高二年级数学学案直线和抛物线
3.3.2第2课时 直线与抛物线的位置关系 导学案正文
第2课时直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.由直线与抛物线的方程,利用代数方法解决与直线和抛物线位置关系有关的问题.2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.◆知识点一直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,则有判别式位置关系交点情况Δ>0直线与抛物线Δ=0直线与抛物线Δ<0直线与抛物线(2)若k=0,则直线与抛物线有交点,此时直线与抛物线的对称轴.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( )(2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.( )◆知识点二弦长公式若直线(斜率为k且k≠0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|==.(1)若直线AB过抛物线的焦点F,则|AB|=,x1x2=,y1y2=.(2)若直线AB过抛物线的焦点F且垂直于x轴,则|AB|=.(3)若直线AB过抛物线的焦点F且直线的倾斜角为α,则|AB|=.◆探究点一直线与抛物线的位置关系例1已知抛物线C:y2=-2x,过点P(1,1)的直线l的斜率为k,当k取何值时,l与C有一个公共点,有两个公共点,无公共点?变式 已知点A (0,2)和抛物线C :y 2=6x ,求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程.[素养小结]当直线与抛物线有两个交点时,设直线方程的方法如下:若抛物线的方程为y 2=±2px (p>0),则设直线l 的方程为x=my+n ;若抛物线的方程为x 2=±2py (p>0),则设直线l 的方程为y=kx+m.◆ 探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦问题例2 已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 与C 交于A ,B 两点.(1)若l 的倾斜角为π6且l 过点F ,求|AB|;(2)若线段AB 的中点坐标为(3,-2),求l 的方程.变式 (1)设点P (x ,y )(y ≥0)为平面直角坐标系内的一个动点,O 为坐标原点,点P 到定点M (0,12)的距离比到x 轴的距离大12. ①求点P 的轨迹方程;②若直线l :y=kx+1与点P 的轨迹交于A ,B 两点,且|AB|=2√6,求实数k 的值.(2)已知抛物线y 2=2x ,过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A ,B 两点,试求弦AB 中点的轨迹方程.[素养小结]“中点弦”问题的两种解题策略(1)点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=y 1-y 2x 1-x 2求斜率,再由点斜式求解. (2)传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x (或y )得关于y (或x )的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,进而求解.◆探究点三抛物线的综合问题例3设点F(1,0),动圆P经过点F且和直线x=-1相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知点D(2,0),过F的直线交C于M,N两点,直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线为定值.MN,AB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2变式 [2024·辽宁六校高二期中] 已知P(4,y0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上位于第一象限的一点,且P到C的焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)设A,B为C上异于P的两点,且直线PA与PB的斜率之积为-4,证明:直线AB过定点.[素养小结]与抛物线有关的综合问题,体现在最值、定点和定值方面,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这些问题的关键是代换和转化.。
高二数学精品学案集：直线与抛物线的位置关系
一﹑学习目标:类比直线与双曲线的位置关系的研究，尝试探究直线与抛物线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路二﹑学习重点：直线与抛物线的位置关系三﹑知识链接：（1）直线与双曲线的位置关系有哪些？是如何研究的？（2）当直线与双曲线相交时，如何求弦长？(3）涉及弦的中点问题，如何解决?四﹑问题探究1﹑已知抛物线的方程为24=，直线l过定点P（—2，1），斜率为y xk，k为何值时，直线l与抛物线24=:只有一个公共点；有两个y x公共点；没有公共点?思考：直线与抛物线的位置关系的讨论，和双曲线完全一样吗?练习：过点（-3,2）的直线与抛物线24=只有一个公共点，求此直y x线方程。
2﹑过抛物线xy122=的焦点作斜率为2的直线l，设l交抛物线于A，B两点。
求∣AB∣；变式一:过抛物线22y px=(p>0)的焦点作倾斜角为θ的直线l，设l交抛物线于A,B两点.（1）求∣AB∣; （2）求∣AB∣的最小值.变式二：抛物线的顶点在原点,以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程。
3﹑已知抛物线22yx =，过点Q （2，1）做一条直线交抛物线于A ﹑B两点，试求弦AB 的中点的轨迹方程。
4﹑已知抛物线24xy =，点P 是抛物线上的动点，点A 的坐标为（12，6），求点P 到点A 的距离与点P 到x 轴的距离之和的最小值。
五﹑巩固练习1﹑与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（ ）A. 230x y -+=B 。
230x y --=C 。
210x y -+= D.210x y --=2﹑过抛物线22x py =（0p >)的焦点F 作倾斜角为θ的弦，则弦长等于（ ） A.22sin pθB.22cos p θC 。
2cos p θD.22cos p θ3﹑抛物线24yx =与直线240x y +-=交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则∣FA|+∣FB ∣=__________=AB __________4﹑已知抛物线24yx =,过P （4,0）的直线与抛物线交于A(1x ,1y ）﹑B(22,x y )两点，则21y +22y 的最小值是_____5﹑抛物线2xy =上到直线240x y --=的距离最小的点P 的坐标为_____6﹑过点M （2，0)作斜率为1的直线交抛物线x y 82=于A,B 两点,求∣AB ∣。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握直线与抛物线的位置关系，能够判断直线与抛物线的位置；2. 学会利用数学知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，直观地展示直线与抛物线的交点情况。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队协作精神，让学生在合作中学习，提高学习兴趣；2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 直线与抛物线的位置关系的判断；2. 利用数形结合方法分析直线与抛物线的位置关系。
难点：1. 对直线与抛物线位置关系的理解；2. 如何在实际问题中应用直线与抛物线的位置关系。
三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT；2. 相关例题及练习题；3. 数学软件或板书。
学生准备：1. 课本；2. 笔记本；3. 草稿纸。
四、教学过程：1. 导入新课：利用PPT展示直线与抛物线的图像，引导学生观察并思考它们之间的位置关系。
2. 知识讲解：讲解直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、平行等情况，并通过实例进行解释。
3. 例题解析：利用数学软件或板书，展示典型例题，引导学生分析解题思路，总结规律。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线位置关系的判断方法及应用。
五、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找直线与抛物线的位置关系应用实例，下节课分享。
注意事项：1. 注重学生个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，充分调动学生的积极性；3. 课堂练习环节，关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。
六、教学拓展：1. 分析其他类型的曲线（如圆、双曲线等）与直线的position relationship；2. 探讨直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如物理中的运动轨迹问题，工程中的优化问题等；3. 利用数学软件，让学生自己尝试绘制不同位置关系的直线与抛物线，加深对知识的理解。
高中数学 专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系教案 1数学教案
直线与抛物线的位置关系【教学目标】1．知识与技能目标：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法2．过程与方法目标：（1）让学生学会联立方程组的解析法与坐标法（2）在推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：（1）让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神.（2）培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.【重点难点】1.教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法．2.教学难点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法的应用．【教学过程】☆情境引入☆上节课我们学习了抛物线的几何性质，熟练掌握抛物线的几何性质是解答抛物线基本问题的法宝，这节课我们继续运用抛物线的几何性质研究抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系.☆探索新知☆新知导学1．直线与抛物线公共点的个数可以有_______________． 将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线_______，若Δ>0，则直线与抛物线_______，若Δ<0，则直线与抛物线____________．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有_____个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程______的问题． 答案：0个、1个或2个，相切，相交，没有公共点，一，根 考点一：直线与抛物线的位置关系已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0．(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)． (2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4．由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点． 当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点． 综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点； k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点； 1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点． [方法规律总结] 判断直线与抛物线的位置关系主要用代数法，要特别注意，平行于抛物线轴的直线与抛物线有且仅有一个公共点． 考点二：弦长问题顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为________ __________________．[方法规律总结] 直线与抛物线相交弦长问题，一般将直线与抛物线方程联立，消元化为一元二次方程，用根与系数的关系求解．若斜率为k 的直线与抛物线两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|． 考点三：对称问题已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧ k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1，y 1＋y 22＝k f(y 21＋y 222－1＋1.)得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k ，y 1y 2＝k 22＋1k －12. ∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0． 故实数k 的取值范围是－2<k <0．针对训练：1.已知点A (0,2)和抛物线C ：y 2＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝6x .得y 2＝0．因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)．如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2．这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝6x .由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0 ①当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2． 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k ．由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y ＋8＝0． 因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2．2.已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝________． 3.已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，求A 、B 两点间的距离．[分析] 本题考查抛物线上的对称问题，可利用A 、B 两点在抛物线上，又在直线上，设出直线方程利用条件求解． ☆课堂小结☆ ☆课后作业☆练习5 A 组 6,7题 ☆课后作业☆练习 A 组 1-3题。
高中数学同步学案 直线与抛物线的位置关系
第二课时 直线与抛物线的位置关系[读教材·填要点]直线与抛物线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m,抛物线：y 2＝2px(p ＞0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0,(1)若a≠0,当Δ＞0时,直线与抛物线相交,有两个交点； 当Δ＝0时,直线与抛物线相切,有一个交点； 当Δ＜0时,直线与抛物线相离,无公共点．(2)若a ＝0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．[小问题·大思维]若直线与抛物线有且只有一个公共点,则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时,只有一个公共点,反过来,当只有一个公共点时,直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．直线与抛物线的位置关系若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与曲线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点,试求实数a 的取值集合．[自主解答] 因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点,所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax有唯一一组实数解．消去y,得[(a ＋1)x －1]2＝ax, 整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.①(1)当a ＋1＝0,即a ＝－1时,方程①是关于x 的一元一次方程,解得x ＝－1,这时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0,即a≠－1时,方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a(5a ＋4)＝0, 解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，当a ＝－45时,原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5.y ＝－2.综上,实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45，0.若将“曲线C ：y 2＝ax 恰有一个公共点”改为“抛物线C ：y 2＝ax(a≠0)相交”,如何求解？解：列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax a≠0，消去x 并化简,得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.(*)①当a ＋1＝0即a ＝－1时：方程(*)化为y ＋1＝0, ∴y ＝－1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，故直线与抛物线相交．②当a ＋1≠0即a≠－1时, 由Δ＝(－a)2＋4a(a ＋1)≥0,得 5a 2＋4a≥0,结合a≠0, 解得a≤－45或a>0.综上所述,实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45∪(0,＋∞)．直线与抛物线的位置关系有三种,即相交、相切、相离,这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断．当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交,此时只有一个交点．1.如图,直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A. (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0,(*)因为直线l 与抛物线C 相切, 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1,故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2,代入x 2＝4y,得y ＝1, 故点A(2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切,所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离． 即r ＝|1－(－1)|＝2.所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.弦长、中点弦问题已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15,求此抛物线方程．[自主解答] 设抛物线方程为：x 2＝ay(a≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0.消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0, ∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0,即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 x 1＋x 2＝a 2,x 1x 2＝a 2,y 1－y 2＝12(x 1－x 2),弦长为|AB|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝54x 1－x 22＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝145a 2－8a .∵|AB|＝15,∴145a 2－8a ＝15,即a 2－8a －48＝0,解得a ＝－4或a ＝12, ∴所求抛物线方程为：x 2＝－4y 或x 2＝12y.(1)研究直线与抛物线的弦长问题,通常不求弦的端点坐标,而是直接利用弦长公式|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|,另外要注意斜率不存在的情况,当弦过焦点时可利用焦点弦公式求解．(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题,处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率．2．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB,若弦恰被Q 平分,求AB 所在直线方程． 解：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②x 1＋x 2＝8， ③y 1＋y 2＝2， ④k ＝y 1－y 2x 1－x 2,⑤ ①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)． 将④代入,得y 1－y 2＝4(x 1－x 2),4＝y 1－y 2x 1－x 2.∴k ＝4.经验证,此时直线与抛物线相交．∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4), 即4x －y －15＝0.抛物线中的定点、定值问题A,B 是抛物线y 2＝2px(p>0)上的两点,并满足OA ⊥OB,求证：(1)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别都是一个定值； (2)直线AB 经过一个定点．[自主解答] (1)因为AB 斜率不为0,设直线AB 方程为my ＝x ＋b,由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x ＋b ，y 2＝2px ，消去x,得y 2－2pmy ＋2pb ＝0.由Δ＝(－2pm)2－8pb>0,又∵y 1＋y 2＝2pm,y 1y 2＝2pb,OA ⊥OB, ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.∴y 21·y 224p2＋y 1·y 2＝0.∴b 2＋2pb ＝0.∴b ＋2p ＝0.∴b ＝－2p. ∴y 1y 2＝－4p 2,x 1·x 2＝b 2＝4p 2.所以A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是4p 2和－4p 2；(2)直线AB 的方程为my ＝x －2p, 所以AB 过定点(2p,0)．直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题,如果该定值是个待求的未知量,则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值,然后证明该定值即为所求．3．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A,B,求证：y A ·y B ＝－p 2. 证明：①斜率不存在时y 1＝p,y 2＝－p, ∴y 1y 2＝－p 2.②斜率存在时,⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 得,y ＝k·y 22p －kp2,∴y 1·y 2＝－kp 2k 2p ＝－p 2.解题高手 多解题 条条大路通罗马,换一个思路试一试抛物线y 2＝x 上,存在P,Q 两点,并且P,Q 关于直线y －1＝k(x －1)对称,求k 的取值范围． [解] 法一：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧y 1－y 2＝－1k x 1－x 2，y 1＋y 22－1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1，∴y 1＋y 2＝－k.∴－k 2－1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 21＋y 222－1＝k 2[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2－2]． ∴－k －2＝k[k 2－2y 1(－k －y 1)－2]． ∴2ky 21＋2k 2y 1＋k 3－k ＋2＝0. ∴Δ＝4k 4－8k(k 3－k ＋2)>0. ∴k(－k 3＋2k －4)>0. ∴k(k 3－2k ＋4)<0. ∴k(k ＋2)(k 2－2k ＋2)<0. ∴k ∈(－2,0)．法二：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),且PQ 的中点M(x 0,y 0), 由题意可知直线y －1＝k(x －1)的斜率存在,且k≠0. 不妨设直线PQ 的方程为x ＋ky ＋m ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋m ＝0，y 2＝x ，得y 2＋ky ＋m ＝0. ∴y 1＋y 2＝－k. 即y 0＝－k 2,x 0＝12－1k.又∵中点M(x 0,y 0)在抛物线的内部, ∴y 20<x 0,∴k 3－2k ＋4k<0,即k ＋2k 2－2k ＋2k<0,∴k ∈(－2,0)．1．若直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py(p>0)相交于A,B 两点,则|AB|等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p解析：将直线方程代入抛物线方程, 可得x 2－4px －p 2＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝4p,∴y 1＋y 2＝9p. ∵直线过抛物线的焦点,∴|AB|＝y 1＋y 2＋p ＝10p. 答案：B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线,与抛物线y 2＝8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：不妨设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 由直线AB 斜率为－2,且过点(1,0)得直线AB 方程为y ＝－2(x －1), 代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x, 整理得x 2－4x ＋1＝0, ∴x 1＋x 2＝4,x 1x 2＝1, ∴|AB|＝1＋k2|x 1－x 2|＝5[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝215.答案：B3．过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点,这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：斜率不存在时,直线x ＝0符合题意,斜率存在时,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0, k ＝0时,符合题意, k≠0时,由Δ＝0得k ＝12.答案：C4．已知△OAB 为等腰直角三角形,其中|OA|＝|OB|,若A,B 两点在抛物线y ＝14x 2上,则△OAB 的周长是________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 2<0<x 1,由|OA|＝|OB|及抛物线的对称性知AB ⊥y 轴,y 1＝x 1,又y 1＝14x 21,所以x 1＝y 1＝4,故|OA|＝|OB|＝42,|AB|＝8,△OAB 的周长为8＋8 2.答案：8＋8 25．已知抛物线y 2＝2px(p ＞0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2,即x ＝y ＋p 2,将其代入得：y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2,所以y 2－2py －p 2＝0,所以y 1＋y 22＝p ＝2,所以抛物线的方程为y 2＝4x,准线方程为x ＝－1.答案：x ＝－16．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标等于2,求弦AB 的长． 解：将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得： k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，4k ＋82－16k 2>0⇒k>－1且k≠0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0.解得k ＝2或k ＝－1(舍去)． 由弦长公式得： |AB|＝1＋k 2·64k ＋64k2＝5×1924＝215.一、选择题1．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 1y 2x 1x 2的值为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：取特殊位置,当AB ⊥x 轴时,A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p . ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 答案：B2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：准线x ＝－2,Q(－2,0),设l ：y ＝k(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时,x ＝0,即交点为(0,0), 当k≠0时,Δ≥0,－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上,k 的取值范围是[－1,1]． 答案：C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2,－1),则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ax ，x ＝－p2，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－bp 2a ，x ＝－p2.由题得知⎩⎪⎨⎪⎧－bp2a＝－1，－p2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4.又知p 2＋a ＝4,故a ＝2,b ＝1,c ＝a 2＋b 2＝5,∴焦距2c ＝2 5. 答案：B4．设定点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 的距离为d 1,P 到抛物线准线l 的距离为d 2,则d 1＋d 2取最小值时,P 点的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1,2)C ．(2,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－12解析：连接PF,则d 1＋d 2＝|PM|＋|PF|≥|MF|,知d 1＋d 2的最小值为|MF|,当且仅当M,P,F 三点共线时,等号成立,而直线MF 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎪⎫x －12,与y 2＝2x 联立可得x ＝2,y ＝2.答案：C 二、填空题5．已知抛物线y 2＝4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则y 21＋y 22的最小值是________．解析：显然x 1>0,x 2>0.又y 21＝4x 1,y 22＝4x 2,所以y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)≥8x 1x 2,当且仅当x 1＝x 2＝4时取等号,所以y 21＋y 21的最小值为32.答案：326．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 作斜率为45°的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 的长为8,则p ＝________.解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由条件可知直线AB 的方程为y ＝x －p 2,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－px ＋p24＝2px.即x 2－3px ＋p24＝0,又|AB|＝8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝8. ∴x 1＋x 2＝8－p. 即3p ＝8－p,∴p ＝2. 答案：27．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A,B 两点,过A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x 2－10x ＋9＝0,得x ＝1或9,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP|＝10,|BQ|＝2或|BQ|＝10,|AP|＝2,所以|PQ|＝8,所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.答案：488．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A,B 满足AF ―→＝3FB ―→,则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：依题意,设直线AB 的方程是x ＝my ＋1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(my ＋1),即y 2－4my －4＝0,所以y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝－ 4. 又AF ―→＝3FB ―→,AF ―→＝(1－x 1,－y 1),FB ―→＝(x 2－1,y 2),于是有－y 1＝3y 2,y 22＝43, (y 1＋y 2)2＝4y 22＝163, 弦AB 的中点到准线的距离为x 1＋x 22＋1＝y 21＋y 228＋1 ＝y 1＋y 22－2y 1y 28＋1＝163＋88＋1＝83. 答案：83三、解答题9．已知抛物线y 2＝－x 与直线l ：y ＝k(x ＋1)相交于A,B 两点．(1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时,求k 的值．解：(1)证明：易知k≠0,联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝－x ，y ＝k x ＋1，消去x,得ky 2＋y －k ＝0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝－1k,y 1·y 2＝－1. 因为y 21＝－x 1,y 22＝－x 2,所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2,所以x 1·x 2＝1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即OA ―→·OB ―→＝0,所以OA ⊥OB.(2)设直线l 与x 轴的交点为N,则N 的坐标为(－1,0),所以S △AOB ＝12|ON|·|y 1－y 2| ＝12×|ON|×y 1＋y 22－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k2＋4＝10,解得k 2＝136,所以k ＝±16. 10.如图,过抛物线y 2＝x 上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC 交抛物线于B,C 两点,求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设AB 的斜率为k,则AC 的斜率为－k.故直线AB 的方程是y －2＝k(x －4),与y 2＝x 联立得,y －2＝k(y 2－4),即ky 2－y －4k ＋2＝0.∵y ＝2是此方程的一解,∴2y B ＝－4k ＋2k ,y B ＝1－2k k, x B ＝y 2B ＝1－4k ＋4k 2k 2. ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k＋4k 2k 2，1－2k k . ∵k AC ＝－k,以－k 代替k 代入B 点坐标得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋4k＋4k 2k 2，1＋2k －k , ∴k BC ＝－1＋2k k －1－2k k 1＋4k ＋4k 2k 2－1－4k ＋4k 2k 2＝－14为定值．。
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
一．教学目标
1. 掌握抛物线的定义
2. 了解抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法
3. 掌握抛物线与直线位置关系，间接联系条件概率
二．教学准备
1. 白板，粉笔
2. 激励故事/简答题
3. 图片和例题
三．教学步骤
（一）引入
1. 播放激励性故事，引起学生对直线与抛物线的兴趣。
2. 设置简答问题，让学生思考直线与抛物线的关系，启发学生思维。
（二）快速拓展
1. 定义抛物线，并介绍抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法等。
2. 出示图片，解释抛物线与直线的位置关系：直线交抛物线两次，有两个不同的焦点；抛物线有唯一的轴对称性，其实现此轴为中轴线；两个焦点到中轴线的距离相等，为直线的焦点距。
（三）深度应用
1. 针对存在的问题，出示例题，通过研究解答，进一步深入探讨抛物线与直线位置关系的内容。
2. 邀请学生回答问题，让学生认识到解决问题的过程，加深对位置关系的理解。
（四）归纳总结
1. 回顾本节课学习内容，并总结抛物线与直线之间位置关系。
2. 介绍抛物线与条件概率的间接联系，强化对本节内容的理解加深认识。
四．教学反思
本节课学习内容比较复杂，时间较紧张，未能充分挖掘学生的潜力，希望能给学生更多的思考空间，让学生能更好的理解抛物线与条件概率的联系。
高二数学人教版选修2-1教案：直线与抛物线的位置关系二
课堂小结 本节反思Fra bibliotek反思一下本节课，你收获到了什么？
★练习 2：已知直线 y ax 1与双曲线 3x 2 y 2 1 交于 A 、 B 点。
(1)求 a 的取值范围；（2）若以 A B 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的
值；
当堂检测 1、 求过定点 A(0,1) 的直线被双曲线 x2 y2 1截得的弦 MN 的中点恰为
4 A 的直线方程
例 3：双曲线 x 2 y 2 1经过点（1,1）能否作一条直线 L，使直线 L 与 2
双曲线交于 A,B 两点，且 M 是线段 AB 的中点，若存在这样的直线 L,求出 其方程，若不存在说明理由。
练习：1.双曲线一个焦点 F( 7 ,0),直线 L: y x 1与其交于 M,N 两点， 且 M,N 中点横坐标为 2 ，求双曲线的标准方程 3
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程 （Ⅱ）若直线 l : y kx 2 与双曲线恒有两个 不同的交点 A 和 B 且 OA • OB 2 （其中 O 为原点），求 k 的取值范围
练习 1：.
双曲线 x 2 a2
y2 b2
1，离心率 e
3 ，直线 y x 1与双曲线
交于 P,Q 两点， OP OQ 3 ,求双曲线的标准方程
人教 B 版选修 2—1 直线与抛物线的位置关系二
（ ）月（ ）日
编者:
鲁海英
审稿人：全组人员
星期
新授课
教学目标
1.初步掌握与双曲线有关的中点弦、轨迹等问题的一些重要解题技巧； 4.进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.
授课类型：
高二数学学案直线与抛物线的位置关系及其应用
3.3.2直线与抛物线的位置关系及其应用课前案【问题引领】回顾直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，我们如何研究直线与抛物线的位置关系呢？课中案一、【目标导航】（1）理解焦点弦的各种性质（2）会解决直线与抛物线的各种题型二、路径导航例1、已知AB 是抛物线()220y p xp =>的焦点弦，F 为抛物线的焦点， ()1122(x ,y ),A B x y ,求证：（1）2212124py y p x x =-= (2)1222sin pAB x x p θ=++=(θ为直线AB 与x 轴的夹角)（3）22sin AOB p S θ∆= （4）112AF BF p += （5）以弦AB 为直径的圆与准线相切课后案 A 组1. 等腰直角三角形AOB 内接于抛物线)0(22>=p px y ，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则AOB∆的面积是（ ）A. 28p B. 24p C. 22p D. 2p2、已知AB 是抛物线y 2＝2px 的任意一条焦点弦，以AB 为直径的圆与准线（ ）。
A 、相离B 、相切C 、相交D 、以上都不正确3. 过抛物线2ax y =（0>a ）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q p 11+的值为（ ）A. a 2B. a 21C. a 4D. a 44.过抛物线24y x =的焦点F 做斜率为3的直线，交抛物线于A 、B 两点，若(1)AF FB λλ=> ,则λ=（ ）A.3B.4C.5D.65.已知直线(x 2)(k 0)y k =+> 与抛物线C ：28y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则实数k 的值为（ ）A.13B.23C.23D.2236.过抛物线22(0)y p x p =>的焦点F 作倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A,B 两点，若线段AB 的长为8，则p = _ __7.过抛物线22y x=的焦点F 作直线交抛物线于,A B两点，若25,,12AB AF BF =<则A F = .8.已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 9．如图，直线y ＝x －2与抛物线y 2＝2x 相交于不同的两点A ，B ，求证OA ⊥OB10.过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程11如图，吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一段，宽为7m ，高为0.7m 。
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高二年级数学学案（19）直线与抛物线的位置关系
一、基础梳理
1、直线与抛物线的位置关系及判定：将直线方程与抛物线方程联立可得： 一元一次方程（直线与抛物线的对称轴平行）：相交且只有一个交点 一元二次方程：①△ 0，则直线与抛物线相交②△ 0，则相切；③△ 0，则相离； 反思：一般地，点P 在抛物线内，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线只有一条；点P 在抛物线上，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线有两条；点P 在抛物线外，则过点P 且和抛物线只有一个公共点的直线有三条。
2.类比椭圆、双曲线，得到弦长AB =___________________________________
3.抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ：设A 12(,)x x B 12(,)y y ，AB =_____________
4、类比椭圆和双曲线，归纳抛物线的中点弦问题的解决方法：
①联立直线方程与曲线方程，韦达定理相结合 ②点差法
二、自我检测
1.过点P （2,4）作直线，与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有__________条
2.抛物线x y 22=与过焦点的直线l 交于A 、B 两点，则OB OA ∙=( ) A.
43 B.4
3- C.3 D.-3
3.直线1+=x y 截抛物线px y 22=所得弦长为62，此抛物线方程为________________
4.斜率为1的直线经过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，AB =_____________
5.已知抛物线的方程为x 4y 2=，直线l 过定点P （-2,1），斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点。
6.已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于A 12(,)x x B 12(,)y y 两点，
求证：（1）21x x 42p =；（2）221p y y -=（3）FB FA 11+为定值p
2；。