正态分布的概率计算知识讲解
正态分布的概率计算
解
(5)P(X<-1.12)
( 1 . 12 ) 1 ( 1 . 12 ) 1 0 . 8686 0 . 1314
0 . 8051 1 0 . 7643 0 . 5694 (6)P(-0.72X0.86)
复 习
新 授
例题分析 课内练习
( 0 . 86 ) ( 0 . 72 ) ( 0 . 86 ) [ 1 ( 0 . 72 )]
②对一般正态分布情况，只要作一个适当的换算就能解决问题.
复
习
新
授
例题分析
课内练习
二、新授
1、标准正态分布情况的概率计算 （1）正态分布函数 已知随机变量XN(0,1)， 随机变量X不超过x的概率是x的一个函数，记作：
(x)=P(Xx)
(x)叫做正态分布函数．
p
(x)表示以x为右边界、密
度曲线为上边界、
正态分布的概率计算
一、复习
连续型随机变量X在(x1,x2)内取值的概率P(x1<X<x2)，等于以 [x1,x2]和曲线p=(x)为腰、x=x1,x=x2为两底的曲边梯形的面积。 p
P(x1<X< x2) x1 O
x x2
如何计算曲边梯形的面积？
①在标准正态分布情况下，有人已经事先计算好了，我们可以通过查表得到；
x轴为下边界所界图形的“面积
(x )
O x 课内练习 x
”
复 习
新 授
例题分析
二、新授
（2） 正态分布函数及其所表示的概率的性质：
①1-(x)=P(X>x) =P(Xx )
·
PX ( x ) 0
p
正态分布的概率计算
正态分布的概率计算正态分布是统计学中最常用的分布之一，也被称为高斯分布。
在自然界和社会科学中，许多现象都服从于正态分布。
例如，身高、体重、智力、成绩等等。
正态分布具有许多优良的性质，使得其在实际应用中得到广泛的应用。
本文将介绍正态分布的概念、性质、参数估计、假设检验以及在实际问题中的应用。
正态分布的概念正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数为：$$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} $$其中，$mu$ 是分布的均值，$sigma$ 是分布的标准差，$pi$ 是圆周率。
正态分布的图像呈钟形曲线，以均值为对称轴，标准差越小，曲线越尖锐。
正态分布的性质1. 正态分布的均值和标准差唯一确定了整个分布。
2. 正态分布的概率密度函数在均值处取得最大值，即$f(mu)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}$。
3. 正态分布的标准差越大，分布的形状越平坦，标准差越小，分布的形状越尖锐。
4. 正态分布的面积为1，即 $int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=1$。
5. 正态分布的累积分布函数可以用标准正态分布的累积分布函数来表示，即 $F(x)=Phi(frac{x-mu}{sigma})$，其中，$Phi(z)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。
正态分布的参数估计在实际应用中，我们常常需要根据样本数据来估计正态分布的参数，即均值和标准差。
下面介绍两种参数估计方法。
1. 极大似然估计假设我们有 $n$ 个来自正态分布 $N(mu,sigma^2)$ 的独立观测值 $x_1,x_2,cdots,x_n$。
它们的联合概率密度函数为：$$L(mu,sigma^2)=prod_{i=1}^{n}frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-fr ac{(x_i-mu)^2}{2sigma^2}}$$对 $L(mu,sigma^2)$ 取对数，得到对数似然函数：$$lnL(mu,sigma^2)=-frac{n}{2}ln(2pi)-nlnsigma-sum_{i=1}^{n}frac {(x_i-mu)^2}{2sigma^2}$$极大似然估计就是找到可以最大化对数似然函数的参数值。
正态分布的概率计算
解 (5)P(X<-1.12)
(1.12) 1 (1.12) 1 0.8686 0.1314
0.80511 0.7643 0.5694 (6)P(-0.72X0.86)
(0.86) (0.72) (0.86) [1 (0.72)]
复习
新授
例题分析
课内练习
p
(-x)
1-(x)
x -x O x
复习
新授
例题分析
课内练习
二、新授
③ P(x1<X<x2)= P(x1Xx2)=(x2)-(x1)
p
(x1)
(x2)
x x1 O x2
注：(x)的值可查标准正态分布数值表得到
复习
新授
例题分析
课内练习
三、例题分析
例1 设随机变量XN(0,1)，求下列概率：
(1)P(X<0)；
查正态分布数值表,(2.45)=0.9929, (1.80)=0.9641，
所以 P(-1.80<X<2.45)=0.9929-[1-0.9641]=0.9570．
复习
新授
例题分析
课内练习
四 课内练习
1. 设随机变量XN(0,1)，求下列概率： (1)P(X<0.39)； (2)P(X1.35)； (3)P(X2.93)； (4)P(X>-0.55)； (5)P(X<-1.12)； (6)P(-0.72X0.86)
例1 设随机变量XN(0,1)，求下列概率：
(1)P(X<0)；
(2)P(X2.77)；
(3)P(X>1)；
(4)P(-1.80<X<2.45)．
解 (3)因为P(X>1)=1-P(X1)=1-(1)
正态分布的概率计算解读
正态分布的概率计算解读正态分布是一种重要的概率分布，在统计学和概率论中广泛应用。
它的数学表达式为：f(f;f,f)=1/(√(2f)f)e^(-(f−f)²/(2f²))其中，f(f;f,f)表示随机变量f的概率密度函数，f是分布的均值，f是标准差。
正态分布的特点是呈钟形曲线，以均值为对称中心。
标准差决定了曲线的宽度，标准差越大，曲线越宽。
在正态分布中，我们经常需要计算特定范围内的概率。
以下是对正态分布的概率计算进行解读：1.标准正态分布的概率计算：标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
对于标准正态分布，我们可以将需要计算的区域转化为标准单位（即标准差的倍数），利用标准正态分布的概率表或计算函数得到。
2.计算特定区域的概率：正态分布曲线下的面积表示了该范围内的概率。
我们可以通过积分或查表的方式来计算特定范围内的概率。
例如，给定一个正态分布f(f,f²)，我们希望计算f在一些范围[a,b]内的概率f(f≤f≤f)。
我们可以计算出标准化的区间，即(a−f)/f和(b−f)/f，然后利用标准正态分布的概率表或计算函数来计算区间的概率。
3.计算单点的概率：正态分布是连续分布，因此单个点的概率接近于0。
但我们可以通过计算在一些点附近的一个小范围内的概率来近似计算单个点的概率。
例如，要计算f在一些特定值f附近的概率，我们可以计算出一个范围[f−f,f+f]的概率，其中f是一个较小的数值（如0.01），然后通过累积正态分布的概率值来计算该范围内的概率。
4.利用正态分布进行推断：正态分布在统计推断中起到重要的作用。
例如，我们可以根据样本数据建立样本均值的置信区间，由于样本均值服从正态分布，我们可以利用正态分布的性质计算出样本均值落在一些特定范围内的概率。
此外，我们还可以利用正态分布来进行假设检验，比如判断一个总体均值是否为一些特定值。
总而言之，正态分布的概率计算对于理解和应用统计学和概率论都是至关重要的。
统计学计算公式正态分布
统计学计算公式正态分布正态分布是统计学中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它是一个连续型的概率分布，其图形呈钟形，中间高，两边低，呈对称分布。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，例如身高、体重、考试成绩等等都服从正态分布。
在统计学中，我们经常需要计算正态分布的概率密度、累积分布函数等等，因此掌握正态分布的计算公式是非常重要的。
正态分布的概率密度函数。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：\[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，\(f(x)\)表示随机变量\(X\)取值为\(x\)时的概率密度，\(\mu\)表示分布的均值，\(\sigma\)表示分布的标准差，\(e\)为自然对数的底。
这个公式描述了正态分布的钟形曲线，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽窄程度。
当标准差较大时，曲线较为扁平；当标准差较小时，曲线较为陡峭。
正态分布的累积分布函数。
正态分布的累积分布函数可以用以下公式表示：\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \frac{1}{2} [1 + \text{erf}(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}})]\]其中，\(F(x)\)表示随机变量\(X\)小于等于\(x\)的累积概率，\(\text{erf}\)表示误差函数。
这个公式描述了正态分布的累积概率，可以用来计算随机变量小于等于某个值的概率。
在实际应用中，我们经常需要计算某个数值落在某个区间内的概率，这时就可以利用累积分布函数进行计算。
正态分布的标准化。
在实际计算中，为了方便处理，我们通常将正态分布标准化为标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布，其概率密度函数为：\[f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}\]其中，\(z\)表示标准正态分布的随机变量。
正态分布概率的计算
正态分布概率的计算正态分布是统计学中常用的一种连续概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布在自然界和社会科学研究中广泛应用，因为许多观察现象都服从正态分布。
正态分布的定义正态分布的概率密度函数为：f(x)=(1/σ√(2π))*e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ是分布的均值，σ是分布的标准差，e是自然对数的底。
正态分布的均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的扁平程度和分散程度。
在正态分布中，我们可以计算给定区间内的概率，或者给定概率下的区间范围。
1.计算给定区间内的概率对于给定的区间[a,b]，我们可以通过积分正态分布函数f(x)来计算该区间内的概率。
P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b] f(x)dx其中，X是正态分布随机变量。
在实际应用中，积分正态分布函数通常通过查表或使用计算机软件进行计算。
2.计算给定概率下的区间范围对于给定的概率值p，我们可以计算正态分布随机变量X落在区间[a,b]内的概率为p的区间范围。
P(a≤X≤b)=p我们可以转化为标准正态分布（均值为0，标准差为1）来计算，然后再进行反演。
即X=μ+σZ，其中Z是标准正态分布随机变量。
将X代入得：P((a-μ)/σ≤Z≤(b-μ)/σ)=p我们可以通过标准正态分布的分布函数Φ(z)来计算该区间的Z值。
P((a-μ)/σ≤Z≤(b-μ)/σ)=Φ((b-μ)/σ)-Φ((a-μ)/σ)=p在实际应用中，一般会提供标准正态分布的累积分布函数的查表或计算机软件来计算。
正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，使其成为统计学中不可或缺的分布：1.正态分布是关于均值对称的，即均值左右的部分概率相等。
2.68%的观测值位于均值加减一个标准差范围内，95%的观测值位于均值加减两个标准差范围内，99.7%的观测值位于均值加减三个标准差范围内。
3.正态分布的均值和标准差完全决定了分布的形状。
4.正态分布可以通过中心极限定理来近似很多其他分布。
正态分布概率分布函数
正态分布概率分布函数正态分布概率分布函数是统计学中非常重要的一种概率分布函数，也被称为高斯分布。
它描述了大量具有连续变量的现象的分布情况，如身高、体重、 IQ 等。
正态分布的概率密度函数是钟形曲线，两侧呈对称关系，因此也被称为“钟形曲线分布”。
正态分布是一个连续的概率分布，它的概率密度函数为：$$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是分布的标准差。
这个函数的图像与 $\mu$ 和$\sigma$ 的值有关，如果 $\mu$ 值增大，曲线向右移动；如果 $\sigma$ 值增大，曲线变得更平缓，同时顶点也变得更加圆。
正态分布的概率密度函数可以解释为：一个连续型的变量以 $\mu$ 为中心，以$\sigma$ 为半径的范围内的数值出现的概率。
对于身高这个变量，我们可以用 $\mu$ 来表示平均身高，$\sigma$ 表示身高的标准差。
在这种情况下，正态分布的概率密度函数描述了一个人身高在某个区间内的可能性大小。
正态分布的概率密度函数在很多情况下都有着重要的应用。
在实际应用中，我们经常需要计算区间内的概率，也就是计算正态分布函数在特定区间内的面积。
这个过程需要通过积分来实现，但是由于正态分布曲线的对称性，我们可以利用一些规律来求解。
我们可以使用正态分布表来找到某个区间的概率，这些表通常被列成两个部分，第一部分列出了 Z 分数（标准正态分布对应的值），第二部分列出了面积。
如果要计算 $Z \leq 0.5$ 的概率，我们可以查表得到 $0.6915$。
如果我们要计算 $Z > 0.5$ 的概率，可以是用对称性 $P(Z > 0.5) = P(Z < -0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$。
在实际应用过程中，有时候我们需要计算两个正态分布之间的概率，这个情况下又需要使用一些特定的公式来计算。
正态分布的概率计算
正态分布的概率计算1. 引言正态分布是一种经典的概率分布，其广泛应用于各个领域中。
在统计学和数据分析中，正态分布是最常见的分布之一，因为它可以用来描述很多自然现象的数据分布，比如身高、体重、智力等等。
在本文中，我们将了解到什么是正态分布，以及如何计算正态分布的概率。
2. 正态分布正态分布又称高斯分布，它是一种连续概率分布，最早由德国数学家高斯提出。
在数学上，正态分布的概率密度函数（probability density function）为：$P(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$其中，$\mu$ 表示分布的均值，$\sigma$ 表示分布的标准差。
正态分布具有两个重要的特点：（1）对称性：正态分布的概率密度函数是对称的，左半部分和右半部分呈镜像关系。
（2）集中性：正态分布的概率密度函数在均值处达到最大值，随着 $x$ 距离均值的增加，概率密度值逐渐减小。
3. 正态分布的概率计算3.1 标准正态分布标准正态分布是一种特殊的正态分布，它的均值为0，标准差为1。
标准正态分布的概率密度函数为：$\phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\dfrac{x^2}{2}\right)$标准正态分布的累积分布函数（cumulative distribution function）可以用积分的形式来表示：$\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \phi(z)\mathrm{d}z$由于标准正态分布的均值和标准差已经确定，因此我们可以通过查表的方式来计算正态分布的概率。
在统计学和数据分析中，通常使用标准正态分布表（Standard Normal Table）来计算正态分布的概率。
表格中的数字表示对应的概率值，例如，当$z=0.67$ 时，对应的概率为 $P(Z<0.67)=0.7486$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若
2015
P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则 c B等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数 图象关于 x＝2 对称，于是c＋1＋2 c－1＝2， ∴c＝2.
4．已知随机变量 ξ 服从2015正态分布 N(2，σ2)， P(ξ≤4)＝0.84，则 P(ξ≤0)等于( A ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
解 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ) ＝0.682 6.
(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1) ∴P(3<X≤5)＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(2101－5 2<X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， ∴P(X≥5)＝12[1－P(－3<X≤5)] ＝12[1－P(1－4<X≤1＋4)] ＝12[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8.
探究提高 求服从正态201分5 布的随机变量在某个区 间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所 求问题转化为已知概率的三个区间上．
2015
越小
σ
，曲线越“瘦高”，表示总体的分
布越集中；σ 越大 ，曲线越“矮胖”，表
示总体的分布越分散，如图乙所示．
2. 正态分布 (1)正态分布的定义及表2015 示
如果对于任何实数 a，b (a<b)，随机变量 X 满
足 P(a<X≤b)＝ʃbaφμ，σ(x)dx，则称 X 的分布为
正态分布，记作 N(u，σ2)
2015
正态分布的概率计算
§12.7 正态分布
基础知识 自2015 主学习
要点Байду номын сангаас理
1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数 φμ，σ(x)＝
1 2πσe
- x u 2
2 2
，
x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ
(σ>0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的 图象(如图)为正态分布密度曲线，
简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质： 2015 ①曲线位于 x 轴 上方 ，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝ μ 对称； ③曲线在 x＝ μ 处达到峰值 1 ；
σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1 ； ⑤当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x
轴平移，如图甲所示；
⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，
变式训练 2 (2010·山东)已知随机变量 ξ 服从正态分
2015
布 N(0，σ2)，若 P(ξ>2)＝0.023，则 P(－2≤ξ≤2) 等于( C ) A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
解析 由 ξ～N(0，σ2)，且 P(ξ>2)＝0.023，知 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.
.
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826
；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544
；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974
.
题型 服从正态分布的概率计算 例 1 设 X～N(1,22)，20试15 求
(1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)．
解析 由正态分布的特征得 P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.