2-生统-概率及概率分布
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
概率与统计中的二项分布
概率与统计中的二项分布概率与统计是数学中的重要分支，涉及到随机事件的概率计算和统计数据的分析。
在这个领域中，二项分布是一种常见且重要的概率分布。
一、二项分布的定义及特点二项分布是离散型概率分布的一种，用于描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
伯努利试验指的是只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的正反面或者某产品合格与否等。
二项分布的特点如下：1. 每次试验的结果只有两个可能，记为成功（S）和失败（F）。
2. 每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
3. 每次试验独立重复进行，试验次数记为n。
4. 求得成功次数k的概率。
二、二项分布的概率计算对于二项分布而言，可以通过以下公式来计算成功次数k的概率：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功次数为k的概率，即二项分布的概率质量函数；C(n, k)表示从n次试验中取出k次成功的组合数；p^k表示k次成功的概率；(1-p)^(n-k)表示n-k次失败的概率。
三、二项分布的应用举例1. 投掷硬币的例子假设我们有一枚均匀硬币，投掷10次，成功定义为出现正面，失败定义为出现反面。
设定成功概率p为0.5，那么可以利用二项分布计算出在10次投掷中出现k次正面的概率。
2. 测试产品合格率的例子假设某产品的合格率为0.8，现从中抽取20个样本进行测试，成功定义为抽取的产品合格，失败定义为抽取的产品不合格。
可以利用二项分布计算出在20个样本中有k个合格产品的概率。
四、二项分布的性质二项分布具有以下重要性质：1. 期望与方差：二项分布的概率分布的期望值和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
其中，E(X)表示成功次数的平均值，Var(X)表示成功次数的方差。
2. 定理：当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），则二项分布可以近似为泊松分布或正态分布。
五、总结在概率与统计中，二项分布是一种常见的离散型概率分布，适用于描述在多次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率论与数理统计2-2
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
n k n k 记 q 1 p p (1 p) k
得 X 的分布律为 X 0 1 n n 1 n pk q pq 1
n k n k pq k
n k n k p q k 称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( n, p).
P{ X 0} 0.012 P{ X 1} 0.058
P{ X 4} 0.218 P{ X 5} 0.175 P{ X 6} 0.109 P{ X 8} 0.022 P{ X 9} 0.007
P{ X 10} 0.002
P{ X 2} 0.137
1000 1000 0.0001 0.1, 可利用泊松定理计算 0.0001 0.9999999 1 0.9999 1
1000
e0.1 0.1 e0.1 0.0047. P { X 2} 1 0! 1!
合理配备维修工人问题 例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
泊松资料
P{ X k }
k e
, k 0,1,2,,
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示
泊松分布的背景及应用
二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
概率分布公式深入了解不同概率分布的公式
概率分布公式深入了解不同概率分布的公式概率分布函数被广泛应用于统计学和概率论中，用于描述随机变量的取值概率。
不同的概率分布具有不同的特点和应用场景。
本文将深入探讨几种常见的概率分布，并介绍它们的公式。
一、离散型概率分布的公式离散型概率分布用于描述取有限个值的随机变量的概率分布。
在离散型概率分布中，随机变量的可能取值是可数的。
1. 二项分布（Binomial Distribution）:二项分布是指在一系列相互独立的伯努利试验中，成功（事件发生）的次数的离散概率分布。
其表达式为：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验次数，k表示成功次数，p表示每次试验成功的概率，C(n, k)表示组合数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）:泊松分布用于描述在一段固定时间或空间上随机事件发生的次数的离散概率分布。
其表达式为：P(X = k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!其中，lambda表示事件发生的平均次数。
二、连续型概率分布的公式连续型概率分布用于描述取数轴上任意值的随机变量的概率分布。
在连续型概率分布中，随机变量的可能取值是无限的。
1. 正态分布（Normal Distribution）:正态分布是一种在统计学中特别常见且重要的连续型概率分布。
它的特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了其具体形状。
其概率密度函数为：f(x) = (1 / (sigma * sqrt(2pi))) * e^(-((x-mu)^2 / (2 * sigma^2)))其中，mu表示均值，sigma表示标准差。
2. 指数分布（Exponential Distribution）:指数分布用于描述随机事件发生的时间间隔的概率分布。
它的概率密度函数为：f(x) = lambda * e^(-lambda * x)其中，lambda表示事件发生的速率。
概率及概率密度分布函数
基本随机事件组内的事件具有互不相容性:
在单次实验中 ,若上述事件B发生了，也就是A1、 A2...、Am中的任何一个发生了，而A1、A2...、Am 中的任两个事件绝不可能在单次实验中同时发生， 我们称它们是互不相容的。基本随机事件组内的事 件都是互不相容的。
一般地，凡不可能在单次实验中同时发生的两个随 机事件，就是互不相容的随机事件。
一随机现象的所有基本随机事件构成一基本事件组.
掷骰子的基本事件组就由上述六个基本事件而组成。
复杂随机事件:某一随机事件B是由随机事件A1、 A2、... 、Am所构成，即:当且仅当这m个事件中有一 个发生时，事件B才发生。这样的随机事件B就属于复 杂随机事件了。
还以掷骰子为例，我们可以取“掷出的点数等于或大于5”为一 随机事件，记为B。显然，不论掷出的点数是5还是6，都算做 事件B发生了。我们称B事件是由“掷出的点数为5”这一基本 随机事件与另一“掷出的点数为6”的基本随机事件而构成的. 这时,随机事件B就属于复杂随机事件了.
概率及概率密度分布函数
（优选）概率及概率密度分布 函数
系统状态宏观量
统计方法
最 基 础 的 概 念
系统状态微观量
概率
§1.1 概率的基本概念
随机现象与随机事件 统计规律性 随机事件发生的可能性 概率的定义 概率的基本性质 概率的简单计算
1.1.1 随机现象与随机事件
确定性事件:可以被预言的事情.
再以我们在本课程中将特别关注的气体分子的速度为例， 一分子速度的X分量介于怎样的大小区间与它的Y分量介于 怎样的大小区间，Z分量又介于怎样的大小区间，是互相 独立的。
基本随机事件 A1
随 机
A2
基 本
……
概率论 第二章 随机变量与概率分布
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx
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例4.1.3. 在遗传育种学研究中，常常需要计划后代群体的 大小(n)，以便保证实验能够顺利完成并节省人力、物力、 财力。在某实验中，用棕色正常毛(bbRR)的家兔与黑色 短毛(BBrr)兔杂交，杂交F2代群体期望发生的分离比例为 黑色正常毛：黑色短毛：棕色正常毛：棕色短毛=9:3:3:1。 请问F2群体至少要多大才能使F2代至少出现一个棕色短毛 个体的概率在99%以上。
n 1
( Ai 1 Ai 2 ... Ain ) 1i1 i2 ...in n
P
n
4. 互斥事件
• 概念：若事件A与事件B不能同时发生，则称事件A与事件B 为互斥事件。此时： P(A+B) = P(A)+ P(B)，相当于A∪B=A+B。 P(A∙B) = 0，相当于A∩B=0。 • 可推广到n个事件的情况：若事件A1、A2、A3、…、An彼此 为互斥事件，则： P(A1+A2+A3+…+An) = ∑P(Ai)= P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+P(A n) P(A1 ∙A2∙A3∙…∙An) = 0
例4.1.2. 点播玉米时，一般每穴播3粒种子，待出苗后再 间苗。每穴留一较壮苗。如果这批种子发芽产生壮苗的 比例为0.6，求每穴有壮苗的概率和每穴有3棵壮苗的概率 • 解：设A、B、C分别为第1、2、3粒种子发芽形成壮苗的事 件，则每穴有壮苗的事件为A+B+C，每穴有3棵壮苗的事件 为ABC。由于这三个事件是彼此独立的，而且发生的概率 是相等的= P(A) + P(B) + P(C) - P(A∙B) - P(C∙B) - P(A∙C) + P(A∙B∙C) = 0.6+0.6+0.6 – 0.6×0.6 - 0.6×0.6 – 0.6×0.6+0.6×0.6×0.6 = 0.936 P(A∙B∙C) = P(A) P(B) P(C) = 0.6×0.6×0.6=0.216。 • 故每穴有壮苗事件的概率为0.936，每穴有3棵壮苗事件的概 率为0.216。 æ
• 解：在F2代棕色短毛出现（事件A）的概率为1/16，相应地棕色短毛不 出现（事件Ā）的概率为1-1/16=15/16。 • 设F2代群体大小为n，则这n个个体都不是棕色短毛的概率为： [p(Ā)]n。显然，当1-[p(Ā)]n >99%,即（15/16）n >99%,时，在大小为n的F2代 群体中至少出现一个棕色短毛个体的概率在99%以上。即： (15/16)n <0.01，n lg (15/16) = lg 0.01 = -2, n = 71.4≈72。 • 答：当F2代群体大小为72个个体以上时，F2中出现一个棕色短毛个体的 概率在99%以上。 æ
3. 独立事件：事件A与事件B彼此独立。则：
• P(A+B) = P(A)+ P(B)- P(A∙B)，相当于A∪B=A+B- A∩B。 • P(A∙B) = P(A) P(B), 相当于A∩B=A∙B • 例如：在某花盆中同时播种两粒种子，第1和第2种子的发芽 事件一般是彼此独立的，互不影响。 • 如果事件A、B、C彼此独立，则： P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∙B) - P(C∙B) - P(A∙C) + P(A∙B∙C)， • 相当于A∪B∪C=A+B+C- A∩B- A∩C- C∩B+A∩B∩C。 P(A∙B) = P(A) P(B)，P(A∙C) = P(A) P(C)，P(C∙B) = P(C) P(B)， P(A∙B∙C) = P(A) P(B) P(C)。
从表中可以看出：虽然每次调查，其受害率有一定波动，但是 随着调查株数n的增加，受害率接近于一个定值, p=m/n=0.35， 这个定值表示了目前情况下，此小麦田中植株受害(随机事件) 发生的可能程度。 æ
一、概率的定义：
• 定义：在相似条件下重复进行同一类试验或调查， 事件A发生的频率(m/n)（即事件A发生的次数m与 总试验次数n的比值），随着总试验次数的增加， 越来越稳定地接近于一个定值p，则这个定值p就被 称为事件A发生的概率，记作P(A) = p。 • 显然，要准确计算出概率p，必须使重复试验的次 数n趋向于无穷大，或使样本容量n倾向于总体容量 N，使调查试验覆盖总体中的所有个体。 • 因此，在一般情况下，该概率p是不可能准确获得 的。
习题2-1
• 1. 设A、B、C表示三个随机事件，试将下列事件用 A、B、C表示出来：(1) 仅A发生；(2)A、B、C都 发生；(3)A、B、C都不发生； (4)A不发生、而且B、 C中至少有一事件发生；(5) A、B、C中至少有一 事件发生；(6)A、B、C中只有一事件发生；(7) A、 B、C中至少有两个事件发生；(8)A、B、C中最多 有一事件发生； • 2、设人类某疾病的发生率为千分之一。在进行全 国城市人口抽查中，需选择一定的群体大小做为样 方，以便使每一个样方至少出现一个患该种疾病的 个体的概率在95%以上。请问样方至少应为多大？
第二章 概率及概率分布
第一节 概率(Probability)
• 在科研和生产实践中，常常见到以下三类事件： • (1)必然事件：是指在同一组条件下必然要发生的事 件。如水在标准大气压下加热到100℃必然要化作 蒸汽； • (2)不可能事件：是指在同一组条件下必然不可能发 生的事件。如水在标准大气压下气温低于0℃时， 不可能是汽态； • (3)随机事件或偶然事件：是指在同一组条件下可能 发生、也可能不发生的事件。 æ
特定随机事件的发生率是一定的
• 随机事件在生产实践中广泛存在。如小麦种子播种 后可能发芽、也可能不发芽，大田中随机抽取一个 植株，它可能被蚜虫危害、也可能未被蚜虫危害等 等。 • 但是这些随机事件的发生是不是毫无规律呢？不是 的，它们是遵循一定规律的。如果进行大量重复观 测、调查或试验，就可以得出它们在相同条件下发 生的可能程度。 æ
例如：调查容量为1000株的某小麦田小麦植株被 蚜虫危害的情况。在6次调查试验中，其样本容量 分别为10株、50株、100株、200株、500株和1000 株，统计每次调查所得植株受害率，即受害株数 m与调查总株数n的比率(m/n)。结果见表2.1.1：
调查次数： 1 2 3 4 5 6 调查株数(n) 10 50 100 200 500 1000 被危害株数(m) 4 15 33 72 177 351 受害率(m/n) 0.40 0.30 0.33 0.36 0.35 0.35
若事件A1、A2、A3、…、An彼此独立，则：
• P(A1 ∙A2∙A3∙…∙An) = P(A1) P(A2) P(A3) … P(An)
P( A1 A2 ... An ) P( Ai )
i 1 n ( Ai A j ) 1i1 i2 n
P
n
... (1)
三、概率计算法则
• 假定事件用大写字母A、B、C、…，或用A1 、A2 、A3 、… 等来表示，则： • 1. 和事件：事件A与事件B至少有一个事件要发生，这一新 事件被称为事件A与事件B的和事件，用A+B来表示，其概 率为P(A+B) 。该和事件相当于事件A与事件B的并集，即： A∪B。 • 例如，在某花盆中同时播种两粒种子，第1和第2种子中至少 有1粒种子要发芽的事件就是和事件。 • 可推广到n个事件的情况：若事件A1、A2、A3、…、An中至 少有一个事件要发生，这一新事件被称为这n个事件的和事 件，用A1+A2+A3+…+An 来表示，其概率为P(A1+A2+A3+…+An) 。 该和事件相当于事件A1 、A2 、A3 、…、An 的并集，即： A1∪A2∪A3∪…∪An。 æ
二、统计概率的概念
• 概念：在n充分大时事件A发生的频率作为该 事件概率p的近似值，即P(A) = p ≈ (m/n)，这 种通过抽样试验和统计分析得到的概率，就 称为统计概率。 • 例如，绵阳11号小麦种子在播种前相同条件 下进行发芽试验，每1000粒种子中有901粒发 芽，则该品种这批种子的发芽概率(发芽率) 为90.1%。 æ
• 例如：从全校学生中选出一个同学当校学生会主席，因为如 果某同学当了校学生会主席，其他同学就不能当校学生会主 席，因此各同学当选校学生会主席的事件是彼此互斥的，不 存在同时当选的事件。 æ
5、对立事件
• 概念：如果事件A+B为必然事件，而且事件 A∙B为不可能事件，则称事件A和B为对立事 件。相当于A和Ā的关系。此时： P(A+B) = P(A)+ P(B) =1，P(A) = 1- P(B) P(A∙B) = 0. • 例如：种子播种后的发芽事件和不发芽事件 是对立的,但是这两个事件中总要发生一个， 因此它们构成必然事件。 æ
2. 积事件
• 事件A与事件B同时发生，这一新事件被称为事件A 与事件B的积事件，用A∙B来表示，其概率为P(A∙B) 。 该积事件相当于事件A与事件B的交集，即：A∩B。 • 例如，在某花盆中同时播种两粒种子，第1和第2种 子同时发芽的事件就是积事件。 • 可推广到n个事件的情况：若事件A1、A2、A3、…、 An同时发生，这一新事件被称为这n个事件的积事 件 ， 用 A1∙A2∙A3∙…∙An 来 表 示 ， 其 概 率 为 P(A1∙A2∙A3∙…∙An) 。 该 积 事 件 相 当 于 事 件 A1 、 A2 、 A3、…、An的交集，即：A1∩A2∩A3∩…∩An。 æ
统计概率有重要意义,常常是生产上决策的 基本依据
• 大田植物发病率和虫害率是植物保护的重要依据。 通常当危害率达5%以上时，就要进行病虫防治。 • 种子发芽率是确定播种量的基本依据。 • 工厂生产上，常常要统计废品率，一般废品率>1% 时就需要加强管理和进行技改，以提高产品的质量。 • 显然，事件的概率是介于0和1之间的数值，即 0≤P(A)≤1。当概率为0时，事件为不可能事件；当概 率为1时，事件为必然事件；当概率为0到1之间时， 事件为随机事件。 æ