解二元一次方程组(2)教案
§消元二元一次方程组的解法教案44
消元——二元一次方程组的解法（2）教案 下关四中 苏志兵一、教案目标1、会用加减消元法解二元一次方程组以及会列二元一次方程组解决简单的实际问题；2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想；3、培养学生学会自主探索，养成与他人合作、交流的习惯。
二、教案重点1、探索加减消元法解二元一次方程组，体会消元思想；2、灵活运用加减消元法。
三、教案难点1、加减消元法的形成过程；2、如何启发学生探索、引导学生自主尝试，调动交流的积极性。
四、教案过程（一） 情境创设——复习旧知，引出新知※让两位同学扮演牛哥和小马，以小品形式演绎以上情境（用图片吸引学生眼球，以小品增加情趣，活跃气氛，激发兴趣）。
T ：谁来扮演任劳任怨的牛哥？还有千里小马呢？看图回答：教师：听完牛哥和小马的对话，你获取了哪些信息？根据这张图你能算出老牛与小马各驮多少袋吗？请列方程组求解。
（小组讨论，合作完成，请一学生板演） 学生1：解：设老牛驮x 袋，小马驮y 袋，列方程组得X-y=2X+1=2（y-1）……——如何解这个方程组？教师：我们用了什么方法解以上二元一次方程组？学生2：——代入消元法。
累死我 我从你背上拿来一袋，我的包裹就是你的2真的？ 牛哥，你还累？这么大的个，才比我多驮教师：通过代入将二元一次方程组转化为一元一次方程，体现了怎样的数学思想？ 学生3：——体现消元的数学思想。
教师：你能叙述用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤吗？（二）探究新知：牛哥又喊累了——看图片回答：教师：根据这张图你能算出老牛与小马一趟各驮多少袋吗？请列方程组。
学生4：根据题意可设老牛一趟驮x 袋，小马一趟驮y 袋，则 6x+7y=77（1）6x-7y=9 （2）教师：分小组讨论，你会解这个二元一次方程组吗？学生5：用代入消元法：……学生6：用代入消元法，将6x 看作一个整体，由（2）得：6x=9+7y 将此式代入（1）求解。
2014年苏科版七年级下10.2二元一次方程组(2)教案
板书设计
作业布置 课后随笔
x 0 y 2
x 2 y 3
x 1 y 5
y 2x 1 的解。 y x 2
2.写出以 x=1,y=1 为解的二元一 次方程组。 通过练习进一步 巩固今天所学的 知识 。培养学生 自主学习能力。 整 理知 识，检验目 标的实施情况
个公共解。
学生认真听讲， 由 自己先做(或互相 讨论)， 然后回答， 若有答不全的， 教 师 ( 或其他学生 ) 补充
再练一练 学生讨论 ，做一 做，有没有简 单的方法？ 小结： 二元一次方程组的解与二元一 次方程组的解的找法。 教学素材： A 组题： 1.已知下面三对数值：
B 组题：
1.先解一元一次方程 2x-1=-x+2。 再找二元一次方程组
方 程〈1〉的解是：
x 2 y 3
x 5 y 2
x 8 y 1
方程〈2〉的解是：
x 0 x 2 x 4 y 6 y 3 y 0 x 2 所以 是这两个方程的一个公 y 3
共解。 练一练
x 3 x 6 x 9 y 1 y 2 y 3 x 75 y 25 x 75 所以 是这两个方程的一 y 25
新课讲解： 1.列出方程组：
x y 100 （1） x 3 y
（2）
学生在பைடு நூலகம்己的本 子上写出方程组。 再议一议。
x 3 y 11 3 x 2 y 12
展开积极的思考 和激烈的讨论， 通 过开放题的研究， 意识到自己在学 习中的自主性
2.二元一次方程组的解。
(1) 哪几对是方程 2x-y=7 的解； (2) 哪几 对 是方程 x+2y=-4 的 解？ 2．下面三对数值：
二元一次方程组教案3 篇
二元一次方程组教案3 篇一、学习内容分析：执教者钱嘉颖时间XXXX年6月12日1、选自初一年级(下)数学学科第八章(第一单元)第一节(课)(1课时45分钟)2、教材内容简要分析教材以引言中的一个实际例子，“一班和二班进行篮球比赛，总共打了22场。
每胜一场得2分，每负一场得1分，已知比赛结束一班累计得了40分，思考：一班胜了多少场，负了多少场”来开展这次课程。
以本例来首先回忆已学过的一元一次方程的知识内容，以此作为切入点，引导学生思考用两个未知数来表示方程，借此进入二元一次方程的介绍。
之后，引导学生利用一元一次方程的解法特点来思考二元一次方程组的解答方法，本次课程内容主要介绍了代入解答法(也称消元法)的详细解答过程，以及二元一次方程组的实际运用及解答，让学习者更好的吸收及掌握二元一次方程组和二元一次方程组的消元法。
另外，在本单元结束介绍了作为课外知识的“二元一次方程古代表示方法”。
3、学习内容分析表：知识点重点难点编号内容1二元一次方程组定义及特点二元一次方程组的两个特点二元一次方程组成立的条件(未知数要同时满足两个条件)2二元一次方程组代入消元法代入消元法的具体解法消元法与一元一次方程解法间的联系3二元一次方程组实际运用以实际例题列出方程并解答未知数的假设以及运用已知条件列出正确方程。
二、学习者分析：本次教学的对象是云南省某中学的初中一年级学生，平均年龄12岁。
初一年级是学生由幼稚的童年向青年转化和个性逐渐成型的重要转折点，初一年级学生具有其特殊性。
初一年级学生由于刚刚接触完全不同于小学的学习生活而有手足无措的情况。
而在这个时期的学生生理和心理飞速发展变化，自我意识开始强烈，有了自己的兴趣，独立性增强，感情趋于丰富复杂化，有一定独立思考的能力、一定程度的抽象思维能力和逻辑思维能力，处于识记能力最强的时期。
此时，进行的教育可以更加重视独立思考，在数学教学中更加重视引导教学，致使学习者能够更加深刻的理解所学知识，达到教学目标。
人教版七年级数学下册精品教案 第8章 二元一次方程组 第2课时利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
第2课时利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题教师备课素材示例●情景导入两个车间，按计划每月共产生微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120%，第二车间完成计划的115%，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？问题1：这题包含几个相等的关系式？问题2：如果设两车间上个月各生产微型电机x台和y台，则可列方程组为__错误!__.【教学与建议】教学：从数学问题直接导入，激发学生探究的欲望与激情．建议：提出问题后，让学生先思考，后讨论；然后找学生说出他的解题思路，写出解题过程．●置疑导入如图，8块相同的长方形地砖拼成一个大的长方形，小明很快说出每块地砖的长和宽分别是45cm和15cm，你认为他的说法正确吗？为什么？【教学与建议】教学：观察图形解决几何问题，为本节课列方程组解应用题奠定基础．建议：指导学生观察几何图形，理解题意．底48个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有15张白铁皮，用来制盒身和盒底，可以刚好制__144__套．【例2】某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使生产的产品正好配套？解：设x名工人生产镜片，y名工人生产镜架．由题意，得错误!解得错误!答：20名工人生产镜片，40名工人生产镜架，才能使生产的产品正好配套．古代问题都有特殊的问题情境，分析问题情境，确定其中的数量关系及相等关系，根据数量关系及相等关系列出方程组解决问题．【例3】我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？”如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为(A)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解决此类问题的关键在于认真分析图形，根据图形中各部分间的关系确定相等关系，从而得到方程组，通过解方程组解决问题．【例4】如图，在长为15，宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为(B)A．35B．45C．55D．65【例5】餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起(如图)，根据图中的信息计算有20张同样塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是__80__cm.行程问题要抓住时间、路程、速度之间的关系．对于上、下坡问题，要使学生弄清楚来回坡路的变化，从而找出相等关系，正确列出方程组．【例6】一条船顺水航行，每小时行驶22km；逆水航行，每小时行驶18km，设船在静水中速度为/h，则下列方程组符合题意的是(B) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【例7】从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路，如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡路每小时行10km，下玻路每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min，从甲地到乙地全程是__6.5__km.销售问题中常见的数量关系：利润＝售价－进价；售价＝标价×打折数10；利润率＝利润进价×100%.【例8】小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：(1)小明以折扣价购买商品是第__三__次购物；(2)求商品A，B的标价；(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？解：(2)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元．根据题意，得错误!解得错误!答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；(3)设商店是打m折出售这两种商品．根据题意，得(9×90＋8×120)×m10＝1062，解得m＝6.答：商店是打六折出售这两种商品的．高效课堂教学设计1．进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．2．会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组．▲重点列二元一次方程组解应用题．▲难点正确地找出等量关系．◆活动1 新课导入1．原材料费与原材料数量的关系：原材料费＝原材料数量×__单价__．2．运费与产品重量和路程的关系：运费＝产品重量×1吨/千米的运费×__路程__．3．对于较复杂的数量关系：可以通过__列表__来理顺关系．4．根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是__8__元．◆活动2 探究新知1．教材P99探究2.提出问题：(1)“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2”是什么意思？(2)“甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4”是什么意思？(3)本题中有哪些等量关系？你能根据这些关系列出方程或方程组吗？(4)如何表述你的种植方案？学生完成并交流展示．2．教材P100探究3.提出问题：(1)对于此题应如何设未知数？(2)请完成P101表格；(3)此题中的等量关系是什么？请完成P101填空．学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳方程组是解决含有多个__未知数__问题的重要工具，用方程组解决问题时，要根据问题中的__数量__关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的__实际__意义．◆活动4 例题与练习例1 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面上铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：(1)用含2，且地砖总面积是卫生间面积的15倍，铺1m2地砖的平均费用为80元，铺地砖的总费用是多少元？解：(1)地面总面积为(62；(2)由题意，得错误!解得错误!∴地面总面积为6×4＋2×32＋18＝45(m 2). ∴铺地砖的总费用为45×80＝3600(元).例2 某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？ 解：设安排x 公顷种植水稻，y 公顷种植棉花，则(51－x －y)公顷种植蔬菜．根据题意，得错误!解得错误!那么种植蔬菜的面积为51－15－20＝16(公顷).答：安排15公顷种植水稻，20公顷种植棉花，16公顷种植蔬菜，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用．练习1．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为( C )A ．19B ．18C ．16D ．152．某校九年级(1)班40名同学为灾区捐款，共捐款1000元，捐款情况如下表，则捐款20元的有__15__人．3.如图，用48cm的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设每块小长方形的长是.依题意，得错误!解得错误!答：每块小长方形的长是36cm，宽是12cm.◆活动5 完成附赠手册◆活动6 课堂小结1．进一步掌握列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤．2．学会利用列表格分析复杂数量之间的关系，从而列出方程组解决实际问题．1．作业布置(1)教材P102习题8.3第6，7，8，9题；(2)对应课时练习．2．教学反思。
洪山区五中七年级数学下册第7章一次方程组7.2二元一次方程组的解法第2课时加减消元法教案新版华东师大
第2课时 加减消元法1．会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路．通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；2．会用加减法解简单的二元一次方程组．重点学会用加减法解简单的二元一次方程组． 难点准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组．一、创设情境、复习引入用代入法解下面这个程组{3x ＋5y ＝5 ①，3x －4y ＝23 ②，说说用代入法解方程组的关键是什么？你还能用别的方法解这个方程组吗？二、探索问题，引入新知观察方程组：{3x ＋5y ＝5 ①，3x －4y ＝23 ② (1)未知数x 的系数有什么特点？(2)怎么样才能把这个未知数x 消去？这样做的依据是什么？(3)把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减．你得到了什么结果？ 9y ＝－18，(消去了未知数x ，达到了消元的目的)，y ＝－2.把y ＝－2代入①，得3x ＋5×(－2)＝5，x ＝5.所以{x ＝5，y ＝－2. 从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法．【例1】 解方程组：{3x ＋7y ＝9 ①，4x －7y ＝5 ②分析：看一看y 的系数有什么特点？想一想先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？解：①＋②得，7x ＝14，x ＝2.把x ＝2代入①得，6＋7y ＝9，7y ＝3，y ＝37.所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝37.讨论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法、什么条件下用减法？ 当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的．【例2】 解方程组：{3x －4y ＝10 ①，5x ＋6y ＝42 ②分析：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系数变成一样呢？ 解：方法一：利用加减消元法消去未知数y.①×3，②×2得，{9x －12y ＝30 ③，10x ＋12y ＝84 ④ ③＋④得，19x ＝114，x ＝6.把x ＝6代入②得，30＋6y ＝42，y ＝2. 所以{x ＝6，y ＝2.思考：能否先消去x 再求解？方法二：利用加减消元法消去未知数x.解：①×5，②×3，得{15x －20y ＝50 ③，15x ＋18y ＝126 ④， ④－③得38y ＝76，y ＝2把y ＝2代入②得，5x ＋12＝42，x ＝6， 所以{x ＝6，y ＝2.当同一未知数的系数即不相等也不互为相反数，该如何求解呢？一般步骤是：(1)方程组的两个方程中，如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．三、巩固练习1．若二元一次方程组{x ＋y ＝3，3x －5y ＝4的解为{x ＝a ，y ＝b ，则a －b ＝( )A ．1B ．3C .14 D .742．已知关于x ，y 的二元一次方程组{2ax ＋by ＝3，ax －by ＝1的解为{x ＝1，y ＝－1，则a －2b 的值是( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 3．解下列方程组：(1){x －y ＝4，4x ＋2y ＝－1； (2){3x ＋4y ＝－3.4，6x －4y ＝5.2；(3){7x －3y ＝5，－5x ＋6y ＝－6； (4)⎩⎨⎧x 4＋y 3＝7，x 3＋y2＝8.四、小结与作业 小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 作业1．教材第34页“练习”． 2．完成练习册中本课时练习．用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”．垂线在生活中的应用我们在平时的生活经常会垂直的问题，这些垂直的问题就是我们相交线中的有关垂线的知识，下面就用实例来说明垂线在我们生活中的应用.例1 如图1，A 是个居民小区的位置，BC 是一条公路，现决定在小区与公路之间再修建一条公路，使得这条新建的公路最短，则这条公路应如何修筑？分析 要使得这条新建的公路最短，可知新建的公路所在的直线应与原来的公路BC 垂直，这样就相当于过直线外一点引已知直线的垂线.解 可以用三角板或用直尺圆规画出点A 到BC 的垂线段.如图4中的粗线AD 即为所求. 说明 本题中实际上就是过点A 作出BC 的垂线段.垂线段的性质是许多几何说理和作图的重要理论依据，一定要注意训练和巩固.例2 如图2，P 为农田，农民要想将小河里的水引到农田里灌溉，请你为农民设计一个引水方案，使得引水的路径最短.分析 要解决这个问题，实质上就是利用几何作图找出它们之间的垂线段的有关知识即可求解.解 如图2，过点P 作小河的垂线，即图中的PQ 为所作.说明 有关线段的最短实际上就是利用“两点之间线段最短”的性质.例3 如图3，木匠师傅要检测多个长方形木窗是否合格，他应当怎样检测所做的长方形木窗，才知道合不合格？分析 只要检验四个都是直角，即相邻互相垂直即是合格的，否则就是不合格的. 解 因为长方形的每个角都是直角，根据长方形的每相邻的两边都互相垂直，所以木匠师傅可利用角尺来检测。
(完整版)实际问题与二元一次方程组教案2人教版(优秀教案)
《实际问题与二元一次方程方程组》教案教学设计三维目标．用二元一次方程组解决“探究2”提出的问题．．寻求“探究2”的多种解决方案．．加强列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略．教学重点阅读理解，寻求题中等量关系列方程．教学难点寻找“关键词”，列出等量关系．教学过程导入新课出示投影片探究据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是：，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地一分为二，使甲、 乙两种作物的总产量的比是：（结果取整数）？问题．说说你的设计思路．推进新课教师引导：让学生仔细阅读材料内容，土地是长方形的，要一分为二，最简单的方法是分成什么形状？生：分成两个长方形．师：怎么分？生：将长边分成两段和，过作⊥交于，就可以将这块长方形地分为两块长方形土地了．也可以将短边分成两段和，过作⊥于，就可以将这块长方形地分为两块长方形土地了．师：这是粗略的分割方案，、具体在什么位置才可以满足问题要求呢？ 恐怕得通过计db 算才能确定．请同学们分成两组，分别讨论完成上述两种方案． 学生讨论时，教师可提出下列问题供学生在解决问题时思考． ．如何设未知数？．总产量与单位产量关系如何？．设出未知数后，从哪句话中能找到等量关系？ 总结学生的讨论结果：种植方案：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和，设，，长方形土地的长为200m ，所以． ①总产量面积×单位面积产量．设甲的单位面积产量为，因为甲、乙两种作物的单位面积产量的比是：，所以乙的单位面积产量就是1.5a ，即．甲种作物的总产量为··，乙种作物的总产量为··，根据总产量比值是：可以列出32第二个方程（··）：（··）：． ②32将①②两个方程联立就可以得到方程组：20,3(100):(100)3:4.2x y a x a y +=⎧⎪⎨=⎪⎩A A A A 将方程②化简，得：：． ③所以． ④ 由①，得．将④代入③，得（）．所以≈．180017把代入④，得．所以这种种植方案为：过长方形土地长边上离一端约106m 处，把这块地分为两个长方形，较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物．种植方案：如图，甲、乙两作物种植区域分别为长方形和，设 ，．使方案同样的思考方法可得方程组：a100,3(200):(200)3:4.253,47.x y x a y a x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩≈⎧⎨≈⎩A A A A 乙乙 所以这种种植方案为：过长方形土地短边上离一端约53m 处，把这块地分为两个长方形， 较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物．生：我有这样一个想法，因为总产量等于面积×单产，所以有以下运算：3.412.1.538.9⨯=⨯===乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙那么我们只要把长方形土地分成面积比为：的两块，就可以满足种植要求， 这样就有无数多种分割方法，比如分成两块梯形，只是分成梯形后我不会具体求解．师：你的分析很精彩．看来，我们只要抓住事物的本质，就能很快解决问题， 而且有了多种答案．这就是丰富多彩的世界．在你们以后的学习中， 将会解决更复杂的问题．下面请同学们做一个数学游戏：甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个，得和为 ； 乙在同一个加数后面少写了一个，得和为，求原来的两个加数． （学生分组活动）设其中一个加数为，另一个加数为，若被改动了，则甲做和时该数变为，乙做和时，该数变为，于是得方程组：110102342,165.10x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 用代入法或加减法解此方程组都不难，那么我们分组比赛怎么样？请两组各派一名代表板演．解法一：由①，得 ． ③把③代入②，得，解得．110把代入③，得 ×．∴230,42.x y =⎧⎨=⎩ 答：原来的两个加数分别为和． 解法二：①②，得，解得．110把代入①，得× ，∴．∴230,42.x y =⎧⎨=⎩ 答：原来的两个加数分别为和． 随堂练习 课本习题． ．解：设大车一次可运吨，小车一次可运吨，则2315.5,5635.x y x y +=⎧⎨+=⎩②①×，得． 把代入①，得×． 解得．所以说辆大车与辆小车一次可以运货××（吨）． 课堂小结通过进一步学习用二元一次方程组解决实际问题，同学们要学会分析阅读材料，学会从给定问题中寻找等量关系，从而建立数学模型．而且我们还了解到了同一数学问题，并非只有一种方案，往往是多元化，要从不同角度来观察问题、解决问题． 布置作业习题． ．活动与探究如图，在一个正方体的顶点处填上～的数码中的个，每个顶点只填 个数码，使得正方体每个面上的四个顶点所填数码之和均为，那么未被填上的数码是多少？[过程]如果用～中的每个数去试，过程会很繁，根据题意我们可以利用方程这个数学模e an 型，使问题简化．解：设未被填上的数为，根据题意得（…）÷． 得，∴．答：未被填上的数是．备课资料一、科学家和方程的故事有一次德国著名物理学家爱因斯坦病了，他的一位朋友给他出了一道题消遣：“如果时钟上的针指向点钟，在这个位置如果把长针和短针对调一下，它们所指示的位置还是合理的，还是在有些时候，比如点钟， 时针和分针就不能对调，否则会出现时针指向点，而分针指点，这种情况是不可能的．”“问针在什么位置时，时针和分针可以对调，使得新位置仍能指示某一实际上可能的时刻？”爱因斯坦说：“这对于病人确实提了一个很有意思的问题，有趣味而不太容易．只是消磨不少多少时间，我已经快解出来了．”说着他在纸上就解起来了．爱因斯坦画了个草图，钟盘上共有个刻度，分针运转的速度是时针的倍．设所求的时针的位置是点分，此时分针在离点有个刻度的位置， 时针在离点有个刻度的地方．时针走一点时，分针要转一圈，也就是要转个刻度．如果时针指向点钟， 分针要转圈，要转过个刻度．现在时针指向点分，分针从点起已转过了个刻度．由于时针运转的速度是分针的十二分之一，所以时针转过的刻度是个．6012x y+ 把时针、分针对调以后，设所指时刻为点分，这时时针离点有个刻度，个．16012x z+这样就得到了一组不定方程组．160,1260.12x y z x z y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 其中和是不大于的正整数或．让和取到的各种数值时，可以搭配出组解．但是当，时是时针、 分针同时指出点；而，时算出，是点分，即点．这样， 与，是同一组解．因此，这组不定方程只有组解．比如，当，时，解出，，说明点分时，两针重合，可以对调；511511511 当，时，解出，，就是点分与点分两针可以对调．1351434714313514347143爱因斯坦的朋友十分钦佩爱因斯坦的解题能力． 二、参考练习．某人以两种形式储蓄了元，一种储蓄的年利率为，另一种储蓄的年利率为，一年到期时去提取，他共得到利息元角，问两种储蓄他共存了多少钱？．小明去某批零兼营的文具商店，为学校美术活动小组的 名同学购买铅笔和橡皮，按商店规定，若给全组每人各买枝铅笔和块橡皮，则必须按零售价计算，需支付元；若给全组每人各买枝铅笔和块橡皮，则可以按批发价计算，需支付元．已知每枝铅笔的批发价比零售价低元，每块橡皮的批发价比零售价低元， 求这家商店每枝铅笔和每块橡皮的批发价各为多少元？．年全国足球甲联赛共轮（即每个队均需参赛场），全国冠军上海申花队共积分（胜一场得分，平一场得分，负一场得分），并知申花队胜的场数比负的场数的倍还多，问申花队胜、平、负各几场？答案：．解：设两种储蓄各存了元、元，则800,250,10%11%85.5.550.x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩乙乙 所以两种储蓄各存了元，元．．解：设每枝铅笔批发价元，每块橡皮批发价元，可列方程组为30[2(0.1)(0.25)]39,0.3,30(32)42.0.25.x y x x y y ⨯+++==⎧⎧⎨⎨⨯+==⎩⎩乙乙 所以每枝铅笔、每块橡皮的批发价为元，元．．解：设申花队胜、平、负的场数为场、场、场，列方程组得22,14,346,4,3 2. 4.x y z x x y y x z z ++==⎧⎧⎪⎪+==⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩乙乙 所以申花队胜场、平场、负场．。
代入法解二元一次方程组教案
代入法解二元一次方程组教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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解二元一次方程组教案(优秀6篇)
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解二元一次方程组（2）教案
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第七章二元一次方程组
总课时：8课时
使用人：
备课时间：第九周
上课时间：第十三周
第3课时：7、2解二元一次方程组（2）
教学目标[
知识与技能：会用加减消元法解二元一次方程组.
过程与方法：让学生在自主探索和合作交流中，进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力.
情感态度与价值观：通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物的本质这一认识方法.
教学重点
用加减消元法解二元一次方程组.
教学难点
在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已
知”的化归思想.
教学准备：多媒体
教学过程
第一环节：情境引入（10分钟，学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现铺路.）内容：巩固练习，在练习中发现新的解决方法
怎样解下面的二元一次方程组呢？
学生可能的解答方案1：
解1：把②变形，得：,
③
把③代入①，得：,
解得：.
把代入②，得：.
所以方程组的解为.
学生可能的解答方案2：
解2：由②得,
③
把当做整体将③代入①，得：,
解得：.
把代入③，得：.
所以方程组的解为.
（此种解法体现了整体的思想）
学生可能的解答方案3：
解3：根据等式的基本性质
方程①+方程②得：,
解得：,
把代入①，解得：,
所以方程组的解为.
通过上面的练习发现，同学们对代入消元法都掌握得很好了，基本上都能够按要求解出二元一次方程组的解（如方案1），可是也有同学发现（方案2）的解法比（方案1）的解法简单，他是将5y作为一个整体代入消元，依然体现了代入法的核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？它达到“消元”的目的了吗?
（留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x的系数或y的系数）
引导学生发现方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的.
这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.
第二环节：讲授新知（15分钟，教师讲解演示，学生理解识记）
内容1：
（教师板书课题）
下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组.（教师规范表达解答过程，为学生作出示范）
例
解下列二元一次方程组
分析：观察到方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
解：②-①，得：,
解得：,
把代入①，得：,
解得：,
所以方程组的解为.
注意解此题的易错点是②-①时是（2x+3y）-=-1-7，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x，不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；
把y＝-1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常
的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.
师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法）
内容2：巩固练习
［师生共析］
（先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？如学生提出用代入消元法，可以让学生先按此法完成，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决？让学生讨论尝试，学生可能得到的结论如下）
.对于用加减消元法解，x、y的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法.
2.是不是可以这样想，将方程组中的方程用等式的基本性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.
3.只要在方程①和方程②的两边分别除以2和3，x的
系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了.
4.不同意3的做法.如果这样做，是可以解决这一问题，但y的系数和常数项都变成了分数，这样解是不是变麻烦了吗？那还不如用代入消元法了.不如找x的系数2和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得③,在方程②两边同乘以2，得④,然后③-④，就可以将x消去，得,把代入①得，.所以方程组的解为
（在引导的过程中，肯定学生的好的想法.）其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.请大家把解答过程写出来.
解：①×3，得：，
③
②×2,得：，
④
③－④，得：.
将代入①，得：.
所以原方程组的解是.
内容3：议一议
根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：
加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？
用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
［师生共析］
用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：
①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．
②加减消元，得到一个一元一次方程.
③解一元一次方程．
④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．
注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简.通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.
第三环节：巩固新知
内容：
⑴回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组
讨论，并派一个代表阐述自己的意见，试说明两种解方程组的方法的共同特点和各自的优势.
.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
2.只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.
⑵完成课本随堂练习
⑶补充练习：
①选择：二元一次方程组的解是（
）.
A.
B.
c.
D.
②，求x,y的值.
第四环节：课堂小结（5分钟，教师引导学生建立知识框架）
内容：
.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过
消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
2.用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等．
3.用加减法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等．
②加减消元．
③解一元一次方程．
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
第五环节：布置作业
习题7.3
A组（优等生）1、3、4
B组（中等生）1、3
c组（后三分之一生）1
教学反思
课
件www.5y。