器的单价为40元,B品牌计算器的单价为42元．（2）①由题意：y1=0.9×40x=36x,当0＜x≤10时,y2=42x；当x＞10时,y2=42×10+42（x﹣10）×0.8=33.6x+84．∴y2=42010 33.68410x xx x≤≤⎧⎨+>⎩．②当购买数量超过10个时,y2=33.6x+84．（i）当y1＜y2时,36x＜33.6x+84,即x＜35,当10＜x＜35时,购买A品牌的计算器更合算；（ii）当y1=y2时,36x=33.6x+84,即x=35,∴当x=35时,购买两种品牌的计算器花费一样多；（iii）当y1＞y2时,36x＞33.6x+84,即x＞35．∴当x>35时,购买B品牌的计算器更合算．6..某班为参加学校的大课间活动比赛,准备购进一批跳绳,已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元,1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根,并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍,请设计书最省钱的购买方案,并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元,一根B型跳绳的售价是y元,根据题意,得：2x+y=56,x+2y=82,解得：x=10,y=36,即一根A型跳绳售价是10元,一根B型跳绳的售价是36元；（2）由m≤3（50﹣m）,得：m≤37.5,∴0≤m≤37,且m为整数,设购进A型跳绳m根,总费用为W元,根据题意,得：W=10m+36（50﹣m）=﹣26m+1800,∵﹣26＜0,∴W随m的增大而减小,∴当m=37时,W最小=838,即当购买A型跳绳37根,B型跳绳13根时,最省钱．7..为响应市政府“创建国家森林城市”的号召,某小区计划购进A、B两种树苗共17棵,已知A种树苗每棵80元,B种树苗每棵60元．（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元,问购进A、B两种树苗各多少棵？（2）若购进A种树苗a棵,所需费用为W,求W与x的函数关系式；（3）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用．【答案】见解析.【解析】解：（1）设购进A种树苗x棵,则购进B种树苗（17﹣x）棵,由题意得：80x+60（17﹣x）＝1220,解得：x＝10,即购进A种树苗10棵,B种树苗7棵；（2）W与a的函数关系式：W＝80a+60（17﹣a）＝20a+1020；（3）由题意得：17－a<a,即a>8.5,∴8.5<a≤17,且a为整数,由（2）知,W＝20a+1020,W随a的增大而增大,∴a=9时,即购买9棵A种树苗,8棵B种树苗时,费用最少,W＝80×9+60×8＝1200,即购买9棵A种树苗,8棵B种树苗时,费用最少,需要1200元．8..孝感市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升．某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级,经市场调查：购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元；购买A种树木3棵,B种树木1棵,共需380元．（1）求A种,B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素）,实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）设A种树每棵x元,B种树每棵y元,依题意得：25600 3380x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：10080xy=⎧⎨=⎩,答：A种树每棵100元,B种树每棵80元；（2）设购买A种树木为a棵,则购买B种树木为（100﹣a）棵,有a≥3（100﹣a）,解得：a≥75．设实际花费金额是y元,则：y＝0.9[100a+80（100﹣a）]＝18a+7200．∵18＞0,∴y随a的增大而增大,∴当a＝75时,y取最小值,即当a＝75时,y最小值＝18×75+7200＝8550（元）．答：当购买A种树木75棵,B种树木25棵时,所需费用最少,最少为8550元．9..某校计划购进甲、乙两种规格的书架,经市场调查发现有线上和线下两种购买方式,具体情况如下表：（1）如果在线下购买甲、乙两种书架共30个,花费8 280元,求甲、乙两种书架各购买了多少个？（2）如果在线上购买甲、乙两种书架共30个,且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍,请求出花费最少的购买方案及花费．【答案】见解析.【解析】解：（1）设线下购买甲种书架x个,乙种书架y个,由题意得：30 2403008280x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：1218 xy=⎧⎨=⎩,即线下购买甲种书架12个,乙种书架18个.（2）设购买甲种书架a个,则购买乙种书架（30－a）个,总花费为w元, ∵30－a≥3a,即a≤7.5（其中a为正整数）,W=（210+20）a+（250+30）（30－a）=-50a+8400,∵-50<0,∴w随a的增大而减小,当a=7时,w最小,最小值为8050元,即当购买7个甲种书架,23个乙种书架时,总费用最低,最低为8050元.10..某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系,部分数据如下表：售价x（元/千克）50 60 70销售量y（千克）100 80 60（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元）,求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少？【答案】见解析．【解析】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b,由题意得：50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得：2200kb=-⎧⎨=⎩,y与x之间的函数表达式是：y＝﹣2x+200；（2）由题意得,W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2（x﹣70）2+1800,（3）∵W＝﹣2（x﹣70）2+1800,40≤x≤80,∵﹣2<0,∴当40≤x≤70时,W随x的增大而增大,当70≤x≤80时,W随x的增大而减小, 且当x＝70时,W取得最大值,此时W＝1800.11..小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00,下午14：00﹣18：00,每月工作25天； 信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表： 生产甲产品数（件） 生产乙产品数（件） 所用时间（分钟） 10 10 350 3020850信息三：按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1900元,请根据以上信息,解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【答案】见解析．【解析】解：（1）设生产一件甲种产品需x 分钟,生产一件乙种产品需y 分钟． 由题意得：10103503020850x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得：x =15,y =20,即生产一件甲产品需要15分钟,生产一件乙产品需要20分钟．（2）设生产甲种产品共用x 分钟,则生产乙种产品用（25×8×60﹣x ）=（12000－x ）分钟,收入为w 元,则生产甲种产品15x 件,生产乙种产品1200020x-件． ∴w ＝1.5×15x +2.8×1200020x-＝﹣0.04x +1680, ∵15x≥60,即：x ≥900, w ＝﹣0.04x +1680中,∵﹣0.04<0,∴w 随x 的增大而减小,∴当x ＝900时,w 取得最大值,最大值为：1644元, 则小王该月收入最多是1644+1900＝3544元, 此时生产甲60件,乙555件,∴小王该月最多能得3544元,此时生产甲、乙两种产品分别60件,555件．12..“京东电器”准备购进A、B两种品牌台灯,其中A每盏进价比B每盏进价贵30元,A售价120元,B 售价80元已知用1040元购进的A数量与用650元购进B的数量相同．（1）求A、B的进价；（2）超市打算购进A、B台灯共100盏,要求A、B的总利润不得少于3400元,不得多于3550元,问有多少种进货方案？（3）在（2）的条件下,该超市决定对A台灯进行降价促销,A台灯每盏降价m（8＜m＜15）,B的售价不变,超市如何进货获利最大？【答案】见解析．【解析】解：（1）设A品牌台灯进价为x元/盏,则B品牌台灯进价为（x﹣30）元/盏,由题意得：104065030x x=-,解得：x=80,经检验x＝80是原分式方程的解,80﹣30＝50（元/盏）,答：A、B两种品牌台灯的进价分别是 80 元/盏,50 元/盏（2）设超市购进A品牌台灯a盏,则购进B品牌台灯有（100﹣a）盏, 根据题意得：3400≤（120﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）≤3550解得：40≤a≤55．∵a为整数,55－40+1=16,∴该超市有 16 种进货方案（3）设超市销售台灯所获总利润为w元,w＝（120﹣m﹣80）a+（80﹣50）（100﹣a）＝（10﹣m）a+3000∵8＜m＜15①当 8＜m＜10 时,即 10﹣m＞0,w随a的增大而增大,当a＝55 时,所获总利润w最大,此时进货方案为：A品牌台灯 55 盏、B品牌台灯 45 盏；②当m＝10 时,w＝3000；当A品牌台灯数量满足 40≤a≤55时,利润均为 3000元；③当 10＜m＜15 时,即 10﹣m＜0,w随a的增大而减小,当a＝40 时,所获总利润w最大,此时进货方案为：A品牌台灯 40 盏、B品牌台灯 60 盏.13..为落实“精准扶贫”,某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地,准备种植A,B两种蔬菜,若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜,共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜,共需投入34万元．（1）种植A,B两种蔬菜,每亩各需投入多少万元？（2）经测算,种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元,种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元,村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜,总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩,求w关于m的函数关系式；（3）在（2）的条件下,若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍,请你设计出总获利最大的种植方案,并求出最大总获利．【答案】见解析．【解析】解：（1）设种植A,B两种蔬菜,每亩各需分别投入x万元,y万元,由题意得：203036 302034 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：0.60.8xy=⎧⎨=⎩,即种植A,B两种蔬菜,每亩各需分别投入0.6万元,0.8万元. （2）由题意得：w＝0.8m+1.2×1000.60.8m-＝﹣0.1m+150 ∵1000.6m-≥0,∴0≤m≤5003,（3）∵m≥2×1000.60.8m-解得：m≥100在w＝﹣0.1m+150中,∵﹣0.1＜0,∴w随m的增大而减小,∴当m＝100时,w取最大值为：140万元,∴1000.60.8m-＝50即当种A蔬菜100亩,B种蔬菜50亩时,获得最大利润为140万元．14..2018年4月8日﹣11日,博鳌亚洲论坛2018年年会在海南省博鳌镇召开．本届博鳌亚洲论坛的主题为“开放创新的亚洲,繁荣发展的世界”．围绕这一主题,年会设置了“全球化与一带一路”“开放的亚洲”“创新”“改革再出发”四大板块,展开60多场正式讨论．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区,已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件？【答案】见解析.【解析】解：（1）设甲种、乙种商品的销售单价分别是x元,y元,由题意,得：23 321500x yx y=⎧⎨-=⎩解得：x=900,y=600,．答：甲种商品的销售单价是900元,乙种商品的单价为600元（2）设销售甲种商品a万件,则销售乙种商品（8﹣a）万件,由题意,得：900a+600（8﹣a）≥5400解得：a≥2,即至少销售甲种商品2万件．15..某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B 型手机获得的利润分别为3000元和2000元．（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍．设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元．①求y关于n的函数关系式；②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大？（3）实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m（30＜m＜100）元,且限定商店最多购进B型手机80台．若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及（2）中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案．【答案】见解析．【解析】解：（1）设每部A型手机的销售利润为x元,则每部B型手机的销售利润为（x－50）元,根据题意,得：3000200050x x=-,解得：x=150,经检验：x=50是原方程的解,150－50=100,答：每部A型手机的销售利润为150元,每部B型手机的销售利润为100元；（2）①设购进B型手机n部,则购进A型手机（110﹣n）部,则y＝150（110﹣n）+100n＝﹣50n+16500,∵110﹣n≤2n,∴3623≤n≤110且n为整数,∴y关于n的函数关系式为y＝﹣50n+16500 （3623≤n≤110且n为整数）；②∵﹣50＜0,∴y随n的增大而减小,∴当n＝37时,y取得最大值,最大值为14650元,答：购进A型手机73部、B型手机37部时,销售总利润最大；（3）y＝150（110﹣n）+（100+m）n＝（m﹣50）n+16500,其中,3623≤n≤80,且n为整数）,①当30＜m＜50时,y随n的增大而减小,当n＝37时,y取得最大值,即购进A型手机73部、B型手机37部时销售总利润最大；②当m＝50时,m﹣50＝0,y＝16500,n取3623≤n≤80的整数时,获得最大利润；③当50＜m＜100时,y随n的增大而增大, ∴当n＝80时,y取得最大值,即购进A型手机30部、B型手机80部时销售总利润最大．16..某学校是乒乓球体育传统项目学校,为进一步推动该项目的开展,学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副,并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球,乒乓球的单价为2元/个,若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．（1）求两种球拍每副各多少元？（2）若学校购买两种球拍共40副,且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍,请你给出一种费用最少的方案,并求出该方案所需费用．【答案】见解析．【解析】解：（1）设直拍球拍每副x元,横拍球每副y元,由题意得,201520359000 10201052051600x yy x++⨯=⎧⎨+⨯=+⨯+⎩,解得：220260xy=⎧⎨=⎩,答：直拍球拍每副220元,横拍球每副260元；（2）设购买直拍球拍m副,则购买横拍球（40﹣m）副,所需的费用为w元,由题意得：m≤3（40﹣m）,即m≤30,则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m）=﹣40m+11200,∵﹣40＜0,∴w随m的增大而减小,∴当m=30时,w取最小值,最小值为10000（元）．答：购买直拍球拍30副,则购买横拍球10副时,费用最少为10000元．17..某学校计划购买排球、篮球,已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元．（1）求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60个,并且篮球的数量不超过排球数量的2倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？【答案】见解析．。
2021届中考数学压轴题专项训练 一次函数【含答案】
2021届中考数学压轴题专项训练一次函数【含答案】1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y＝60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；（2）求乙出发后几小时追上甲车？解：（1）设乙对应的函数关系式为y＝kx+b将点（4，300），（1，0）代入y＝kx+b得：解得：，∴乙对应的函数关系式y＝100x﹣100；（2）易得甲车对应的函数解析式为y＝60x，联立，解得：，2.5﹣1＝1.5（小时），∴乙车出发后1.5小时追上甲车．2．如图①所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线前往同一目的地，途中经过B地．甲车先出发，当甲车到达B地时，乙车开始出发．当乙车到达B地时，甲车与B地相距km 设甲、乙两车与B地之间的距离为，y1（km），y2（km），乙车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系如图②所示．（1）A，B两地之间的距离为20 km；（2）当x为何值时，甲、乙两车相距5km？解：（1）A，B两地之间的距离为20km．故答案为：20；（2）乙车的速度为：20÷＝120（km/h），甲车的速度为：＝100（km/h），甲比乙早出发的时间为：20÷100＝0.2（h），相遇前：（20+100x）﹣120x＝5，解得x＝0.75；相遇后：120x﹣（20+100x）＝5，解得x＝1.25；答：当x为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km．3．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（0，3），点E是线段AB上的一点，以DE为腰在第二象限内作等腰直角△DEF，∠EDF＝90°．（1）请直接写出点A，B的坐标：A（﹣2 ，0 ），B（0 ， 2 ）；（2）设点F的坐标为（a，b），连接FB并延长交x轴于点G，求点G的坐标．解：（1）∵直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，∴点A（﹣2，0），点B（0，2）故答案为：（﹣2，0），（0，2）（2）如图，过点F作FM⊥y轴，过点E作EN⊥y轴，∴∠FMD＝∠EDF＝90°∴∠FDM+∠DFM＝90°，∠FDM+∠EDN＝90°，∴∠DFM＝∠EDN，且FD＝DE，∠FMD＝∠END＝90°，∴△DFM≌△EDN（AAS）∴EN＝DM，FM＝BN，∵点F的坐标为（a，b），∴FM＝DN＝﹣a，DM＝b﹣3，∴点E坐标（﹣b+3，3+a），∵点E是线段AB上的一点，∴3+a＝﹣b+3+2∴a+b＝2，∴点F（a，2﹣a）设直线BF的解析式为y＝kx+2，∴2﹣a＝ka+2∴k＝﹣1，∴直线BF的解析式为y＝﹣x+2，∴点G（2，0）4．某学校甲、乙两名同学去爱国主义教育基地参观，该基地与学校相距2400米．甲从学校步行去基地，出发5分钟后乙再出发，乙从学校骑自行车到基地．乙骑行到一半时，发现有东西忘带，立即返回，拿好东西之后再从学校出发．在骑行过程中，乙的速度保持不变，最后甲、乙两人同时到达基地．已知，乙骑行的总时间是甲步行时间的．设甲步行的时间为x（分），图中线段OA表示甲离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．图中折线B﹣C﹣D和线段EA表示乙离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象．根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）甲步行的速度和乙骑行的速度；（2）甲出发多少时间后，甲、乙两人第二次相遇？（3）若s（米）表示甲、乙两人之间的距离，当15≤x≤30时，求s（米）关于x（分）的函数关系式．解：（1）由题意得：（米/分），＝240（米/分）；（2）由题意可得：C（10，1200），D（15，0），A（30，2400），设线段CD的解析式为：y＝kx+b，则，解得∴线段CD的解析式为：y＝﹣240x+3600，易知线段OA的解析式为：y＝80x，根据题意得240x+3600＝80x，解得：x＝，∴甲出发分后，甲、乙两人第二次相遇；（3）∵E（20，0），A（30，2400），设线段EA的解析式为：y＝mx+n，，解得，∴线段EA的解析式为：y＝240x﹣4800，∴当15≤x≤20时，s＝y OA﹣0＝80x，当20＜x≤30时，s＝y OA﹣y EA＝80x﹣（240x﹣4800）＝﹣160x+4800，∴．5．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆．若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆．（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，①如图1，点D在边BC上，且CD＝1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线y＝x上运动（P不与O重合），将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围．解：（1）①如图1，过D作DE⊥AC于E，∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴∠C＝∠B＝45°，∵CD＝1，∴BD＝2﹣1＞CD，∴D到AC的距离小于到AB的距离，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE＝，即点D关于△ABC的最大内半圆的半径长是；②当D为BC的中点时，BC关于△ABC的内半圆为⊙D，如图2，∴BD＝BC＝，同理可得：BC关于△ABC的内半圆半径DE＝1．（2）过点E作EF⊥OE，与直线y＝x交于点F，设点M是OE上的动点，i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，∵直线OF：y＝x∴∠FOE＝30°由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于△OEP的内半圆，∴当R＝时，如图3，DM＝，此时PM⊥x轴，P的横坐标t＝OM＝；如图4，当P与F重合时，M在∠EFO的角平分线上，⊙M分别与OF，FE相切，此时R＝1，P的横坐标t＝OE＝3；∴当≤R≤1时，t的取值范围是≤t≤3．ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E 且与OP相切的半圆，如图5．∴当R＝1 时，t的取值范围是t≥3．iii）当点P在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6．∵∠FOE＝∠OPE+∠OEP＝30°，∴∠OEP＜30°，∴OM＜1，当R＝时，如图6，过P作PA⊥x轴于A，N是切点，连接MN，MN⊥PE，此时OM ＝MN＝，ME＝3﹣＝，∴EN＝＝＝，Rt△OPA中，∠POA＝30°，OA＝﹣t，∴PA＝﹣t，∵∠ENM＝∠EAP＝90°，∠MEN＝∠AEP，∴△EMN∽△EPA，∴，即＝解得：t＝﹣，∴当≤R＜1时，t的取值范围是t≤﹣．综上，点P在直线y＝x上运动时（P不与O重合），当≤R≤1时，t的取值范围是t≤﹣或t≥．6．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x 相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．解：（1）一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）联立y＝﹣x+6、y＝x并解得：x＝3，故点C（3，），S△AOC＝8×＝15＝S△BCP＝BP×（yP﹣yC）＝BP×（6﹣），解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）（3）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，如左图，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即|m﹣n|＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝或16，故点E（，）或（14，）；②当∠EAP＝90°时，如右图，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14，故点E（2，）或（16，20）；上，E（，）或（14，）或；（2，）或（16，20）．7．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标．（3）若点D是折线A﹣B﹣C上一动点，是否存在点D，使AACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）在y＝x+4中，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．把B（0，4）代入，y＝﹣2x+b，得b＝4∴直线BC为：y＝﹣2x+4．在y＝﹣2x+4中，令y＝0，得x＝2，∴C点的坐标为（2，0）；（2）如图点E为所求点D是AB的中点，A（﹣4，0），B（0，4）．∴D（﹣2，2）．点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，﹣4）．设直线DB1的解析式为y＝kx+b．把D（﹣2，2），B1（0，﹣4）代入一次函数表达式并解得：故该直线方程为：y＝﹣3x﹣4．令y＝0，得E点的坐标为．（3）存在，D点的坐标为（﹣1，3）或．①当点D在AB上时，由OA＝OB＝4得到：∠BAC＝45°，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（﹣1，3）；②当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．在△AOF与△BOC中，∠FAO＝∠CBO，∠AOF＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOF≌△BOC（ASA）．∴OF＝OC＝2，∴点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为，与y＝﹣2x+4组成方程组并解得：x＝，∴交点D的坐标为．8．（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A 作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①如图2，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为腰在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则C点的坐标为C（4，6）或C（6，2）（直接写出结果）②如图3，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝45°，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．解：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＝∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△BEC和△CDA中，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）①根据题意可得点C的坐标为C（4，6）或C（6，2）；故答案为：C（4，6）或C（6，2）；②如图，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，∵∠BCA＝∠AMC，∴∠BCP＝∠CAM，在△CBP与△ACM中，，∴△CBP≌△ACM（AAS），∴MC＝BP，同理，CM＝DQ，∴DQ＝BP在△BPN与△DQN中，，∵△BPN≌△DQN（AAS），∴BN＝ND，∴N是BD的中点．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A 两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N，连接FM．（1）求tan∠ABO的值；（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；（3）若MD＝MN，求点D的坐标．解：（1）直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（3，0）；tan∠ABO＝＝＝tanα；（2）DE与FM的位置关系为相互垂直，理由：点C是AB的中点，则∠COB＝∠CBO＝∠EDF＝α，∠ONF＝∠DNM，∴∠DMN＝∠DFO，∴O、F、M、D四点共圆，∴∠DMF+∠DOF＝180°，∴∠DOF＝90°，即：DE⊥FM；（3）MD＝MN，∴∠MDN＝∠MND＝α，而∠COB＝α，∠DNM＝∠ONF＝α，即△OCF为以ON为底，底角为α的等腰三角形，则tan∠NFO＝＝＝tanβ，则cosβ＝（证明见备注）；设OF＝m，则DF＝FB＝3﹣m，cos∠DFO＝cosβ＝，解得：m＝，OD2＝DF2﹣OF2＝（3﹣m）2﹣m2＝；则OD＝，故点D（0，）．备注：如下图，过点N作HN⊥OF于点H，tanα＝，则sinα＝，作FM⊥ON于点M，设FN＝OF＝5a，则FN＝4a，则ON＝6a，同理可得：NH＝，tan∠NFO＝＝＝tanβ，则cosβ＝．10．如图，直线l1：y＝x+与y轴的交点为A，直线l1与直线l2：y＝kx的交点M的坐标为M（3，a）．（1）求a和k的值；（2）直接写出关于x的不等式x+＜kx的解集；（3）若点B在x轴上，MB＝MA，直接写出点B的坐标．解：（1）∵直线l1与直线l2的交点为M（3，a），∴M（3，a）在直线y＝x+上，也在直线y＝kx上，∴a＝×3+＝3，∴M（3，3），∴3＝3k，解得k＝1；（2）不等式x+＜kx的解集为x＞3；（3）作MN⊥x轴于N，∵直线l1：y＝x+与y轴的交点为A，∴A（0，），∵M（3，3），∴AM2＝（3﹣0）2+（3﹣）2＝，∵MN＝3，MB＝MA，∴BN＝＝，∴B（，0）或B（，0）．11．如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与CD交于点F．（1）求证：OF＝CF；（2）若OD＝4，OB＝8，写出OE所在直线的解析式．解：（1）∵四边形OBCD为矩形，∴DO＝BC，∠OBC＝∠ODC．由翻折的性质可知∠E＝∠OBC，CE＝BC，∴OD＝CE，∠E＝∠ODC．在△ODF和△CEF中，∴△ODF≌△CEF（AAS），∴OF＝CF．（2）∵OF＝CF．设DF＝x，则OF＝CF＝8﹣x．在Rt△ODF中，OD＝4，根据勾股定理得，OD2+DF2＝OF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴F（3，4），设直线OE的解析式为y＝kx，把F（3，4）代入得4＝3k，解得k＝，∴OE所在直线的解析式y＝x．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m过点A（5，﹣2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画AD∥x轴，交y轴于点D．（1）求点B、C的坐标；（2）在线段AD上存在点P，使BP+CP最小，求点P的坐标．解：（1）∵y＝﹣x+m过点A（5，﹣2），∴﹣2＝﹣5+m，∴m＝3，∴y＝﹣x+3，令y＝0，∴x＝3，∴B（3，0），令x＝0，∴y＝3，∴C（0，3）；（2）过C作直线AD对称点Q，可得Q（0，﹣7），连结BQ，交AD与点P可得直线BQ：，令y′＝﹣2，∴，∴．13．如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．（1）求点D和点C的坐标；（2）求直线l2的函数表达式；（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解．解：（1）在y＝3x﹣2中令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x＝，∴D（，0），∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，∴3m﹣2＝3，∴m＝，∴C（，3）；（2）设直线l2的函数表达式为Y＝KX+B（K≠0），由题意得：，解得：，∴y＝﹣x+；（3）由图可知，二元一次方程组的解为．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交点为C（m，4）．（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．解：（1）∵点C在正比例函数图象上，∴m＝4，解得：m＝3，∵点C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函数图象上，∴代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）在中，令x＝0，解得y＝2，∴B（0，2）∴S△BOC＝×2×3＝3；（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，如图，∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，∴AB＝BD2，∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠EBD1，∵在△BED1和△AOB中，∴△BED1≌△AOB（AAS），∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；同理可得出：△AFD2≌△AOB，∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，∴点D的坐标为（﹣5，3），∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，∴∠AD3B＝90°，∴D3（，），综上可知点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．故答案为：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（，）．15．如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N，点P，如果将线段PM绕点P 顺时针旋转90°能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”．（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy中，已知S（﹣3，1），P（1，3），Q（﹣1，﹣3），M（﹣2，4）．①在点P，点Q中，点P是点S关于原点O的“正矩点”；②在S，P，Q，M这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点S是点P关于点M的“正矩点”，写出一种情况即可；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A关于点B的“正矩点”记为点C，坐标为C（x c，y c）．①当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时，求点C的横坐标x c的值；②若点C的纵坐标y c满足﹣1＜y c≤2，直接写出相应的k的取值范围．解：（1）①在点P，点Q中，点S绕点O顺时针旋转90°能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P，故答案为点P；②点S是点P关于点M的“正矩点”（答案不唯一）；故答案为：S，P，M；（2）①如图1，作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，∠BFC＝∠AOB＝90°，点B（0，3），点A（﹣，0），∵∠ABO+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABO，BC＝BA，∴△BCF≌△AOB（AAS），∴FC＝OB＝3，故点C的坐标为：（﹣3，3+），即点C的横坐标x c的值为﹣3；②点C（﹣3，3+），如图2，﹣1＜y c≤2，即：﹣1＜3+≤2，则﹣3≤k．。
备战中考数学(人教版)综合能力冲刺练习(含解析)
2021备战中考数学〔人教版〕-综合才能冲刺练习〔含解析〕一、单项选择题1.y关于t的函数y=--，那么以下有关此函数图像的描绘正确的选项是〔〕A.该函数图像与坐标轴有两个交点B.该函数图象经过第一象限C.该函数图像关于原点中心对称D.该函数图像在第四象限2.a、b均为正整数，且a＞，b＜，那么a+b的最小值是〔〕A.3B.4C.5D.63.以下语句不是命题的是〔〕A.两点之间线段最短B.不平行的两条直线有一个交点C.x与y的和等于0吗？D.相等的角是对顶角4.假如零上6℃记作+6℃，那么零下4℃记作〔〕A.－4B.4C.－4℃D.4℃5.以下关系式中，y是x反比例函数的是〔〕A.y=B.y=-1C.y=-D.y=6.如下图，四边形ABCD的四个顶点都在℃O上，称这样的四边形为圆的内接四边形，那么图中℃A+℃C=〔〕度．A.90°B.180°C.270°D.360°7.下面哪个点不在函数y = -2x+3的图象上〔〕A.〔-5，13〕B.〔0．5，2〕C.〔3，0〕D.〔1，1〕8.如图，在平面直角坐标系xOy中，℃A′B′C′由℃ABC绕点P旋转得到，那么点P的坐标为〔〕A.〔0，1〕B.〔0，﹣1〕C.C〔1，﹣1〕D.〔1，0〕9.如图，下午2点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为〔〕A.90°B.120°C.105°D.135°10.假如将一图形沿北偏东30°的方向平移3厘米，再沿某方向平移3厘米，所得的图形与将原图形向正东方向平移3厘米所得的图形重合，那么这一方向应为〔〕A.北偏东60°B.北偏东30°C.南偏东60°D.南偏东30°11.把一副三角板如图甲放置，其中℃ACB=℃DEC=90，℃A=45，℃D=30，斜边AB=6，DC=7，，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15得到℃D1CE1〔如图乙〕，此时AB与CD1交于点O，那么线段AD1的长度为〔〕A. B.5 C.4 D.二、填空题12.假设最简二次根式与是同类根式，那么b的值是________．13.我区有15所中学，其中九年级学生共有3000名．为了理解我区九年级学生的体重情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进展排序．①搜集数据；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．那么正确的排序为________．〔填序号〕14.假设分式有意义，那么实数x的取值范围是________15.估计与的大小关系是：________ 〔填“>〞“=〞或“<〞〕16.假如3y9﹣2m+2=0是关于y的一元一次方程，那么m=________．17.如图, 量具ABC是用来测量试管口直径的,AB的长为10cm,AC被分为60等份.假如试管口DE正好对着量具上20等份处(DE℃AB),那么试管口直径DE是________cm.三、计算题18.解方程：．19.计算：〔﹣﹣+ 〕÷〔﹣〕20.计算以下各题〔1〕计算：〔﹣〕﹣2﹣|2﹣|﹣3tan30°；〔2〕解不等式组：．21.解方程组：．四、解答题22.小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏．游戏规那么如下：在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全一样，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．游戏者先从纸箱里随机摸出一个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再随机摸出一个球，假设两次摸到的球颜色一样，那么游戏者可获得一份纪念品．请你利用树状图或列表法求游戏者获得纪念品的概率．23.阅读以下材料：“为什么不是有理数〞．假是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得=，于是有2m2=n2．℃2m2是偶数，℃n2也是偶数，℃n是偶数．设n=2t〔t是正整数〕，那么n2=2m，℃m也是偶数℃m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．℃假设错误℃不是有理数有类似的方法，请证明不是有理数．五、综合题24.如图，AB为℃O直径，C是℃O上一点，CO℃AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作℃O 的切线交AB的延长线于点E，过点A作℃O的切线交ED的延长线于点G．〔1〕求证：℃EFD为等腰三角形；〔2〕假设OF：OB=1：3，℃O的半径为3，求AG的长．25.一工地方案租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算，假设租两车合运，10天可以完成任务，假设甲车的效率是乙车效率的2倍．〔1〕甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？〔2〕两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由．答案解析局部一、单项选择题1.【答案】D【考点】函数关系式，函数自变量的取值范围【解析】【分析】在w关于t的函数式y=--中，根据二次根式有意义的条件解答此题．【解答】函数式中含二次根式，分母中含t，故当t＞0时，函数式有意义，此时y＜0，函数图象在第四象限．应选D．【点评】此题考察了函数式的意义，自变量与函数值对应点的坐标的位置关系．2.【答案】B【考点】估算无理数的大小【解析】【分析】此题需先根据条件分别求出a、b的最小值，即可求出a+b的最小值．【解答】a、b均为正整数，且a＞，b＜℃a的最小值是3，b的最小值是：1，那么a+b的最小值4．应选B．【点评】此题主要考察了如何估算无理数的大小，在解题时要能根据题意求出a、b的值是此题的关键．3.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【分析】判断一件事情的语句叫做命题．x与y的和等于0吗是询问的语句，故不是命题．【解答】A、正确，符合命题的定义；B、正确，符合命题的定义；C、错误；D、正确，符合命题的定义．应选C．【点评】主要考察了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．4.【答案】C【考点】正数和负数【解析】【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，那么另一个就用负表示．【解答】“正〞和“负〞相对，℃假如零上6℃记作+6℃，那么零下4℃记作-4℃，应选C．【点评】解题关键是理解“正〞和“负〞的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，那么另一个就用负表示．5.【答案】A【考点】根据实际问题列反比例函数关系式【解析】【解答】解：A、y=，y是x反比例函数，正确；B、不符合反比例函数的定义，错误；C、y=﹣是二次函数，不符合反比例函数的定义，错误；D，y是x+1的反比例函数，错误．应选A．【分析】此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y=〔k≠0〕的形式为反比例函数6.【答案】B【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】解：℃四边形ABCD为圆的内接四边形，℃℃A+℃C=180°．应选B．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可作答．7.【答案】C【考点】一次函数的性质【解析】【分析】把每个选项中点的横坐标代入函数解析式，判断纵坐标是否相符．【解答】A、当x=-5时，y=-2x+3=13，点在函数图象上；B、当x=0.5时，y=-2x+3=2，点在函数图象上；C、当x=3时，y=-2x+3=-3，点不在函数图象上；D、当x=1时，y=-2x+3=1，点在函数图象上；应选C．【点评】此题考察了点的坐标与函数解析式的关系，当点的横纵坐标满足函数解析式时，点在函数图象上8.【答案】C【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】【解答】解：连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．℃直线MN为：x=1，设直线CC′为y=kx+b，由题意：，℃ ，℃直线CC′为y= x+ ，℃直线EF℃CC′，经过CC′中点〔，〕，℃直线EF为y=﹣3x+2，由得，℃P〔1，﹣1〕．应选：C．【分析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．9.【答案】C【考点】钟面角、方位角【解析】【解答】解：下午2点30分时，时针与分针相距3.5份，下午2点30分时下午2点30分时3.5×30°=105°，应选：C．【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．10.【答案】D【考点】平移的性质【解析】【解答】解：从图中可发现挪动形成的三角形ABC中，AB=AC=3，℃BAC=90°﹣30°=60°，故℃ABC是等边三角形．℃℃ACB=60°，℃℃2=90°﹣60°=30°．所以此题的答案为南偏东30°．应选D．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，利用等边三角形的断定与性质即可求解．11.【答案】B【考点】勾股定理，旋转的性质【解析】【分析】℃把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15得到℃D1CE1，℃℃BCE1=15°，℃D1CE1=℃DCE=60°℃℃BCO=45°又℃℃B=45°℃OC=OB℃BOC=90°℃℃D1OA=90°℃℃ABC是等腰直角三角形℃AO=BO=AB=3℃CO=3又℃CD=7℃OD1=CD1-CO=CD-OC=4在Rt℃D1OA中，AD1=。
2021年中考数学压轴题提升训练图形规律探索题含解析
图形规律探索题【例1】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上,且OA 1=A 1A 2=1,以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3,以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4,…,依此规律,得到等腰直角三角形OA 2017A 2018,则点A 2017的坐标为【答案】（0,2）.【解析】解：由题意知：A 1(0,1),A 2(1,1),OA 2=A 2A 3,OA 3=2,∴A 3(2,0),同理,A 4(2,－2),A 5(0,－4),A 6(－4,－4),A 7(－8,0),A 8(－8,8),A 9(0,16)……每隔8个点恰好处于同一坐标系或象限内,2017÷8=252……1,即点A 2017在y 轴正半轴上,横坐标为0,各点纵坐标的绝对值为：20,20,21,21,22,22,23,23,……2017÷2=1008……1,可得点A 2017的纵坐标为：21008, 故答案为（0,21008）.【变式1-1】如图,在一个单位为 1 的方格纸上,△A 1A 2A 3,△A 3A 4A 5,△A 5A 6A 7,…,是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2,4,6,…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1(2,0),A 2(1,-1),A 3(0,0),则依图中所示规律,A 2019的横坐标为（ ）A ．-1008B ．2C ．1D ．1011【答案】A.【解析】解：观察图形可知,奇数点在x轴上,偶数点在象限内,所以A2019在x轴上,A1,A5,A9,A13……,A4n－3在x正半轴,4n－3=2019,n=505.5,所以A2019不在x正半轴上；A3（0,0）,A7（－2,0）,A11（－4,0）,A15（－8,0）……,3=4×0+3,7=4×1+3,11=4×2+3,15=4×3+3,……,2019=4×504+3,∴－2×504=－1008,即A2019的坐标为（－1008,0）,故答案为：A.【变式1-2】如图,在平面直角坐标系中,将正方形O ABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,称为一次旋转,依此方式,……,绕点O连续旋转 2 019 次得到正方形O A2 019B2 019C2 019,如果点A的坐标为(1,0),那么点B2 019 的坐标为.【答案】,0）.【解析】由旋转及正方形性质可得：B(1,1),B1(0, ),B2(－1, 1),B3(－,0),B4(－1, －1),B5(0, －),B6(1, －1),B7(, 0),B8(1, 1),……∴360÷45=8,2019÷8=252……3,∴点B2019落在x轴负半轴上,即B2019(,0),故答案为：,0）.【例2】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…,若点A（53,0）,B（0,4）,则点B2016的横坐标为（）A．5 B．12 C．10070 D．10080 【答案】D．【解析】解：由图象可知点B2016在第一象限,∵OA=53,OB=4,∠AOB=90°,在Rt△BOA中,由勾股定理得：AB=133,可得：B2（10,4）,B4（20,4）,B6（30,4）,…∴点B2016横坐标为10080．故答案为：D．【变式2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1,3,6,10…）和“正方形数”（如1,4,9,16…）,在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为n,则m+n 的值为（）A．33 B．301 C．386 D．571 【答案】C．【解析】解：由图形知：第n个三角形数为1+2+3+…+n＝()12n n+,第n个正方形数为n2,当n＝19时,()12n n+＝190＜200,当n＝20时,()12n n+＝210＞200,所以最大的三角形数：m＝190；当n＝14时,n2＝196＜200,当n＝15时,n2＝225＞200,所以最大的正方形数：n＝196,则m+n＝386,所以答案为：C．1.如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°；连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°；…,按此规律所作的第n个菱形的边长为．【答案】1n -．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形,∠DAB =60°,∴AB =BC =1,∠ACB =∠CAB =30°,∴AC ,同理可得：AC 1=2,AC 213,……第n 个菱形的边长为：1n -,故答案为：1n -．2.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB =30°,点A 的坐标为（2,0）,过点A 作AA 1⊥OB ,垂足为点A 1,过A 1作A 1A 2⊥x 轴,垂足为点A 2；再过点A 2作A 2A 3⊥OB ,垂足为点A 3；再过点A 3作A 3A 4⊥x 轴,垂足为点A 4…；这样一直作下去,则A 2017的横坐标为（ ）A ．32 ）2015B ．32 ）2016C ．32 ）2017D ．32）2018 【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB =30°,点A 坐标为（2,0）,∴OA =2,∴OA 1OA OA 2OA 1=2×2⎝⎭,OA 3OA 2=2×3⎝⎭…,∴OA n =）n OA =2）n ．∴OA 2018）2018=32）2016故答案为：B．3.如图,函数()()()4022824x x xyx x--≤<⎧=⎨-+≤<⎩的图象记为C1,它与x轴交于点O和点A1,将C1绕点A1选择180°得C2,交x轴于点A2……,如此进行下去,若点P(103,m)在图象上,则m的值是（）A. -2B. 2C. -3D. 4【答案】A．【解析】解：由图可知：横坐标每间隔8个单位,函数值相同,即函数图象重复周期为8,103÷8=12……5,当x=5时,y=－2,即m=－2,故答案为：A.4.如图,弹性小球从点P(0,1)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形DABC 的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为P1(-2,0),第 2 次碰到正方形的边时的点为P2,……,第n 次碰到正方形的边时的点为Pn,则点P2 019的坐标是（）A．(0,1) B．(-4,1) C．(-2,0) D．(0,3)【答案】D．【解析】解：根据图象可得：P1(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,1),P7（－2,0）……2019÷6=336……3,即P2019（0,3）,故答案为：D.5.如图,在坐标系中放置一菱形 OABC ,已知∠ABC =60°,点 B 在 y 轴上,OA =1,先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转,每次翻转 60°,连续翻转2019次,点 B 的落点依次为 B 1,B 2,B 3,…,则 B 2 019 的坐标为（ ）A . (1010,0)B .(1310.5, 2)C . (1345, 2)D . (1346,0)【答案】D .【解析】解：连接AC ,如图所示．∵四边形OABC 是菱形,∴OA =AB =BC =OC ．∵∠ABC =60°,∴△ABC 是等边三角形．∴AC =AB ．∴AC =OA ．∵OA =1,∴AC =1．由图可知：每翻转6次,图形向右平移4．∵2019=336×6+3,∴点B 3向右平移1344（即336×4）到点B 2019．∵B 3的坐标为（2,0）,∴B 2019的坐标为（1346,0）,故答案为：D ．6.如图,在直角坐标系中,已知点A （﹣3,0）,B （0,4）,对△OAB 连续作旋转变换,依次得到△1,△2,△3,△4,…,则△2019的直角顶点的坐标为（ ）A．（8076,0）B．（8064,0）C．（8076,125）D．（8064,125）【答案】A．【解析】解：∵点A（﹣3,0）、B（0,4）,由勾股定理得：AB＝5,由图可知,三个三角形为一个循环,经历一次循环前进的水平距离为：12,2019÷3＝673,直角顶点在x轴上,673×12＝8076,∴△2019的直角顶点的坐标为（8076,0）．故答案为：A．7.如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1,l2,过点（1,0）作x轴的垂线交l1于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l1于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,…依次进行下去,则点A2017的坐标为．【答案】（21008,21009）．【解析】解：由图可知：A1（1,2）,A2（﹣2,2）,A3（﹣2,﹣4）,A4（4,﹣4）,A5（4,8）,…,∵2017=504×4+1,∴点A2017在第一象限,∵2017=1008×2+1,∴A2n+1（（﹣2）n,2（﹣2）n）（n为自然数）．∴A2017的坐标为（（﹣2）1008,2（﹣2）1008）=（21008,21009）．故答案为：（21008,21009）．8.如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018,如果点A的坐标为（1,0）,那么点B2018的坐标为（）A．（1,1）B．（）C．（）D．（﹣1,1）【答案】D．【解析】解：∵四边形OABC是正方形,OA＝1,∴B（1,1）,连接OB,在Rt△OAB中,由勾股定理得：OB,由旋转性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3,∴B1（,B2（﹣1,1）,B3,0）,…,360÷45=8,每8次一循环,2018÷8＝252……2,∴点B2018的坐标为（﹣1,1）.故答案为：D．9.将直角三角形纸板OAB按如图所示方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,OB＝4,OA＝．将三角形纸板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣3,﹣3）B．（3,﹣3）C．（﹣3,3）D．（0,2 3）【答案】A．【解析】解：360÷60=6,即每6秒一循环,2019÷6=336……3,即2019秒时, 点A与其对应点A′关于原点O对称,∵OA＝4,∠AOB＝30°,可得：A(3, 3),∴第2019秒时,点A的对应点A′的坐标为(－3, －3),故答案为：A.10.正方形ABCD的位置在坐标中如图所示,点A、D的坐标反别为（1,0）、（0,2）,延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C,延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第2017个正方形的面积为【答案】4032352⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA, ∴∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°, ∴∠ADO=∠BAA1,∵∠DOA=∠ABA1,∴△DOA∽△ABA1,∴11 2OA BAOD AB==,由勾股定理得：AB=AD=5,∴BA1,∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC,面积=2⎝⎭,同理,第3个正方形的面积为：232⎛⎝⎭,第4个正方形的面积为：23322⎛⨯⎝⎭,……∴第2017个正方形的面积为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.即答案为：4032352⎛⎫⎪⎝⎭.11.如图所示,一动点从半径为 2 的⊙O 上的A0 点出发,沿着射线A0O 方向运动到⊙O 上的点A1 处,再向左沿着与射线A1O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A2 处；接着又从A2 点出发,沿着射线A2O 方向运动到⊙O 上的点A3 处,再向左沿着与射线A3O 夹角为60°的方向运动到⊙O 上的点A4 处；……按此规律运动到点A2 017 处,则点A2 017 与点A0 间的距离是【答案】4.【解析】解：由图分析可知,A6点与A0点重合,2017÷6=336……1,即点A2 017 与A1重合,∵⊙O的半径为 2 ,∴点A2 017 与点A0 间的距离是4.12.如图,由一些点组成形如正多边形的图案,按照这样的规律摆下去,则第n（n＞0）个图案需要点的个数是．【答案】n 2+2n .【解析】解：由图知,第1个图形点数为3+0×3,第2个图形点数为4+1×4；第3个图形点数为5+2×5；第4个图形点数为6+3×6……第n 个图形点数为：（n +2）+（n －1）（n +2）=n 2+2n ,即答案为：n 2+2n .13..如图所示的坐标系中放置一菱形OABC ,已知∠ABC =60°,点B 在y 轴上,OA =1,先将菱形OABC 沿x 轴的正方形无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2017次,点B 的落点分别是B 1,B 2,B 3,……,则B 2017的坐标为【答案】（.【解析】解：由题意知：OB 即B∴B 1,=32,即B 1(32),由图可知,每翻折6次,图形向右平移4个单位,2017=336×6+1,求得：B 2017（336×4+ 32,即B 2017（）,故答案为：（.14.如图,在平面直角坐标系中,点A 1,A 2,A 3,……和点B 1,B 2,B 3,……分别在直线15y x b =+和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3……都是等腰直角三角形,若点A 1(1,1),则点A 2019的纵坐标是【答案】201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】解：如图,分别过A 1,A 2,A 3作x 轴的垂线,∵点A (1,1)在直线15y x b =+上, ∴b =45, 由△OA 1B 1是等腰直角三角形,得：OB 1=2,设A 2(x ,y ),则B 1C 2=x －2,y = x －2,∴x －2=1455x +,解得：x =72,y =32,即A 2的纵坐标为：32； 同理可得：A 3的纵坐标为：29342⎛⎫= ⎪⎝⎭, 即A n 的纵坐标是A n －1纵坐标的32倍, 即A 2019的纵坐标为：201832⎛⎫ ⎪⎝⎭.15.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0),点 D 的坐标为(0,2),延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形 A 1CC 1B 1；延长 C 1B 1 交 x 轴于点 A 2,作正方形 A 2C 1C 2B 2；…,按照这样的规律作正方形,则点B2 019的纵坐标为．【答案】201932⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：过B作BH⊥x轴于H,由一线三直角模型,可知△ADO≌△BAH,即BH=OA=1,即B点纵坐标为1,同理得：B1点纵坐标为32,B2点纵坐标为232⎛⎫⎪⎝⎭,B3点纵坐标为332⎛⎫⎪⎝⎭,……B2019点纵坐标为201932⎛⎫⎪⎝⎭,即答案为：2019 32⎛⎫⎪⎝⎭.。
2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类(含解析)
综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E 与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ； （2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分，∴OC EC ==∴CF =，故答案为：菱形，（3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠ ∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；+取得最小值时，请在如图所示（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQ的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.【解析】解：（1）由图可得：5=，故答案为：5；（2）如图，BC与网格线相交，得点P；取格点E，F，连接EF，与网格线相交，得点G，取格点M，N，连接MN，与网格线相交，得点H，连接GH，与AC相交，得点Q.连接PD，PQ.线段PD，PQ即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：，，AC=5，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∴tan∠ACB=2，∵tan∠BCT=PT：TC=2，∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，根据画图可知：GH∥BC，∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，∵∠BCT=∠BCA，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理； 数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）． 【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++， 图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2b 2ab c 2ab ，∴a2b2c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：a b2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+，∴22a b c ab+=+，()2∴a2b22ab c22ab，∴a2b2c2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055∠=∠︒︒︒=﹣=，ACE DCB==﹣；∠∠-∠︒︒=︒ECD BCE BCD905535②结论：ACE DCB=；∠+∠︒ACB ECD∠=∠，180证明：∵90∠=∠-∠=∠-︒DCB ACB ACD ACB∠=∠-∠=∠-︒，90ACE ACB BCE ACB∴ACE DCB∠=∠∵9090180∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠ACB ACD BCE ECD ECD ECD∴180=ACB ECD∠+∠︒（2）结论：当ACD与BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴ACD DCE ECB DCE∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB∠=∠，∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴180=，∠+∠︒ACD ECB∵360=，ACD ECD ECB ACB∠+∠+∠+∠︒∴180ACB ECD=，∠+∠︒∴ACE DCB∠+∠︒=．ACB ECD∠=∠，180∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°，55°，35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.【解析】(1)证明：过点P作//BCMN，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.过点P作PN AB⊥于N,PN交CD于点M在正方形ABCD中//AB CD,45∠=ACD∴90∠=∠=∠=PMQ PNB CBN∴CBNM是矩形，∴CM BN=，∴CMP∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠， 在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆， ∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形， ∴'////AD BC EA ，'//AE DA ∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处 ∴'AED A ED ≌ ∴'AE A E = ∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形； （2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE = ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒， 由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠， ∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒， 又EC C E ''=， ∴Rt EC A Rt C EB '''≌ ∴C EA EC B '''∠=∠ ∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''= 由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '= ∵2(cm)4(cm)AC DC ''==， ∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=- 解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG = ∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA 'T 是平行四边形， 又∵AA '⊥ST ，∴边形SATA '是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处， ∴AT ＝A 'T ，在Rt△A 'TB 中，A 'T ＞BT ， ∴AT ＞10﹣AT ， ∴AT ＞5， ∵点T 在AB 上，∴当点T 与点B 重合时，AT 有最大值为10， ∴5＜AT ≤10，∴正确的数值为7，9， 故答案为：7，9． 8．综合与实践 问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=BD；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°， 过点B 作BF⊥AC，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD -∠ECB=60°，∠F=90°， ∴∠CBF=30°， ∴CF=12BC=1cm ，=cm ，∴11522ABCSAC BF =⋅=⨯；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°， ∵∠ACB '=90°， ∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠, ∴30C B C ''∠=, ∴C C C B '''==2cm ， ∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与： （1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号；（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ． （1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB与弦CD交于点F；②如图3，弦AB与弦CD不相交：③如图4，点B与点C重合．【解析】解：（1）连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴60∠=︒E（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD、OC、AC，如图：∵1===OD OC CD∴OCD为等边三角形∴60∠=︒COD∴30DAC∠=︒∴30∠=︒EBD∵90∠=︒ADB∴903060E∠=︒-︒=︒②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴903060∠=︒-︒=︒BED③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B与点C重合时，则直线BE与O只有一个公共点∴EB恰为O的切线∴90∠=︒ABE∵90CD=，2∠=︒，1ADBAD=∴30A∠=︒∴60∠=︒．E故答案是：（1）60∠=︒（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，E依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BEAE a BAE ∴==∠，tan BEAB BAE ==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=，∴BCAB ．（2）四边形B EFG '是平行四边形． 证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'．由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，90BB G BMF∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD 沿DB 方向平移，∴MD '∥DN ，∴四边形MNDD '是平行四边形，∵∠BD 'M ＝90°，∴四边形MNDD '是矩形；（3）由图形（1）可得AB ＝10cm ，BD ＝8cm ， ∴AD6cm ，∵四边形MNDD '为正方形，∴D 'M ∥DN ，D 'M ＝D 'D ＝acm ，∴△BD 'M ∽△BDA ， ∴BD MD BD AD''=， ∴886a a -=， ∴a ＝247； （4）如图5，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，∵DP ＝DQ ，∴∠DQP ＝∠DPQ ，QG ＝PG ，又∵∠A ＝∠PDQ ，∴△DQP ∽△AQD ，∴∠ADQ ＝∠DPQ ，2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。
2021年中考数学压轴题专项训练06规律问题含解析
规律问题1．某种球形病毒的直径约是0.01纳米，一个该种病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己完全相同的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人体就会感到不适．（1米9=10纳米）（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是多少纳米？（2）从感染到第一个病毒开始，经过多少分钟，人体会感到不适？【答案】（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米；（2）从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适．【解析】解：（1）由题意可知：经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是0.01×1×105=1000（纳米） 答：从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米； （2）1分米=110米8=10纳米 而810÷（0.01×1）=1010∴从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适答：从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适．2．你会求()()20182017201621?··1a a a a a a -++++++的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：()()2111a a a -+=-()()23111a a a a -++=-()()324111a a a a a -+++=-（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到()()201920182017211a a a a a a -+++⋅⋅⋅+++=_____；（2）利用上面的结论求2019201820172222221++++++的值． （3）求201920182017255554+++⋅⋅⋅++的值【答案】（1）20201a -；（2）202021-；（3）()20201594-． 【解析】（1）由题可以得到()()12211n n n a a a a a a ---++++++11n a +=-()()20192018211a a a a a ∴-+++++20201a =-（2）由结论得：2019201820172222221++++++()()2019201822122221=-⋅+++++ 202021=-（3）201920182017255554+++++()()2019201820172515555+5+1-24-+++=()202015124=-- ()20201594=- 3．计算|1﹣12|+|12﹣13|+|13﹣14|+…+|199﹣1100|． 【答案】99100【解析】解：111111112233499100-+-+-++- 111111=1223499100-+--++- 1=1100-99=100． 4．观察下列等式：第1个等式：11111212a ==-⨯；第2个等式：21112323a ==-⨯； 第3个等式：31113434a ==-⨯；第4个等式：41114545a ==-⨯； ……解答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：5a =—————— = ——————．（2）求1232020a a a a ++++的值．（3）求111148812121620162020++++⨯⨯⨯⨯的值． 【答案】（1）156⨯，1156-；（2）20202021；（3）631010． 【解析】解：（1）第1个等式：11111212a ==-⨯； 第2个等式：21112323a ==-⨯； 第3个等式：31113434a ==-⨯；第4个等式：41114545a ==-⨯；…… 第5个等式：51115656a ==-⨯； 故答案为：156⨯；1156-； （2）12320201111111112233420202021a a a a ++++=-+-+-++- 112021=- 20202021=； （3）111148812121620162020++++⨯⨯⨯⨯ 812111111144820162020⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⎝⎭111442020⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭150442020=⨯ 631010=． 5．阅读材料：求2342015122222+++++⋯+的值．解：设234201420151222222S =+++++⋯++，将等式的两边同乘以2，得234201520162222222S =++++⋯++将下式减去上式得，2016221S S -=-即201621S =-．即2342015201612222221+++++⋯+=-请你仿照此法计算：（1）填空：231222+++= ．（2）求2341012222+++++…+2的值．（3）求234111111()()()()33333n +++++⋯+的值．（其中n 为正整数） 【答案】（1）15；（2）2047；（3）311()223n -⨯． 【解析】解：（1）由题意可得，1+2+22+23=24-1=16-1=15，故答案为：15；（2）由题意可得，2341012222+++++…+2 1121=- 20481=- 2047=；（3）设234111111()()()()33333n S =+++++⋯+， 则23411111111()()()()()3333333n n S +=++++⋯++， 1111()33n S S +∴-=-， 1211()33n S +∴=-， 解得，311()223n S =-⨯， 即234111111()()()()33333n +++++⋯+的值是311()223n -⨯． 6．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图是2020年1月份的日历，我们用如图所示的四边形框出五个数．2020年1月：（1）将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如：(108)(162)16-+-=，(2119)(2713)16-+-=．不难发现，结果都是16．若设中间位置的数为n ，请用含n 的式子表示发现的规律，并写出验证过程．（2）用同样的四边形框再框出5个数，若其中最小数的2倍与最大数的和为56，求出这5个数中的最大数的值．（3）小明说：我用同样的四边形框也框出了5个数，其中最小数与最大数的积是120．请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）(1)(1)(7)(7)16n n n n +--++--=，见解析；（2）28；（3）正确，见解析【解析】（1）设中间位置的数为n ，左边数为1n -，右边数1n +，上面数7n -，下面数为7n +， 则(1)(1)(7)(7)16n n n n +--++--=（2）2(7)(7)56n n -++=，21n =，21728∴+=．（3）正确(7)(7)120n n -+=，13n ∴=- (舍去)或者13n =，可以存在．7．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数． 根据材料，完成下列问题：（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773【解析】解：（1）最大的两位对称数是99，最小的三位对称数是101，99101200+=，故答案是：200；（2）设个位和千位上的数字是a ，十位和百位上的数字是b ，则这两位数分别是10a b +、10b a +，()101099a b b a a b +-+=-， 它们的差是99a b -，这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除；（3）设这个四位数的个位数是x ，则十位数是()10x -，这个数可以表示为()()1010100101000x x x x +-+-+，化简得8911100x +，令1x =，则这个数是1991，x=，则这个数是2882，令2x=，则这个数是3773，令3……x=，则这个数是9119，令9其中只有3773能够被7整除，∴满足条件的四位数是3773．8．用棱长为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第n层（n为正整数)（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为．（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积．1cm需要油漆0.2克，求喷涂（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂2第20个几何体，共需要多少克油漆？【答案】（1）30；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为264cm，第③个几何体露出部分（不含132cm；（3）992克．底面）面积为2【解析】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，搭建第②个几何体的小立方体的个数为2+=+，1412搭建第③个几何体的小立方体的个数为22149123++=++，归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为22212341491630+++=+++=， 故答案为：30；（2）第②个几何体的三视图如下：由题意，每个小正方形的面积为2224()cm ⨯=，则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()232324464()cm ⨯+⨯+⨯=； 第③个几何体的三视图如下：则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()2626294132()cm ⨯+⨯+⨯=； （3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为221,2,,20，则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()()2221220212202044960()cm ⎡⎤⨯++++⨯++++⨯=⎣⎦，因此，共需要油漆的克数为49600.2992⨯=（克），答：共需要992克油漆．9． 阅读下列解题过程：=====请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请写出= ； （2）请你用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简： ......【答案】（1）10-（21=-（3）9．【解析】（1===10=-；故答案为：10-（21=-（31=-......=......=......=1-．10．先化简，再求值：(2x+x)2−(2x−x)(2x+x)−5xx，其中x=2019，x=−1.【答案】2021.【解析】原式=4x2+4xx+x2−（4x2−x2）−5xx=4x2+4xx+x2−4x2+x2−5xx，=2x2−xx，当x=2019，x=−1时，原式=2×（−1）2−2019×（−1）=202111．观察下列三行数，回答问题：-1、+3、-5、 +7、-9、 +11、……-3、 +1、-7、 +5、-11、+9、……+3、-9、 +15、-21、+27、-33、……（1）第①行第9个数是___________第②行第9个数是___________第③行第9个数是___________（2）在第②行中，是否存在连续的三个数，使其和为83？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由．（3）是否存在第m列数（每行取第m个数），这三个数的和正好为-99？若存在，求m；若不存在，说明理由．【答案】（1）-17；-19；51．（2）存在，85，-91，89；（3）第m 列数不存在，理由见解析．【解析】（1）观察到第①行的规律是()()121n n --，第②行的规律是将第①行的数-2，第③行的规律是()()1163n n +--，因此当n=9时，第①行的数为-17∴第②行的数为-17-2=-19，第③行的数为()17351-⨯-=；（2）设第②行存在连续的三个数和为83，且第一个数为x ，若0x >，即x 在第②行中的偶数次列，满足第n 列的数为23n -（其中n 为正偶数），则()()6483x x x +--++=，得85x =，即2385,44n n -==，符合题意，x 在第②行第44列， 此时，连续的三个数依次为85，-91，89．若0x <，即x 在第②行中的奇数次列，满足第n 列的数为21n --（其中n 为正奇数），则()()2483x x x +--+-=，得89x =，即2189n --=，45n =-，不符合题意，故舍去，综上所述，存在这样连续的三个数使和为83，依次为85，-91，89．（3）设存在第m 列数使三个数的和为-99，且此列第①行的数为y ，则第m 列第②行的数为2y -，第③行的数为3y ，()2399y y y +-+-=-，得97y ，又第①行中奇数次列为负，偶数次列为正，()971249+÷=，即97在第①行第49列，应为负，故假设不成立， 所以，这样的第m 列数不存在．12．回答下列问题：（1）填空：()()a b a b -+=___________________；()()22a b a ab b -++=_____________________；()()3223a b a a b ab b -+++=______________________．（2）猜想：()()1221n n n n a b a a b ab b -----++++=___________________．（其中n 为正整数，且2n ≥）；（3）利用（2）猜想的结论计算：①10987322222222+++++++； ②10987322222222-+-+-+-．【答案】（1）22a b -；33a b -；44a b -；（2）n n a b -；（3）①2046；②682【解析】解：()()22a b a b a b -+=-； ()()22a b a ab b -++322223=++---a a b ab a b ab b33=-a b ；()()3223a b a a b ab b -+++4322332234=+++----a a b a b ab a b a b ab b44a b =-；故答案为：22a b -；33a b -；44a b -；（2）根据（1）中的规律，可得猜想：()()1221-----++++=-n n n n n b a b a a b ab b a b （其中n 为正整数，且2n ≥），故答案为：n n a b -； （3）①10987322222222+++++++1098732222222211=++++++++-10982733728910(21)(22121212121211)1=-+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+- 11211=--204811=--2046=；②10987322222222-+-+-+-1098732222222211=-+-+-+-+-109827337289101[2(1)][22(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2(1)(1)]13=⨯--+⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+--11111[2(1)]13=⨯---1=⨯-20491 3=-6831 =．682。
2021年中考数学压轴题专项训练三角形含解析2
20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：2021年中考数学压轴题专项训练《三角形》1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．（1）求证：△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．证明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab，故答案为：ab．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．7．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△A DC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3 ．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB+AC＝BD，∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．13．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．解：（1）补全示意图如图所示，（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等，∴AB＝DF，又∵AD＝FE，∴∠ABD＝∠FDE，∴BD＝DE．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，∵∠AFD＝40°，∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，∵DF＝＝，∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．。
2021年中考数学压轴题专项训练 四边形(含解析)
2021年中考数学压轴题专项训练《四边形》1．如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F．设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图②所示．（1）图①中，CG＝ 2 cm，图②中，m＝ 2 ；（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t 的值．解：（1）∵BC＝8cm，BG＝AB＝6cm，∴CG＝2cm，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，且∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF，∴，∵t＝6，∴BE＝6cm，CE＝2cm，∴∴CF＝2cm，∴m＝2，故答案为：2，2；（2）若点F是CD中点，∴CF＝DF＝3cm，∵△ABE∽△ECF，∴，∴∴EC2﹣8EC+18＝0∵△＝64﹣72＝﹣8＜0，∴点F不可能是CD中点；（3）如图①，过点H作HM⊥BC于点M，∵∠C＝90°，HM⊥BC，∴HM∥CD，∴△EHM∽△EFC，∴∵AG平分△AEF的面积，∴EH＝FH，∴EM＝MC，∵BE＝t，EC＝8﹣t，∴EM＝CM＝4﹣t，∴MG＝CM﹣CG＝2﹣，∵，∴∴CF＝∵EM＝MC，EH＝FH，∴MH＝CF＝∵AB＝BG＝6，∴∠AGB＝45°，且HM⊥BC，∴∠HGM＝∠GHM＝45°，∴HM＝GM，∴＝2﹣，∴t＝2或t＝12，且t≤6，∴t＝2．2．问题提出：（1）如图1，△ABC的边BC在直线n上，过顶点A作直线m∥n，在直线m上任取一点D，连接BD、CD，则△ABC的面积＝△DBC的面积．问题探究：（2）如图2，在菱形ABCD和菱形BGFE中，BG＝6，∠A＝60°，求△DGE的面积；问题解决：（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，在矩形ABCD内（也可以在边上）存在一点P，使得△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，求△ABP周长的最小值．解：问题提出：（1）∵两条平行线间的距离一定，∴△ABC与△DBC同底等高，即△ABC的面积＝△DBC的面积，故答案为：＝；问题探究：（2）如图2，连接BD，∵四边形ABCD，四边形BGFE是菱形，∴AD∥BC，BC∥EF，AD＝AB，BG＝BE，∴∠A＝∠CBE＝60°，∴△ADB是等边三角形，△BGE是等边三角形，∴∠ABD＝∠GBE＝60°，∴BD∥GE，∴S△DGE＝S△BGE＝BG2＝9；（3）如图3，过点P作PE∥AB，交AD于点E，∵△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，∴×12×AE＝×12×10∴AE＝8，作点A关于PE的对称点A'，连接A'B交PE于点P，此时△ABP周长最小，∴A'E＝AE＝8，∴AA'＝16，∴A'B＝＝＝20，∴△ABP周长的最小值＝AP+AB+PB＝A'P+PB+AB＝20+12＝32．3．（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．解：（1）方法感悟：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DE＝2，∵△GAF≌△EAF∴GF＝EF，∵CD＝6，DE＝2∴CE＝4，∵EF2＝CF2+CE2，∴EF2＝（8﹣EF）2+16，∴EF＝5；（2）方法迁移：DE+BF＝EF，理由如下：如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∠D＝∠ABH，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，∴∠HAF＝∠EAF，∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，∴点H、B、F三点共线，在△AEF和△AHF中，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝HF，∵HF＝BH+BF，∴EF＝DE+BF．（3）问题拓展：EF＝BF﹣FD，理由如下：在BC上截取BH＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF（SAS）∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AD，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AD，∴△HAE≌△FAE（SAS）∴HE＝EF，∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．4．如图1，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（0＜＜4），连结PQ，MQ，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥MN？（2）当t为何值时，∠CPQ＝45°？（3）当t为何值时，PQ⊥MQ？解：（1）∵AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，∴AC＝＝4cm，∵MN∥AB，PQ∥MN，∴PQ∥AB，∴，∴，∴t＝s（2）如图2，过点Q作QE⊥AC，则QE∥AB，∴，∴，∴CE＝，QE＝t，∵∠CPQ＝45°，∴PE＝QE＝t，∴t+t+t＝4，∴t＝s（3）如图2，过点P作PF⊥BC于F点，过点M作MH⊥BC，交BC延长线于点H，∴四边形PMHF是矩形，∴PM＝FH＝5，∵∠A＝∠PFC＝90°，∠ACB＝∠PCF，∴△ABC∽△FPC，∴，∴＝∴PF＝，CF＝，∴QH＝5﹣FQ＝5﹣（CF﹣CQ）＝，∵PQ⊥MQ，∴∠PQF+∠MQH＝90°，且∠PQF+∠FPQ＝90°，∴∠FPQ＝∠MQH，且∠PFQ＝∠H＝90°，∴△PFQ∽△QHM，∴，∴∴t＝s．5．问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得四边形EFGH是正方形．类比探究：如图2，在正△ABC的内部，作∠1＝∠2＝∠3，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；（3）如图3，进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC，又∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，在△ABD、△BCE和△CAF中，，∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）；（2）△DEF是正三角形；理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；（3）c2＝a2+ab+b2．作AG⊥BD于G，如图所示：∵△DEF是正三角形，∴∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，在Rt△ABG中，c2＝（a+b）2+（b）2，∴c2＝a2+ab+b2．6．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠ABC＝∠CDA＝90°，BC＝CD，延长BC交AD 的延长线于点E．（1）求证：AB＝AD；（2）若AE＝BE+DE，求∠BAC的值；（3）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P，连接PB．设PB＝a，点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，点O与点E是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时MO+PO的值（用含a的式子表示）；若不可能，请说明理由．（1）证明：∵∠ABC＝∠CDA＝90°，∵BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．∴AB＝AD．（2）解：∵AE＝BE+DE，又∵AE＝AD+DE，∴AD＝BE．∵AB＝AD，∴AB＝BE．∴∠BAD＝∠BEA．∵∠ABC＝90°，∴∠BAD═45°．∵由（1）得△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC．∴∠BAC═22.5°．（3）解：当MO+PO的值最小时，点O与点E可以重合，理由如下：∵ME∥AB，∴∠ABC＝∠MEC＝90°，∠MAB＝∠EMA．∵MP⊥DC，∴∠MPC＝90°．∴∠MPC＝∠ADC＝90°．∴PM∥AD．∴∠EAM＝∠PMA．由（1）得，Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠EAC＝∠MAB，∴∠EMA＝∠AMP．即MC平分∠PME．又∵MP⊥CP，ME⊥CE，∴PC＝EC．如图，连接PB，连接PE，延长ME交PD的延长线于点Q．设∠EAM＝α，则∠MAP＝α．在Rt△ABE中，∠BEA＝90°﹣2α．在Rt△CDE中，∠ECD＝90°﹣∠BEA＝2α．∵PC＝EC，∴∠PEB＝∠EPC＝∠ECD＝α．∴∠PED＝∠BEA+∠PEB＝90°﹣α．∵ME∥AB，∴∠QED＝∠BAD＝2α．当∠PED＝∠QED时，∵∠PDE＝∠QDE，DE＝DE，∴△PDE≌△QDE（ASA）．∴PD＝DQ．即点P与点Q关于直线AE成轴对称，也即点M、点E、点P关于直线AE的对称点Q，这三点共线，也即MO+PO的值最小时，点O与点E重合．因为当∠PED＝∠QED时，90°﹣α＝2α，也即α＝30°．所以，当∠ABD＝60°时，MO+PO取最小值时的点O与点E重合．此时MO+PO的最小值即为ME+PE．∵PC＝EC，∠PCB＝∠ECD，CB＝CD，∴△PCB≌△ECD（SAS）．∴∠CBP＝∠CDE＝90°．∴∠CBP+∠ABC＝180°．∴A，B，P三点共线．当∠ABD＝60°时，在△PEA中，∠PAE＝∠PEA＝60°．∴∠EPA＝60°．∴△PEA为等边三角形．∵EB⊥AP，∴AP＝2AB＝2a．∴EP＝AE＝2a．∵∠EMA＝∠EAM＝30°，∴EM＝AE＝2a．∴MO+PO的最小值为4a．7．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D 点停止运动．作射线CE，并将射线CE绕着点C逆时针旋转45°，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF．（1）依题意补全图形；（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；（3）过点C作CG⊥EF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长．解：（1）补全图形如图1所示：（2）线段DE，EF，BF的数量关系为：EF＝DE+BF．理由如下：延长AD到点H，使DH＝BF，连接CH，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠ADC＝∠B＝90°，BC＝DC，∴∠CDH＝90°＝∠B，在△CDH和△CBF中，，∴△CDH≌△CBF（SAS）．∴CH＝CF，∠DCH＝∠BCF．∵∠ECF＝45°，∴∠ECH＝∠ECD+∠DCH＝∠ECD+∠BCF＝45°．∴∠ECH＝∠ECF＝45°．在△ECH和△ECF中，，∴△EC H≌△ECF（SAS）．∴EH＝EF．∵EH＝DE+DH，∴EF＝DE+BF；（3）由（2）得：△ECH≌△ECF（SAS），∴∠CEH＝∠CEF，∵CD⊥AD，CG⊥EF，∴CD＝CG＝4，∴点G的运动轨迹是以C为圆心4为半径的弧DB，∴点G运动的路线长＝＝2π．8．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：BF⊥DF；（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵点E与点B关于直线AP对称，∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°，∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，∴∠BFD+∠BAD＝180°，∴∠BFD＝90°∴BF⊥DF；（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠CBF，∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，∴∠MFB＝∠MFE＝45°，∴△BMF是等腰直角三角形，∴BM＝BF，FM＝BF，在△AMB和△CFB中，，∴△AMB≌△CFB（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝FM+AM，∴AF＝BF+CF．9．如图1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以为边作正方形，且AC＝3，EF＝．（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰Rt△ABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系．解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝3，∴AB＝3，过点C作CM⊥AB于M，连接CF，∴CM＝AM＝AB＝，∵四边形AGEF是正方形，∴AF＝EF＝，∴MF＝AM﹣AF＝﹣，在Rt△CMF中，CF＝＝＝；（2）CM＝FM，CM⊥FM，理由：如图2，过点B作BH∥EF交FM的延长线于H，连接CF，CH，∴∠BHM＝∠EFM，∵四边形AGEF是正方形，∴EF＝AF∵点M是BE的中点，∴BM＝EM，在△BMH和△EMF中，，∴△BMH≌△EMF（AAS），∴MH＝MF，BH＝EF＝AF∵四边形AGEF是正方形，∴∠FAG＝90°，EF∥AG，∵BH∥EF，∴BH∥AG，∴∠BAG+∠ABH＝180°，∴∠CBH+∠ABC+∠BAC+∠CAG＝180°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠CBH+∠CAG＝90°，∵∠CAG+∠CAF＝90°，∴∠CBH＝∠CAF，在△BCH和△ACF中，，∴△BCH≌△ACF（SAS），∴CH＝CF，∠BCH＝∠ACF，∴∠HCF＝∠BCH+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝90°，∴△FCH是等腰直角三角形，∵MH＝MF，∴CM＝FM，CM⊥FM；10．如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．①求∠DAQ的度数；②若AB＝6，求PQ的长度．解：（1）如图1中，∵MN∥B′D′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝45°，∠C′NM＝∠C′D′B′＝45°，∴∠C′MN＝∠C′NM，∴C′M＝C′N，∵C′B′＝C′D′，'∴MB′＝ND′，∵AB′＝AD′，∠AB′M＝∠AD′N＝90°，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠B′AD′＝90°，∠MAN＝45°，∴∠B′AM＝∠D′AN＝22.5°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAB′＝22.5°，∴α＝22.5°．（2）①如图2中，∵∠AB′Q＝∠ADQ＝90°，AQ＝AQ，AB′＝AD，∴Rt△AQB′≌Rt△AQD（HL），∴∠QAB′＝∠QAD，∵∠BAB′＝30°，∠BAD＝90°，∴∠B′AD＝30°，∴∠QAD＝∠B′AD＝30°．②如图2中，连接AP，在AB上取一点E，使得AE＝EP，连接EP．设PB＝a．∵∠ABP＝∠AB′P＝90°，AP＝AP，AB＝AB′，∴Rt△APB≌Rt△APB′（HL），∴∠BAP＝∠PAB′＝15°，∵EA＝EP，∴∠EAP＝∠EPA＝15°，∴∠BEP＝∠EAP+∠EPA＝30°，∴PE＝AE＝2a，BE＝a，∵AB＝6，∴2a+a＝6，∴a＝6（2﹣）．∴PB＝6（2﹣），∴PC＝BC﹣PB＝6﹣6（2﹣）＝6﹣6，∵∠CPQ+∠BPB′＝180°，∠BAB′+∠BPB′＝180°，∴∠CPQ＝∠BAB′＝30°，∴PQ＝＝＝12﹣4．11．已知，如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边AD上，过点A作AG⊥EF，分别交线段CD、EF于点G、H（点G不与线段CD的端点重合）．（1）如图2，当G是边CD中点时，求AF的长；（2）设AF＝x，四边形FHGD的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结ED，当∠FED＝45°时，求AF的长．解：（1）∵E是AB的中点，AB＝2，∴AE＝AB＝1，同理可得DG＝1，∵AG⊥EF，∴∠AHF＝∠HAF+∠AFH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝90°＝∠DAG+∠AGD，∴∠AFH＝∠AGD，∵∠EAF＝∠ADG＝90°，∴△EAF∽△ADG，∴，即，∴AF＝；（2）如图1，由（1）知：△EAF∽△ADG，∴，即，∴DG＝2x，∵∠HAF＝∠DAG，∠AHF＝∠ADG＝90°，∴∠AHF∽△ADG，∴＝，∴＝，∴AH＝＝，FH＝＝，∴y＝S△ADG﹣S△AFH，＝，＝2x﹣，如图2，当G与C重合时，∵EF⊥AG，∴∠AHE＝90°，∵∠EAH＝45°，∴∠AEH＝45°，∴AF＝AE＝1，∴0＜x＜1；∴y关于x的函数关系式为：y＝2x﹣（0＜x＜1）；（3）如图3，过D作DM⊥AG，交BC于M，连接EM，延长EA至N，使AN＝CM，连接DN，设CM＝a，则AN＝a，∵AD＝CD，∠NAD＝∠DCM＝90°，∴△NAD≌△MCD（SAS），∴∠ADN＝∠CDM，DN＝DM，∵EF⊥AG，DM⊥AG，∴EF∥DM，∴∠EDM＝∠FED＝45°，∴∠ADE+∠CDM＝∠EDM＝45°，∴∠NDA+∠ADE＝∠NDE＝∠EDM，∵ED＝ED，∴△NDE≌△MDE（SAS），∴EN＝EM＝a+1，∵BM＝2﹣a，在Rt△EBM中，由勾股定理得：BE2+BM2＝EM2，∴12+（2﹣a）2＝（a+1）2，a＝，∵∠AEF+∠EAG＝∠EAG+∠DAG，∴∠AEF＝∠DAG＝∠CDM，∴tan∠AEF＝tan∠CDM，∴，∴，∴AF＝．12．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG，AB⊥AE且AE＝AB，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：连接AC，BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴四边形ABCD是垂美四边形；（2）∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．13．如图1，四边形ACEB，连接BC，∠ACB＝∠BEC＝90°，D在AB上，连接CD，∠ACD＝∠ABC，BE＝CD．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）如图2，连接DE，DE交BC于点O，若tan∠A＝2，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与AD的长度相等的线段．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵∠ACD＝∠ABC，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°＝∠BEC，在Rt△BCD和Rt△CBE中，，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），∴BD＝CE，∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，又∵∠BEC＝90°，∴四边形CDBE为矩形；（2）解：图中所有长度与AD的长度相等的线段为AC＝OC＝OB＝OD＝OE＝AD．理由如下：由（1）得：四边形CDBE为矩形，∠ADC＝90°，∴BC＝DE，OD＝OE，OB＝OC，∴OC＝OB＝OD＝OE＝BC，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴tan∠A＝2＝＝，∴CD＝2AD，BC＝2AC，∴AC＝＝＝AD，∴DE＝BC＝2AC，∴OC＝OB＝OD＝OE＝BC＝AC＝AD，∴AC＝OC＝OB＝OD＝OE＝AD．14．如图在直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点的坐标为（a，0），D点的坐标为（0，b），且a，b满足（a﹣3）2+|b﹣|＝0．（1）求A点和D点的坐标；（2）若∠DAE＝∠OAB，请猜想DE，OD和EB的数量关系，说明理由．（3）若∠OAD＝30°，以AD为三角形的一边，坐标轴上是否存在点P，使得△PAD为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点P，并写出P点的坐标，选择一种情况证明．解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣|＝0，∴a＝3，b＝，∴D（0，），A（3，0）；（2）DE＝OD+EB；理由如下：如图1，在CO的延长线上找一点F，使OF＝BE，连接AF，在△AOF和△ABE中，，∴△AOF≌△ABE（SAS），∴AF＝AE，∠OAF＝∠BAE，又∵∠OAB＝90°，∠DAE＝，∴∠BAE+∠DAO＝45°，∴∠DAF＝∠OAF+∠DAO＝45°，∴∠DAF＝∠EAD，在△AFD和△AED中，，∴△AFD≌△AED（SAS），∴DF＝DE＝OD+EB；（3）有3种情况共6个点：①当DA＝DP时，如图2，Rt△ADO中，OD＝，OA＝3，∴AD＝＝＝2，∴P1（﹣3，0），P2（0，3），P3（0，﹣）；②当AP4＝DP4时，如图3，∴∠ADP4＝∠DAP4＝30°，∴∠OP4D＝60°，Rt△ODP4中，∠ODP4＝30°，OD＝，∴OP4＝1，∴P4（1，0）；③当AD＝AP时，如图4，∴AD＝AP5＝AP6＝2，∴P5（3+2，0），P6（3﹣2，0），综上，点P的坐标为：∴P（﹣3，0）或（0，3）或（0，﹣）或（1，0）或（3+2，0）或（3﹣2，0）．证明：P5（3+2，0），∵∠OAD＝30°且△ADO是直角三角形，又∵AO＝3，DO＝，∴DA＝2，而P5A＝|3+2﹣3|＝2，∴P5A＝DA，∴△P5AD是等腰三角形．15．已知，在四边形ABCD中，点M、N、P、Q分别为边AB、AD、CD、BC的中点，连接MN、NP、PQ、MQ．（1）如图1，求证：四边形MNPQ为平行四边形；（2）如图2，连接AC，AC分别交MN、PQ于点E、F，连接BD，BD分别交MQ、NP于点G、H，AC与BD交于点O，且AC⊥BD，若tan∠ADB＝，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于OD的线段．（1）证明：如图1，连接BD．∵Q，P分别是BC，CD的中点，所以PQ∥BD，PQ＝BD．∵M，N分别是AB，AD的中点．∴MN∥BD，MN＝BD．∴PQ∥MN，且PQ＝MN．∴四边形MNPQ是平行四边形．（2）解：∵四边形MNPQ是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形MNPQ是矩形，∴四边形NHOE和四边形EOGM都是矩形，∴NH＝OE＝MG＝AE＝，∵tan∠ADB＝，∴，∴NH＝OE＝MG＝AE＝．即长度等于OD的线段有NH，OE，MG，AE．。
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压轴题一、选择题（本大题共8个小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是符合题目要求的）1．如图.△ABC 中.AB=AC=2.∠B=30°.△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆.''B C 与BC.AC 分别交于点D.E.设CD DE x +=.AEC ∆'的面积为y .则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】连接B′C .作AH ⊥B′C′.垂足为H.∵AB=AC.∠B=30°.∴∠C=∠B=30°.∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆.∴AB′=AB=AC=AC′=2.∠AB′C′=∠C′=30°.∴AH=12AC′=1. 223AC AH '-=3∵AB′=AC .∴∠AB′C=∠ACB′.∵∠AB′D=∠ACD=30°.∴∠AB′C -∠AB′D=∠ACB′-∠ACD.即∠DB′C=∠DCB′.∴B′D=CD .∵CD+DE=x.∴B′D+DE=x .即B′E=x .∴C′E=B′C′-B′E=23-x. ∴y=12C E AH '=12×(23-x)×1=132x -+. 观察只有B 选项的图象符合题意.故选B.2．如图.抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点.P 是以点C （0,3）为圆心.2为半径的圆上的动点.Q 是线段PA 的中点.连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）A ．3B ．412C ．72D ．4 【答案】C【解析】∵抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点 ∴A （-4,0）.B （4,0）.即OA=4.在直角三角形COB 中2222345+=+=OC OB∵Q 是AP 上的中点.O 是AB 的中点∴OQ 为△ABP 中位线.即OQ=12BP 又∵P 在圆C 上.且半径为2.∴当B 、C 、P 共线时BP 最大.即OQ 最大此时BP=BC+CP=7OQ=12BP=72. 3．如图.点A 的坐标是(-2,0).点B 的坐标是(0,6).C 为OB 的中点.将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数k y x=的图象恰好经过A B '的中点D.则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】C【解析】 作A H y '⊥轴于H ．∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒.∴90ABO A BH ∠+∠'=︒.90ABO BAO ∠+∠=︒.∴BAO A BH ∠=∠'.∵BA BA ='.∴()AOB BHA AAS '≌.∴OA BH =.OB A H ='.∵点A 的坐标是()2,0-.点B 的坐标是()0,6.∴2OA =.6OB =.∴2BH OA ==.6A H OB '==.∴4OH =.∴()6,4A '.∵BD A D ='.∴()3,5D . ∵反比例函数k y x =的图象经过点D . ∴15k =．故选：C ．4．如图.在四边形ABCD 中.AB DC .90ADC ∠=.5AB =.3CD AD ==.点E 是线段CD 的三等分点.且靠近点C .FEG ∠的两边与线段AB 分别交于点F 、G .连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若32BG =.45FEG ∠=.则HK =( )A ．223B ．26C ．322D ．1326【答案】B【解析】∵90ADC ∠=.3CD AD ==.∴32AC =∵5AB =.32BG =.∴72AG =. ∵AB DC .∴CEK AGK ∆∆.∴CE CK EK AG AK KG==. ∴172CK EK AK KG ==.∴27CK EK AK KG ==.∵32CK AK +=.∴223CK =. 过E 作EM AB ⊥于M .则四边形ADEM 是矩形.∴3EM AD ==.2AM DE ==.∴32MG =. ∴22352EG EM MG =+=. ∵27EK KG =.∴53EK =. ∵45HEK KCE ∠=∠=.EHK CHE ∠=∠.∴HEK HCE ∆∆.∴13553HE EC HK EK ===.∴设3HE x =.5HK x =.∵HEK HCE ∆∆.∴EH HK HC EH=. ∴3532253x x x x =+.解得：106x =.∴526HK =. 故选：B ．5．如图.正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C .D .E 在同一条直线上.顶点B .C .G 在同一条直线上．O 是EG 的中点.∠EGC 的平分线GH 过点D .交BE 于点H .连接FH 交EG 于点M .连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③2BC CG =﹣1；④HOMHOG S S ＝22.其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【解析】如图.∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形.∴BC ＝CD.CE ＝CG.∠BCE ＝∠DCG.在△BCE 和△DCG 中.BC CD BCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ）.∴∠BEC ＝∠BGH.∵∠BGH+∠CDG ＝90°.∠CDG ＝∠HDE.∴∠BEC+∠HDE ＝90°.∴GH ⊥BE ．故①正确；∵△EHG 是直角三角形.O 为EG 的中点.∴OH ＝OG ＝OE.∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上.∵EF ＝FG.∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°.∠HEG ＝∠HFG.∴△EHM ∽△GHF.故②正确；∵△BGH ≌△EGH.∴BH ＝EH.又∵O 是EG 的中点.∴HO ∥BG.∴△DHN ∽△DGC.DN HN DC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a.则BC ＝2a.设正方形ECGF 的边长是2b.则NC ＝b.CD ＝2a.222b a a a b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0.解得：a ＝b ＝（﹣ b.或a ＝（﹣1b （舍去）.212a b∴=1BC CG∴= 故③正确；∵△BGH ≌△EGH.∴EG ＝BG.∵HO 是△EBG 的中位线.∴HO ＝12BG. ∴HO ＝12EG. 设正方形ECGF 的边长是2b.∴EG ＝ b.∴HO b.∵OH ∥BG.CG ∥EF.∴OH ∥EF.∴△MHO △MFE.∴OM OH EM EF 2b 2===. ∴EMOM.∴1OM OE ===.∴1HOM HOES S ∆∆= ∵EO ＝GO.∴S △HOE ＝S △HOG .∴1HOM HOGS S ∆∆= 故④错误.故选：A ．6．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-.且过点（1.0）.顶点位于第二象限.其部分图像如图所示.给出以下判断：①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③8>0+a c ；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、.则12125x x x x ++⋅=-.其中正确的个数有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C【解析】 ∵对称轴在y 轴左侧.图象与y 轴交于y 轴正半轴.∴ab>0.c>0.故①错误.∵图象过点（1.0）.对称轴为x=-1.∴图象与x 轴的另一个交点为（-3.0）.∵抛物线的开口向下.∴a<0.∴x=-2时.4a-b+c>0.故②正确.∵对称轴x=2b a -=-1. ∴b=2a.∵x=1时.a+b+c=0.∴3a+c=0.∴8a+c=5a<0.故③错误.∵3a+c=0.∴c=-3a.∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c.故④正确.ax 2+bx+c=2x+2.整理得：ax 2+(b-2)x+c-2=0.∵直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x 、.∴x 1+x 2+x 1⋅x 2=2b a --+2c a -=22(3)2a a a-++--=-5.故⑤正确.综上所述：正确的结论为②④⑤.共3个.故选C.7．如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=90°.E是AB上一点.且DE⊥CE．若AD=1.BC=2.CD=3.则CE与DE 的数量关系正确的是A．CE=3DE B．CE=2DEC．CE=3DE D．CE=2DE【答案】B【解析】过点D作DH⊥BC.垂足为H.∵AD=1.BC=2.∴CH=1.根据勾股定理可得DH=AB=2222DC CH-=.∵AD∥BC.∠ABC=90°.∴∠A=90°.∴∠AED+∠ADE=90°.又∵DE⊥CE.∴∠AED+∠BEC=90°.∴∠ADE=∠BEC.∴Rt△ADE∽Rt△BEC.∴AD AE DEBE BC CE==.设BE=x.则AE22x=-.即1222xx-=.解得x=2.∴12DECE=.即CE=2DE.故选B．8．如图.在正方形ABCD中.E、F分别是BC、CD上的点.且∠EAF＝45°.AE、AF分别交BD于M、N.连按EN、EF、有以下结论：①AN＝EN.②当AE＝AF时.BEEC＝22.③BE+DF＝EF.④存在点E、F.使得NF＞DF.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解析】①如图1.∵四边形ABCD是正方形.∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°.∵∠MAN＝∠EBM＝45°.∠AMN＝∠BME.∴△AMN∽△BME.∴AM MN BM EM.∵∠AMB＝∠EMN.∴△AMB∽△NME.∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°.∴△AEN是等腰直角三角形. ∴AN＝EN.故①正确；②在△ABE和△ADF中.∵AB ADABE ADF90 AE AF︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩.∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.∴BE＝DF.∵BC＝CD.∴CE＝CF.假设正方形边长为1.设CE＝x.则BE＝1﹣x. 如图2.连接AC.交EF于H.∵AE＝AF.CE＝CF.∴AC是EF的垂直平分线.∴AC⊥EF.OE＝OF.Rt△CEF中.OC＝12EF＝22x.△EAF中.∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°. ∴OE＝BE.∵AE＝AE.∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL）.∴AO＝AB＝1.∴AC2＝AO+OC.∴1+22x2.x＝22.∴BE EC ＝1(22)22---＝(21)(22)2-+＝22； 故②不正确；③如图3.∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH.则AF ＝AH.∠DAF ＝∠BAH.∵∠EAF ＝45°＝∠DAF+∠BAE ＝∠HAE.∵∠ABE ＝∠ABH ＝90°.∴H 、B 、E 三点共线.在△AEF 和△AEH 中.AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△AEF ≌△AEH （SAS ）.∴EF ＝EH ＝BE+BH ＝BE+DF.故③正确；④△ADN 中.∠FND ＝∠ADN+∠NAD ＞45°.∠FDN ＝45°.∴DF ＞FN.故存在点E 、F.使得NF ＞DF.故④不正确；故选B ．二、填空题（本大题共4个小题.每小题6分.共24分）9．若数a 使关于x 的不等式组2122224x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解.且使关于y 的分式方程2a y +- 22y-=2有非负数解.则满足条件的整数a 的值是__________． 【答案】-2【解析】解不等式组2122224x x x a -⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩.可得342x a x ≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩.∵不等式组有且仅有四个整数解. ∴-1≤42a +-<0.∴-4<a ≤-2.解分式方程222a y y +--=2.可得y =22a +. 又∵分式方程有非负数解.∴y ≥0.且y ≠2.即22a +≥0.22a +≠2.解得a ≥-2且a ≠2.∴-2≤a ≤3.且a ≠2.∴满足条件的整数a 的值为-2.故答案为：-2．10．如图.过点C(3,4)的直线2y x b =+交x 轴于点A.∠ABC=90°.AB=CB.曲线0k y x x=>（）过点B.将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上.则a 的值为________．【答案】4【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线.两条平行线相交于点M.与x 轴的交点为N.则∠M=∠ANB=90°. 把C(3,4)代入2y x b =+.得4=6+b.解得：b=-2.所以y=2x-2.令y=0.则0=2x-2.解得：x=1.所以A(1.0).∵∠ABC=90°.∴∠CBM+∠ABN=90°.∵∠ANB=90°.∴∠BAN+∠ABN=90°.∴∠CBM=∠BAN.又∵∠M=∠ANB=90°.AB=BC.∴△ABN ≌△BCM.∴AN=BM.BN=CM.∵C(3.4).∴设AN=m.CM=n.则有413m n m n +=⎧⎨+-=⎩.解得31m n =⎧⎨=⎩. ∴ON=3+1=4.BN=1.∴B(4.1). ∵曲线0k y x x =>（）过点B.∴k=4.∴4y x=. ∵将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上.此时点A 移动后对应点的坐标为(1.a). ∴a=4.故答案为：4.11．如图.反比例函数()0k y x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M .分别交AB .BC 于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为12.则k 的值为______．【答案】4【解析】∵E 、M 、D 位于反比例函数图象上. ∴12OCE S k ∆=.12OAD S k ∆=. 过点M 作MG y ⊥轴于点G .作MN x ⊥轴于点N .∴四边形ONMG 是矩形.∴ONMG S k =矩形.∵M 为矩形ABCO 对角线的交点.∴44ABCO ONMG S S k ==矩形矩形.∵函数图象在第一象限.∴0k >.∴ABCO S =矩形OCE S ∆+OAD S ∆+S 四边形ODBE =12422k k k ++=. 解得：4k =．故答案为：412．如图.直线113y x =+与x 轴交于点M .与y 轴交于点A .过点A 作AB AM ⊥.交x 轴于点B .以AB 为边在AB 的右侧作正方形ABCA 1.延长A 1C 交x 轴于点B 1.以A 1B 1为边在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1C 1A 2…按照此规律继续作下去.再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形.每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行.正方形ABCA 1.A 1B 1C 1A 2.….111n n n n A B C A ---中的阴影部分的面积分别为S 1.S 2.….S n .则S n 可表示为_____．【答案】42223n n -． 【解析】 在直线113y x =+中.当0x =时.1y =；当0y =时.3x =-； ∴1OA =.3OM =.∴1tan 3AMO ∠=. ∵90OAB OAM ︒∠+∠=.90AMO OAM ︒∠+∠=.∴OAB AMO ∠=∠. ∴1tan 3OB OAB OA ∠==.∴13OB =． ∵正方形ABCA 1中的四个小正方形都与△AOB 全等. ∴第一个阴影正方形的边长为：12133-=. ∴212439S ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 同理：111tan tan 3B C CBB OAB BC ∠==∠=. ∴11111333B C BC AC AB ===. ∴1143A B AB =. ∴221141639S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 同理可得2321161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭.3431161699S S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭.….11116164999n n n S S --⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭142442422222222222233333n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：42223n n -． 三、解答题（本大题共3个小题.每小题12分.共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．综合与探究如图.抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0).B(4,0)两点.与y 轴交于点C.点D 是抛物线上一个动点.设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC.BC.DB.DC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时.求m 的值； (3)在(2)的条件下.若点M 是x 轴上的一个动点.点N 是抛物线上一动点.试判断是否存在这样的点M,使得以点B.D.M.N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在.请直接写出点M 的坐标；若不存在.请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 (1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0).B(4,0). ∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩.解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E.交BC 于点G.作CF ⊥DE.垂足为F.∵点A 的坐标为(-2,0).∴OA=2.由0x =.得6y =.∴点C 的坐标为(0,6).∴OC=6.∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=. ∵S △BCD =34S △AOC . ∴S △BCD =39642⨯=. 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+.由B.C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩.解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+. ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+. ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+. ∵点B 的坐标为(4,0).∴OB=4.∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅. ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）. ∴239622m m -+=. 解得11m =(舍).23m =.∴m 的值为3；(3)存在.如下图所示.以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图. 以BD 为边时.有3种情况.∵D 点坐标为15(3,)4.∴点N 点纵坐标为±154. 当点N 的纵坐标为154时.如点N 2. 此时233156424x x -++=.解得：121,3x x =-=(舍). ∴215(1,)4N -.∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时.如点N 3.N 4. 此时233156424x x -++=-.解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-.415(114,)4N -. ∴3(14,0)M .4(14,0)M -；以BD 为对角线时.有1种情况.此时N 1点与N 2点重合. ∵115(1,)4N -.D(3.154). ∴N 1D=4.∴BM 1=N 1D=4.∴OM 1=OB+BM 1=8.∴M 1(8.0).综上.点M 的坐标为：1234(80)(00)(14(14M M M M -，，，，，，，.14．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形.AC是⊙O的直径.DE⊥AB.垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F.延长DC.FB交于点P.如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BG⊥AD.垂足为G.BG交DE于点H.且点O和点A都在DE的左侧.如图2．若AB=3 .DH=1.∠OHD=80°.求∠BDE的大小．【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．【解析】（1）如图1.∵AC是⊙O的直径.∴∠ABC=90°.∵DE⊥AB.∴∠DEA=90°.∴∠DEA=∠ABC.∴BC∥DF.∴∠F=∠PBC.∵四边形BCDF是圆内接四边形.∴∠F+∠DCB=180°.∴∠F=∠PCB.∴∠PBC=∠PCB.∴PC=PB ；（2）如图2.连接OD.∵AC 是⊙O 的直径.∴∠ADC=90°.∵BG ⊥AD.∴∠AGB=90°.∴∠ADC=∠AGB.∴BG ∥DC.∵BC ∥DE.∴四边形DHBC 是平行四边形.∴BC=DH=1.在Rt △ABC 中3∠ACB=3AB BC ∴∠ACB=60°.∴BC=12AC=OD. ∴DH=OD.在等腰△DOH 中.∠DOH=∠OHD=80°.∴∠ODH=20°.设DE 交AC 于N.∵BC ∥DE.∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD ）=40°.∴∠DOC=∠DOH ﹣∠NOH=40°.∵OA=OD.∴∠OAD=12∠DOC=20°. ∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC ∥DE.∴∠BDE=∠CBD=20°．15．如图1.在正方形ABCD 中.点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点,A B 不重合）.连接CE .过点B 作BF CE ⊥于点G .交AD 于点F ．（1）求证：ABF BCE ∆∆≌；（2）如图2.当点E 运动到AB 中点时.连接DG .求证：DC DG =；（3）如图3.在（2）的条件下.过点C 作CM DG ⊥于点H .分别交,AD BF 于点,M N .求MN NH的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）54MN NH =. 【解析】（1）证明：∵BF CE ⊥.∴90CGB ∠=︒.∴90GCB CBG ∠+∠=︒.∵四边形ABCD 是正方形.∴90,CBE A BC AB ∠=︒=∠=.∴90FBA CBG ∠+∠=︒.∴GCB FBA ∠=∠.∴()ABF BCE ASA ∆∆≌；（2）证明：如图2.过点D 作DQ CE ⊥于Q .设2AB CD BC a ===.∵点E 是AB 的中点. ∴12EA EB AB a ===. ∴5CE a =.在Rt CEB ∆中.根据面积相等.得BG CE CB EB ⋅=⋅. ∴255BG a =. ∴2245CG CB BG =-=. ∵90,90DCE BCE CBF BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒. ∴DCE CBF ∠=∠.∵,90CD BC CQD CGB =∠=∠=︒.∴()CQD BGC AAS ∆∆≌. ∴55CQ BG a ==. ∴25GQ CG CQ CQ =-==. ∵,90DQ DQ CQD GQD =∠=∠=︒.∴()DGQ DCQ SAS ∆∆≌.∴CD GD =；（3）解：如图3.过点D 作DQ CE ⊥于Q .1122CDG S CG DQ CH DG ∆=⋅=⋅. ∴85CG DQ CH a DG ⋅==. 在Rt CHD ∆中.2CD a = . ∴2265DH CD CH a =-=. ∵90,90MDH HDC HCD HDC ∠+∠=︒∠+∠=︒. ∴MDH HCD ∠=∠.∴CHD DHM ∆∆∽. ∴34DH HM H DH C ==. ∴910HM a =. 在Rt CHG ∆中.458,55CG a CH a ==. ∴2245GH CG CH a =-=. ∵90,90NGH CGH HCG CGH ∠+∠=︒∠+∠=︒. ∴NGH HCG ∠=∠.∴NGH GCH ∆∆∽. ∴HN HG HG CH=. ∴225HG HN a CH ==. ∴12MN HM HN a =-=.∴152245a MNNH a==。