江苏省盐城市射阳县中考数学一模试卷(含解析)

2016年江苏省盐城市射阳县中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共24分．以下每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请把正确选项的字母填入括号内）1．﹣的绝对值是（）A．﹣3 B．C．﹣ D．32．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×10103．下列四个立体图形中，左视图为矩形的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④4．下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．a2•a3=a6C．a8÷a2=a4D．（a2）3=a65．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．6．某校举办校园文化艺术节，在这次艺术节上，合唱比赛设置了6个获奖名额，共有11个代表队参加，他们的比赛得分均不相同，若知道某个代表队的得分，要判断他们是否获奖，在下列11个代表队成绩的统计量中，只需知道（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差7．用一个半径为30cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6交x轴于点A，交y轴于点B，D1是线段AB的中点，过D1作D1E1⊥x轴于E1，连接BE1交OD1于D2；过D2作D2E2⊥x轴于E2，连接BE2交OD1于D3；过D3作D3E3⊥x轴于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n．则S n为（）A． B． C．D．二、填空题：每小题3分，共30分9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10．如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=45°，则∠2的度数为______．11．若x﹣2y﹣4=0，则5﹣2x+4y=______．12．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，要使它成为正方形，应添加的条件是______（只填写一个条件即可）13．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为______．14．在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数______．15．如图，在下列正方形网格中，标注了射阳县城四个大型超市的大致位置（小方格的边长为1个单位）．若用（0，﹣2）表示苏果超市的位置，用（4，1）表示文峰超市的位置，则大润发超市的位置可表示为______．16．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE=6cm，sinA=，则菱形ABCD的面积是______cm2．17．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB=______米．18．如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B．若OA=3BC，则k的值为______．三、解答题：本大题共9小题，共96分19．（1）计算：（）﹣1﹣20160+6cos30°﹣；（2）化简：÷（1﹣）20．如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，求证：∠ABE=∠CDF．21．小明在春节期间去给爹爹、奶奶和外公、外婆拜年，小明从家里去爹爹家有A1、A2两条路线可走，从爹爹家去外公家有B1、B2、B3三条路线可走，如果小明随机选择一条从家里出发先到爹爹家给爹爹、奶奶拜年，然后再从爹爹家去外公家给外公、外婆拜年．（1）画树状图分析小明所有可能选择的路线．（2）若小明恰好选到经过路线B3的概率是多少？22．某校政教处为了了解学生家长对学校管理工作的满意程度，在一次家长会上随机抽样调查了部分学生家长，主要有四种态度：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．他们将调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中的信息回答下列问题：（1）这次抽样调查的家长有______人；（2）请将统计图①补充完整；（3）在统计图②中，“基本满意”部分所对应的圆心角是______度．（4）根据抽样调查结果，请你估计参加家长会的1500名学生家长约有多少人认为学校管理工作达到基本满意以上（含基本满意）？23．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BAC的外角平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证：AD=BD；（2）若AC=10，AF=3，DF：FE=3：2，求DE的长．24．盐阜商场试销一种品牌服装，成本为每件300元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于20%，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表：销售单价x…330 335 340 345 …（元）销售量y（件）…240 230 220 210 …（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，要在后羿公园内的东西方向的两地之间修一条游客步行道路MN，已知C点周围50米范围内为中共华工委纪念馆，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A 向东走150米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（1）NM是否穿过中共华中工委纪念馆？为什么？（参考数据：≈1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前6天完成，需将原定的工作效率提高30%，则原计划完成这项工作需要多少天？26．已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）解决问题如图1，当α=90°时，若BP=2AP=4，求P1、P2两点间的距离；（2）变式训练如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；（3）深入探究如图3，若点Q是△P2PB的外心，连接PQ，试探究P1P与PQ之间的位置关系，并说明理由．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），直线y=kx﹣3经过B、C两点．（1）求k的值既抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段BC上一点，设△ABP、△APC的面积分别为S△ABP、S△APC，且S△ABP：S△APC=2：3，求点P的坐标；（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙O与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由，并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐标轴同时相切？2016年江苏省盐城市射阳县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分．以下每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请把正确选项的字母填入括号内）1．﹣的绝对值是（）A．﹣3 B．C．﹣ D．3【考点】绝对值．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．【解答】解：﹣的绝对值是，故选B2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）A．44×108B．4.4×109C．4.4×108D．4.4×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4 400 000 000=4.4×109，故选：B．3．下列四个立体图形中，左视图为矩形的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．③④【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据左视图是分别从物体左面看，所得到的图形，即可解答．【解答】解：长方体左视图为矩形；球左视图为圆；圆锥左视图为三角形；圆柱左视图为矩形；因此左视图为矩形的有①④．故选：B．4．下列计算正确的是（）A．2a+3b=5ab B．a2•a3=a6C．a8÷a2=a4D．（a2）3=a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及单项式乘以单项式运算法则求出答案．【解答】解；A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；B、a2•a3=a5，故此选项错误；C、a8÷a2=a6，故此选项错误；D、（a2）3=a6，故此选项正确；故选：D．5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．6．某校举办校园文化艺术节，在这次艺术节上，合唱比赛设置了6个获奖名额，共有11个代表队参加，他们的比赛得分均不相同，若知道某个代表队的得分，要判断他们是否获奖，在下列11个代表队成绩的统计量中，只需知道（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差【考点】统计量的选择．【分析】由于比赛设置了6个获奖名额，共有11名选手参加，故应根据中位数的意义分析．【解答】解：因为6位获奖代表队的分数肯定是11名参赛代表队中最高的，而且11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有6个数，故只要知道中位数就可以知道是否获奖了，故选：B．7．用一个半径为30cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm【考点】圆锥的计算．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程求出r即可．【解答】解：根据题意得•2π•r•30=300π，解得r=10（cm）．故选B．8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6交x轴于点A，交y轴于点B，D1是线段AB 的中点，过D1作D1E1⊥x轴于E1，连接BE1交OD1于D2；过D2作D2E2⊥x轴于E2，连接BE2交OD1于D3；过D3作D3E3⊥x轴于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n．则S n为（）A． B． C．D．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据直线AB的解析式可找出点A、B的坐标，再根据点D n、E n的作法，找出点E n 的坐标以及D n E n的长度，依据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵直线y=x+6交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（﹣8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=4．由已知得：E1（﹣4，0），E2（﹣，0），E3（﹣2，0），E4（﹣，0），…，∴E n（﹣，0），∴D n E n=．∵S n==D n E n•OE n=，∴S n==．故选A．二、填空题：每小题3分，共30分9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≤5 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，5﹣x≥0，解得x≤5，故答案为：x≤5．10．如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=45°，则∠2的度数为135°．【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥b，∠1=45°，∴∠3=∠1=45°，∴∠2=180°﹣45°=135°．故答案为：135°．11．若x﹣2y﹣4=0，则5﹣2x+4y= ﹣3 ．【考点】代数式求值．【分析】原式后两项提取﹣2变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵x﹣2y﹣4=0，即x﹣2y=4，∴原式=5﹣2（x﹣2y）=5﹣8=﹣3，故答案为：﹣3．12．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，要使它成为正方形，应添加的条件是AB=BC （只填写一个条件即可）【考点】正方形的判定；矩形的性质．【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．【解答】解：AB=BC，理由是：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC．13．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】设关于x的方程x2+3x+a=0的两根分别为m、n，由根与系数的关系可得出m+n=﹣3，结合m=﹣1，即可得出结论．【解答】解：设关于x的方程x2+3x+a=0的两根分别为m、n，由已知得：，解得：n=﹣2．故答案为：﹣2．14．在一个不透明的盒子中有12个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是，则黄球的个数 6 ．【考点】概率公式．【分析】设黄球的个数为x个，根据概率公式得到=，然后解方程即可．【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得=，解得x=6，所以黄球的个数为6个．故答案为6．15．如图，在下列正方形网格中，标注了射阳县城四个大型超市的大致位置（小方格的边长为1个单位）．若用（0，﹣2）表示苏果超市的位置，用（4，1）表示文峰超市的位置，则大润发超市的位置可表示为（﹣1，4）．【考点】坐标确定位置．【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到大润发超市位置所在的坐标．【解答】解：由题意可得，如右图所示的平面直角坐标系，∴大润发超市的位置可表示为（﹣1，4），故答案为：（﹣1，4）．16．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，DE=6cm，sinA=，则菱形ABCD的面积是60 cm2．【考点】菱形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】已知DE以及sinA的值，可求出AD的长．根据菱形的性质求出面积．【解答】解：在Rt△DAE中，sinA==，且DE=6cm，∴AD=10cm．由菱形的性质可知AB=AD=10cm，∴菱形ABCD的面积=DE×AB=6×10=60（cm2）．17．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB= 6 米．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．【解答】解：∵，当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即=，当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即==，∴=，∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，设AB=x，BC=y，∴===，即=，即2（y+1）=y+5，解得：y=3，则=，解得，x=6米．即路灯A的高度AB=6米．18．如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y=x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y=（k＞0，x＞0）交于点B．若OA=3BC，则k的值为．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．【分析】分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（3x， x），由于OA=3BC，故可得出B（x， x+4），再根据反比例函数中k=xy为定值求出k的值即可．【解答】解：分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x， x），∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF=OD，∵点B在直线y=x+4上，∴B（x， x+4），∵点A、B在双曲线y=上，∴3x•x=x•（x+4），解得x=1，∴k=3×1××1=．故答案为．三、解答题：本大题共9小题，共96分19．（1）计算：（）﹣1﹣20160+6cos30°﹣；（2）化简：÷（1﹣）【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先算加减，再算除法即可．【解答】解：（1）原式=2﹣1+6×﹣3=2﹣1+3﹣3=1；（2）原式=÷=•=．20．如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，求证：∠ABE=∠CDF．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】利用平行四边形的性质得出∠BAC=∠DCF，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵AF=CE，∴AE=FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠BAC=∠DCF，在△ABE和△CDF中∵，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠ABE=∠CDF．21．小明在春节期间去给爹爹、奶奶和外公、外婆拜年，小明从家里去爹爹家有A1、A2两条路线可走，从爹爹家去外公家有B1、B2、B3三条路线可走，如果小明随机选择一条从家里出发先到爹爹家给爹爹、奶奶拜年，然后再从爹爹家去外公家给外公、外婆拜年．（1）画树状图分析小明所有可能选择的路线．（2）若小明恰好选到经过路线B3的概率是多少？【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）根据（1）中的树状图即可求得经过路线B3的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则所有可能选择的路线有：A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，所以小明选择的路线有6种．（2）由（1）知道从小明家到外公家共有6条路线，经过B3的路线有2条．∴小明恰好选到经过路线B3的概率=．22．某校政教处为了了解学生家长对学校管理工作的满意程度，在一次家长会上随机抽样调查了部分学生家长，主要有四种态度：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．他们将调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中的信息回答下列问题：（1）这次抽样调查的家长有120 人；（2）请将统计图①补充完整；（3）在统计图②中，“基本满意”部分所对应的圆心角是60 度．（4）根据抽样调查结果，请你估计参加家长会的1500名学生家长约有多少人认为学校管理工作达到基本满意以上（含基本满意）？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据A的人数除以占的百分比，得出调查总数即可；（2）将总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数；（3）用C的人数占被调查人数的比例乘以360°可得；（4）根据A、B、C占的百分比乘以1500即可得到结果．【解答】解：（1）这次抽样调查的家长有30÷25%=120（人）；（2）表示“满意”的人数为：120﹣30﹣20﹣10=60（人），补全条形图如图：（3）“基本满意”部分所对应的圆心角是：360°×=60°；（4）1500×=1375（人），答：估计参加家长会的1500名学生家长约有1375人认为学校管理工作达到基本满意以上（含基本满意）．故答案为：（1）120；（3）60．23．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BAC的外角平分线，F为上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．（1）求证：AD=BD；（2）若AC=10，AF=3，DF：FE=3：2，求DE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．【分析】（1）由圆内接四边形的性质及圆的性质可求得∠DBA=∠DAB，从而可证明AD=BD；（2）由条件可证得△AEF∽△DAC，再利用相似三角形的性质可求得DE的长．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACM，∴∠ACD=∠MCD，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠MCD=∠BAD，又∠ACD=∠ABD，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD；（2）解：∵BD=AD，BC=AF，∴=， =，∴=，∴CD=DF，∵BC=AF，∴∠BDC=∠ADF，∴∠CDA=∠BDF=∠EAF，由（1）可知∠DCA=∠DBA，且∠EFA=∠DBA，∴∠DCA=∠EFA，∴△AEF∽△DAC，∴=，∴=， =，∴EF•DF=30，∵DF：FE=3：2，∴设DF=3x，则FE=2x，∴6x2=30，解得x=，∴DE=DF+FE=5x=5．24．盐阜商场试销一种品牌服装，成本为每件300元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于20%，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如表：销售单价x…330 335 340 345 …（元）销售量y（件）…240 230 220 210 …（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）先求得单价的定价范围，然后根据利润=每件获利×件数列出利润的函数关系式，然后根据自变量的取值和二次函数的对称性即可求得最大利润．【解答】解：（1）根据所给数据可知y与x的图象是一条直线．设y与x的函数关系式为y=kx+b．将x=330，y=240；x=335，y=230代入y=kx+b得：，解得：，∴y=﹣2x+900经验证，x=340，y=220；x=345，y=210都满足上述函数关系式∴y与x的函数关系式为y=﹣2x+900；（2）由题意，得：300≤x≤300（1+20%），即300≤x≤360，W=（x﹣300）（﹣2x+900）=﹣2（x﹣375）2+11250，∵﹣2＜0，当x＜375时，W随x的增大而增大，∴当x=360时，W取得最大值，W最大值=﹣22+11250=10800元答：将商品销售单价定为360元时，才能使所获利润最大，最大利润是10800元．25．如图，要在后羿公园内的东西方向的两地之间修一条游客步行道路MN，已知C点周围50米范围内为中共华工委纪念馆，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A 向东走150米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．（1）NM是否穿过中共华中工委纪念馆？为什么？（参考数据：≈1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前6天完成，需将原定的工作效率提高30%，则原计划完成这项工作需要多少天？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）作CD⊥AB于D，设CD=x米，根据正切的概念用x表示出AD、BD，列式计算即可求出x的值，比较得到答案；（2）设原计划完成这项工作需要y天，根据题意列出分式方程，解方程即可．【解答】解：（1）NM不穿过中共华中工委纪念馆．理由如下：作CD⊥AB于D，设CD=x米，∵∠CAD=45°，∴AD=CD=x米，∵∠DCB=60°，∴BD=CD•tan∠DCB=x，∵AD+BD=AB，∴x+x=150，解得，x==75（﹣1）≈55米，∴NM不穿过中共华中工委纪念馆；（2）设原计划完成这项工作需要y天，由题意得， =，解得y=26，经检验，y=26是原方程的解．答：原计划完成这项工作需要26天．26．已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．（1）解决问题如图1，当α=90°时，若BP=2AP=4，求P1、P2两点间的距离；（2）变式训练如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；（3）深入探究如图3，若点Q是△P2PB的外心，连接PQ，试探究P1P与PQ之间的位置关系，并说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．推出△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，得到∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°，然后根据勾股定理即可得到结论；（2）根据题意得出△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰直角三角形，进而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；（3）首先连结QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可．【解答】（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．∵α=90°，∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形，∴∠APP1=∠BPP2=45°，∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°，∵BP=2AP=4，∴AP=2，∴PP1=2，PP2=4，∴P1P2==2；（2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣，∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°﹣）=α，在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α，又∵∠PP2P1=∠AP2P，∴△P2P1P∽△P2PA；（3）证明：如图3，连接QB．∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线，∴EB=BP，FB=BP2．又∵BP=BP2，∴EB=FB．在Rt△QBE和Rt△QBF中，，∴Rt△QBE≌Rt△QBF，∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=，由中垂线性质得：QP=QB，∴∠QPB=∠QBE=，由（2）知∠APP1=90°﹣，∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣）﹣=90°，即 P1P⊥PQ．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），直线y=kx﹣3经过B、C两点．（1）求k的值既抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段BC上一点，设△ABP、△APC的面积分别为S△ABP、S△APC，且S△ABP：S△APC=2：3，求点P的坐标；（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙O与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由，并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐标轴同时相切？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据面积的比，可得PB：PC的值，根据相似三角形的判定与性质，可得PD的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据圆与坐标轴相切，可得x或y的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得Q 点坐标．【解答】解：（1）将B点坐标代入y=kx﹣3，得3k﹣3=0，解得k=1；直线的解析式为y=x﹣3，当x=0时，y=﹣3，即C点坐标为（0，﹣3），将B、C点坐标代入抛物线的解析式，解得b=4，c=﹣3，抛物线的解析式为y=﹣x2+4x﹣3；（2）作PD⊥AB于D点，如图：由S△ABP：S△APC=2：3，得PB：PC=2：3，PB：BC=2：5．由△PBD∽△COB，得=，解得DP=，解得P点的纵坐标为﹣，当y=﹣时，x﹣3=﹣，解得x=，得P点的纵坐标为（，﹣）；（3）设Q（x，y），①当⊙Q与y轴相切时，有|x|=1，即x=±1．当x=1时，y=﹣x2+4x﹣3=0，即Q点的坐标为（1，0），当x=﹣1时，y=﹣x2+4x﹣3=﹣8，得Q点的坐标为（﹣1，8）；②当⊙Q与x轴相切时，有|y|=1，即y=±1．当y=1时，1=﹣x2+4x﹣3，解得x=2，即Q点的坐标为（2，1）；当y=﹣1时，﹣1=﹣x2+4x﹣3，解得x=2，即Q（2+，﹣1），（2﹣，﹣1），综上所述：存在⊙Q与坐标轴相切，圆心Q的坐标为（1，0），（﹣1，8），（2+，﹣1），（2﹣，﹣1）；③当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有|x|=|y|．当y=x时，﹣x2+4x﹣3=x，此方程无解；当y=﹣x时，﹣x2+4x﹣3=﹣x，解得x=，当r=时，⊙Q与两坐标轴同时相切，综上所述：当r=时，⊙Q与两坐标轴同时相切．21。