九年级数学上册《22.1_一元二次方程(第1课时)》课件_人教新课标版
九年级数学上册 22.1 一元二次方程(第1课时)课件 新人教版
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为ax2bxc0的形式,我们把 ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
例题讲解
x22x48 0
本课小结
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式 方程叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2bxc0 的形式,我们把 ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
2 4x2 81
一般式： 4x2 810.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
课内练 习
3 4 x x 2 2 5 ； 4 3 x 2 x 1 8 x 3 . 3 4xx225
一般式： 4x28x250.
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100 －2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为 3600cm2，得 （100－2x）（50－2x）=3600.
x
整理，得 4x2－300x+1400=0.
化简，得 x2－75x+350=0 . ② 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．
想一想
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常 数项为－10.
课内练 习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 (2)
y＝ 3x－3， 析式为 y＝ 3 x－3.联立直线 DC 与抛物线的解析式可得y＝13x2－3， 解得
x1＝0， y1＝－3，
yx22＝＝63，3，
所以 M1(3
3 ，6)；
②如图，若点 M2 在点 B 下方，设 M2C 交 x 轴于点 E，易得∠OEC＝45 °－15°＝30°，易得 OE＝3 3 .
15．(10分)(云南中考)已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称 轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值； (2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P 的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，∴k2＋k－6＝0， 解得k1＝－3，k2＝2，又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点， ∴3k＜0，∴k＝－3 (2)∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为2或 －2，当x＝2时，y＝－5，当x＝－2时，y＝－5.∴P(2，－5)或P(－2，－5)
(1)求m的值； (2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式； (3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由．
解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，可得m＝－3
(2)将 y＝0 代入 y＝x－3 得 x＝3，所以点 B 的坐标为(3，0).
将(0，－3)，(3，0)代入
人教版
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．(3分)抛物线y＝x2＋1的图象大致是( C )
人教版数学九年级上册22 二次函数(第一课时)课件
4
【典例】下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( )
A．y＝x12
B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2
D．y2＝x2＋3x
分析：y＝x12中，x12为分式，不是二次函数，故 A 不符题意；y＝2x＋1 中，x 的
次数为 1，是一次函数，故 B 不符题意；y＝x2＋x－2 符合二次函数的定义，是二次
函数解析式是 y＝3x＋2 或 y＝33＋215
5x＋5＋23
5或 y＝33－215
5x＋5－23
5 .
(2) 若 函 数 y ＝ (m2 － m － 2)xm2 － 5m － 4 ＋ (m ＋ 1)x ＋ m 为 二 次 函 数 ， 则
m2－5m－4＝2， m2－m－2≠0.
解得 m＝6.故当 m＝6 时，函数 y＝(m2－m－2)xm2－5m－4＋(m
• (1)求直线AB的解析式； • (2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数解析
式．
17
解：(1)如图所示，∵OE＝CD＝80 m，OC＝ED＝100 m，AE＝60 m，BC＝70 m， ∴OA＝20 m，OB＝30 m，即 A(0,20)、B(30,0)．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我 们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
人教版九年级数学上册《二次函数》课件
22.1.1 二次函数
［备选例题］ 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去 一个长为 2x cm，宽为（x＋1）cm 的小长方形，剩余部分的面 积为 y cm2.
（1）写出 y 与 x 之间的关系式，并指出 y 是 x 的什么函 数；
（2）当 x 的值为 2，4 时，剩余部分的面积分别是多少？
解：（1）n 名同学，其中一名同学可以打电话（n－1）次， 这样 n 名同学共打出电话 n（n－1）次.根据题意，每两个同学 之间通电话一次，则互通电话的次数
为12n（n－1），即 m＝12n2－12n.m 是 n 的二次函数.
22.1.1 二次函数
（2）当 n＝10 时，m＝12×102－12×10＝45，∴互通电 话的次数是 45 次. ［归纳总结］ 实际问题中的变量关系问题常可通过建立函数模 型来解决.常用二次函数模型来解决的实际问题有如下几种： （1）有些几何图形的面积、体积的计算问题； （2）在特定情况下，销售利润与售价的关系问题； （3）在特定情况下，银行存款本利与年利率的关系问题； （4）在特定情况下，总量与增长率（降低率）的关系问题； （5）一些物理问题.
22.1.1 二次函数
► 知识点二 用二次函数表示变量之间的关系 在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是 全体实数 .在 实际问题中，自变量的取值要使 实际问题 有意义.
22.1.1 二次函数
重难互动探究
探究问题一 二次函数的判别
例 1 下列函数中，哪些是关于 x 的二次函数？ （1）y＝9x2－x； （2）y＝－13x2； （3）y＝4－x＋x3； （4）y＝x12＋x2； （5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）； （6）y＝ax2＋4x＋1.
［解析］ 先画出示意图，再根据“剩余面积＝正方形面积 －小长方形面积”来列关系式.
九年级数学上册22.1《一元二次方程》(第1课时)教案新人教版
22．1 一元二次方程课题：设计人：授课人：设计时间：授课时间：教学设计授课备注22．1 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标）及其派≠a（x+c=+b2ax式了解一元二次方程的概念；一般生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．态度、情感、价值观4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c 是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材P32练习1、2四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P34习题22．1 1、2．2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1 2 3 4x2-3x-1 -3 -3所以，________<x<__________第二步：x 3.1 3.2 3.3 3.4x2-3x-1 -0.96 -0.36所以，________<x<__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．答案:一、1．A 2．B 3．C二、1．3，-2，-42．ax+bx+c=0（a≠0）3．a≠1三、1．化为：ax2+（a-+1）x+1=0，所以，当a≠0时是一元二次方程．2．可能，因为当，∴当m=1时，该方程是一元二次方程．3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3。
九年级数学人教版第二十二章二次函数22.1.1二次函数定义(同步课本知识图文结合例题详解)
九年级数学第22章二次函数
问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两
年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x
之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是_2_0_(_1_+_x_)件，
再经过一年后的产量是_____2_0_(_1_+_x_)_(_1件+x，) 即两年后的
2
是二次函数关系.
九年级数学第22章二次函数
4.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长 和宽相等,高比长多0.5m. (1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积 S(m2)如何表示? (2)如果涂漆每平米所需要的费用是5元,涂漆每个长方体所需 要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么? 解析：（1）S=2x2+x(x+0.5)×4=6x2+2x （2）y=5S=5×(6x2+2x)
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值
一定是__0____.
九年级数学第22章二次函数
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种函数？ 解析：S=a( 60 -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
函 数
关系Leabharlann 一次函数y=kx+b(k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0)
反比例函数
y= k (k≠0)
x
二次函数
九年级数学第22章二次函数
问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
初中数学九年级上册22.1.1《二次函数》PPT课件
问题2：
多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相 邻的各顶d点= 1，n2可 3作n ＿（＿n＿-3＿）条对角线.因此，n边形的对角
22
线此总式数表＿示＿了＿多＿边＿形的对角线总数d与边数n之间的关系，
对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
为什么a≠0呢?
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之
间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数
关系；
【（解3析）】菱（形1的）两由题条意对得角线S 的 和6a为2 (，a26其cm中0，)S是写a出的菱二形次的函面数；积S（cm2）
2.如果函数y=(k-3)xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,则k的值 一定是___0___.
3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩 形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一 种解函析数：？S=a( 620-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a.
与（一2对）角由线题长意得x（cym）4x之2 间(，x的其0函中) 数y是关x系的二．次函数；
（3）由题意得
S
1 2
x(26
x)
Байду номын сангаас
1 2
x2
，1其3x中(0
x
26)
S是x的二次函数.
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ 2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米， 宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关 系【式解．析】 (1)y=x2
九年级数学上册第22章《二次函数》名师课件(人教版)
（2）y x2 1
x
（3） y (x 2)(x 3) （4）y (x 2)(x 2) (x 1)2
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解：（1）是； （2）右边含分式，不是；
（3）展开后为 y x2 x 6 ，是；
（4）整理得y=2x-5，不是.
【思路点拨】（1）要看化简后的结果 （2）二次函数必须为整式
22.1.1 二次函数
（1）一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c =0 (a,b,c是常数，a≠0)
（2）正比例函数的一般形式是：y=kx (k ≠0,k为常数)
（3）一次函数的一般形式是：y=kx+b (k ≠0,k、b为常数)
探究一：二次函数的概念及其解析式
重点知识★
活动1 通过实例，引入概念
请用适当的函数解析式表示下列问题情景中的两个变量y与x之间的 关系： （1）面积y(cm2)与圆的半径x(cm )；
y x2
（2）菱形两条对角线长的和为26cm，其中一条对角线长为xcm， 菱形面积为ycm2；
y 1 x(26 x)及其解析式
【思路点拨】解答这类问题,主要是根据二次函数的定义,二次函 数的解析式中,自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零 列方程(方程组或不等式)求解.
探究一：二次函数的概念及其解析式
重点知识★
练习：已知 y a 3 xa22a1 2 是二次函数,则a=__-_1____.
【思路点拨】 由题意得a2-2a-1=2, 解得a1=3,a2=-1; 且a-3≠0,即a≠3. 综上所述, a=-1.
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
探究一：二次函数的概念及其解析式
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1 赛共 x x 1 场． 2
列方程
1 x x 1 28 2
1 2 1 x x 28 2 2
整理，得 化简，得
x 2 x 56
③
由方程③可以得出参赛队数．
方程① ② ③有什么特点？
x2＋2x－4=0 x2－75x+350=0 ① ② ③
x 2 x 56
（１）这些方程的两边都是整式， （２）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
1 5x2 1 4x
一般式： 5x 2
4 x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
一般式： 4x
2
81 0.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
4x x 2 25； 4 3 3x 2 x 1 8 x 3.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等 于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长 的直角边长x． 解：（1）设其边长为x，则面积为x2 4x2=25
25 x 4
2
25 x 4
5 5 x 或x (舍去) 2 2
3 4 xx 2 25
一般式： 4x2
8 x 25 0.
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x 2
7 x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的 一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
x
（100－2x）（50－2x）=3600. 整理，得 4x2－300x+1400=0. 化简，得 x2－75x+350=0 . 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸． ②
问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场， 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组 织者应邀请多少个队参赛？ 全部比赛共4×7＝28场 设应邀请x个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，由于 甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比
引 言
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部 （腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应 设计为多高？ 雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系： A
AC BC = BC 2
BC =2AC
2
设雕像下部高xm，于是得方程
C
2cm
整理得 B
x2=2(2－x) x2＋2x－4=0
解：去括号，得 3x2－3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的 一般形式： 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为 －10.
练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
2 1 5 x 1 4x； 2 2 4 x 81；
你会发现这个方程与以前学习过的一次方程不同，其 中未知数x的最高次数是2，怎样解决这样的方程从而 得到问题－4=0
①
有一个未知数x，x的最高次数是2，像这样的方程有广泛 的应用，请看下面的问题．
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各 切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方 盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100－2x）cm，宽 为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
理，都能化成如下形式
ax bx c 0 a 0 .
2
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一
次项系数；c是常数项．
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般 形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
（2）设长为x，则宽（x－2）
x(x－2)=100. x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则另较长一段为（1－x） x· 1 = (1－x) 2 X2－3x＋1=0.
(4)
x x 2 10
2 2
2
x 2 x 48 0
2