成才之路北师大数学选修习题第章推理与证明§

合集下载

2015年秋北师大版数学选修2-2课件第1章推理与证明 §1

推理得到的命题的真实性不一定正确．演绎推理是从“一般”
到“特殊”的推理，当前提正确时，结论必然正确．本章还主要学习证明的两类基本方法，即直接证明方法 ( 如分析法、综
合法、数学归纳法)和间接证明方法(反证法)，从中体会证明的
功能和特点，掌握数学证明的方法．
第一章
推理与证明
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
2．对类比推理的几个注意点
(1)类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理的关键在于明确指出两类对象在某些方面的相似
推理．
利用类比推理得出的结论不一定是正确的．一般地，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.
第一章
§1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
1.归纳推理的几个注意点： (1)归纳的个别情况越多，越具有代表性，得出的一般性结论越可靠． (2)归纳推理的思维过程大致如下：实验、观察→概括、推
高中数学中，推理与证明贯穿于每一个章节，每一个知识点，推理与证明的学习，有利于培养学生的逻辑思维能力，形成和发展理性思维．通过本章的学习，是对以前所学知识点的总结和归纳，所以说本章的知识在整个高中数学阶段有着特别
重要的地位．
在日常生活、科学实践中，人们也经常要面对各种各样的推理论证．通过本章的学习，去体会和感觉逻辑证明在我们日
常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的思维习惯．
本章学习的重点是合情推理，演绎推理以及证明方法，学习的难点是对数学归纳法的理解．

成才之路北师大数学选修22习题第1章推理与证明§4 含解析

第一章 §4一、选择题1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N ＋)时，验证n ＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D2．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对一切正整数n 都成立，则a ，b 的值应该等于( )A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝3[答案] D[解析] 当n ＝1时，上式可化为ab ＋a ＋b ＝11；① 当n ＝2时，上式可化为ab ＋2(a ＋b )＝16. ②由①②可得a ＋b ＝5，ab ＝6，验证可知只有选项D 适合．3．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋3)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．4．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推知n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析]若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立，可推得若n＝k＋1时命题不成立可推得n＝k(k∈N*)时命题不成立，所以答案为C．5．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29[答案] D[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题6．(2014·吉林长春一模，13)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时左边表达式是________；从k→k＋1需增添的项是________．[答案]1＋2＋3；4k＋5(或(2k＋2)＋(2k＋3))[解析]因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，当n＝1时，2n＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k→k＋1需增添的项的是4k＋5或(2k＋2)＋(2k＋3)．7．使|n2－5n＋5|＝1不成立的最小的正整数是________．[答案] 5[解析]从n＝1,2,3,4,5，…，取值逐个验证即可．8．凸k边形有f(k)条对角线，则凸k＋1边形的对角线条数f(k＋1)＝f(k)＋____________.[答案]k－1[解析]设原凸k边形的顶点为A1，A2，…，A k，增加一个顶点A k＋1，增加A k＋1与A2、A3，…，A k－1共k－2条再加上A1与A k的一条连线共k－1条．三、解答题9．数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，并猜想a n的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k ，∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n －12n －1成立．10．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)．[证明] (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1 ＝56.所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都成立.一、选择题1．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.2．(2014·衡水一模，6)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项 B ．k 项 C ．2k－1项D ．2k 项[答案] D[解析] 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D[解析] 对于A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f (1)＜1成立，则f (10)＜100不一定成立；对于B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)＜1成立，不能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立；对于C ，当k ＝1或2时，不一定有f (k )≥k 2成立；对于D ，因为f (4)≥25≥16，所以对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．故选D.4．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k ＋1)，故选B.二、填空题5．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.[答案]12n ＋12n ＋1[解析] ∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.6．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞m24对n ∈N *都成立，则正整数m 的最大值为____________．[答案] 11[解析] 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，∴f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12(n ＋1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝f (n )＋(12n ＋1－12n ＋2)＝f (n )＋1(2n ＋1)(2n ＋2)＞f (n )，∴f (n ＋1)＞f (n )＞…＞f (1)＝12＝1224，∴m ＝11.三、解答题7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .[证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，∴当n ＝1时，等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1)＋(1k ＋1－12k ＋2)＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．∴n ＝k ＋1时等式成立．由①②知等式对任意n ∈N ＋都成立．[点评] 在利用归纳假设论证n ＝k ＋1等式成立时，注意分析n ＝k 与n ＝k ＋1的两个等式的差别．n ＝k ＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1k ＋1变到1k ＋2.因此在证明中，右式中的1k ＋1应与－12k ＋2合并，才能得到所证式．因此，在论证之前，把n ＝k ＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．8．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1(x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n－3|，用数学归纳法证明：b n ≤(3－1)n2n －1.[证明] 当x ≥0时，f (x )＝1＋2x ＋1>1.因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N ＋)．下面用数学归纳法证明不等式b n ≤(3－1)n2n －1.(1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立．即b k ≤(3－1)k2k －1，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝(3－1)|a k －3|1＋a k≤3－12b k ≤(3－1)k ＋12k.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N ＋都成立．。

高中数学第一章推理与证明综合测试北师大版选修2-2

【成才之路】-高中数学第一章推理与证明综合测试北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 [答案] C[解析] 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C ．2．不等式a ＞b 与1a ＞1b同时成立的充要条件为( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞bC ．1b ＜1a ＜0D ．1a ＞1b＞0[答案] B [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b 1a ＞1b⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b a －bab＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞bab ＜0⇔a ＞0＞b ，故选B.3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有三个解 D ．至少有两个解[答案] C[解析] 至少有两个解包含：有两解，有一解，无解三种情况． 4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D [解析] ∵f (n )＝1n ＋0＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n 2－n∴f (n )中共有n 2－n ＋1项．f (2)＝12＋0＋12＋1＋12＋2＝12＋13＋145．数列{a n }中前四项分别为2，27，213，219，则a n 与a n ＋1之间的关系为( )A ．a n ＋1＝a n ＋6B ．1a n ＋1＝1a n＋3C ．a n ＋1＝a n1＋3a nD ．a n ＋1＝1a n[答案] B[解析] 观察前四项知它们分子相同，分母相差6， ∴{1a n}为等差数列．6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)[答案] B[解析] 依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n n ＋12个整数对．注意到10×10＋12<60<11×11＋12.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，为(5,7)．故选B. 7．设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 [答案] D[解析] a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2，当且仅当a ＝1，b ＝1，c ＝1时取等号∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥6∴a ＋1b，b ＋1c，c ＋1a至少有一个不小于2.8．把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10，因此，由归纳推理得第n 个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋n n2. 由此可以得出第七个三角形数是28.9．(2019·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C ．证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 10．(2019·陕西文，10)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q[答案] C[解析] p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )；q ＝f (a ＋b 2)＝ln a ＋b 2；r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln (ab )，因为a ＋b2＞ab ，由f (x )＝ln x 是个递增函数，f (a ＋b2)＞f (ab )，所以q ＞p ＝r ，故答案选C ．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11.(2019·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23 [解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________．[答案] f (2n)＞n ＋22[解析] 由前几项的规律可得答案．13.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．[答案] 8[解析] y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A (－2，－1)．又∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴2m ＋n ＝1.又∵mn >0，∴m >0，n >0.∴2m ＋n ＝1≥22mn ，当且仅当2m ＝n ＝12，即m ＝14，n ＝12时取等号，∴mn ≤18.∴1m ＋2n ＝2m ＋n mn ＝1mn≥8.14．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝1091＋1092＝1 000.15．(2019·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2019(x )的表达式为________．[答案]x1＋2014x[解析] f 1(x )＝f (x )＝x1＋x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1＋x1＋x 1＋x＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋21＋x1＋2x＝x 1＋3x ，…，f 2019(x )＝x1＋2014x.应寻求规律，找出解析式．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [证明] 证法一：(综合法) ∵a >0，b >0， ∴a b ＋b ≥2a ，当且仅当a ＝b 时取等号，同理：ba＋a ≥2b ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ，即a b ＋ba≥a ＋b . 证法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证：a a ＋b b ≥a b ＋b a ，只需证：a a ＋b b －a b －b a ≥0，而a (a －b )－b (a －b )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a b ＋ba≥a ＋b . 证法三：(反证法) 假设当a >0，b >0时，a b ＋ba<a ＋b . 由a b ＋b a <a ＋b ，得a b ＋ba －a －b <0，即a a ＋b b －a b －b aa b＝aa －b －ba －ba b＝a ＋ba －b2a b<0，当a >0，b >0时，显然不成立，∴假设不成立．故a b ＋ba≥a ＋b . 17．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[证明] 如图(1)所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.如图(2)，连结BE 交CD 于F ，连结AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2 ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．18．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ，然后用数学归纳法证明．解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1和S k 与S k ＋1之间的关系．[解析] (1)由已知，得a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＝15×2n －2n ≥2.(2)①证明当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，表达式成立．当n ＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n ≥2时结论亦成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时表达式成立，即a k ＝5×2k －2，则当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋51－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故当n ＝k ＋1时，表达式也成立．由①②可知，对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都有a n ＝5×2n －2.19.在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，A ，B 分别是椭圆长轴的左右端点，点P (x ，y )是椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则k AP ·k BP ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A ，B ，P 三点在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a2. 故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A ，B ，P 为异于A ，B 的椭圆上的任意一点，则有k AP ·k BP ＝－b 2a2.20.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.[解析] (1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的一个根．又x 1x 2＝c a，∴x 2＝1a (1a≠c )，∴1a是f (x )＝0的一个根．(2)解：假设1a<c .由1a>0，当0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0，与f (1a )＝0矛盾，∴1a≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac . 又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a.又a >0，∴b >－2， ∴－2<b <－1.21.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． [解析] (1)因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上，所以S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n＋r －(bn －1＋r )＝b n －bn －1＝(b －1)bn －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)bn －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝2k ＋324k ＋1＝4k ＋12＋4k ＋1＋14k ＋1＝k ＋1＋1＋14k＋1>k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n∈N＋都成立，即b1＋1b1·b2＋1b2·…·b n＋1b n>n＋1恒成立．第11页共11页。

北师大版高中数学选修2-2习题课(一) 推理与证明

习题课（一）推理与证明1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列，所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91.答案：918．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N ＋)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(2k ＋2)；当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋2k ，其差为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.答案：3k ＋29．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和310．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |.证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |，即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2，即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2，即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1，所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．设函数f (x )＝e x ln x ＋2e x －1x ，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1 e.综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.12．各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1＋1a2＋…＋1a n≤2n－1对一切n∈N＋恒成立．解：(1)∵a2n＋1－a2n＝2，∴数列{a2n}为首项为1，公差为2的等差数列，∴a2n＝1＋(n－1)·2＝2n－1，又a n>0，则a n＝2n－1.(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立．当n＝2时，左边<右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k－1＋12k＋1≤2k－1＋12k＋1<2k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k－1＋2(2k＋1－2k－1)2＝2k＋1＝2(k＋1)－1.所以当n＝k＋1时不等式成立．由①②知对一切n∈N＋不等式恒成立．由Ruize收集整理。

2022-2021学年成才之路·人教B版数学·选修1-2练习：第2章推理与证明 2.2 第2课时

其次章 2.2第2课时一、选择题1．反证法是导学号 96660885 ()A．从结论的反面动身，推出冲突的证法B．对其否命题的证明C．对其逆命题的证明D．分析法的证明方法[答案] A[解析]反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出冲突，从而确定结论的真实性．2．(2021～2022学年度河南新野高二阶段测试)用反证法证明“a＋b＋c>3，则a、b、c中至少有一个大于1”时，“假设”应为导学号 96660886 ()A．假设a、b、c中至少有一个小于1B．假设a、b、c中都小于等于1C．假设a、b、c至少有两个大于1D．假设a、b、c都小于1[答案] B[解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故“a、b、c中至少有一个大于1”的反面是“a、b、c中都小于等于1.”3．应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用导学号 96660887 ()①结论相反推断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③[答案] C[解析]由反证法的定义可知为①②③.4．“M不是N的子集”的充分必要条件是导学号 96660888 ()A．若x∈M则x∉NB．若x∈N则x∈MC．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉ND．存在x0∈M⇒x0∉N[答案] D[解析]按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N 的子集，只需存在x0∈M但x0∉N.选D.5．用反证法证明命题：“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是导学号 96660889 ()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案] A[解析]“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选A.6．用反证法证明命题“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个是5的倍数”时，反设正确的是导学号 96660890 ()A．a、b都是5的倍数B．a、b都不是5的倍数C．a不是5的倍数D．a、b中有一个是5的倍数[答案] B[解析]“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“都不是”．二、填空题7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．导学号 96660891[答案]存在一个三角形，其外角最多有一个钝角[解析]“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设正实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．导学号 96660892[答案]13[解析]假设a、b、c都小于13，则a＋b＋c<1，“假设错误，故a、b、c中至少有一个数不小于13.”三、解答题9．证明：对于直线l：y＝kx＋1.不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．导学号 96660893[解析]假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)直线AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)在直线y＝ax上，所以⎩⎨⎧ka ＝－1， ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2， ②y 1＋y 22＝a x 1＋x22. ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0. ④ 由②③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2， ⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k 3－k 2，代入⑤整理得ak ＝3.这与①冲突．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称.一、选择题1．设a 、b ∈(0，＋∞)，则a ＋1b ，b ＋1a 导学号 96660894( )A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2[答案] D[解析] 假设a ＋1b <2，b ＋1a <2，则(a ＋1b )＋(b ＋1a )<4①.又a 、b ∈(0，＋∞)，所以a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )≥2＋2＝4，这与①式相冲突，故假设不成立，即a ＋1b ，b ＋1a至少有一个不小于2.2．已知x >0，y >0，x ＋y ≤4，则有导学号 96660895 ( ) A.1x ＋y ≤14 B.1x ＋1y ≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1 [答案] B[解析] 由x >0，y >0，x ＋y ≤4得1x ＋y ≥14，A 错；x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，C 错；xy ≤4，∴1xy ≥14，D 错．3．已知数列{a n }、{b n }的通项公式分别为：a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是导学号 96660896 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个[答案] A[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n ，使得a n ＝b n ，但若a >b ，n ∈N *，恒有a ·n >b ·n ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立．∴不存在n ，使得a n ＝b n .故应选A.4．假如两个数之和为正数，则这两个数导学号 96660897 ( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数[答案] C[解析] 假设两个都是负数，其和必为负数．二、填空题5．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证：∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为___________________________．导学号 96660898[答案] ∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP[解析] 反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP . 6．设a 、b 是两个实数，给出下列条件：导学号 96660899①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a 、b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．[答案] ③[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①不能推出．若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出．若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出．对于③即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1. 反证法：假设a ≤1且b ≤1. 则a ＋b ≤2与a ＋b >2冲突．因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 三、解答题7．已知：非实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不行能成等差数列．导学号 96660900[证明] 假设1a ，1b ，1c 成等差数列．则2b ＝1a ＋1c.∴2ac ＝bc ＋ab ①又a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ② ∴把②代入①得2ac ＝b (a ＋c )＝b ·2b ∴b 2＝ac .③由②平方4b 2＝(a ＋c )2.把③代入4ac ＝(a ＋c )2，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c . 代入②得b ＝a ，∴a ＝b ＝c . ∴公差为0，这与已知冲突． ∴1a ，1b ，1c不行能成等差数列． 8．已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a 、b 、c 、d 都是非负数． ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1，∴(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc >ac ＋bd . ∴ac ＋bd <1.这与已知ac ＋bd >1冲突， ∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[证明] 假设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0. 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，这与假设x 0<0相冲突，故方程f (x )＝0没有负数根．。

《成才之路》2015-2016学年高中数学北师大版选修1-2课件第3章§1第2课时类比推理

3．合情推理的思维过程大致为：从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想
→ 归纳、类比 → 提出猜想合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．
已知△ABC 的边长分别为 a、b、c，内切圆半径为 r，用 S
△ABC 表示△ABC 的面积，则 S△ABC＝12r(a＋b＋c)．类比这一结论
有：若三棱锥 A－BCD 的内切球半径为 R，则三棱锥体积 VA－
BCD＝________.
• [分析] 解答本题的关键是确定好类比对象．平面中圆类比空间中球，平面中长度类比空间中面积，平面中面积类比空间中体积． [答案] 13R(S△ABC＋S△A长
的点的集合；球是空间中到定点的距离等于
定长的点的集合．这两个定义很相似．于是
我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将
平面上的圆与空间中的球进行类比．
[解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：
3．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( ) A．若“a·3＝b·3，则 a＝b”类比推出“若 a·0＝b·0，则 a ＝b” B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc” C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第三章推理与证明
第三章 §1 归纳与类比
第2课时类比推理

成才之路高中数学北师大选修练习：第章归纳与类比

第一章 §1一、选择题1．(2014·太原模拟)如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )[答案] A[解析] 观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B ．l 22C ．lr 2D ．不可类比[答案] C[解析] 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．(2013·华池一中期中)平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( ) A.43a B.63a C.54a D.64a [答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题4．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10(91＋109)2＝1 000.5．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. [答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力．依题意：f 1(x )＝x x ＋2＝x(2－1)x ＋2，f 2(x )＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 7x ＋8＝x(23－1)x ＋23，f 4(x )＝x 15x ＋16＝1(24－1)x ＋24.∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.三、解答题6．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －b a x 与l 2：y ＝bax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝bax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求点P 1、P 2的坐标； (2)猜想点P n 的坐标公式．[分析] 两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点P n 的坐标．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧y ＝b －ba x ，y ＝ba x ，得P 1(a 2，b2)．过(0，b )，(a 2，0)两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立，解得P 2(a 3，b3)．(2)由(1)可猜想P n (a n ＋1，bn ＋1).一、选择题1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[答案] C[解析]从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．(2014·三峡名校联考)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为()A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1nD．1＋122＋132＋…＋1n2<n2n＋1 [答案] C[解析]观察可得第n－1个式子中不等式的左边为数列{1i2]的前n项的和，右边为分式2n－1n.4．(2014·临沂模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a2 009＋a2 010＋a2 011等于()A．1 003 B．1 005C．1 006 D．2 011[答案] B[解析]观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005.5．(2014·湖北理，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258 C.15750 D.355113[答案] B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈13sh ，代入s ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258.本题的关键是理解“若V ≈136L 2h ，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题6．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 7．(2014·陕西理，14)观察分析下表中的数据：[答案] F ＋V －E ＝2 [解析] 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2. 三、解答题 8．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．[分析] 在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23；S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34；S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．[点评] 本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．9．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．10．已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d ；(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N ＋，则a m ＋a n ＝2a p ； (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．[解析] 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可推出： (1)通项b n ＝b m ·q n －m ；(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋，则b m ·b n ＝b p ·b q ；(3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N ＋，则 b m ·b n ＝b 2p ；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第一章 §1一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的周长为C ＝πd 类比出球的表面积为S ＝πd 2；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试，张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，归纳出n 边形的内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④[答案] C[解析] 由合情推理的概念知①②④符合题意． 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， ……A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113[答案] B[解析] 利用归纳推理，由已知可推测等号右侧应有7个1.3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A ．r 22B ．l 22C ．lr2D ．不可类比[答案] C[解析] 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 5．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A ．43a B ．63a C ．54a D ．64a [答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题6．(2015·陕西文，16)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16据此规律，第n 个等式可为____________________________________________． [答案] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[解析] 观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .故答案为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 7．观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α－1； ②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________. [答案] 962[解析] 观察每一个等式中最高次幂的系数：2,8,32,128，m ，构成一个等比数列，公比为4，故m ＝128×4＝512.观察每一个等式中cos 2α的系数：2，－8,18，－32，p ，规律是1×2，－2×4,3×6，－4×8，故p ＝5×10＝50.每一个式子中的系数和为1，故m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，代入m 和p ，可求得n ＝－400，故m －n ＋p ＝512＋400＋50＝962. 8．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. [答案]x(2n －1)x ＋2n[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力．依题意：f 1(x )＝x x ＋2＝x(2－1)x ＋2，f 2(x )＝x 3x ＋4＝x (22－1)x ＋22， f 3(x )＝x 7x ＋8＝x (23－1)x ＋23， f 4(x )＝x 15x ＋16＝1(24－1)x ＋24.∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.三、解答题 9．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．[分析] 在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝1－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23；S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34；S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．[点评] 本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．10．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．[解析]如图，S1，S2，S3，S分别表示△P AB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α、β、γ依次表示平面P AB与平面PBC、平面PBC与平面PCA、平面PCA与平面ABP之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S2＝S21＋S22＋S23－2S1S2cosα－2S2S3cosβ－2S2S1cosγ.[点评]我们常将空间几何体与平面图形之间的性质进行类比：如四面体↔三角形，长方体↔矩形，圆↔球．注意：线↔面，平面角↔空间角，面积↔体积之间具有类比关系．一、选择题1．(2014·三峡名校联考)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为()A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1nD．1＋122＋132＋…＋1n2<n2n＋1 [答案] C[解析]观察可得第n－1个式子中不等式的左边为数列{1i2]的前n项的和，右边为分式2n－1n.2．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a2 009＋a2 010＋a2 011等于()A ．1 003B ．1 005C ．1 006D ．2 011[答案] B[解析] 观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a 4n －3＝n ，a 4n －1＝－n ，a 2n ＝n . 又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005.3．数列2，5，22，11，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝3n －3 B ．a n ＝3n －1 C ．a n ＝3n ＋1 D ．a n ＝3n ＋3 [答案] B [解析] 因为a 1＝3×1－1，a 2＝3×2－1，a 3＝3×3－1，a 4＝3×4－1，…，所以a n ＝3n －1.4．(2014·湖北理，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113[答案] B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈13sh ，代入s ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V≈275L 2h时，π≈258.本题的关键是理解“若V≈136L2h，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题5．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________．[答案]S2△ABC＝S△OBC·S△DBC[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC．6．(2014·陕西理，14)观察分析下表中的数据：[答案]F＋V－E＝2[解析]5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F＋V－E＝2.三、解答题7．把下面在平面内成立的结论类比推广到空间中，并判断类比的结论是否成立；(1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．[解析]平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象是体．(1)的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的知识易得此结论成立．(2)的类比结论为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．由空间几何的知识易得此结论不成立，如果两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交．8．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sinα＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2) ＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立.。

成才之路北师大数学选修习题 第章 推理与证明§

2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第1章 推理与证明 §1

成才之路北师大数学选修22习题 第1章 推理与证明§4 含解析