中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题

Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1：抛物线中的等腰三角形

基本题型：已知AB，抛物线()0

2≠

bx

y，点P在抛物线上（或坐

c

ax

=a

+

+

标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP

?为等腰三角形，求点P坐标。

分两大类进行讨论：

=）：点P在AB的垂直平分线上。

（1）AB为底时（即PA PB

利用中点公式求出AB的中点M；

k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB

而求出AB的垂直平分线的斜率k；

利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；

将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对

称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

（2）AB为腰时，分两类讨论：

=）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆

①以A

∠为顶角时（即AP AB

上。

=）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆

②以B

∠为顶角时（即BP BA

上。

利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。

专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标

轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐

标。

分两大类进行讨论：

（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；

利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对

称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为直角边时，分两类讨论：

①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）：

②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：

利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出

PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；

将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解

析式联立即可求出点P 坐标。

所需知识点：

一、 两点之间距离公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，

则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-=

。 二、 圆的方程：

点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。

则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22

2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

三、 中点公式：

四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为

??? ??++22

2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2

121x x y y k PQ --=。 中考压轴题专题3：抛物线中的四边形

基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上

（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行

四边形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时

二、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等

三、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直

四、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为正方形，求点P 坐标。

在四边形ABPQ 为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

（1）邻边相等 （2）对角线互相垂直

在四边形ABPQ 为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：

（1）邻边互相垂直 （2）对角线相等

五、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴

上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为梯形，求点P 坐标。

分三大类进行讨论：

（1）AB 为底时 （2）AB 为腰时 （3）AB 为对角线时

典型例题：典型例题：

例1（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数

)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交

于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝

OC ，tan ∠ACO ＝3

1． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这

样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形若存

在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的

圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的

抛物线上一动点，当点P

例22y ax =y

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P A C N

，，，为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线3

=-+与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与

y x

，重合），经过A B E

B D

，，三点的圆交直线BC于点F，试判断△的形状，并说明理由；

AEF

（4）当E是直线3

=-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直

y x

思路点拨

（第26题图）1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．

2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．

满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4

a

x

y，代入点C的坐标（0，－2），解得

)(

1

(-

-

=x

2

1-=a ．所以抛物线的解析式为22

521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(2

1,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2

1---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x

x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2

14)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2

1--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24

)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-． 解方程2

14)4)(1(2

1=---x x x ，得2=x 不合题意． ③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2

1--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)

4)(1(2

1=---x

x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程2

14)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．

综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．

图2 图3 图4

（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为

22

1-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<

)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)22

1,(-m m ．所以)22

1()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=． 因此4)22

1(212?+-=?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．

图5 图6

例4.如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左

侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的

对称轴交于点D ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q

两点，且点P 在第三象限． ①当线段34

PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响

后 续的解题．

2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半

轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．

3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这

样写点E 的坐标就简单了．

满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得

4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．

（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的

函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得

30,3.

k b b +=??=-? 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．

（3）①因为AB ＝4，所以334

PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24??-- ???

，点F 的坐标为70,4??- ???．所以75344FC OC OF =-=-=，522

EC FC ==． 进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2??- ???

． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－

2）．

过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．

在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23

DH EH ==．

②1(12)P -，25(1)22

P --． 图2 图3 图4

考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求

出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点

F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x

的较小的一个值就是点P 的横坐标．

例5.（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），

B （0，-4），

C （2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个

位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），

②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为

平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-

4）．

故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），

例6.（2013眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C 三点，直线AD与抛物线交于另一点M．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形若存在，请求出所有点P的坐

标；若不存在，请说明理由．

．∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3．

（2）存在．

△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：

①以点A为直角顶点．

如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．

∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，

∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，-1）．

设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，-1）的坐标代入得：

解得k=1，b=-1，

∴y=x-1．将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得，x2+2x-3=x-1，

整理得：x2+x-2=0，

解得x=-2或x=1，

当x=-2时，y=x-1=-3，

∴P（-2，-3）；

②以点P为直角顶点．

此时∠PAE=45°，因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．

过点A与y轴平行的直线，只有点A一个交点，故此种情形不存在；

因此点P只能在x轴上，而抛物线与x轴交点只有点A、点B，故点P与点B重合．

∴P（-3，0）；

③以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°，由②可知，此时点P只能与

点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上，即P（-3，0）；

综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为（-2，-3）或（-3，0）．

例7.（2010宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△A O C放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接A P，当△A PE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△A G C的面积与（2）中△A PE的最大面积相等若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0，6），∴c=6．（1分）

∵抛物线的图象又经过点（-3，0）和（6，0），

例8（2012从化市一模）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；

（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）如图（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．

（1）y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4 ∴D （1，4）

例9.（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点D (0，39

7)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA ＋PD 最小，求出点P 的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）设二次函数的解析式为：y=a （x-h ）2+k

（2）∵点A 、B 关于直线x=4对称

∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值

∴DB 与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x 轴交于点M

∵PM∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∵∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO

例10．（四川省内江市）如图所示，已知点A (－1，0)，B (0，3)，C (0，t )，

且t ＞0，tan ∠BAC ＝3，抛物线经过A 、B 、C 三点，点P (2，m )是抛

物线与直线l ：y ＝k (x ＋1)的一个交点．

C D O B A y x

（1）求抛物线的解析式；

（2）对于动点Q(1，n)，求PQ＋QB的最小值；

（3）若动点M在直线l上方的抛物线上运动，求△AMP的边AP上的高h的最大值．

（3）过点P作PN⊥x轴于点N，过点M作MK⊥x轴于点

K，设点M的坐标为（x，-x2+2x+3），

例11.（广东省深圳市）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其

中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．

（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出

．．．．此时点E的坐标．

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积若有，求出△CDP

的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

y

C

P

（1

）

（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P 的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．） 例12.（2008年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别

相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；

（3） △AOB 与△BDE 是否相似如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明

理由.

（注：抛物线y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为???? ??--a b ac a b 44,22

）

满分解答：1. 解：（ 1）由已知得：310c b c =??--+=?

解得c=3,b =2 ∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++

(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以设对称轴与x 轴的交点为F

所以四边形ABDE 的面积=ABO BOFD S S S ?++梯形

=

111()222

AO BO BO DF OF EF DF ?++?+? =11113(34)124222??++?+?? =9 （3）相似. 如图，

=

==

==所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ?是直角三角形

所以90AOB DBE ∠=∠=?,

且AO BO BD BE ==所以AOB DBE ??. 例13.(2008年辽宁省十二市)如图16

，在平面直角坐标系中，直线

y =与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C

，抛物线

2(0)y ax c a =+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出

P 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存

在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）

直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．

(10)A ∴-，

，(0C ，······································································· 1分

x

图16

点A C ，都在抛物线上，

∴

抛物线的解析式为2y x x =--·········································· 3分 ∴

顶点13F ?- ??

，·

·········································································· 4分 （2）存在 ······················································································ 5分

1(0

P ······················································································ 7分

2(2P

······················································································ 9分 （3）存在 ····················································································· 10分 理由：解法一：

延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点．

················································································· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ． B

点在抛物线233

y x x =--(30)B ∴， 在Rt BOC △

中，tan OBC ∠=

， 30OBC ∴∠=

，BC = 在Rt BB H '△

中，12B H BB ''==

6BH H '==，3OH ∴=

，(3B '∴--， ···········

设直线B F '的解析式为y kx b =+ x

图9