】陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考数学(文科)试题学生版

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2018届高三上学期第一次联考数学试卷(文科) Word版含解析

2018届第二片区高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=），B={y|y﹣l＜0），则A∩B=（）A．（一∞，1） B．（一∞，1] C．[0，1）D．[0，1]2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．43．复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i4．已知函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．B．C．2 D．45．函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．157．若，则a，b，c大小关系为（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c8．某几何体的三视图如图所示．则其体积积为（）A ．8πB ．C ．9πD ．9．“直线l ：y=kx+2k ﹣1在坐标轴上截距相等”是“k=﹣1”的（）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知等于（）A ．B ．C ．D ．11．如图，F 1，F 2是双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．已知a ＞0，若函数且g （x ）=f （x ）+2a 至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．（，1]B ．（1，2]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．已知实数x ，y 满足不等式组，则z=x ﹣2y 的最小值为．14．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积．15．已知各项不为0的等差数列{a n }满足，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 2b 8b 11的值等于．16．若圆C 以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是．三．解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=3，S 7=28．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =（﹣1）n •，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，且满足c （acosB ﹣b ）=a 2﹣b 2．（Ⅰ）求角A ；（2）求sinB+sinC 的最大值．19．如图所示，三棱锥D ﹣ABC 中，AC ，BC ，CD 两两垂直，AC=CD=1，，点O 为AB 中点．（Ⅰ）若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与棱DB ，CB 相交于M ，N ，在图中画出该截面多边形，并说明点M ，N 的位置（不要求证明）；（Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．请考生在第22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=3．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n∈（0，+∞））满足．（1）求f（1）；（2）若f（2）=1，解不等式f（x）＜2；（3）求证：．2018届第二片区高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={x|y=），B={y|y﹣l＜0），则A∩B=（）A．（一∞，1） B．（一∞，1] C．[0，1）D．[0，1]【考点】交集及其运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到x﹣x2≥0，即x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即A=[0，1]，由B中不等式解的：y＜1，即B=（﹣∞，1），则A∩B=[0，1），故选：C．2．若平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：平面向量=（m，1），=（2，1），且（﹣2）∥，可得m﹣4=2（﹣1），解得m=2．故选：B．3．复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可．【解答】解：复数z====﹣1﹣i．显然A、B、C都不正确，z的共轭复数为﹣1+i．正确．故选：D．4．已知函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．B．C．2 D．4【考点】函数的值．【分析】先求出f（2）=﹣，从而f（f（2））=f（﹣），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=﹣，f（f（2））=f（﹣）=（﹣）4=（﹣）4=．故选：A．5．函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意可得，函数的周期为π，由此求得ω=2，由g（x）=Acosωx=sin[2（x+）+]，根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由题意可得，函数的周期为π，故=π，∴ω=2．要得到函数g （x ）=Acos ωx=sin[2（x+）+]的图象，只需将f （x ）=的图象向左平移个单位即可，故选A ．6．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A ．45B ．35C ．21D ．15 【考点】循环结构．【分析】根据所给s 、i 的值先执行T=2i ﹣1，s=s ×T ，i=i+1，然后判断i 与4的关系，满足条件算法结束，不满足条件继续执行循环体，从而到结论．【解答】解：因为s=1，i=1，执行T=2×1﹣1=1，s=1×1=1，i=1+1=2；判断2＜4，执行T=2×2﹣1=3，s=1×3=3，i=2+1=3；判断3＜4，执行T=2×3﹣1=5，s=3×5=15，i=3+1=4；此时4≥4，满足条件，输出s 的值为15．故选D ．7．若，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c 【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，即可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵a=30.1＞1，且1＜2＜π，∴0＜log2＜1，π∴0＜b＜1；又0＜sin＜1，∴c=logsin＜0，2∴a，b，c大小关系是a＞b＞c．故选：D．8．某几何体的三视图如图所示．则其体积积为（）A．8π B．C．9π D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为两个尖头圆柱的组合体．它们可以组合成高为8的圆柱．【解答】解：由三视图可知几何体为两个尖头圆柱的组合体，它们可以组成高为8的圆柱，圆柱的底面半径为1，所以几何体的体积为π×12×8=8π．故选A．9．“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”是“k=﹣1”的（）条件．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线截距的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当k=﹣1时，直线l ：y=kx+2k ﹣1=﹣x ﹣3，即+=1，满足在坐标轴上截距相等，即必要性成立，当2k ﹣1=0，即k=时，直线方程为y=x ，在坐标轴上截距都为0，满足相等，但k=﹣1不成立，即充分性不成立，故直线l ：y=kx+2k ﹣1在坐标轴上截距相等”是“k=﹣1”的必要不充分条件，故选：B ．10．已知等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用平方关系化弦为切，代入tan α=2求值．【解答】解：∵tan α=2，∴====．故选：A ．11．如图，F 1，F 2是双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1的直线l 与C的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．【解答】解：由△BAF2为等边三角形，设A为右支上一点，且AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF2﹣AF1=2a，BF1﹣BF2=2a，BF1=AB+AF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F 1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1] B．（1，2] C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出a=1及a=2时的分段函数的简图，由图判断a=1及a=2时满足题意，结合选项得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）=﹣2a根的个数，即函数y=f（x）的图象与直线y=﹣2a交点的个数，利用特殊值验证法：当a=1时，y=f（x）的图象如图：满足题意；当a=2时，y=f（x）的图象如图：满足题意．结合选项可知，a的范围是D．故选：D．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为﹣4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （2，3），化目标函数z=x ﹣2y 为，由图可知，当直线过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2﹣2×3=﹣4．故答案为：﹣4．14．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积．【考点】球的体积和表面积．【分析】把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出球的表面积．【解答】解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：，则此球的表面积为：4π×=3π15．已知各项不为0的等差数列{a n }满足，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 2b 8b 11的值等于 8 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式和性质可得b 7=a 7=2，而b 2b 8b 11=b 73，代值计算可得．【解答】解：∵各项不为0的等差数列{a n }满足，∴2a 7﹣a 72=0，解得a 7=2，∴b 7=a 7=2， ∴b 2b 8b 11=b 6b 8b 7=b 73=8，故答案为：8．16．若圆C 以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是（x ﹣1）2+y 2=13 ．【考点】圆的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的准线方程及焦点坐标，求出圆的圆心及半径，即可得到圆的标准方程．【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1， ∵圆C 截此抛物线的准线所得弦长为6，∴圆的半径为=∴圆的标准方程是（x ﹣1）2+y 2=13 故答案为：（x ﹣1）2+y 2=13三．解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=3，S 7=28．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =（﹣1）n •，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）通过设等差数列{a n }的公差为d ，联立a 3=a 1+2d=3与S 7=7a 1+d=28，可求出首项和公差，进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）裂项知，b n =（﹣1）n （+），分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，则a 3=a 1+2d=3，S 7=7a 1+d=28，解得：a=1，d=1，1=1+n﹣1=n；所以an=（﹣1）n•=（﹣1）n=（﹣1）n（+），（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn当n为奇数时，T=﹣（1+）+（+）﹣…﹣（+）=﹣1﹣=﹣；n=﹣（1+）+（+）﹣…+（+）=﹣1+=﹣；当n为偶数时，Tn综上，T=﹣1+．n18．在△ABC中，内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且满足c（acosB﹣b）=a2﹣b2．（Ⅰ）求角A；（2）求sinB+sinC的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理化简已知可得a2=c2+b2﹣bc，根据余弦定理可求cosA==，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB+sinC=sin（B+），结合范围B∈（0，），可求B+∈（，），利用正弦函数的性质即可解得sinB+sinC的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c（acosB﹣b）=a2﹣b2．∴由余弦定理可得：a2+c2﹣b2﹣bc=2a2﹣2b2．可得：a2=c2+b2﹣bc，∴cosA==，∵A∈（0，π），∴A=…6分（2）sinB+sinC=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB=sinB+cosB=sin（B+），∵B∈（0，），∴B+∈（，），sin（B+）∈（，1]，∴sinB+sinC的最大值为．…12分19．如图所示，三棱锥D﹣ABC中，AC，BC，CD两两垂直，AC=CD=1，，点O为AB中点．（Ⅰ）若过点O的平面α与平面ACD平行，分别与棱DB，CB相交于M，N，在图中画出该截面多边形，并说明点M，N的位置（不要求证明）；（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的性质．【分析】（Ⅰ）当M为棱DB中点，N为棱BC中点时，平面α∥平面ACD．（Ⅱ）由VC﹣ABD =VD﹣ABC，利用等体积法能求出点C到平面ABD的距离．【解答】解：（Ⅰ）当M为棱DB中点，N为棱BC中点时，平面α∥平面ACD．…解：（Ⅱ）∵CD⊥AC，CD⊥BC，∴直线CD⊥平面ABC，…，．又．∴AB=BD，…设点E是AD的中点，连接BE，则BE⊥AD，∴，．又VC﹣ABD =VD﹣ABC，而，设点C到平面ABD的距离为h，则有，…即，∴，∴点C到平面ABD的距离为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM 垂直于x 轴时，求得P ，Q 的坐标，运用数量积为0，可得t ；当PM 不垂直于x 轴时，设P （x 0，y 0），PQ ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），运用直线和圆相切的条件：d=r ，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM 垂直于x 轴时，可得P （，），Q （，t ），由OP ⊥OQ ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM 不垂直于x 轴时，设P （x 0，y 0）， PQ ：y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），即为kx ﹣y ﹣kx 0+y 0=0，由PQ 于圆O ：x 2+y 2=3相切，可得=，平方可得（kx 0﹣y 0）2=3（1+k 2），即2kx 0y 0=k 2x 02+y 02﹣3k 2﹣3，又Q （，t ），由OP ⊥OQ ，即有•=x 0•+ty 0=0，解得t=，则t 2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）易求f′（x）=a+1+lnx，依题意知，当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，即x≥e 时，a≥（﹣1﹣lnx）max，从而可得a的取值范围；（2）依题意，对任意x＞1恒成立，令则，再令h （x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），易知h（x）在（1，+∞）上单增，从而可求得g（x）min =x∈（3，4），而k∈z，从而可得k的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；（2）当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）⇔k＜，即对任意x＞1恒成立．令则，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增．∵h （3）=1﹣ln3＜0，h （4）=2﹣ln4＞0， ∴存在x 0∈（3，4）使h （x 0）=0，即当1＜x ＜x 0时，h （x ）＜0，即g′（x ）＜0，当x ＞x 0时，h （x ）＞0，即g′（x ）＞0，∴g （x ）在（1，x 0）上单减，在（x 0，+∞）上单增．令h （x 0）=x 0﹣lnx 0﹣2=0，即lnx 0=x 0﹣2， =x 0∈（3，4），∴k ＜g （x ）min =x 0且k ∈Z ，即k max =3．请考生在第22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知圆C 的圆心，半径r=3．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若点Q 在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，求动点P 的轨迹方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）设M （ρ，θ）为圆C 上任一点，OM 的中点为N ，由垂径定理能求出圆C 的极坐标方程．（2）设点P 的极坐标为（ρ，θ），由已知求出点Q 的极坐标为（，θ），由此能求出点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）设M （ρ，θ）为圆C 上任一点，OM 的中点为N ，∵O 在圆C 上，∴△OCM 为等腰三角形，由垂径定理得|ON|=|OC|cos （），∴|OM|=2×3cos （），即ρ=6cos （）为所求圆C 的极坐标方程．（2）设点P 的极坐标为（ρ，θ），∵P 在OQ 的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2，∴点Q 的极坐标为（，θ），由于点Q 在圆上，所以ρ=6cos （）．故点P 的轨迹方程为ρ=10cos （）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，对于任意的m 、n （m 、n ∈（0，+∞））满足．（1）求f （1）；（2）若f （2）=1，解不等式f （x ）＜2；（3）求证：．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）令m=n=1，由f （m ）+f （n ）=f （mn ），得f （1）+f （1）=f （1），由此能求出f（1）．（2）由f （2）=1，知f （x ）＜2=1+1=f （2）+f （2）=f （4），由f （x ）在（0，+∞）上单调递增，能求出f （x ）＜2的解集．（3）由f （1）=0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，知x ∈（0，1）时，f （x ）＜0，x ∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，由|f （a ）|=|f （b ）|，知f （a ）=f （b ）或f （a ）=﹣f （b ）．由此能够证明．【解答】（1）解：令m=n=1，由f （m ）+f （n ）=f （mn ），得f （1）+f （1）=f （1）∴f （1）=0…（2）解：∵f （2）=1，∴f （x ）＜2=1+1=f （2）+f （2）=f （4），又f （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴0＜x ＜4，∴f （x ）＜2的解集为（0，4）…（3）证明：∵f （1）=0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴x ∈（0，1）时，f （x ）＜0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，又|f（a）|=|f（b）|，∴f（a）=f（b）或f（a）=﹣f（b），∵0＜a＜b，∴f（a）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）=f（ab）=0，∴ab=1，∴0＜a＜1＜b，又∵∴，∴4b=a2+2ab+b2，4b﹣b2﹣2=a2，考虑到0＜a＜1，∴0＜4b﹣b2﹣2＜1，又b＞1∴．。

陕西省西安地区高三数学文科八校联考试卷人教版

陕西省西安地域高三数学文科八校联考试卷人教版陕师大附中西安中学西安交大附中西安市 83 中长安一中西安高新一中西安铁一中西工大附中本试卷分第 I 卷和第 II 卷。

第 I 卷为选择题，第 II 卷为非选择题。

第Ⅰ卷（选择题共60分）参照公式：假如事件 A 、 B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)假如事件 A 、 B 互相独立，那么P(A ·B)=P(A) ·P(B)假如事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰巧发生 k 次的概率P n (k) C n k P k (1 P) n k球的表面积公式 S4 R 2此中 R 表示球的半径球的体积公式V 球 4 R 3此中 R 表示球的半径3一、选择题（本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．若 sin2 α <0，且 tan α· cos α<0，则角α在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设 p 和 q 是两个简单命题，若p 是q 的充足不用要条件，则q 是 p 的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件3．设 M 为非空的数集M{1，2， 3} ，且 M 中起码含有一个奇数元素，则这样的会合M 共有（）A ．6 个B ．5 个C ．4 个D ．3 个4．如图 1 所示，正三棱柱ABC — A 1B 1C 1 的底面边长为 2，高为 4，过底面的边AB 作一截面交侧棱 CC 1 于 P 点，且截面与底面成 60°角，则截面△ PAB 的面积是（）A ．33B ．32 22C ． 23D ． 325．若 ( x2 ) n 的睁开式的第 5 项是常数项，则正整数 n 的值x为（）A ． 12B ． 13C ． 14D ． 156．某学习小组共 8 名同学，此中男生 6 人女生 2 人 . 现从中抽取 3 名男生 1 名女生参加某项活动，则不一样的抽取方法共有（） A ． 240 种 B ．80 种 C ．70 种D ．40 种7．设 P 为△ ABC 所在平面内一点，且知足 PA PBPB PCPC PA ，则 P 是△ ABC的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．心里x 3, 且z 2x 4 y 获得的最小值为－ 6，则常数 m 的值为8．已知实数 x 、 y 知足ymx 0,专心爱心专心116 号编写1（）A．－ 2B． 0C．2D．59．已知 m、 n 为两条不一样的直线，α、β为两个不一样的平面，若m⊥α ,n ⊥β，则以下命题不正确的选项是（）．．．A．若 m//n ，则α⊥βB．若α⊥β，则m⊥ nC．若 m、 n 订交，则α、β订交D．若α、β订交，则m、n 订交10．已知函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)，若f－1(2)<0，则函数y=f－1(x+1)的图象中可能是（）11．若椭圆x 2y21(a b0) 的左、右焦点分别为F1、 F2，线段F1F2被抛物线2的a2 b 2y =2bx焦点 F 分红 3：1 两段，则此椭圆的离心率为（）A．1B． 2 C．1D．3 223312．设a=sin15 ° +cos15 °， b=sin17 ° +cos17 °，则以下各式正确的选项是（）A．a< a 2 b 2<b B．b< a 22b2<a C．a<b<a2b2D． b<a<a2 b 2222第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共16 分 . 把答案填在题中横线上）13．棱长为a的正方体的内切球的体积为.14．已知圆 C：x2+y2－ 2x+4y=0，则过原点 O且与圆 C 相切的直线方程为.1( x0),15．设函数f ( x)x若 f (m)m, 则实数m的取值范围是.3 x1,2用区间形式表示）16．黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图 2 所示产的规律拼成若干个图案：专心爱心专心116 号编写2则第 n 个图案中有白色地砖块.三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分 . 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17．（本小题满分12 分）72 , cos2 7 , 求sin及tan() 的值.已知 sin()41025318．（本小题满分12 分）从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲竞赛，求：（Ⅰ）所选 3 人中恰有 1 名女生的概率；（Ⅱ）所选 3 人中起码有 1 名女生的概率 .19．（本小题满分12 分）在数列 {a n} 中， a1=2， a2=3，且 {a n· a n+1}(n ∈N*) 是以 3 为公比的等比数列，记b n=a2n－1+a2n (n ∈ N*).（Ⅰ）分别求a3、 a4、 a5、 a6的值；（Ⅱ）求证： {b n} 是等比数列 .20．（本小题满分12 分）如图 3，四棱锥P— ABCD的底面边长为 1 的正方形， PD⊥ BC，且 PD=1， PC= 2 .（Ⅰ）求证： PD⊥平面 ABCD；（Ⅱ）求二面角A— PB— D 的大小 .专心爱心专心116 号编写321．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)a x 3 2x 23条切线 l 与直线 2x +y=0 平行 .（Ⅰ）求 a 的值及切线 l 的方程；（Ⅱ）求函数 f ( x ) 的极大值和极小值2x(a R) ，在曲线 y=f ( x ) 的全部切线中，有且仅有一.22．（本小题满分 14 分）如图 4，在矩形 ABCD 中，已知 A （ 2，0）、 C （－ 2，2），点 P 在 BC 边上挪动，线段 OP的垂直均分线交 y 轴于点 E ，点 M 知足 EMEO EP.（Ⅰ）求点 PM 的轨迹方程；（Ⅱ）已知点 F （ 0， 1），过点 F 的直线 l 交点2M 的轨迹于 Q 、R 两点，且 QF FR, 务实数的取值范围 .专心爱心专心 116 号编写 4[ 参照答案 ]一、选择题（每题5 分，共 60 分）1.D2.A3.B4.C5.A6.D7.B8.B9.D 10.A11.B 12.C二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 13 ．1a214.6三、解答题（共 74 分）y1x 15.(－∞，－ 1) ∪（ 2， +∞） 16.4n+2217． sin() 7 2 , cos2 7 ，4 1025sincos7 ，①53 分cos 2sin 27.25将①代入②，得 sin1cos5由①、③得 sin3, cos 455tansin 3 cos4②. ③5 分 ③7 分9 分3348 25 3故tan()412 分3 113 1 ( )3418．（ I ）设所选 3 人中恰有 1 名女生为事件 A ，则P( A)C 21 C 42 2 6 36 分C 63205（ II ）设所选人中起码有 1 名女生为事件 B ，则所选 3 人中没有女生为事件B .8 分P(B)C 434 110 分C 63205P(B)1 P( B)412 分519．（ I ）∵ {a· a } 是公比为n 3 的等比数列，n+1n － 1n∴ a · a =a a · 3 =2·3n n+11 2∴ a 32 326, a 4 2 329a 2a 3a 52 34 18,a 62 35276 分a 418专心爱心专心 116 号编写5（II ）∵ {a n a n+1} 是公比为 3 的等比数列，∴ a a =3a a ，即 a =3an －13 分n n+1 n －1 n n+1∴ a ， a ，a ，， a，与 a ， a ， a ，， a ，都是公比为3 的等比数列 .1352n －12462n∴ a 2n － 1=2· 3n －1， a 2n =3· 3n －110 分∴ bn=a 2n － 1+a 2n =5·3n －1故 {b n } 是首项为 5，公比为 3 的等比数列 .12 分20．（Ⅰ）∵ PD=CD=1， PC= 2222（3 分） ∴PD+CD=PC ，即 PD ⊥ CD.又 PD ⊥ BC.BC ∩ CD=C ∴ PD ⊥平面 ABCD （6 分）（Ⅱ）如图，连接 AC 交 BD 于 O ，则 AC ⊥ BD.∵PD ⊥平面 ABCD ，∴PD ⊥ AC.∴AC ⊥平面 PBD.（8 分）过 O 点作 OE ⊥ PB 于 E ，连接 AE ，则 AE ⊥ PB ，故∠ AEO 为二面角 A — PB — D 的平面角.（10 分）由 Rt △ OEB ∽ Rt △ PDB ，得OE=PD OB6 . PB6∴ tan ∠ AEO=AO3, 即∠ AEO=60°（12 分）OE21．（ I ）∵切线 l 与直线 2x+y=0 平行，∴ f ′ (x)=ax 2+4x+2=－ 2，即 ax 2+4x+4=0.2 分又这样的切线 l 仅有一条，∴△ 16－ 16=0, 得 a=1.将 a=1 代入 ax 2+4x+4=0，得 x=－ 2. 进而 y=4, 即切点坐标为（－2，4） .33故 l ： y －4=2(x+2) ，即 6x － 3y+16=0.6 分3（ II ） f ′ (x)=x 2+4x+2由 f ′(x)>0，得 x< － 2－ 2 或 x>－ 2+ 2 .∴函数 f(x) 在（－∞，－ 2－ 2 ]和[－2+ 2 ， +∞ ) 上单一增，在 [ － 2－ 2 ，－ 2+ 2 ] 上单一递减 .9 分故 f(x)极大=f( － 2－ 2 )=4 2 ) ；(1+3f(x) 极小 =f( － 2+ 2 )= 4(1 － 2 ).12 分322．（ I ）依题意，设 P （t,2 ）（－ 2≤ t ≤ 2）， M （ x ，y ） .当 t=0 时，点 M 与点 E 重合，则 M=（ 0， 1）；1 分专心爱心专心116 号编写6当 t ≠0 时，线段 OP 的垂直均分线方程为y1t( x t).22令 x0,得 y t24,即 E(0, t24)3分44由EMEO EP 得 ( x, yt24t24t244)(0,) (t ,2)44x t4.消去 t, 得 x 2yt 24( y 1)5分24明显，点（ 0，1）合适上式。

陕西省西安市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

数学(文)第I卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 已知集合A ={1，2，3}，B 二{x|(x 1)(2 —x) .0，Z}，则A" B 二( )A {1}B • {1 ,2}C . {0，1，2 ,3}D . {-1 , 0, 1，2，3}2. 复数乙=cosx -isin x，z =sin x -icos x，贝U K z?=( )A. 4 B . 3 C . 2 D . 13. 若a b 0，0 :：: c <1，则( )A. log a c ::: log b c B . log。

a ：：： log。

b C . a c b c D . c a c b■ 24. 设函数f(x)二x _2(x A 2)，若f(m) =7,则实数m的值为( ) log 2x(^2)A. 0 B . 1 C. -3 D . 35. 设a • R，则“ a =1” 是“直线l1 : ax 2y -1=0与直线 J ：x (a 1)y *4 = 0平行”的( )A.充分必要条件 B •必要不充分条件C.充分不必要条件 D •既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入(A. k 6? B . k 7? C. k ::: 6? D . k ::: 7?7. 已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a°成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和, 则乞兰2的值为( )S5 "S3A. -2 B . -3 C. 2 D . 38. 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA , PB , PC两两垂直，且PA二2 , PB =1 , PC -3 ,3则该三棱锥的外接球的体积是（焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于 A ，B 两点, AB =4.3 ；则C 的实轴长为（）A. ..2 B . 2 2 C. 4 D . 810.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）11. 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1 ,-,-,-,2 3 4,a n .则 a& - a ?a 3 山-a n ^a n 等于(12. 已知函数 f (x) =sin(・'X ■「), ( A 0，- 0 ,)满足 f (x H f (x )，且2 2 2f （ x ） = f （ x ），则下列区间中是6 6 9.等轴双曲线C 的中心在原点,A.C.316二9 1.①第二步：将数列①的各项乘以 nA. n(n -1) B(n -1)2 C.n 2D . n(n 1)列（记为）a 1, a 2, a 3, f （x ）的单调减区间的是（ B4 二 5■:.[ ,]36C.D .二,0]、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上）A.2 二13. 已知向量a, b的夹角为互,a =1, m =3，则3i x y —7 w 014. 设x , y满足约束条件x_3y・1W 0则z=2x_y取得最大值时的最优解为_________________ .3x —y —5 > 015. 一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为__________ .16. 若对于曲线f(x)二~e x -X上任意点处的切线l i，总存在g(x) =2ax・sinx上处的切线I2 ,使得h」2，则实数a的取值范围是_____________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 若向量 2 =(・.：3si n .x, sin .x) , bb =(cos ,x, sin ,x)，其中..0 .记函数,2若函数f(x)的图象上相邻两个对称轴之间的距离是-.2(1 )求f(x)的表达式；(2)设△ ABC三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c ,若a，b=3 ,c=.3 , f(C)=1 , 求厶ABC的面积.18. 如图，直三棱柱ABC -ABQ1中，D , E分别是AB , BB的中点.(1)证明:BG // 平面ACD ；(2)设A J\=AC=CB =2 , AB =2・.2，求三棱锥C -RDE 的体积.19. 为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57 , 63 , 65, 68, 72, 77, 78, 78, 79, 80, 83 , 85 , 88 , 90, 95.(1)作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数;(2)从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人恰有一人成绩不低于90分的概率.20. 已知P是圆C : x2• y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P •，点M是线段PP的中点，当P 在圆C上运动时，点M形成的轨迹为曲线E .（1）求曲线E的方程；（2）经过点A（0，2）的直线I与曲线E相交于点C，D，并且=-AD，求直线I的方程.521. 已知函数f（x） =mx -m，g（x） =2ln x .x（1 ）当m =2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2 ）当m =1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，■:：）上有无实根；（3）若x三（1, e］时，不等式f （x） - g（x）：：： 2恒成立，求实数m的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A、B的极坐标分别为（1，三）、（3，—），曲线C的参数方程为$ —r cos］（日为参数）.3 3 』=rs in O（1）求直线AB的直角坐标方程；（2）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值.23. 选修4-5 :不等式选讲已知函数f （x） =x・1 - ■，…R，且f（x -1）< 0的解集是［-1，1］.(1 )求■的值；1 1(2)右r，s 二R，且r 0，s 0，—■ — = ■，求r 2s 的最小值.r 2s、选择题1-5:ADBDC6-10:BCACD 11 、12: AA二、填空题13. 714.(5 , 2) 15.1 1 16・[0，丄]32三、解答题17.解：（1）T呻<_4• a =(■、3sin ，x , sin ，x), b =(cos ，x, sin x)4呻 1 - 2 1 n.f(x) =a b 一一二.3sin xcos x sin ，x —一 =sin （2，x —一）2 2 6由题意可知其周期为二，2 =—，即• =1 ,-f(x) =Sin(2x)6 (2)由 f(C)=1，得 sin(2c _—) =16 11 二2C …-6 6 6，解得C 工二3■TT c = • 3，由余弦定理得 c 2 =a 2b 2 -2abcos —，32二(a b) -3ab =3，即 ab =2由面积公式得 △ ABC 面积为—absi nC =—32 218. 解：(1)连结AG 交AC 于点F ,贝U F 为AG 中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则因为DF 平面ACD , B 。

陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考(一)数学文试题含解析

2017-2018学年陕西省西安市长安区高三（上）10月质检数学试卷（文科）（一）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A=｛x|x2﹣4x＜0}，B=｛x｜log2x＞1}，则A∩B=( ）A．(2,4) B．（0，2）C．（1，4）D．(0，4）2．若p：φ=+kπ，k∈Z，q：f（x）=sin（ωx+φ)（ω≠0)是偶函数，则p是q的（)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）=﹣x2+4x，x∈[m，5］的值域是［﹣5，4]，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1) B．(﹣1，2] C．［﹣1，2］D．[2，5）4．已知且f(0）=2,f（﹣1)=4，则f（f(﹣2）)=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣35．下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（0，π），sinx＞cosxC．D．∀x∈（0，+∞)，e x＞x+16．若x∈A,则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（)A．31 B．7 C．3 D．17．已知向量,若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k满足的条件是（）A．k=﹣16 B．k=16 C．k=﹣11 D．k=18．把函数的图象上个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，如果输入a=3，b=2，那么输出a的值为（）A．16 B．256 C．log3626 D．656110．已知命题p：∀x∈R，不等式ax2+2x+1＜0的解集为空集，命题q：f（x）=(2a﹣5）x在R上满足f′(x）＜0,若命题p∧¬q是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[，3］B．[3，+∞）C．［2，3］D．［2，］∪[3，+∞）11．设α为锐角，若，则的值为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数f（x)满足f（x﹣3）=﹣f（x），在区间上是增函数，且函数y=f（x﹣3）为奇函数,则( ）A．f（﹣31）＜f(84)＜f（13) B．f(84)＜f（13）＜f(﹣31) C．f(13）＜f（84）＜f（﹣31) D．f（﹣31）＜f（13）＜f(84)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分,把答案填在答题卷的横线上．。

2018届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)

2018年西安市八校第一次联考高三数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴，故选D.2. 在中，“”是“是钝角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，则为钝角，故为钝角三角形；若为钝角三角形，则可能为锐角，此时，故选A.考点：1.充分条件与必要条件；2.向量的数量积.3. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的方程为，代入圆的方程中，整理得，，解得，故选D.4. 已知函数在时取得最小值，则在上的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数在时取得最小值，∴，∴，又∵，∴，即，令，解得，结合，∴在上的单调递增区间是，故选A.5. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】∵，∴，∴，，∴，，∴满足的正整数的值为12，故选C.6. 已知实数满足，则的最小值为（）A. -10B. -4C. 4D. 6【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小.联立，解得，代入到目标函数得.故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（）A. B. C. 6 D. 7【答案】B【解析】∵，∴∴∵∴∴是等边三角形，即.∵分别是边上的三等分点∴，∴∵，，∴故选B.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图得该几何体是由半个球和半个圆柱组合而成，根据图中所给数据得该几何体的体积为,故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的,则的值可以是（）（参考数据：）A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出的值为.故.故选C．10. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】∵抛物线的焦点坐标，，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴，，∵设，由抛物线定义知：，∴，∴点的坐标为，∴，解得：，，则双曲线的离心率为2，故选D.11. 已知球的直径是该球球面上的两点，，则棱锥的体积最大为（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】如图所示，∵线段是球的直径且，，∴，，，，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，由图可得当面面时，最大且满足，即，此时，故选A.12. 已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】函数恰有两个不同的零点即等价于函数的图象与轴正半轴有两个不同的交点，∵，当时，在内恒成立，在内单调递增，其图象与轴最多有一个交点，不合题意；当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，当时，，故要使恰有两个不同的零点，只需满足，解得，故的取值范围为，故选C.点睛：本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合思想；函数有两个零点等价于函数的图象与轴有两个交点，主要根据函数的导数判断函数的单调性，进而得到函数图象的大致形状，同时需注意当趋于无穷远处时函数值的符号问题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若与互为共轭复数，则__________．【答案】【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则，故答案为.14. 在的展开式中，的系数是__________．【答案】【解析】因为的展开式中，，所以，，所以在的展开式中，的系数是：，故答案为84.15. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为__________．【答案】【解析】∵，∴，故切线的斜率为，可得切线方程为，即，令，得，令，可得，∴切线与坐标轴围成的三角形面积，故答案为.点睛：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题；欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决.16. 数列中，为数列的前项和，且，则这个数列前项和公式__________．【答案】【解析】∵，∴，化简得，，两边同除以得，所以是公差为2的等差数列，其首项，所以，，故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中17-21题必作；22、23题选作.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）首先整理,由可得函数的最小正周期，由可得的范围,进而可得函数的最值；（2）由可得的值,由的范围可得的值,再由两角差的余弦公式可求得的值.试题解析：（1）由，得，所以函数的最小正周期为因为，所以，所以函数在区间上的最大值为2，则最小值为-1（2）解：由（1）可知，又因为，所以，由，得，从而，所以．考点：二倍角公式；两角和与差的正弦,余弦公式；三角函数的性质.18. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？附：【答案】（1）；（2）；（3）没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可得中位数为；（2）根据频率分布直方图计算出25周岁以上名，25周岁以下工人名，利用列举法，根据古典概型的概率计算公式即可得结果；（3）根据题意完成列联表，计算出的值即可得结果.试题解析：由于采用分层抽样，则“25周岁以上”应抽取名，“25周岁以下”应抽取名.（1）由“25周岁以上组”的频率分布直方图可知，其中位数为，综上，25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数为73件.（2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上共名，设其分别为；25周岁以下工人共名，设其分别为.记“至少抽到一名25周岁以下工人”为事件.所有基本事件分别为，共10个；事件包含的基本事件共7个.由于事件符合古典概型，则；（3）由频率分布直方图可知，25周岁以上的“生产能手”共名，25周岁以下的“生产能手”共名，则列联表如图所示.所以，综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.19. 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）为中点，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）存在；（2）.【解析】试题分析：如图建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，（1）求出平面的法向量，设，根据，求出即可；（2）求出平面的一个法向量，求出法向量夹角的余弦值即可. 试题解析：如图，建立空间直角坐标系，则由该几何体的三视图可知：.（1）设平面的法向量，∵，∴，∴令，可解得平面的一个法向量，设，由于，则，又∵平面，∴，即，∴在线段上存在一点，使得平面，此时；（2）设平面的法向量，∵，∴∴令，可解得平面的一个法向量，∴.由图可知，所求二面角为锐角，即二面角余弦值为.点睛：本题主要考查了利用空间向量的方法直线与平面之间的位置关系及判断，面面角求解，向量能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确；直线与平面平行可转化为直线的方向向量和平面的法向量垂直，面面角与两个面的法向量所成的角之间相等或互补，主要根据图形确定最后结果.20. 已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3））当时，易得与相交于点，可猜想：变化时，与相交于点，再证明猜想成立即可.试题解析：（1）∵过椭圆的右焦点，∴右焦点，即，又∵的焦点为椭圆的上顶点，∴，即，∴椭圆的方程；（2）由得，，设，则，∵，∴，∴，∴，综上所述，当变化时，的值为定值；（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：∵，∵，∴，即三点共线.同理可得三点共线，则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数，函数是区间上的减函数.（1）求的最大值；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数.【答案】（1）；（2）；（3）当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程有两个解.【解析】试题分析：（1）由题意由于，所以函数，又因为该函数在区间上的减函数，所以可以得到的范围；（2）由于在上恒成立⇔，解出即可；（3）利用方程与函数的关系可以构造成两函数图形的交点个数加以分析求解.试题解析：（1）∵，∴，又∵在上单调递减，∴在恒成立，∴，∴故的最大值为-1；（2）∵，∴只需在上恒成立，既，令，则需则，又∵恒成立，∴；（3）由于，令，∵，∴当时，，即单调递增；当时，，即单调递减，∴，又∵，∴当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程有两个解.点睛：本题主要考查了利用导函数求解恒成立问题，还考查了方程的根的个数等价于相应的两函数的交点的个数，即函数与方程的解之间的关系，有一定难度；以为自变量的函数恒成立等价于成立，恒成立等价于成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：解：(1)由，既曲线的直角坐标方程为.(2)的参数方程为代入，整理的，所以，所以.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数和的图象关于原点对称，且.（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）∵函数和的图象关于原点对称，∴，∴原不等式可化为，即或，解得不等式的解集为；（2）不等式可化为：，即，即，则只需，解得，的取值范围是.。

【真题】18年陕西省西安中学高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2017-2018学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）cos330°=（）A．B．C．D．2．（5分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．63．（5分）=（）A．2 B．2 C．D．14．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）5．（5分）给出下列四个命题：①若||=||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且．其中正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．②③D．②④6．（5分）已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A．1：1：B．2：2：C．1：1：2 D．1：1：47．（5分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+） B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx8．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．9．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）10．（5分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=2A，a=1，b=，则边c=（）A．1 B．2 C．D．2或112．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．14．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=．15．（5分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，bc=6，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中点．（Ⅰ）证明：ND∥面PAB；（Ⅱ）求三棱锥N﹣ACD的体积．19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，椭圆过点（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，已知P（2，1），求△PAB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知点P是曲线C上一点，求点P到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|，a∈R（1）当a=3时，求不等式f（x）≤4的解集；（2）若不等式f（x）＜2的解集为空集，求实数a的取值范围．2017-2018学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）cos330°=（）A．B．C．D．【解答】解：cos330°=cos（360°﹣30°）=cos（﹣30°）=cos30°=，故选：C．2．（5分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．3．（5分）=（）A．2 B．2 C．D．1【解答】解：===．故选：C．4．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9）【解答】解：由=（2，4），=（﹣1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：A．5．（5分）给出下列四个命题：①若||=||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且．其中正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．②③D．②④【解答】解：①若||=||，但两向量方向不一定相同，则=不一定成立，故错误；②若A，B，C，D是不共线的四点，则=⇔AB=DC且AB∥DC⇔四边形ABCD 为平行四边形，即=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件，故正确；③若=，=，则=，故正确；④=的必要不充分条件是||=||且，故错误．故选：C．6．（5分）已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A．1：1：B．2：2：C．1：1：2 D．1：1：4【解答】解：△ABC中，∵A：B：C=1：1：4，故三个内角分别为30°、30°、120°，则a：b：c=sin30°：sin30°：sin120°=1：1：，故选：A．7．（5分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+） B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，且周期为，故B满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除D，故选：B．8．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵tanθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣1=．故选：D．9．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．10．（5分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，的单调递增区间[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．结合x∈[﹣π，π]，可得函数的增区间为[﹣，0]，故选：C．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若B=2A，a=1，b=，则边c=（）A．1 B．2 C．D．2或1【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理得：，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选：B．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．故答案为：2．14．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=2．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故答案为：215．（5分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，bc=6，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵，∴，∴s，，又∵A∈（0，π），∴（2），即（b+c）2﹣3bc=7，又∵bc=6，∴b+c=5，．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中点．（Ⅰ）证明：ND∥面PAB；（Ⅱ）求三棱锥N﹣ACD的体积．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）如图，取PB中点M，连结AM，MN．∵MN是△BCP的中位线，∴．（2分）依题意得，，则有（3分）∴四边形AMND是平行四边形，∴ND∥AM（4分）∵ND⊄面PAB，AM⊂面PAB，∴ND∥面PAB（6分）解：（Ⅱ）∵N是PC的中点，∴N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，∴三棱锥N﹣ACD的高是2．（8分）在等腰△ABC中，AC=AB=3，BC=4，BC边上的高为．（9分）BC∥AD，∴C到AD的距离为，∴．（11分）∴三棱锥N﹣ACD的体积是．（12分）19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．（Ⅰ）求图中实数a的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．【解答】解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中前三段的频率成等比数列．∴由直方图及题意得（10b）2=0.05×0.20，解得b=0.030，∴a=0.1﹣0.005﹣0.010﹣0.020﹣0.025﹣0.010=0.030．（Ⅱ）成绩不低于80分的人数估计为640×（0.025+0.010）×10=224．（Ⅲ）两个分数段的学生分别为2人和4人，从6人中选2人，共有m=种等可能性选法，两人成绩差的绝对值大于10的选法有n=种选法，∴这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率：p=．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，椭圆过点（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，已知P（2，1），求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）∵e2==1﹣=，∴a2=4b2，又椭圆C：过点P（2，0），∴a=2，∴a2=8，b2=2．故所求椭圆方程为+=1；（2）设l的方程为y=x+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得x2+2mx+2m2﹣4=0．∴x1+x2=﹣2m，x1•x2=2m2﹣4，∴|AB|==．点P到直线l的距离d==．因此S=|AB|•d=××=≤=2，△PAB当且仅当m2=2，即m=±时取得最大，故△PAB面积的最大值为2．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣a（x＞0）．若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈时，f′（x）＞0，；当x∈时，f′（x）＜0，所以f（x）在上单调递增，在单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）无最大值．当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为=ln+a=﹣lna+a﹣1．因此＞2a﹣2等价于lna+a﹣1＜0．令g（a）=lna+a﹣1，则g（a）在（0，+∞）上单调递增，g（1）=0．于是，当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0，因此，a的取值范围是（0，1）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知点P是曲线C上一点，求点P到直线l的最小距离．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程得：ρ2+2ρ2sin2θ=3，∴曲线C的直角坐标方程为：，直线l的普通方程为：y﹣x=6．（2）设曲线C上任意一点P为，则点P到直线l的距离为，[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|，a∈R（1）当a=3时，求不等式f（x）≤4的解集；（2）若不等式f（x）＜2的解集为空集，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，即有f（x）=，不等式f（x）≤4即为或或即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，则为0≤x≤4，则解集为[0，4]；（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，∴2≤f（x）min；由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，即f（x）min=|1﹣a|，∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，解得a≥3或a≤﹣1．∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

【数学】陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考数学(文)试题含解析

2018届高三年级数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合∴∵集合∴故选D.2. 已知复数，则（）A. 4B. 0C. 2D.【答案】C【解析】∵复数∴∴故选C.3. 设数列是等差数列，且是数列的前项和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为.∵∴，即.∴∴，，∴，故选B.4. 若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 6【答案】B【解析】∵为对立事件，其概率分别为∴，即∴，当且仅当时取等号.故选B.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．5. 是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）A. 9B. 2C. 10D. 2或10【答案】D【解析】∵双曲线的方程为∴，即.又∵双曲线的一条渐近线为∴，即∴，∵∴，即或.故选D.6. 已知实数满足，则的最小值为（）A. -10B. -4C. 4D. 6【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小.联立，解得，代入到目标函数得.故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（）A. B. C. 6 D. 7【答案】B【解析】∵，∴∴∵∴∴是等边三角形，即.∵分别是边上的三等分点∴，∴∵，，∴故选B.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，半圆柱的底面半径为1，高为2.∴该几何体的体积为故选C.9. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的,则的值可以是（）（参考数据：）A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出的值为.故.故选C．10. 如图，抛物线与圆交于两点，点为劣弧上不同于的一个动点，与轴平行的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，.由题意得圆的圆心为，半径为.∵抛物线∴抛物线的准线方程为，焦点为由抛物线的定义可得，则的周长为.联立抛物线与圆的方程，得或（舍去），故.∴，即的周长的取值范围是.故选A.11. 曲线上一点处的切线交轴于点（为原点）是以为顶点的等腰三角形，则切线的倾斜角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°【答案】C【解析】对曲线求导得，设切点，则点处的切线的斜率为.∴切线的方程为令，得.∵是以为顶点的等腰三角形∴，即∴∴切线的斜率为∴切线的倾斜角为故选C.12. 在平行四边形中，，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在平行四边形中，，若将其沿折起使平面平面，可得如图所示的三棱锥：其中，三棱锥镶嵌在长方体中，即三棱锥的外接球与长方体的外接球相同.∵∴外接球的半径为∴三棱锥的外接球的表面积为故选D.点睛：本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常用方法有：①若三棱棱两两垂直，则用（为三条棱的长）；②若平面（），则（为外接圆的半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则__________．【答案】或-1【解析】∵公比为的等比数列的前项和为，且∴，即.∴或故答案为或.14. 从集合中任选一个元素，则满足的概率为__________．【答案】【解析】本题事件所包含的区域如图所示：全部事件区域是整个圆内部分，事件表示的在圆内并且位于直线右侧的部分．∴所求概率为圆在第一象限位于直线右侧的弓形部分面积除以整个圆的面积而得，即为.故答案为.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．15. 函数在定义域内可导，若，且，若，则的大小关系是__________．【答案】【解析】∵∴函数的图象关于直线对称∴∵∴当时，，即在上为增函数；当时，，即在上为减函数.∴，即.故答案为.16. 设函数，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】①当时，则.∴，即，此时无解②当，则.∴∵∴此时恒成立③当时，则.∴∵∴此时恒成立综上所示，满足的的取值范围是.故答案为.三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中17-21题必作；22、23题选作.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（2）若，求的值.【答案】（1），最大值为2，最小值为-1.（2）.【解析】试题分析：（1）首先整理,由可得函数的最小正周期，由可得的范围,进而可得函数的最值；（2）由可得的值,由的范围可得的值,再由两角差的余弦公式可求得的值.试题解析：（1）由，得，所以函数的最小正周期为因为，所以，所以函数在区间上的最大值为2，则最小值为-1（2）解：由（1）可知，又因为，所以，由，得，从而，所以．考点：二倍角公式；两角和与差的正弦,余弦公式；三角函数的性质.18. 在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：（1）在正中，，在中，因为，易证，所以为的中点，因为点是的中点，所以，因为平面，所以，因为，所以，因为，所以，即，因为，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）设到的距离为，在中，，所以，在，，所以，在中，，所以，由即，解得.19. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（1）根据表中数据写出甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的概率；（3）根据表中数据估算公司的每位员工在该月所得的劳务费．【答案】（1）平均数为36，众数为33；（2）；（3）4965元.【解析】试题分析：（1）由茎叶图能求出甲公司员工投递快递件数的平均数和众数；（2）由题意能求出时，的可能取值为44，42，42，42，即可求出相对应的概率；（3）由（2）可知劳务费可能的取值为136，147，154，189，203，结合表中数据，即可得估算公司的每位员工在该月所得的劳务费．试题解析：（1）甲公司员工投递快递件数的平均数为36，众数为33；（2）设为乙公司员工投递件数，则时，元，当时，元，令，得，则取值为44，42，42，42，所以的概率为；（3）根据表中数据，可估算甲公司的员工该月收入为元，由（2）可知劳务费可能的取值为136，147，154，189，203，∴乙公司的员工该月收入为元.20. 已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标，即可得出、的值，再求出的值即可求得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出与，再根据及，从而可表示出，化简即可得证；（3））当时，易得与相交于点，可猜想：变化时，与相交于点，再证明猜想成立即可.试题解析：（1）∵过椭圆的右焦点，∴右焦点，即，又∵的焦点为椭圆的上顶点，∴，即，∴椭圆的方程；（2）由得，，设，则，∵，∴，∴，∴，综上所述，当变化时，的值为定值；（3）当时，直线轴，则为矩形，易知与是相交于点，猜想与相交于点，证明如下：∵，∵，∴，即三点共线.同理可得三点共线，则猜想成立，即当变化时，与相交于定点.点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题；（2）求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 设函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求函数的导数，当时，令，即可求得函数的单调递增区间；（2）令，则成立等价于，对进行分类讨论，若，可证恒成立；若时，求得的单调性及最大值，即可证明；若时，求得的单调性，即可证；从而可得实数的取值范围.试题解析：（1），由，令得：，所以当时，单调递增区间是；（2）令，则成立等价于，①若，当，则，而，即恒成立；②若时，则，当，由是减函数，，又，所以在上是减函数，此时当，；③若时，，，所以在有零点，在区间，设，所以在上是减函数，即在有唯一零点，且在上，，在为增函数，即在上，所以，不合题意，综上可得，符合题意的的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【试题分析】（1）借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进行求解；（2）先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长：解：(1)由，既曲线的直角坐标方程为.(2)的参数方程为代入，整理的，所以，所以.23. 已知函数和的图象关于原点对称，且.（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）∵函数和的图象关于原点对称，∴，∴原不等式可化为，即或，解得不等式的解集为；（2）不等式可化为：，即，即，则只需，解得，的取值范围是.。

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2018届高三年级数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则等于（）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（）
A. 4
B. 0
C. 2
D.
3. 设数列是等差数列，且是数列的前项和，则（）
A. B. C. D.
4. 若为对立事件，其概率分别为，则的最小值为（）
A. 10
B. 9
C. 8
D. 6
5. 是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）
A. 9
B. 2
C. 10
D. 2或10
6. 已知实数满足，则的最小值为（）
A. -10
B. -4
C. 4
D. 6
7. 在中，已知分别是边上的三等分点，则的值是（）
A. B. C. 6 D. 7
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A. B. C. D.
9. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的,则的值可以是（）（参考数据：
）
A. 2.6
B. 3
C. 3.1
D. 3.14
10. 如图，抛物线与圆交于两点，点为劣弧上不同于
的一个动点，与轴平行的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（）
A. B. C. D.
11. 曲线上一点处的切线交轴于点（为原点）是以为顶点的等腰三角形，则切线的倾斜角为（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°
12. 在平行四边形中，，且，若将其沿折起使平面
平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 设公比为的等比数列的前项和为，若，则__________．
14. 从集合中任选一个元素，则满足的概率为
__________．
15. 函数在定义域内可导，若，且，若，则
的大小关系是__________．
16. 设函数，则满足的的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中17-21题必作；22、23题选作.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
（2）若，求的值.
18. 在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又
，点是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
19. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，
现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.
（1）根据表中数据写出甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的概率；
（3）根据表中数据估算公司的每位员工在该月所得的劳务费．
20. 已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.
21. 设函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）对任意恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 以平面直角坐标系的坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求.
23. 已知函数和的图象关于原点对称，且.
（1）解关于的不等式；
（2）如果对，不等式成立，求实数的取值范围.。