Variance Analysis
multivariate variance analysis,交互效应
multivariatevarianceanalysis,交互效应一、引言Multivariatevarianceanalysis是统计学中用于分析多个变量方差的一种方法，主要用于研究多个变量之间的相关性。
交互效应是影响变量之间关系的重要因素，因此，理解交互效应对于理解和解释多元数据非常重要。
二、多元方差分析1.适用范围：多元方差分析是一种适合处理和分析多个变量之间关系的统计方法。
2.分析步骤：首先，对数据进行预处理；其次，进行多元方差分析，观察各变量之间的交互效应；最后，根据分析结果进行解释和推断。
3.分析结果：分析结果通常包括方差分析表和交互效应图。
方差分析表用于描述各组之间的差异，交互效应图则可以直观地展示变量之间的交互关系。
三、交互效应1.定义：交互效应是指两个或多个变量之间相互作用对结果的影响。
2.类型：根据变量之间的关系，交互效应可以分为正交互和负交互两种类型。
正交互是指两个变量之间的增加引起结果增加的效应；负交互则是指两个变量之间的增加引起结果减少的效应。
3.影响因素：影响交互效应的因素包括但不限于变量的数量、变量的关系、样本大小等。
4.识别方法：可以通过观察交互效应图、计算交互系数等方法来识别交互效应。
四、应用场景1.医学研究：在医学研究中，可以通过多元方差分析来研究不同治疗方案对疾病的影响，以及治疗方案和个体特征之间的交互效应。
2.市场研究：在市场研究中，可以通过多元方差分析来研究产品特性、消费者特征和购买行为之间的交互效应，以更好地理解市场和制定营销策略。
3.社会科学：在社会科学领域，多元方差分析可以用于研究社会现象之间的相互作用，以及社会环境对个体行为的影响。
五、结论通过理解和分析多元数据中的交互效应，我们可以更准确地认识和理解多个变量之间的关系，为决策提供更有说服力的依据。
在进行多元数据分析时，熟练掌握和使用多元方差分析等统计方法，将有助于提高研究的准确性和可靠性。
六、参考文献（此处列出参考文献）。
【精品】方差分析(Analysis of variance)PPT课件-文档资料
因素效应 试验误差
相差不大，说明试验处理对指标影 响不大。
相差较大，即因素效应比试验误差 大得多，说明试验处理影响是很大 的，不可忽视。
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
第一节 方差分析的基本问题
一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
εij －随机误差
（3.1）
要求εij 是相互独立的，且服从正态分布
N(0,σ2 )
29
令n
a i 1
ni，总平均：
1 n
a i 1
nii ,
第i个水平的影响： i i
3.1可以改写成
yiijj
~
N
i ij，( j 1,2,...,ni (0, 2),且相互独立
方差分析的直观思想
1.如果 1, 2 , 3之间没有差异，则三个样本 之间的差异（以组间方差衡量）由抽样 误差带来，实质上由各组内个体之间的 差异造成，组内个体之间的差异的大小， 以组内方差来衡量。这时，组间方差ＭＳ间 与组内方差ＭＳ内相近。
方差分析的直观思想
２．如果 1, 2 , 3有差异，则组间差异不仅有 个体差异的影响还要受到总体差异的影
为纪念Fisher，以F命名，故方差 分析又称 F 检验 （F-test）
方差分析的 基本功能
方差分析简介
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
Analysis of Variance (ANOVA)
SSError where g level level level
j1 SSTotal
n xi x
g
2
=
xij xi
j1 iSS 1 Treatment
g n
2
+
= n Xij
number of treatments levels subgroups = number of readings per treatment = = = jth element reading at ith treatment grand mean thБайду номын сангаас sampling mean of ith treatment = = = Total sum of squares Treatment sum of squares Error sum of squares
Media performance was measured for four material types. Based on these media performance results, is the media performance the same for all four materials?
Between
Y
Variation Between
Y2
F=
30
20 Sample 1 Sample 2
ANOVA
Variation Within
Sample 3
Page 7
Is the mean response at different levels of the factor the same? In other words, is there a significant “effect” on the mean response, Y, when you change the factor‟s level, X?
F检验1
3.3
4.4
3.6
3.6
4.4
4.4
4.3
3.4
5.1
4.1
4.2
5.0
4.2
4.7
5.5
3.3
4.2
4.7
每次不犯第一类错误的概率为 （1-0.05）=0.95，
当这些检验独立进行时，则每次比较均 不犯错误的概率为0.95３=0.8574，相应犯第 一类错误的概率为1-0.8574=0.1426，远大 于设定的0.05，并且随着比较次数的增大， 犯第一类错误的总概率将不断增大并趋向于 1。
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称均方(mean square，MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为:
363.51
322.98
355.99
309.60
288.76
219.72
338.83
386.67
143.17
表3 大鼠肾组织液中NO水平（ca/μmol·L-1）
正常对照组 肾缺血60min组 肾缺血60min再灌流组 合计
437.98
322.75
284.04
…..
…..
……
338.83
386.67
1.4 f( F)
1.2
F 分布曲线
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2F
3
4
1.4 f( F)
1.2
1.0
variance analysis公式
variance analysis公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：方差分析（variance analysis）是一种常用的统计方法，用于比较和分析数据集中的变异情况。
通过计算方差，我们可以了解不同组别或因素之间的差异程度，从而帮助我们进一步探索数据背后的规律和趋势。
方差分析通常用于研究实验设计中不同处理组之间的差异，以及分析市场调查、商业报告等领域中的数据变化。
方差分析的基本公式为：\[SS_{total} = SS_{between} + SS_{within}\]\(F\)代表F统计量，\(MS_{between}\)代表组间均方，\(MS_{within}\)代表组内均方。
方差分析的步骤如下：1. 计算总平方和：首先计算所有数据点与整体平均值的离差的平方和，得到总平方和\(SS_{total}\)。
4. 计算F统计量：通过总平方和、组间平方和和组内平方和的比较，计算F统计量，用于判断不同组别之间的差异是否显著。
在进行方差分析时，通常需要进行假设检验，以确定数据之间的差异是否具有统计学意义。
常见的假设包括：- 零假设（\(H_0\)）：不同组别或因素之间没有显著差异，即各组别或因素的均值相等。
- 备择假设（\(H_1\)）：不同组别或因素之间存在显著差异，即至少有一个组别或因素的均值与其他组别或因素不同。
在方差分析中，我们利用F统计量进行假设检验，当F值大到足以拒绝零假设时，我们可以认为不同组别或因素之间的差异具有统计学意义。
除了用于比较不同组别或因素之间的差异，方差分析也可以用于研究单个组别或因素内部的数据变化。
通过计算组内平方和，我们可以了解同一组别或因素内部不同数据点之间的差异情况，从而更深入地分析数据的特征和规律。
第二篇示例：方差分析是一种用于比较实际结果与预期结果之间差异的统计方法。
在商业和财务领域，方差分析通常被用来评估实际成本与预算成本之间的差异。
这种分析可以帮助企业了解其业绩表现是否符合预期，以及对差异做出有效的管理决策。
Mean Variance Analysis(方差分析)
n
= wi E (ri )
i =1
Karl B. Diether (Fisher College of Business)
Mean Variance Analysis
8 / 36
Many Risky Assets: Variance
The variance
σr2p = w12σ2(r1) + w22σ2(r2) + · · · + wn2σ2(rn) + 2w1w2 cov(r1, r2) + 2w1w3 cov(r1, r3) + · · · + 2w1wn cov(r1, rn)
+ 2w2w3 cov(r2, r3) + 2w2w4 cov(r2, r4) + · · · + 2w2wn cov(r2, rn)
and the standard deviation of the portfolio is
σ(rp) = σ2(rp).
Karl B. Diether (Fisher College of Business)
Mean Variance Analysis
3 / 36
A Portfolio of Three Risky Assets
Karl B. Diether (Fisher College of Business)
The Power of One
Mean Variance Analysis
11 / 36
How does an asset affect a portfolio’s variance?
变异数分析
F,05,2,12 = 3.89 F＞F crit, 所以在5%水準下，顯著，拒絕接受Ho 表示三個階層年齡的人對於筆記型電腦的喜好有顯著的不同，這時候，尚需要進一 步地檢定，平均數中的u，有幾個相等，有幾個不同或則是將排列大小，例如：本例 題中，對於筆記型電腦的喜好程度是 30 ~ 39歲 ＞20 ~ 29歲＞40 ~ 49歲
比較t值和t crit標準值 當t值＞t crit值時，會拒絕 Null hypothesis (u1 = u2)， 也就是u1 ≠ u2，兩群有顯著差異，接著，我們就可以 檢定平均數的大小或高低，來解釋管理上意義 當t值＜tcrit值時，不會拒絕 (有些研究者視為接受) Null hypothesis，也就是 u1= u2，兩群蕪顯者差異，我們就 可以解釋管理上的意義。
檢定2個獨立樣本的平均數是否有差異(達顯著水準)得 考慮從2個母體隨機抽樣本後，其平均數u和變異數σ的各 種情形，分別有平均數u相同而變異數平方相同或不同時 的情形，平均數u不同而變異數平方相同或不同的情形， 我們整理如下表：
在計算2個母體的平均數有無差異時，若是母體的變異數為已知， 則使用z檢定，一般很少用，在一般情形下，母體的變異數為未知的 情形下，我們都會使用獨立樣本的t檢定，若是樣本小，母體不是常 態分佈，則會使用無母數分析，我們整理t檢定於2個獨立母體平均 數的比較時，使用時機如下表：
大樣本 (n ≥ 30) 變異數σ已知 ---- 使用z檢定 變異數σ 未知 ---- 使用t檢定 小樣本 (n< 30) , 母體常態分配 變異數σ 已知 ---- 使用z檢定 變異數σ 未知 ---- 使用t檢定
小樣本 (n< 30) , 母體非常態分配 無論變異數已知或未知 – 使用無母數分析
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Agenda
• What is variance analysis? • Linear variance
– Ice Cream Co.
two components – Boston Video
• Key takeaways
What is Variance Analysis?
Variance analysis is used to understand and assess the drivers of change in measured variables.
• Variance analysis helps explain and understand what drives the
difference between two measures of the same variable (e.g., 1998 profit vs. 1995 profit)
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱample:
• 1990 total cost
per unit versus 1995 total cost per unit
Two Component
• Understanding
individual impact of two variable on a single measure
• 1998 revenue
increases driven by 1998 price increase and unit sales
More than Two Component
• Understanding
individual impact of more than two variables on a single measure
• Two component variance analysis
– Jesse’s Brewery
• Variance analysis with more than
two components – Boston Video
• Key takeaways
Linear Variance Example (Ice Cream C
Gives business insight as to what drives
revenue/cost/ profit
• Why does profit change? • What driver has the most
impact? • What explains differences in
Variance Analysis
Agenda
• What is variance analysis? • Linear variance
– Ice Cream Co.
• Two component variance analysis
– Jesse’s Brewery
• Variance analysis with more than
relative cost position?
Leads to 'actions'
• Used to determine product line profitability
• Identifies areas of focus for cost reduction
• Indicates impact of lowering price • Drives customer segmentation
Bain uses variance analysis to gain business insight and to identify the most effective and valuable action steps.
Why do we need to perform variance analysis?
• Variance analysis explains differences between measures by
breaking those measures into their base components (e.g., 1998 revenue and 1998 OPEX as components of 1998 profit) and quantifying the impact of each component
strategies
Definitions in Variance Analysis
Most situations fall into one of three categories of variance analysis.
Linear
Description:
• Simple
comparison of one component against another
per gallon over time and have seen it decline over five years by 25%
Question:
• What has driven costs downward? • What might Orit and Tom focus on to achieve better cost
• Bain frequently uses variance analysis to
– quantify and identify true profit drivers – help drive future analysis on the most leveraged issues
The Value of Variance Analysis
Situation:
• Orit and Tom’s Ice Cream Co. produce ice cream
which they sell in gallon-sized containers at supermarkets around the country
• They have tracked their cost to produce ice cream