初一年级数学 方程(组)、不等式(组)解题大赛
数学初中竞赛 方程和不等式 专题训练(含答案)
数学初中竞赛方程与不等式专题训练一．选择题1．方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（a＞b），按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）A．11平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．48平方厘米3．球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）A．12 B．16 C．20 D．244．由方程组消去y后化简得到的方程是（）A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 5．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）A．25本B．20本C．15本D．10本6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．7．如图是某汽车公司销售点的环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个销售点某种汽车各50辆．在销售前发现需将A、B、C、D四个销售点的这批汽车分别调整为40、45、54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动辆次n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A．0个B．1个C．10个D．无穷多个9．对于任意的有理数a，方程2x2+（a+1）x﹣（3a2﹣4a+b）＝0的根总是有理数，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．010．已知关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（a＜b）的两根为p、q（p＜q，且pq＞0），则一定有（）A．a＜p＜q＜b B．＞C．＜＜＜D．＜＜＜11．为了预防甲流，某班级准备300元钱，计划购入一批体温计．已知有两种体温计可供选购，其中水银体温计3元/支，电子体温计10元/支，由于水银体温计容易破裂且水银具有毒性，所以希望尽可能多地购买电子体温计．如果该班级共53名同学，且要求每位同学有一支体温计，则最多可购买电子体温计（）支．A．20 B．21 C．30 D．3312．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A．22 B．24 C．25 D．26二．填空题13．已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．15．初三某班共有60名同学，学号依次为1号，2号，…，60号，现分成A，B，C三个小组，每组人数若干，若将B组的小俊（27号）调整到A组，将C组的小芸（43号）调整到B组，此时A，C两组同学学号的平均数都将比调整前增加0.5，B组同学学号的平均数将比调整前增加0.8，同时B组中的小营（37号）计算发现，她的学号数高于调整前B 组同学学号的平均数，却低于调整后的平均数．请问调整前A组共有名同学．16．“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．17．某小区打算购买100盆花装饰花园，20人分三组刚好搬完（假设每人都需要搬），每组人的搬花量如下表，请问第一组可能有人．组别第一组第二组第三组每人搬花盆数 5 4 1018．在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口．19．某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆．如果每辆车刚好坐满（即每个人都刚好有一个座位），就会余下14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车每辆的乘客座位有个．20．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元．三．解答题21．解方程组：22．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2＝0有两个实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1|﹣|x2|＝2，求k的值．23．将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2，第二个数除以2，第三个数减1，第四个数加2，得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59，求这三位数．24．a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c＝0的两实根的绝对值都小于，求a+b+c 的最小值．25．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，ab＝1求证：＝1证明：原式＝＝＝1波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，＞0∴，即x，∴当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知ab＝1，求下列各式的值：＝；②＝．（2）若abc＝1，解方程＝1（3）若正数a、b满足ab＝1，求M＝的最小值．参考答案一．选择题1．解：方程变形得：（x+y）2+2y2＝34，∵34与2y2是偶数，∴x+y必须是偶数，设x+y＝2t，则原方程变为：（2t）2+2y2＝34，∴2t2+y2＝17，它的整数解为，则当y＝3，t＝2时，x＝1；当y＝3，t＝﹣2时，x＝﹣7；当y＝﹣3，t＝2时，x＝7；当y＝﹣3，t＝﹣2时，x＝﹣1．∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组．故选：B．2．解：依题意，得：，整理，得：，（①2﹣②）÷2，得：ab＝24．故选：C．3．解：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得，由②，得：y＝40﹣x﹣z，③将③代入①，得：x﹣z＝24．故选：D．4．解：，由①，得x＝y+1③，将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，化简，得2x2﹣2x+5＝0，故选：D．5．解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意，得：，解得：，答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．故选：C．6．解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．7．解：根据题意可得：互不相邻两点B、D，B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次，两处之和至少16辆次，因而四个销售点调动至少16辆次，又A、B的数量减少，C、D的数量增加，所以从A调11辆到D，从B调1辆到A，调4辆到C，共调整了11+1+4＝16辆．综上，最少调动16辆次．故选：B．8．解：根据题意，得，由②﹣①，得4b+40c＝1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选：A．9．解：∵方程的△＝（a+1）2+8（3a2﹣4a+b）＝（5a﹣3）2+8b﹣8≥0，∴当8b﹣8≥0时，必定△≥0，即方程必有实根，∴b≥1，当b＝1时，3a2﹣4a+1＝（3a﹣1）（a﹣1），∴十字因式分解得方程为（x﹣a+1）（2x+3a﹣1）＝0，∴b＝1成立，当b＝2时，3a2﹣4a+b＝3a2﹣4a+2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解，同理可得b＝﹣1以及0时，方程有可能为无理数解，故b的值为1．故选：A．10．解：设y＝（x﹣a）（x﹣b），则此二次函数开口向上，当（x﹣a）（x﹣b）＝0时，即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），当（x﹣a）（x﹣b）＝1时，∵p、q是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0的两实根，∴函数与y＝1的交点为：（p，1），（q，1），根据二次函数的增减性，可得：当a＜b，p＜q时，p＜a＜b＜q，故＜＜＜当p，q同为负数不合题意，故＞不成立，故选：C．11．解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计（53﹣x）支，由题意，得．10x+3×（53﹣x）≤300．解得：x≤20∴最多可购买电子体温计20支，故选：A．12．解：一半同学是48÷2＝24人，1号给3＝2+1名打电话，2号给4＝2+2名打电话，3号给5＝2+3名打电话，…n号给2+n＝24名打电话，所以n＝22，48﹣22＝26，该班有女生26名，故选：D．二．填空题（共8小题）13．解：x 1+x2＝x 1x2＝＝287q＝7×41×qx 1和x2都是质数则只有x1和x2是7和41，而q＝1所以7+41＝p＝336所以p+q＝337故填：33714．解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．15．解：设A，B，C组调整前的人数分别是n A，n B，n C，则A，B，C调整后的人数分别是n A+1，n，n C﹣1，B设A，B，C组调整前各组的号码之和分别为w A，w B，w C，则A，B，C调整后各组的号码之和分别为w A+27，w+16，w C﹣43，B根据题意得：由③得，n B＝20∴36.2＜＜37，即724＜w B＜740又∵n A+n B+n C＝60∴n C＝40﹣n A④整理得：由①得∴w C+w A＝2500﹣56n A又∵∴w B＝1830﹣（2500﹣56n A）＝﹣670+56n A∴724＜﹣670+56n A＜740解得∵n A为正整数，所以n A＝25所以本题答案为2516．解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，所以（x﹣150）（a+150）＝54100．即10月4日这一天收入54100元．故答案为：54100．17．解：设第一组x人，第二组y人，第三组（20﹣x﹣y）人，由题意得：5x+4y+10（20﹣x﹣y）＝100∴x＝∵x，y为正整数，∴100﹣6y为5的整数倍，∴y＝5或10或15∴x＝14或8或2故答案为：14或8或218．解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；a+30b＝30c①，a+10b＝2×10c②，a+5b≤5×x×c，由①﹣②得：c＝2b，a＝30c﹣30b＝30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，∵b＞0，∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5，答：至少要同时开放4个检票口．19．解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，根据题意知：xy+14＝（x+1）y﹣x﹣1，得y＝x+15，又知xy＞900，即x（x+15）＞900，x2+15x﹣900＞0，解得：x＞或x＜（舍去）即x＞23.43，当x ＝24时，y ＝39，xy ＝936，当x ＝25时，y ＝40，xy ＝1000（不符合题意）即这种客车每辆的乘客座位有39个，故答案为：39．20．解：因为甲店实行每买5枝送1枝，所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，剩下7枝到乙店购买，用去了7×0.85＝5.95，所以小王一共花了：5+5.95＝10.95元．故填：10.95．三．解答题（共5小题）21．解：由①得，（ x +y ）2＝9，则x +y ＝3或x +y ＝﹣3， 与②组成方程组和， 解得，，， 所以原方程组的解为，．22．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△＝[2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝8k ﹣4≥0，解得k ≥．（2）∵x 1、x 2是方程x 2+2（k +1）x +k 2+2＝0有两个实根，k ≥，∴x 1+x 2＝﹣2（k +1）＜0，x 1x 2＝k 2+2＞0，∴（|x 1|﹣|x 2|）2＝x 12﹣2|x 1•x 2|+x 22＝x 12+2x 1x 2+x 22﹣4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（2）2＝20，∴[﹣2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝20，即8k ﹣24＝0，解得：k ＝3．故k 的值为3．23．解：设这个相等的结果为x ，则由三位数分成的四个数分别为：、2x 、x +1、x ﹣2，则这个三位数为：+2x +（x +1）+（x ﹣2）＝﹣1 ∴100≤﹣1＜1000 ∴≤x ＜∴四个数、2x 、x +1、x ﹣2中，2x 最大，由题意得：﹣1＝2×2x +59 ∴＝60∴x ＝120 ∴这个三位数为：×120﹣1＝539答：这个三位数为539．24．解：由于a ，b ，c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根， 则判别式△＝b 2﹣4ac ≥0，若方程的两根设为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则由题设可得x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝， 则﹣＜x 1≤x 2＜0．令f （x ）＝ax 2+bx +c ，即有f （﹣）＞0， 即﹣b +c ＞0，且﹣＜﹣＜0．整理可得：2a ＞3b ，且a +9c ＞3b ，且b 2＞4ac即有2a ＞3b ＞18c ．结合前者，可知，最小为a ＝16，b ＝9，c ＝1．则a +b +c 的最小值为26．25．解：（1）①∵ab ＝1∴a＝∴原式＝+＝+＝1故答案为：1②∵ab＝1∴a＝原式＝+＝1故答案为：1（2）∵＝1，且abc＝1，∴+＝15x＝1x＝（3）∵正数a、b满足ab＝1∴b＝，a＞0，b＞0，∴a+＝（﹣）2+2≥2∵M＝＝＝＝1﹣∴当a+＝2时，M的值最小，∴M最小值＝1﹣＝2﹣2。
初中数学七年级下册 一元一次不等式组的解法-“江南联赛”一等奖
一元一次不等式组的应用（2）本节学习目标：1、进一步巩固一元一次不等式组的解法。
2、会用一元一次不等式组解决有关的实际问题。
3、进一步巩固理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分析问题和解决问题的能力。
列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：(1) 审题；(2)找不等关系，设未知数；(3)根据不等关系列不等式组；(4)解不等式组；(5)由不等式组的解确立实际问题的解；(6)作答已知利民服装厂现有Ａ种布料７０米，Ｂ种布料５２米，现计划用这两种布料生产Ｍ，Ｎ两种型号的时装共８０套，已知做一套Ｍ型号时装需Ａ种布料０.６米，Ｂ种布料０.９米；做一套Ｎ型号时装需Ａ种布料１.１米，Ｂ种布料０.４米；若设生产Ｎ型号的时装套数为Ｘ，用这批布料生产这两种型号的时装有几种方案实践应用，合作探索某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件，已知生产一件A产品需要甲原料9kg，乙原料3kg，生产一件B产品需要甲原料4kg，乙原料10kg，（1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组.（2）有哪几种符合的生产方案（3）若生产一件A产品可获利700元，生产一件B产品可获利1200元，那么采用哪种生产方案可使生产A、B两种产品的总获利最大最大利润是多少（1）本题的不等关系是：生产A种产品所需的甲种原料+生产B种产品所需的甲种原料≤360生产A种产品所需的乙种原料+生产B种产品所需的乙种原料≤290根据上述关系可列不等式组：x)≤360x)≤290 解得：30≤x≤32∵ x取正整数，∴x=30、31、32（2）可有三种生产方案：A种30件，B种20件或A种31件，B种19件或A种32件，B种18件（3）方案一：700×30+1200×20=45000元方案二：700×31+1200×19=44500元方案三：700×32+1200×18=44000元∵ 45000 > 44500 > 44000∴应选择方案一， A种30件，B种20件，此时获利最大，最大利润是45000元。
人教版初中数学七年级下册 解一元一次不等式组-省赛一等奖
§ 一元一次不等式组及其解法 苏永峰教学目标知识与技能：1、了解一元一次不等式组及其解集的概念。
2、会利用数轴求不等式组的解集。
过程与方法：1、培养学生分析实际问题，抽象出数学关系的能力。
2、培养学生初步数学建模的能力。
情感态度价值观：加深学生对数形结合的作用的理解，让学生体会数学解题的直观性和简洁性的数学美。
感受探索的乐趣和成功的体验，使学生养成独立思考的好习惯。
教学重难点重点：不等式组的解法及其步骤。
难点：确定两个不等式解集的公共部分。
教法与学法分析教法：启发式、讨论式和讲练结合的教学方法。
学法：实践、比较、探究的学习方式。
教学课型新授课教学用具多媒体课件教学过程一、知识链接用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200吨且不足1500吨，那么大约多少时间能将污水抽完题中一共有两种数量关系，讲解时应注意引导学生自主探究发现。
（引导学生列不等式组解此实际问题）解：设需要x 分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30x 吨，由题可知301200x >301500x <题中的x 应同时满足两个不等式，从而引出一元一次不等式组的概念：把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组。
301200301500x x >⎧⎨<⎩二、自主学习由上引例引导学生归纳一元一元一次不等式组的概念： 类似于方程组，把两个或两个以上含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组。
注意：1每个不等式必须为一元一次不等式； 2不等式必须是只含有同一个未知数； 3不等式的数量是两个或者多个。
PPT 练习巩固指出下列不等式组是否是一元一次等式组三、合作交流如何解这个一元一次不等式呢回想二元一次方程组的解 （两个方程的公共解）解之，得4050x x >⎧⎨<⎩同时满足两个不等式的未知数，既是两个不等式解集的公共部分，要找出公共部分，就要利用数轴，在此要引导学生重视数轴的作用，并指导学生在数轴如何观察数轴上对应解集的范围。
人教版初中数学七年级下册 解一元一次不等式组-“十校联赛”一等奖
一元一次不等式组一、创设情境，探究不等式组的含义，引出本节内容．活动1问题:用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨，那么大约多少时间能将污水抽完学生活动设计：学生根据已有的不等式的知识进行独立思考．已知条件有：(1)抽水机每分钟可抽30吨水;(2)积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨;(3)未知量x分钟将污水抽完分析：积存的污水不少于1200吨可得30x>1200；积存的污水不超过1500吨可得30x<1500，进而归纳不等式组的概念． 教师活动设计：这是一个实际问题，请学生先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解．此时引导学生发现x 的值要同时满足上述两个不等式，进而引导学生归纳一元一次不等式组的概念．把两个不等式合起来，就组成了一元一次不等式组（此时可以与方程组类比理解）．活动2类比方程组的解，如何确定不等式301200301500x x >⎧⎨<⎩的解集．学生活动设计：学生独立思考，容易分别解出两个不等式组，得到4050x x >⎧⎨<⎩，在解出后进行讨论，然后交流如何确定这个不等式组的解集，经过分析发现x 的值必须同时满足x ＞40，x ＜50两个不等式，于是可以发现x 的取值范围应该是40＜x ＜50；或者运用数轴，如图1，从数轴上容易观察，同时满足上述两个不等式的x 的值应是，两个不等式解集的公共部分，因此解集为40＜x ＜50图1教师活动设计：组织学生进行分析、讨论，引导学生发现：不等式组中两个不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集 在学生寻找解集的过程中，特别引导学生利用数轴来确定不等式组的解集，同时让学生讨论归纳用数轴确定解集的方法：先分别画出解集，然后观察解集的公共部分，最后写出解集．在这个过程中，教师应注重让学生体会不等式组的解集在数轴上的体现．学生完成对活动1的解决过程．解：设x 分钟能将污水抽完，根据题意，得301200(1)301500(2)x x >⎧⎨<⎩． 由（1）得x ＞40． 由（2）得x ＜50．所以不等式组的解集是40＜x ＜50即将污水抽完的时间多余40分钟而少于50分钟最后师生共同归纳不等式组的解集以及解不等式组：一般地，几个不等式的解集的公共部分，就是这个不等式组的解集． 求不等式组的解集的过程，就是解不等式组． 二、 知识应用、巩固提高，使学生进一步理解不等式组的概念以及解不等式组的方法． 活动3例1解下列不等式组，并利用数轴确定其解集．（1）1⎩⎨⎧-<++>-148112x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x （3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+<+33222)6(21x x x学生活动设计：学生独立思考，自主解决问题，可以找三位同学进行板演，然后进行交流． （1）⎩⎨⎧-<++>-148112x x x x解不等式①，得 x ＞2．解不等式②，得x ＞3．在同一条数轴上表示不等式①、②的解集如图2：图2因此，原不等式组的解集是x ＞3．（2）⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3x x x x解不等式①，得x ≤1．解不等式②，得x ＜4．在同一条数轴上表示不等式①、②的解集如图3：图3所以，原不等式组的解集为x ≤1．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+<+33222)6(21x x x解：解不等式①，得x ＜－2．解不等式②，得x ＞0．在同一条数轴上表示不等式①、②的解集，如图4： 所以，原不等式组无解． 教师活动设计：鼓励学生自己解决问题，在交流的过程中，注重学生主体性的发挥，让学生充分表达自己的看法，特别是如何确定不等式的解集的． 三课堂练习，巩固提升解下列不等式组，并把他们在数轴上表示出来：、1、21241x x x x >-⎧⎨+<-⎩ 2、512324x x x x ->+⎧⎨+≤⎩3、251331148x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩四拓展创新、应用提高。
解不等式组50道题
解不等式组50道题一、简单一元一次不等式组（1 - 10题）1. 解不等式组：x + 3>2 2x - 1<5- 解第一个不等式x + 3>2，移项可得x>2 - 3，即x>- 1。
- 解第二个不等式2x-1 < 5，移项得到2x<5 + 1，2x<6，两边同时除以2，得x < 3。
- 所以不等式组的解集为-1 < x < 3。
2. 解不等式组：3x-2≤slant1 x+1>0- 解第一个不等式3x-2≤slant1，移项得3x≤slant1 + 2，3x≤slant3，两边同时除以3，得x≤slant1。
- 解第二个不等式x + 1>0，移项得x>-1。
- 所以不等式组的解集为-1 < x≤slant1。
3. 解不等式组：2x+3≥slant1 -x + 2>0- 解第一个不等式2x+3≥slant1，移项得2x≥slant1 - 3，2x≥slant - 2，两边同时除以2，得x≥slant - 1。
- 解第二个不等式-x + 2>0，移项得x<2。
- 所以不等式组的解集为-1≤slant x<2。
4. 解不等式组：4x-1<7 3x+2≥slant - 1- 解第一个不等式4x-1<7，移项得4x<7 + 1，4x<8，两边同时除以4，得x < 2。
- 解第二个不等式3x+2≥slant - 1，移项得3x≥slant - 1-2，3x≥slant - 3，两边同时除以3，得x≥slant - 1。
- 所以不等式组的解集为-1≤slant x<2。
5. 解不等式组：5x-3>2x x+4<2x - 1- 解第一个不等式5x-3>2x，移项得5x-2x>3，3x>3，两边同时除以3，得x > 1。
- 解第二个不等式x + 4<2x-1，移项得x-2x<-1 - 4，-x<-5，两边同时乘以-1，不等号变向，得x>5。
全国初中数学联赛 10.一次方程(组)与不等式(组)
一次方程（组）与不等式（组）一、一次方程（组）与不等式（组） (1)（一）一次方程（组） (1)（二）一次不等式（组） (2)（三）一次方程（组）与一次不等式（组）的应用 (2)二、含参及绝对值的一次方程与不等式 (3)（一）含参数的一次方程与不等式 (3)（二）含绝对值的一次方程与不等式 (4)⎪ 1 ⎪ x 2 + x 3 + x 4 = a 2 ， ⎨ x 3 + x 4 + x 5 = a 3 ， ⎪ x + x + x = a ， 2.（2005 年全国初中数学联赛 1 试）若实数 x , y 满足x＋ =1 ，＋ =1，则 x + y = _______．3 2一、 一次方程（组）与不等式（组）（一） 一次方程（组）1.（1993 年全国初中数学联赛 1 试）实数 x ， x ， x ， x ， x 满足方程组12 3 4 5⎧ x + x + x = a ， 2 3 1 ⎪ ⎪ 4 5 1 4 ⎪⎩ x 5 + x 1 + x 2 = a 5 .其中 a ， a ， a ， a ， a 是实常数，且 a > a > a > a > a ，则 x ， x ， x ，1234512345123x ， x 的大小顺序是（）45A ． x > x > x > x > x12345C ． x > x > x > x > x31425B ． x > x > x > x > x4 2 1 3 5D ． x > x > x > x > x5 3 1 4 2【难度】★★ 【解析】C给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得x - x = a - a ， x - x = a - a ，14122523x - x = a - a ， x - x = a - a ．31344245∵ a > a > a > a > a ，12345∴ x > x ， x > x ， x > x ， x > x ，14253142于是有 x > x > x > x > x ．31 42 5y 33 +43 33 +63xy53 +43 53 +63【难度】★★ 【解析】432解法 1：假设 x + y = a ，则 y = a - x∴ (33 + 63)x +(33+ 43)(a x ) = (33+ 63)( 3+ 43)，( ) ( ) ( )53+ 432 解法 2：易知 33、 53是关于 t 的方程x⎩4x + 10 y + z = 4.20 ②2 2 t∴ (53+ 63)x +(53+ 43)(a x ) = (53+ 63 )( )即 (63 - 43 )x + (53 + 43 )a = (53 )+ 53 ⋅ 43 + 53 ⋅ 63 + 43 ⋅ 63②② - ①得： (53 - 33 )a = (53 )- (33 ) + (53 - 33 )⋅ 43 + (53 - 33 )⋅ 63∴ a = 33 + 43 + 53 + 63 = 432 ．y+= 1 的两根t + 43 t + 63化简得： t 2 - (x + y - 43 - 63 ) - (63 x + 43 y - 43 ⋅ 63 )= 0由韦达定理得 33 + 53 = x + y - 43 - 63 ，∴ x + y = 33 + 43 + 53 + 63 = 4323.（1991 年全国初中数学联赛 1 试）若 a ， c ， d 是整数， b 是正整数，且满足 a + b = c ， b + c = d ， c + d = a ，那么 a + b + c + d 的最大值是（） A ． -1 B ． -5 C ．0 D ．1【难度】★★ 【解析】B ，由 a + b = c ， b + c = d ， c + d = a 可知： (a + b ) + (c + d ) = c + a ， 所以 b = -d ，代入 b + c = d 得 c = 2d ， a = c + d = 3d ，故 a + b + c + d = 2d + 3d = 5d = -5b ≤ -5 （因为 b ≥1 ）。
人教版初中数学七年级下册 解一元一次不等式组-“百校联赛”一等奖
一元一次不等式组的解法本节的主要内容是会利用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，进而求解．学习目标：（1）会判断一元一次不等式组.（2）会用数轴确定一元一次不等式组的解集，体会数形结合的思想方法.学习重点：求解一元一次不等式组.一、温故知新1、不等式-X＞-2的解是( )A. X＞2B. X＞-2C. X＜2D. X＜-22、不等式( )的解在数轴表示,如图所示:A. X＞-1B. X＜-1C. X≤-1D. X≥-13.下列各式中，哪些是一元一次不等式组哪些不是，为什么二、新课1.定义：一般地，几个一元一次不等式的解集的,叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。
由此可得：有公共部分则不等式有解，无公共部分则不等式。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
2.基础巩固1不等式组的解集在数轴上表示如图，其解集是什么（1）该不等式组解集为：（2）该不等式组解集为：（3）该不等式组解集为：（4）该不等式组解集为：3.基础巩固2利用数轴求下列不等式组的解集4.例题请同学们参考前面所学，试做下面题目（1）（2）归纳解不等式组的步骤：1.求出2.在同一数轴上画出3.找出4.写出5.特别注意，数轴上没有公共部分即三、练习巩固1. 解下列不等式组（1）（2）（3）（4）四、作业教科书习题第1、2题课后练习1.将不等式组13xx⎧⎨⎩≥≤的解集在数轴上表示出来，应是（）013031C 013D01B2.不等式组24030x x ->⎧⎨->⎩，的解集为（） Ａ.23x <<Ｂ. 3x >Ｃ. 2x <Ｄ. 23x x ><-或3.不等式组2030x x -<⎧⎨->⎩的正整数解是（ ）Ａ．0和1Ｂ．2和3Ｃ．1和3Ｄ．1和24.下列选项中，同时适合不等式57x +<和220x +>的数是（ ）Ａ．3Ｂ．-3Ｃ．-1Ｄ．15. 不等式组⎩⎨⎧<>5x a x 无解，则a 的取值范围是（）A. 5>aB.5<aC. a ≥5D. a ≤56.不等式组⎩⎨⎧<->-02012xx 的解集是（）A. 2>xB. 2-<xC. 21>x D.221<<x 7.不等式组⎩⎨⎧->≤22x x 的整数解是______________________.8.解不等式组⎩⎨⎧+<<+14352x x x ，并在数轴上表示解集。
人教版初中数学七年级下册 解一元一次不等式组-“十市联赛”一等奖
一元一次不等式组（第2课时）学习目标：巩固一元一次不等式组解法，能根据题意准确建立一元一次不等式组并求解学习重点：将不同数学形式的问题转化为一元一次不等式组教学过程：一．巩固复习导语：前面，我们学习了一元一次不等式组的相关概念和解法，现在我们一起来回顾一下：课件展示问题，学生思考后回答。
①一元一次不等式组的概念是什么由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
②它的解集是什么含义几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
③求解一个一元一次不等式组应该按照什么步骤进行解一元一次不等式组的步骤：（1）分别解两个一元一次不等式；（2）将两个一元一次不等式的解集表示在同一个数轴上；（3）通过数轴确定两个一元一次不等式解集的公共部分；（4）写出一元一次不等式组的解集．二、展示学习内容（课件展示本节是在掌握基本步骤的基础上继续巩固提高，解决求整数解问题，加深对不等式组解集的理解三、展示学习目标学习目标：巩固一元一次不等式组解法，能根据题意准确建立一元一次不等式组并求解学习重点：将不同数学形式的问题转化为一元一次不等式组四、问题探究（课件展示例1，先引导学生分析讨论，然后学生解答，展示。
）（课件展示例2，先引导学生分析讨论，然后学生解答，展示。
）五、巩固练习（课件展示，学生先独立完成解答后，进行展示并反馈矫正）六、归纳总结通过学习一元一次不等式组及其解法，你有什么体会［规律总结］1、注意应用数形结合思想，即借助数轴来求解2、解不等式时，当在不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变3、对于一些求特殊解如整数解、正整数解、负整数解等的问题，应根据题意仔细辨别七、布置作业教科书习题第3、4、6题。
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初一年级数学方程（组）、不等式（组）解题大赛
班级姓名成绩
答卷时请同学们：踏实、细心、准确、规范！加油！
一、解方程（每题5分，共25分）
1、3x－7(x-1)=3－2(x+3)
2、
12
2(1)(1)
23
x x x x
⎡⎤
---=+⎢⎥
⎣⎦
3、3157
1
46
y y
--
-=4、
2
4
6
2
3
1x
x
x-
=
+
-
-
5、0.10.20.070.1
1
0.30.04
x x
--
-=
二、 解不等式（组）（1、2题每题4分，3、4、5题每题7分共29分）
1、10－3(x ＋6)≤1．
2、112
5
2476312-+≥---x x x
3、⎩⎨⎧-<+--->+-x x x x x 63)12(5),5(2513)1(3
4、⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321),
2(352x x x x
5、⎪⎩⎪
⎨⎧<+-+--≤+.121331),3(410)8(2x x x x
三、 选择合适的方法解方程组：（每题8分共40分） 1、 ⎩
⎨⎧-=--=；，
1613332x y x y 2、
⎩
⎨
⎧=+=-；，
24352y x y x
3、 ⎩⎨⎧=+=-20231954y x y x
4、⎩⎨⎧=-=+107816
52y x y x
5、3()4()4126x y x y x y x y +--=⎧⎪
+-⎨+=⎪⎩
四．验证自己的实力！（本题6分）
已知⎩
⎨⎧+=+=+122,
42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围．
答案：
一、解方程（每题5分，共25分）
1、5=x
2、 2
5
-=x
3、1-=y
4、 4=x
5、22
29
=
x 直接看答案，没步骤
二、解不等式（组）（1、2题每题4分，3、4、5题每题7分共29分） 1、3-≥x 2、 2≤x
直接看答案，没步骤
3、由（1）5<x
由（2）41-<x 所以，解集为：4
1
-<x
4 、由（1）1-≥x
由（2）3<x 所以，解集为：31<≤-x
5、由（1）1≤x
由（1）1->x 所以，解集为：11≤<-x
不等式组阅卷中，每个不等式解集2分，组解集2分，语言1分
三、选择合适的方法解方程组：（每题8分共40分） 1、 1,1-==y x 2、 1,2-==y x 3、1,6==y x 4、 2,3==y x 5、15
11
,1517==
y x 方程组中第一个解对的值4分，第二个解对的值2分，文字语言1分，解1分 四．（一）整体构造12-=-k x y 2分 建立不等式组 2分 答案2分
12
1
<<k （二） 求出3
2
,312=-=x k y 2分
建立不等式组 2分 答案2分 12
1
<<k。