三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导问题的自然单元法

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热传导与热应力分析详解

热扩散率
介绍 -- 类比
Stress Heat
u

I T dV
V
q
I T qdV
V
D
K
T DdV
V
T KdV
V
分析过程 •在 ABAQUS/Standard 中，热传导分析的执行是通过将几何体离散成扩散热传导单元，并且使用 *HEAT TRANSFER 过程选项
•多层复合材料热壳的默认截面点数量为 3 •所有层的单层截面点数量必须相等
边界条件与载荷
边界条件
应力分析中，每个自由度都有一对共轭变量：位移 -- 作用或反作用力默认情况下位移是未知的，力是已知的。热传导分析中，这对共轭变量是温度 --- 热率(单位时间的能量流) 默认情况下温度是未知的，热率是已知的 -- 已知的热率 = 0，相当于绝热边界条件； -- 没有外部的能量流进或流出节点。 ABAQUS 中的几种热边界条件和热载荷 1. 在某些节点上预设温度， *BOUNDARY，自由度11 2. 在某些点上或者某些表面上或者体积内预设热率 q *CFLUX, *DFLUX, *DSFLUX 3. 在某些点上或者某些表面上的边界层（薄膜）条件 *CFILM, *FILM 和 *SFILM 4. 在某些点上或者某些表面上的辐射条件 *CRADIATE, *RADIATE, 和 *SRADIATE 5. 自然边界条件(默认)
Film, coefficient h
边界条件与载荷
3. 边界层(薄膜)条件
*CFILM 施加在节点上
*CFILM NODESET， 100.， 450， 2.3E-3
面积
温度
h
*FILM 二维情况下施加在单边上，三维情况下施加在单元面上

功能梯度材料稳态热传导方程的分层精细指数法

对于常数型或指数型热扩散系数
口ｚ（）＝五，比值旦为一常数人。取厚度方向ｅ
以
为解析方向，另外两个方向为离散方向，网格步长为ｈ ×ｈ，离散网格数为（＋１ ×（ｍ）ｎ＋１），如
图１所示。
‘ ｙ
比较粗糙，但形式简单，便于应用，有一定的适用
ｄｔｏｑａｉｎｉｉｃｅｉｅｑｉｉｔｎｌｌｎｈｈｃｎｓｉｅｔｏｔｈｉｃｅｅｎｍｂｒＭｎｕｃｉｎｅｕｔｓｄｓｒｔｄｅｕｄｓａｔｙａｏｇｔｅｔｉｋｅｓｄｒｃｉｎｗｉｈｔｅｄｓｒｔｕｅａｄｏｚ
其中，（ｙｚ是所要求的温度分布场，（）为热，，）ａｚ
扩散系数，Ｑ为区域内部｛＜ｘ；＜Ｙ＜Ｙ；０＜ｓＯｓ
０＜ｚ＜｝Ｑ为区域边界，（Ｙｚ，ｇ，，）为空间热源场，（，，）为已知的边界温度场。ｖｘｙｚ
ｆｒｅｉｎｔｎｉｇｖｎｆｍｐｅｇｂａｃｅｕｔｎ．ＴｅｒｓｌｆａｅｅｒｃｓｘｏｅｔｌＭｅｈｏｌｍｉａｉｓｉｅｒｕｐｒａｅｒｉｑａｉｓｈｅｕｔｏｙｒｄＰｅｉｅＥｐｎｎｉｔ — ｏｏｌｏｓＬａ
功能梯度材料（ｕｃｏａｙＧａｅｔａｓＦｎｔｎｌｒｄｄＭａｅｌ，ｉｌｉｒ简称ＦＭｓ，是一种材料性质和功能沿厚度方向Ｇ）呈连续变化的新型材料，它通过连续改变两种材料

三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法

三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法介绍随着计算机技术的快速发展，数值模拟已经成为研究热传导问题的一种重要方法。

在工程领域，三维非稳态导热问题的数值解法应用广泛。

本文将详细探讨三维非稳态导热问题的高效稳定数值解法。

理论基础1. 热传导方程热传导方程是描述热量在物质中传递的方程，对于三维非稳态导热问题，可以表示为：∂u=α∇2u∂t其中，u是温度场，t是时间，α是热扩散系数，∇2是拉普拉斯算子。

2. 数值方法为了求解三维非稳态导热问题的数值解，有多种数值方法可供选择，例如有限差分法、有限元法和边界元法等。

本文将重点介绍有限差分法。

有限差分法是一种常用的数值方法，用于离散化偏微分方程。

对于三维非稳态导热问题，可以将空间和时间分别离散化，从而得到离散化的方程组。

通过迭代求解，可以得到数值解。

三维非稳态导热问题的数值解法1. 网格划分在使用有限差分法求解三维非稳态导热问题时，需要将计算区域进行网格划分。

通常采用正交网格的方式，将计算区域划分为多个小立方体。

2. 初始条件和边界条件为了求解三维非稳态导热问题，需要指定初始条件和边界条件。

初始条件用于确定初始温度分布，边界条件用于描述物体表面与外界的热交换过程。

3. 显式差分格式显式差分格式是一种简单但稳定性较差的差分格式，用于求解三维非稳态导热问题。

该方法基于前向差分公式，通过迭代计算得到数值解。

4. 隐式差分格式隐式差分格式是一种复杂但稳定性较好的差分格式，用于求解三维非稳态导热问题。

该方法基于后向差分公式，通过迭代求解线性方程组得到数值解。

数值实验为了验证所提出的数值方法的有效性和稳定性，进行了一系列数值实验。

以下是数值实验的步骤：1.确定计算区域和网格划分方式。

2.指定初始条件和边界条件。

3.选择显式差分格式或隐式差分格式进行数值求解。

4.通过迭代计算得到数值解。

5.与解析解进行比较，评估数值方法的精确度和稳定性。

数值实验结果表明，所提出的方法在求解三维非稳态导热问题方面具有较高的精确度和稳定性。

功能梯度材料热传导问题的仿真

能解决简单问题，以大量复杂的工程问题只能借助数值方所法。有学者尝试用有限元法、网格Ｇｌｋｎ方法无ａｅｉｒ
滑连续地变化。ＦＭ因其良好的热力学性能被广泛应用于Ｇ
航空航天、核能、械等领域 … 。由于功能梯度材料大多在机高温环境下工作，故对其进行热传导分析以了解其温度分布
３ｃｏｌｆｔｒｓＳｉｎｅａｄＥｇｎｅｎＣａｇｎＵｉｅｓｙＸ’ ｈｎｉ１０４，ｈｎ）．Ｓｈｏｏｅａｃｅｃｎｎｅｒｇ，ｈｎ’ ｎｖｒｔ，ｉｎＳａｘ７０６ＣｉＭａｉｌｉｉａｉａａ
ＡＢＳＲＡＣＴ：ｈｕｄｍｅｔｏｕｉｎｏｓｅｄＴＴｅｆｎａｎａｓｌｔｓｔｔａｙ—ｓａｅｈａｏｄｃｉｎｐｏｌｍｒｔｒｅｔｐｓｆｎｔｎｌｒｄｄｌｏｔｔｅｔｃｎｕｔｒｂｅｆｅｙｅｕｃｉａｙｇａｅｏｏｈｏｌ
ＣＯＬｉｌｉ，Ｅｉｎ—ｚｏｇ，ＨＡＧＸｅ—ｍｎ，ＩｉｇＡｅ—ｅＰＩａＪｈｎＺＮｕｉＬＵＱｏｎ
（．ＫｅａｏａｏｙｆｒＲａｏｓｒｃｉｎＴｃｎｌｇ１ｙＬｂｒｔｒｏｄＣｎｔｕｔｅｈｏｏｙ＆Ｅｑｉｍｅｔｈｎ ’ｎＵｎｖｒｉ，ＸｉｎＳａｘ０４，Ｃｉａ；ｏｏｕｐｎ，Ｃａｇａｉｅｓｔｙ ’ ｈｎｉ１６ａ７０ｈｎ
１（）２ｒ）（）７（ “
（２１）
因此，于指数型ＦＭ，对Ｇ其热传导方程的基本解为

基于自然元法和精细积分法的功能梯度材料瞬态热传导问题求解

材料参数模拟功能梯度材料特性的变化．温度场采用自然邻接点插值形函数进行离散插值．数值
算例验证该数值算法的正确性和有效性．
关键词：功能梯度材料；热传导；自然单元法；精细积分法
中图分类号：Ｂ３；Ｂ１．Ｔ３３Ｔ１５１文献标志码：Ａ
盖Ｋ）（（＋，＝ｃ驯ｄ
（Ｏ—）（ｐＴＱｎ７ｃｄ）
对式（）７进行分部积分并考虑式（）２的第二个条件，
可得
Ｑ＝Ｑ（ｔ为单位体积的内部热源．应的边界条Ｘ，）对
件和初始条件为
，
ｆａ一，ｓｑ（）＝ｒｃ警＋ｄ
Ｔ，＝｛ ∈ Ｒ：（，／ｄ，）＜ｄ，）（，＜ｄ，）ＶＪ≠ ，≠ Ｋ｝（，（）４
在几何意义上，是那些以，为最近点，，第以为二近点的空间点的位置集合．
当采用Ｓｂｏｉｓｎ插值时，计算点对节点，的形
ｃ一
７）：，１（
∈ 厂ｒ
｛＋）ｑ）Ｋ＝ｘ（（，
Ｌ，Ｔ（ｔ：０）＝７（）＇，ｏ ∈
（２）
ｆＱ２（ｄ８Ｓｇ）Ｔ
由于只对空间域进行离散，解域内的试函求数（可由式（），）６表示为
第２Ｏ卷第３期
２１年９月０１
计算机辅助工程
ＣｏｍｐｕｅｄｄＥｎｉｅｎｔｒＡｉｅｇｎｅｒｇｉ

COMSOL工程应用系列手册-多物理场仿真在电子设备热管理中的应用说明书

COMSOL APPLICATION NOTES | 1COMSOL 工程应用系列手册多物理场仿真在电子设备热管理中的应用多物理场仿真在电子设备热管理中的应用目录简介 3工程目标 4电子设备的热管理 4传热的应用领域 4传热机理 5数值仿真 6电子设计中的数值仿真 6传热建模的物理场接口 7单物理场接口 8多物理场接口 9扩展接口 10建模案例 10平板上方的非等温湍流 10圆管中的非等温层流 11一种热光型硅光子开关的优化 11平板热管的传热与流体动力学 12大型强子对撞机中的超导磁体 12植入式医疗设备的温度适应性 13仿真 App 案例 14使用仿真 App 进行传热与流体动力学教学 14使用仿真 App 模拟定制化电容器 15使用仿真 App 比较石墨箔传热性能 16结语 17参考文献 18更多资源 19© 版权所有 2019 COMSOL。

《多物理场仿真在电子设备热管理中的应用》由 COMSOL,公司及其关联公司发布。

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2 | COMSOL 工程应用系列手册COMSOL 工程应用系列手册 | 3简介简介通常，在设计电子设备时，需要充分考虑热管理因素。

随着设备性能的提升和市场竞争的加剧，为了实现可靠性更高、能耗和成本更低、安全性更强以及用户体验更好的设计目标，越来越多的研究人员开始使用数值仿真技术进行设计工作。

本手册介绍的仿真案例涉及多种系统，这些系统各不相同，但均有电流存在。

在这些案例以及大多数工程应用案例中，对系统中引起温度变化的传热机制和因素进行研究，可以帮助工程师更好地理解设计对产品性能产生的影响。

功能梯度圆板的三维瞬态热弹性分析

摘要：基于线性热弹性理论的基本方程，采用两个位移分量，两个应力分量，温度变量和一个热流分量作为状态
变量，应用状态空间理论，建立了功能梯度材料轴对称圆板结构在动态热载荷作用下的状态方程，考虑了运动惯性项以及
热传导过程中的耦合效应，根据微分求积法，将状态方程沿径向进行离散。采用Ｌｐａｅａｌ变换和打靶法，ｃ数值求解了材料常数按幂率变化的周边固支圆板在热冲击下的热响应。为求解功能梯度结构三维热弹性瞬态响应提供了一种方法。分析了组分材料分布对功能梯度圆板的热响应行为，括板内温度变化，向挠度以及板内应力分量的影响规律。包横
ＣＩＣｌＣｔｌ２２ＣｌＣｌＣｌ２ｌ２ＣｌＣｌＣｌ２２ｌＯＯ０
０００Ｃ４４
１问题的描述
考虑如图所示的一个半径为ａ厚度为ｈ初始温，，
一一
（）２
度为的功能梯度圆板受到热载荷作用，料性质沿材厚度变化，内无初始应力和变形。板在柱坐标系００，对称问题的运动微分方ｒｚ下轴
程为
０ａｏＴｒｒｏｆｚｒ—ｏｒＴ
—
分Ｕ
式中，Ｃ为弹性常数，Ｃ而＝（一Ｃ：／；为温差，Ｃ。。）２为热模量，有＝一（。＋Ｃ：，中，为线热且Ｃ。２。）其
Ｏ＋ｄ＋ —＿ｐ０ — —一 —— ｒ＿ｚｒ ’７－
来研究功能梯度材料已取得了一些进展

基于边界元的功能梯度材料瞬态热传导仿真

ＡＢＳＴＲＡＣＴ：Ｔｈｅａｃｃｕｒａｔｅｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｗａｓｓｔｕｄｉｅｄｆｏｒｃｏｍｐｏｓｉｔｅｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｔｈｅｎｏｎ—ｈｏｍｏｇｅｎｅ — ｉｔｙｐａｒａｍｅｔｅｒ，ｉｔｉｓｄｉｆｉｃｕｌｔｔｏｍｅａｓｕｒｅｔｈｅｓｕｆａｒｃｅｈｅａｔｌｆｕｘａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．Ｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｒｆｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ
第３Ｏ卷第１２期
文章编号：１００６— ９３４８（２０１３）１２—００２５— ０５
计
算
机
仿
真
２０１３年１２月
基于边界元的功能梯度材料瞬态热传导仿真
张驰，张硕，校金友
（１．沈阳航空航天大学民用航空学院，辽宁沈阳１１０１３６；
参数，得到了拉普拉斯域的边界积分方程，采用伽辽金法插值求得其数值解。然后根据以上推导结果开发Ｃ语言程序包，
引入数值算例对其温度分布情况及热流密度情况进行仿真，并与解析解对比分析。结果表明采用边界元法的数值仿真解可
以很好地与解析解吻合，证明数值推导的正确性及程序调试的有效性，并且上述方法理论简单，可用于准确测量复合材料表

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三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导问题的自然单元法摘要：为了更有效地求解三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导问题，对无网格自然单元法应用于此类问题进行了研究，并发展了相应的计算方法。

基于几何形状和边界条件的轴对称性，三维的轴对称问题可降为二维平面问题。

为了简化本质边界条件的施加，轴对称面上的温度场采用自然邻近插值进行离散。

功能梯度材料特性的变化由高斯点的材料参数进行模拟。

时间域上，采用传统的两点差分法进行离散求解，进而得到瞬态温度场的响应。

数值算例结果表明，提出的方法是行之有效的，理论及方法不仅拓展了自然单元法的应用范围，而且对三维轴对称瞬态热传导分析具有普遍意义。

关键词：自然单元法；轴对称；功能梯度材料；瞬态热传导中图分类号：TP301.6文献标志码：A 文章编号：1674-4764（2016）02-0069-06 Abstract：In order to solve the transient heat conduction problems in three-dimensional （3D）axisymmetric continuously nonhomogeneous functionally graded materials （FGMs）more effectively，a novel numerical method basedon the meshless natural element method is proposed. Axial symmetry of geometry and boundary conditions helps to transform the 3D axisymmetric problem into a two-dimensional （2D）prolem. In order to simplify the imposition of the essential boundary conditions，the natural neighbour interpolation is adopted to discretize the temperature field within the cross section. The variations of functionally graded material properties are simulated by employing proper material parameters at Gauss points. The spatially discretized heat conduction equation is solved numerically with the traditional two-point difference technique in the time domain. The present method not only broadens the application scope of the natural element method，but also will be generally available to transient heat conduction analyses of 3D axisymmetric solids.Keywords：natural element method；axisymmetric；functionally graded materials；transient heat conduction 功能梯度材料是通过特定的材料制备工艺将不同性能的两种或两种以上材料按一定的设计规律组合起来的新型非均匀复合材料[1]。

功能梯度材料的最大特点是材料参数的连续性，完全避免了层合复合材料的材料参数在层层之间的间断面处不连续的问题，提高了材料强度和耐热性。

因此，功能梯度材料在航空、航天及核反应堆等高温环境中具有广泛的应用潜力，对功能梯度材料的热力学行为进行研究十分必要[2-5]。

然而，相对于二维平面问题，目前对于三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导问题的数值方法研究相对较少[6-8]。

自然单元法[9-10]是一种新兴的数值分析方法，因其独特的优势，得到了国内外许多学者的极大关注[11-15]。

这种方法基于离散节点的Voronoi图和Delaunay三角化几何结构，采用自然邻近插值构造全域近似函数和试函数。

自然邻近插值方案构造简单，不涉及到复杂的矩阵求逆运算，而且不需要任何人为参数，从而避免了无单元伽辽金法中由于不确定的影响半径造成的影响域计算的不确定性。

此外，自然单元法的形函数满足插值性质，可以准确地施加本质边界条件，无需其他无网格法类似的特殊处理过程。

自然单元法已经被成功地应用于很多领域，但目前尚未见到三维轴对称热传导分析的无网格自然单元法的研究成果。

为了进一步拓展自然单元法的应用范围，本文基于加权残值法详细推导了三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导分析的自然单元法理论公式，并给出了其详细的数值实现过程。

在此基础上，采用FORTRAN自编了相关的计算程序。

最后，通过典型算例的计算和对比分析，不仅验证了自然单元法应用于三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导分析的有效性和合理性，并且讨论了梯度参数的变化对计算结果的影响。

1 自然邻近插值5 结论作为介于有限元法与无网格法之间的一种数值方法，自然单元法的节点影响域是由节点的Voronoi结构所规定的自然相邻关系给出，不受人为参数的影响，具有其他无网格法不可比拟的优越性。

根据三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导方程及其边界条件，利用加权残值法，选取自然邻近插值对轴对称面上的温度场进行离散，首次详细推导了三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导问题的自然单元法计算公式，并编制了相应的FORTRAN计算程序。

本文分析和算例求解结果表明，采用自然单元法求解三维轴对称功能梯度材料瞬态热传导问题是可行的，具有精度高和稳定性好的优点。

本文方法还可以容易地推广到三维轴对称功能梯度材料热弹性问题的求解计算。

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