实验二：迭代法、初始值与收敛性

实验二：迭代法、初始值与收敛性
一：实验要求
考虑一个简单的代数方程
210,x x --=
针对上述方程，可以构造多种迭代法，如2
1111
1,1,n n n n n
x x x x x +++=-=+=实验，记录各算法的迭代过程。

二：实验要求及实验结果
（1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。

请读者自行
设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab 的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。

（2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？ 实验内容： ⅰ）对211n n x x +=-进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。

编写MATLAB 运算程序如下：
%迭代法求解 %令x=x^2-1 clear
n=30; x=-0.5;
x1=x^2-1; for i=1:n
x1=x1^2-1;
xx(i)=x1;
end
m=linspace(0,29,n); plot(m,xx) title('x=-0.5')
x=-0.6
x=1.6
如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。

分析：2
()1n g x x =-，'()2g x x =，要想在某一邻域上'()21,[1,1]g x x x =<∀∈-则但是()[1,1]g x ∉-，所以不存在
某个邻域使得该迭代公式收敛。

即迭代公式对任何初值都是发散的。

ⅱ）对11
1n n
x x +=+
进行迭代运算，选取迭代次数n=30；分别选择初值=-0.7， 2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。

编写MATLAB 运算程序如下：
%迭代法求解 %令x=x^2-1 clear
n=20;
x=-0.5; x1=1+1./x; for i=1:n
x1=1+1./x1;
xx(i)=x1;
end
m=linspace(0,29,n); plot(m,xx,'b') title('x=-0.5')
x=-0.7
x=2.1
如上图所示，选取初值分别为-0.7、2.1时，结果都是收敛。

分析：1
()1
,n
g x x =+设
'2
1
()[1.65,],[1.65,],()g x x g x x ∈+∞∀∈+∞=-
在[1.65,]+∞上有界，且'2
1
()1,[1.65,]
g x x x =
<∀∈+∞则由迭代式对任意初始值0[1.65,]x ∈+∞1
()1,n
g x x =+产生的序列都收敛。

同时由1
()1,n
g x x =+
可以看到，在0[,]x ∈-∞+∞选取初值，在进行n 次迭代后，都会存在一个 1.65n x >，此时n x 相当于是在
[1.65,]+∞范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。

所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。

ⅲ）对1n x +=
选取迭代次数n=20；分别选择初值=-0.6，2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。

编写MATLAB 运算程序如下：
%迭代法求解 %令x=sqrt(1+x) clear
n=20; x=-0.5; x1= sqrt(1.+x); for i=1:n
x1= sqrt(1+x1);
xx(i)=x1;
end
m=linspace(0,29,n); plot(m,xx,'b') title('x=-0.5')
x=-0.6
如上图所示，选取初值分别为-0.6、2.1时，结果都是收敛。

分析：()1g x =
设 '
()[1,],[1,],()g x x g x ∈-+∞∀∈-+∞=
在[1,]-+∞实数域上有界，
且
'()1,[1,]g x x =
<∀∈-+∞则由迭代式对任意初始值0[1,]x ∈-+∞()g x =产生的序列都收敛。

同时由
()g x =可以看到，在0[,1]x ∈-∞-选取初值，对迭代结果所产生的虚数的实部和虚部也是收敛的。

如初值选取x=-3，
得到20次的迭代结果如下：实部收敛于1.618，虚部收敛于0，
Columns 1 through 5
1.1688 + 0.6050i 1.4867 + 0.2035i 1.5782 + 0.0645i 1.6058 + 0.0201i 1.6143 + 0.0062i Columns 6 through 10
1.6169 + 0.0019i 1.6177 + 0.0006i 1.6179 + 0.0002i 1.6180 + 0.0001i 1.6180 + 0.0000i Columns 11 through 15
1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i Columns 16 through 20
1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i 1.6180 + 0.0000i
x=-3
上图是初值选取为-3的迭代结果趋势图，可以看出，当迭代结果为虚数时，迭代结果最终还是收敛的。

在进行n 次迭代后，实部都会存在一个1n x >-，此时n x 相当于是在[1,]-+∞范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。

所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。

（3） 线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。

比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。

ⅰ）对线性方程1212()()()f ax bx af x bf x +=+，设()f x ax b =+，则'()f x a =。

若线性方程的迭代是收敛的，则有'
()1,11f x a a =<-<<对()f x ax b =+而言，在[,]-∞+∞上，都有
,()[,]x f x ∈-∞+∞，所以，对任何初值，方程的迭代都是收敛的，不受初值的影响。

若线性方程的迭代是发散的，则对任何初值都发散，方程迭代的收敛性也不受初值的影响。

ⅱ）对非线性方程的迭代，就复杂的多。

对于方程迭代发散的方程而言，无论初值如何选择，收敛性是不会改变的。

方程的迭代还是发散。

对方程迭代收敛的情况而言，若想要使得初值的选择不会影响收敛性，那必须要使得,()[,]x f x ∈-∞+∞并且在某一定
点的邻域内'
()1f x <，情况是很复杂的。