2017年广州市二测答案(文科数学)

数学答案（文科）试题B 第 1 页共 17 页数学答案（文科）试题B 第 2 页共 17 页数学答案（文科）试题B 第 3 页共 17 页数学答案（文科）试题B 第 4 页共 17 页数学答案（文科）试题B 第 5 页 共 17 页绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）C （2）D （3）B （4）A （5）A （6）C （7）D （8）D（9）C（10）B（11）C（12）B二．填空题（13）3（14）122n + （15）23 （16）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-51, [)∞+，1三、解答题（17）（Ⅰ）解：因为a C b C b =+sin cos ， 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得， AC B C B sin sin sin cos sin =+．…………………………………………………………………………1分 因为π=++C B A ，所以)sin sin sin cos sin C B C B C B +=+（．…………………………………………………………2分 即C B C B C B C B sin cos cos sin sin sin cos sin +=+．……………………………………………3分 因为0sin ≠C ，所以B B cos sin =．………………………………………………………………………………………4分 因为0cos ≠B ，所以1tan =B ．因为()π0，∈B ，所以4π=B ．…………………………………………………………………………5分数学答案（文科）试题B 第 6 页 共 17 页（Ⅱ）解法1：设BC 边上的高线为AD ，则14AD a =．………………………………………………6分 因为4π=B ，则14B D A D a ==,34CD a =．…………………………………………………………8分所以AC ==，AB =．…………………………………………………10分 由余弦定理得A cos 2222AB AC BC AB AC +-=g = 所以cos A的值为5-12分 解法2：设BC 边上的高线为AD ，则14AD a =．…………………………………………………6分 因为4π=B ，则14B D A D a ==,34CD a =．…………………………………………………………8分所以AC ==，AB =．…………………………………………………10分 由正弦定理sin sin BC ACA B=，得sinsin sin a BC B A AC π===11分 在△ABC 中，由AB AC < ，得4π=<B C ，所以A 为钝角．所以55sin 1cos 2-=--=A A ． 所以cos A的值为12分 解法3：设BC 边上的高线为AD ，则14AD a =．…………………………………………………6分 因为4π=B ，则14BD AD a ==,34CD a =．…………………………………………………………8分设DAC θ∠=，则tan 3CDADθ==．…………………………………………………………………9分 所以tan tan 24A θπ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以A 为钝角．……………………………………………………10分数学答案（文科）试题B 第 7 页 共 17 页所以2211cos 1tan 5A A ==+，…………………………………………………………………………11分因为A为钝角．所以cos A =．…………………………………………………………………12分 （18）（Ⅰ）解：这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示．（Ⅱ）解：由题意可估计这50名学生的平均身高为15081602017016180616450x ⨯+⨯+⨯+⨯==．……………………………6分所以估计这50名学生身高的方差为2s ()()()()222281501642016016416170164618016450-+-+-+-=…………………………7分 80=．所以估计这50名学生身高的方差为80．………………………………………………………………8分 （Ⅲ）解法1：记身高在[]175,185的4名男生为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ．……………………9分从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }， {a ，b ，A }，{a ，b ，B }，{a ，c ，A }，{a ，c ，B }，{a ，d ，A }，{a ，d ，B }，{b ，c ，A }，{b ，c ，B }， {b ，d ，A }，{b ，d ，B }，{c ，d ，A }，{c ，d ，B }，{a ，A ，B }，{b ，A ，B }，{c ，A ，B }，{d ，A ，B }共20个基本事件．……………………………………………………………………………………………………10分其中至少抽到1名女生的情况有：{a ，b ，A }，{a ，b ，B }，{a ，c ，A }，{a ，c ，B }，{a ，d ，A }， {a ，d ，B }，{b ，c ，A }，{b ，c ，B }，{b ，d ，A }，{b ，d ，B }，{c ，d ，A }，{c ，d ，B }，{a ，A ，B }， {b ，A ，B }，{c ，A ，B }，{d ，A ，B }共16个基本事件．…………………………………………………11分所以至少抽到1名女生的概率为164=205．……………………………………………………………12分 ……………………………………4分数学答案（文科）试题B 第 8 页 共 17 页解法2：记身高在[]175,185的4名男生为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ．………………………9分 从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }， {a ，b ，A }，{a ，b ，B }，{a ，c ，A }，{a ，c ，B }，{a ，d ，A }，{a ，d ，B }，{b ，c ，A }，{b ，c ，B }， {b ，d ，A }，{b ，d ，B }，{c ，d ，A }，{c ，d ，B }，{a ，A ，B }，{b ，A ，B }，{c ，A ，B }，{d ，A ，B }共20个基本事件．……………………………………………………………………………………………………10分其中全部抽到男生的情况有：{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }共4个基本事件．…………………………………………………………11分所以至少抽到1名女生的概率为441205-=．…………………………………………………………12分（19）（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥．………………………………………………………………1分 因为⊥FD 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以FD AC ⊥．…………………………………………………………………………………………2分因为D FD BD = ，所以⊥AC 平面BDF ．…………………………………………………………3分 因为⊥EB 平面ABCD ，⊥FD 平面ABCD ，所以//EB FD ．所以B ，D ，F ，E 四点共面．………………………………………………………………………4分 因为⊂EF 平面BDFE ，所以AC EF ⊥．……………………………………………………………5分 （Ⅱ）解法1：设O BD AC = ，连接EO ，FO ， 由（Ⅰ）知，⊥AC 平面BDFE ，所以⊥AC 平面FEO ．…………………………………………6分因为平面FEO 将三棱锥FAC E -分为两个三棱锥FEO A -和FEO C -，所以FEO C FEO A FAC E V V V ---+=．…………………………………7分以下给出两种求△F O E 面积的方法：方法1：因为正方形ABCD 的边长为a ，a FD EB 22==， 所以a OD FD FO =+=22，a OB EB EO 21022=+=．……………………………………8分 OFEDCBG数学答案（文科）试题B 第 9 页 共 17 页取BE 的中点G ，连接DG ，则a BG DB DG FE 21022=+==．……………………………9分 所以等腰三角形FEO的面积为21324FEOS a ∆==．………………………10分 方法2：因为正方形ABCD 的边长为a ，a FD EB 22==，所以FOE FDO EBO FDBE S S S S ∆∆∆=--梯形…………………………………………………………………8分111222⎫=--⎪⎪⎭………………………9分 234a =．……………………………………………………………………………………10分 所以FEO C FEO A FACE V V V ---+=CO S AO S FEO FEO ⨯+⨯=∆∆3131 ……………………………………11分23113334FEO S AC a D =?创=． 所以三棱锥FAC E -的体积为342a ．………………………………………………………………12分 解法2：设O BD AC = ，连接EO ，FO ， 由（Ⅰ）知，⊥AC 平面BDFE ，所以⊥AC 平面FEO ．…………………………………………6分 过点E 作EH FO ⊥，垂足为H ， 因为EH ⊂平面FEO ，所以EH AC ⊥．则EH ⊥平面FAC ．……………………………………………7分 因为正方形ABCD 的边长为a ，a FD EB 22==，所以a OD FD FO =+=22，a OB EB EO 21022=+=．……………………………………8分 取BE 的中点G ，连接DG，则EF DG ==．…………………………9分 因为EO EF =，所以32EH a ==．……………………………………………10分H OFEDCBG数学答案（文科）试题B 第 10 页 共 17 页而2122FAC S AC FO ∆=⨯⨯=．……………………………………………………………………11分 所以E FAC V-2311333224FAC S EH a a ∆=⨯=⨯⨯=． 所以三棱锥FAC E -的体积为342a ．………………………………………………………………12分（20）（Ⅰ）解法1：设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =．…………………………………1分设(,)M x y1y =+．……………………………………………………………2分 化简得24x y =．所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =．…………………………………………………………………3分 解法2：设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =．……………………………………………1分 根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹为抛物线，焦点为()0,1F ，准线为1y =-．………………2分 所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =．…………………………………………………………………3分 （Ⅱ）解法1：设:1AB l y kx =+，……………………………………………………………………………4分 代入24x y =中，得2440x kx --=．…………………………………………………………………5分设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +=⋅=-．……………………………………………………………………………6分所以()21241AB x x k =-=+．……………………………………………………………7分因为2:4C x y =，即24x y =，所以2x y '=．…………………………………………………………8分所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222xk =．……………………………………………9分因为121214x x k k ==-，…………………………………………………………………………………10分 所以PA PB ⊥，即PAB ∆为直角三角形．数学答案（文科）试题B 第 11 页 共 17 页所以PAB ∆的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径．…………………………………11分因为()241AB k =+，所以当0=k 时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．…………12分 解法2：设:1AB l y kx =+，………………………………………………………………………………4分 代入24x y =中，得2440x kx --=．…………………………………………………………………5分设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +=⋅=-．……………………………………………………………………………6分所以()21241AB x x k =-=+．……………………………………………………………7分因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy '=．…………………………………………………………8分所以直线1l 的方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-． …………①同理，直线2l 的方程为22224x x y x =-．……………………………………② 联立①②解得1212,2.4x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()2,1P k -．…………………………………………………………9分因为()()11222,12,1PA PB x k y x k y ⋅=-+⋅-+()()142212122121++++++-=y y y y k x x k x x 0=，………………………………10分 所以PA PB ⊥，即PAB ∆为直角三角形．所以PAB ∆的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径．…………………………………11分因为()241AB k =+，所以当0=k 时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．…………12分 解法3：设:1AB l y kx =+，………………………………………………………………………………4分 代入24x y =中，得2440x kx --=．…………………………………………………………………5分数学答案（文科）试题B 第 12 页 共 17 页解得()2221A k k --，()2221B k k ++． ………6分所以()241AB k =+．……………………………………………………………………………………7分因为2:4C x y =，即24x y =，所以2x y '=． …………………………………………………………8分所以直线1l 的方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-． …………①同理，直线2l 的方程为22224x x y x =-．……………………………………② 联立①②解得1212,2.4x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()2,1P k -．…………………………………………………………9分因为AB 的中点M 的坐标为()12,22+k k ，所以AB 的中垂线方程为()()k x kk y 21122--=+-， 因为PA 的中垂线方程为()()()(12112222+--++=+--k k x k k k k k y ， 联立上述两个方程，解得其交点坐标为N ()12,22+k k ．因为点M ，N 的坐标相同，所以AB 的中点M 即为PAB ∆的外接圆的圆心．…………………10分 所以△PAB 是直角三角形，且PA PB ⊥．所以线段AB 是PAB ∆外接圆的直径．………………………………………………………………11分因为()241AB k =+，所以当0=k 时，线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．…………12分数学答案（文科）试题B 第 13 页 共 17 页（21）解：（Ⅰ）因为函数()21ln 2f x a x x =-，所以其定义域为()∞+，0．当0≤a 时，()0<'x f ，函数()f x 在区间()∞+，0上单调递减．……………………………………2分综上可知，当0≤a 时，函数()f x 的单调递减区间为()∞+，0；当0>a 时，函数()f x 的单调递增（Ⅱ）因为()()4g x fx =+数学答案（文科）试题B 第 14 页共 17 页数学答案（文科）试题B 第 15 页 共 17 页（22）（Ⅰ）解：曲线C 的普通方程为141222=+y x ．……………………………………………………1分将直线02=--y x 代入141222=+y x 中消去y 得，032=-x x ．…………………………………2分 解得0=x 或3=x ．………………………………………………………………………………………3分 所以点()2,0-A ，()1,3B ，………………………………………………………………………………4分 所以()()23210322=++-=AB ．………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法1：在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设过点P 且与直线l 平行的直线方程为b x y +=．……………………………………………………6分将b x y +=代入141222=+y x 整理得，()0436422=-++b bx x ． 令()()22644340b b ∆=-⨯⨯-=，解得4±=b ．…………………………………………………7分将4±=b 代入方程()0436422=-++b bx x ，解得3±=x ．易知当点P 的坐标为()1,3-时，△PAB 的面积最大．………………………………………………8分 且点P ()1,3-到直线l 的距离为231121322=+---=d ．……………………………………………9分△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219．…………………………………………………………10分 解法2：在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设曲线C 上点()θθsin 2,cos 32P ，其中[)π2,0∈θ，………………………………………………6分则点P 到直线l 的距离为22112sin 2cos 32+--=θθd 226πcos 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ．………………………8分 因为[)π2,0∈θ，则6π136π6π<+≤θ， 所以当π6π=+θ，即65π=θ时，23max =d ．………………………………………………………9分此时点P 的坐标为()1,3-，△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219．…………………………10分数学答案（文科）试题B 第 16 页 共 17 页（23）（Ⅰ）证明1：因为1=++c b a ，所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a ．所以要证明()()()316111222≥+++++c b a ， 即证明31222≥++c b a ．…………………………………………………………………………………1分 因为()()ca bc ab c b a c b a ++-++=++22222 ……………………………………………………2分 ()()22222c b a c b a ++-++≥，……………………………………………………3分所以()()22223c b a c b a ++≥++．……………………………………………………………………4分因为1=++c b a ，所以31222≥++c b a ． 所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分 证明2：因为1=++c b a ，所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a ．所以要证明()()()316111222≥+++++c b a ， 即证明31222≥++c b a ．…………………………………………………………………………………1分 因为21293a a +≥，21293b b +≥，21293c c +≥，……………………………………………………3分所以()2221233a b c a b c +++≥++．…………………………………………………………………4分因为1=++c b a ，所以31222≥++c b a ． 所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分 证明3：因为()()21681193a a ++≥+，()()21681193b b ++≥+，()()21681193c c ++≥+， ……………………………3分所以()()()()()()22216811111133a b c a b c ++++++≥+++++⎡⎤⎣⎦．……………………………4分 因为1=++c b a ，数学答案（文科）试题B 第 17 页 共 17 页所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分 （Ⅱ）解：设()12-+-=x a x x f ，则“对任意实数x ，不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”．…………6分当21<a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得23-≤a ．……………………………………7分 当21=a 时，3221≥-x 不可能恒成立．………………………………………………………………8分 当21>a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得25≥a ．……………………………………9分 综上可知，实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,2523, ．……………………………………………10分。