暑假预习江苏省九年级数学上册第13讲圆的定义及垂径定理课后练习新版苏科版
苏科版2022年九年级数学上册 《圆》教材预习辅导讲义(附解析)
2.1 圆圆的定义1. 圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．【点拨】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.【点拨】①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇔d ＜r ；点P在圆上⇔d = r ；点P在圆外⇔d ＞r.教材知识总结“ ”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；直径：经过圆心的弦叫做直径。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.【点拨】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.【点拨】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【点拨】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。
九年级数学圆江苏科技版知识精讲
九年级数学圆某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆教学目标：1. 理解圆的定义及圆有关的概念2. 掌握点与圆的位置关系3. 体会数学与生活的联系二. 重点、难点：难点：点与圆的位置关系难点：点与圆的位置关系的应用教学过程：（一）知识要点知识点1：圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点叫圆心，定长叫做半径。
确定一个圆需要两个要素：一是位置，二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小，只有圆心没有半径，虽然位置固定，但大小不确定，只有圆心和半径都确定，圆才能唯一确定。
知识点2：与圆有关的概念（1）经过圆心，两端都在圆上的线段叫做直径。
（2）连接圆上任意两点间的线段叫做弦。
（3）圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
（4）圆的任意一条直径的两端点分圆为两条弧，每一条弧叫半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
（5）顶点在圆心的角叫圆心角。
（6）半径相等的圆叫等圆。
（7）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
说明：直径是圆中最长的弦，半圆是圆中的一条特殊的弧；等弧的前提条件必须是在同圆或等圆中，长度相等的两条弧不一定是等弧。
知识点3：点和圆的位置关系。
在平面内，点和圆有三种位置关系。
点在圆内⇔d＜r点在圆上⇔d＝r点在圆外⇔d＞r【典型例题】例1. 已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，则OP的长可能是（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm答案：D例2. ⊙O的直径为11，点P到圆心的距离为10，则P点与⊙O的位置关系是（）A. P在⊙O外B. P在⊙O内C. P在⊙O上D. 无法确定答案：B例3. 某部队在灯塔A的周围进行爆炸作业，A周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A点2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？请说明理由？答案：应沿BC射线方向航行。
理由：略例4. AB是⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC并交AC于D，且OD＝2cm，求BC的长。
苏科版九年级数学上册圆全章复习 知识点 例题 练习(含答案)
圆全章复习【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).三角形三边中垂线的(1)OA=OB=OC定在三角形内部三角形三条角平分线(1)(2)OABAC心在三角形内部2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识例1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过P点P 且与OA 平行（或重合）的直线与⊙O 有公共点, 设OP=x ，则的取值范围是（ ）.A ．－1≤≤1B ．≤≤C ．0≤≤ D ．＞【解析】如图，平移过P 点的直线到P′，使其与⊙O 相切，设切点为Q ，连接OQ ，由切线的性质，得∠OQP′=90°， ∵OA ∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°， ∴△OQP′为等腰直角三角形， 在Rt △OQP′中，OQ=1， OP′=2，∴当过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点时，0≤OP≤，当点P 在x 轴负半轴即点P 向左侧移动时，结果为-2≤OP ≤0． 故答案为：-2≤OP≤2．举一反三：x x x 2x 2x 2例2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF 交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴．∵，∴．∴∠C＝∠CBE．∴ CE＝BE．CF CB=CB GB=CF BC=CF GB=证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ ．∵ ，∴ ．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ ，， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ ，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ ，．∴ ，．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10 CB BG =CB CF =CF BC BG ==12BN BF =12CD CG =CF BC =BG BC =CF BG BC ==BF CG =ON OD =12OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系例3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴=+= ∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：类型四、圆中有关的计算例4．如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ，∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°， ∴∠DOB=60°，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， ∵OD=6，∴DG=3， ∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9，即阴影部分的面积是9．【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．．m D ．m第1题图 第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC ，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm 2B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm 2D.(3π+16)cm 24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．1r 2r 2680x x -+=d13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___； (2)求图(m)中n 条弧的弧长的和为____ ____(用n 表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm 2，高为3.5m ，外围高4 m 的蒙古包，至少要____ ____m 2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ． （1）证明：AF 平分∠BAC ； （2）证明：BF ＝FD.18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】由AB 为⊙O 的切线，则AB ⊥OD ．又BD ＝OB ，则AB 垂直平分OD ，AO ＝AD ，∠DAB ＝∠BAO ．由AB 、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO ＝∠BAO ＝∠DAB ．所以，∠DAB ＝∠DAC ＝26°． ∠ADO ＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C ；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO ⊥AB 于O ，∴ ∠SOA ＝∠SOB ＝90°．又SA ＝SB ，∠ASB ＝120°，∴ ∠SAB ＝∠SBA ＝，设SO ＝x m ，则AS ＝2x m ．∵ AO ＝27，由勾股定理，得(2x)2-x 2＝272，解得．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形ABCD 中，AB=2BC ，AB=8cm ， ∴ AD=BC=4cm ，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm ， ∴，∴ .4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，180120302=°-?°x =∴MN 为△POQ 的中位线， ∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程 的两实根、分别是4、2，则-<<+,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，5136010092⨯⨯=°°413608092⨯⨯=°°122680x x -+=1r 2r 1r 2r d 1r 2r圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】； ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL，∴ ，，即正八边形的边长为．．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，， 则，∴ n 条弧长的和为．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴，∴ ，1)a 22)a 2x 22x x a ⨯+=1)x a =1)a 2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-5l ==223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19. 【答案与解析】 (1)如选命题①．2036720S ππ=⨯=总BF FC =D证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°， ∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． ∴ ∠MBC ＝∠NCD ．又∵ ∠DBC ＝∠ECD ＝36°， ∴ ∠DBM ＝∠ECM ． ∴ △BDM ≌△CEN ， ∴ BM ＝CN ．(2)180n n°。
九年级上册数学圆知识点苏科版
九年级上册数学圆知识点苏科版九年级上册数学圆知识点数学中的圆是一个经典的几何形状，它在生活和科学中有着广泛的应用。
在九年级上册数学课程中，我们将学习有关圆的一系列知识点，包括圆的定义、圆心角、弧长和扇形面积的计算等内容。
下面将逐一介绍这些知识点。
一、圆的定义圆是由平面上所有到一个固定点距离相等的点构成的图形。
这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的点称为圆上的点，这个相等的距离称为半径。
圆通常用大写字母O来表示圆心，用小写字母r来表示半径。
圆可以通过圆心和半径来描述，也可以通过圆心和圆上的两点来描述。
二、圆心角和弧度制圆心角是以圆心为顶点的角，它所对的弧称为圆心角所对的弧。
当圆心角的两边的长度相等时，我们称之为等弧。
圆心角的大小可以用度数来表示，也可以用弧度制来表示。
我们知道，在一个完整的圆内，一个圆心角的度数是360°。
而弧度制中，一个完整的圆对应的弧度数是2π。
三、弧长的计算弧是圆上的一段曲线，弧长是弧曲线的长度。
圆的弧长公式是L = 2πr，其中L表示弧长，r表示半径。
这个公式的推导可以通过圆周长公式C = 2πr来得到。
如果我们知道圆心角所对的弧的度数，也可以利用角度和圆的周长比例关系来计算弧长。
四、扇形的面积计算扇形是以圆心角为顶角的三角形，它的底边是圆上的一段弧。
扇形的面积可以通过圆心角的度数与圆面积的比例来计算。
设圆的半径为r，圆心角的度数为α，圆的面积为S。
那么扇形的面积可以用公式A = (α/360°) * πr²来表示。
我们可以看出，扇形的面积与圆的面积成正比。
五、切线和切点切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。
切点是切线与圆相交的点，它在这个交点处垂直于切线。
圆有无数个切线，每个切点所对的切线都垂直于半径，垂直于半径的直线被称为半径的垂线。
六、相交弧和相交角当两个圆相交时，它们会形成两个相交的弧，这两个弧的长度加起来等于圆周上的一段弧。
相交弧所对的相交角是两个圆心角的度数之和。
2020苏教版九年级数学上册 垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习含答案
【文库独家】九年垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
6003. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。
你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ADBOCE4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。
5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。
6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
CA P ODCE OA D B7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。
8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。
9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5B. 4≤OM≤5C. 3＜OM＜5D. 4＜OM＜510.下列说法中，正确的是（）A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内B. 圆的半径垂直于圆的切线C. 圆周角等于圆心角的一半D. 等弧所对的圆心角相等11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 270°12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°13. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 14. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；15. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD=cm 2，求BC 的长；B16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。
苏教版九年级数学圆知识点
苏教版九年级数学圆知识点在九年级数学教材中，学生将学习关于圆的知识和技能。
本文将介绍苏教版九年级数学中与圆相关的知识点。
1. 圆的定义和性质圆是由平面上与一个固定点的距离相等的所有点构成的集合。
其中，到圆心的距离称为半径，半径相等的两个点构成的线段称为直径，直径的一半称为半径。
圆的性质包括：- 圆的半径相等- 圆的直径是圆上最长的一条线段- 圆的周长是圆上所有弧的长度之和，记为C=2πr，其中r为半径，π约等于3.14- 圆的面积是圆内部所有点到圆心的距离之和，记为A=πr²2. 弧长和扇形面积在圆上，如果选定两个点，从这两个点沿着圆弧所得的线段称为弧。
弧的长度称为弧长。
扇形是由圆心和圆上的两个弧构成的区域。
扇形的面积可以通过计算扇形所对的圆心角度数和圆的面积来求得。
设扇形的圆心角为α（以弧度为单位），圆的半径为r，则扇形的面积为A=(α/360)πr²。
3. 正多边形和圆的关系正多边形是指所有边和角都相等的多边形。
假设正多边形的边数为n，边长为a，则正多边形内切于圆，即所有顶点都在圆上，并且每条边都是圆的弧。
正多边形的面积可以通过圆的半径和边长来计算。
设正多边形的面积为A，圆的半径为r，则有A=na²⋅tan(π/n)。
4. 弦和切线圆上的两点确定一条弦，弦的长度可以通过两点之间的距离来计算。
切线是与圆相切的直线，切线与半径的夹角为直角。
假设切点与圆心所连的线段为斜边，切点在圆上的弧长为直角边，则可以利用勾股定理来求切线与半径之间的关系。
5. 弧度制和角度制在计算圆的相关问题时，弧度制和角度制是常用的两种单位制度。
弧度制是指以圆心为顶点，弧所对圆心角的弧长所占圆周长的比值。
弧度制中，一个圆的弧度为2π。
角度制采用的单位是度，一个圆的度数为360°。
6. 圆的应用圆的应用广泛，常见的应用包括：- 圆形运动：描述物体在圆周上做匀速运动的特点，如地球公转、钟摆运动等。
第13讲 圆的概念与垂径定理(点题名师班讲义)
6
2018 年暑期九年级数学点题名师讲堂
传授秘笈，助你扬帆！
【例 7】等腰△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，点 O 到底边 BC 的距离为 3，则 AB 的长为
．
【变 1】如图扇形 AOB 的圆心角∠AOB＝90°，半径为 5，正方形 CDEF 内接于该扇形，则正方形 CDEF
的边长为
.
【变 2】如图，正方形 ABCD 的顶点 A，D 和正方形 JKLM 的顶点 K，L 在一个以 5 为半径的⊙O 上，点 J， M 在线段 BC 上．若正方形 ABCD 的边长为 6，求正方形 JKLM 的边长．
点 B 不重合），且 CE⊥CD 交 AB 于 E，DF⊥CD 交 AB 于 F． （1）求证：AE＝BF； （2）在动弦 CD 滑动过程中，四边形 CDFE 的面积是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请
予以证明并求出这个定值．
FB
E
A
O
C
D
【例 5】如图，已知 AB，CD 是⊙O 内两条相互垂直的弦，垂足为 K，⊙O 的半径为 5，且 AB＝CD＝8， 求 OK，KD 的长度．
（2） 圆的旋转对称性 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
2. 轴对称性
（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性 垂径定理．
三、圆的性质定理
1. 垂径定理
（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2） 推论 1： ①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
传授秘笈，助你扬帆！
九年级数学苏科版圆知识点
九年级数学苏科版圆知识点圆在数学中是一个非常重要的概念，几乎贯穿了中学数学的整个课程。
九年级的学生们已经接触过很多与圆相关的知识，包括圆的定义、性质、定理等。
在本文中，我将为大家综述一些九年级数学苏科版中与圆相关的知识点。
首先，让我们回顾一下圆的定义。
圆是指平面上所有到一个固定点距离相等的点的轨迹。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
半径等长的两条线段叫做圆的直径，它们的长度是圆的半径的两倍。
圆的周长等于直径与圆周率的乘积，而圆的面积等于半径的平方与圆周率的乘积。
在九年级的数学课程中，我们主要学习了一些与圆的性质相关的定理。
其中，最重要的定理之一是圆的切线定理。
圆的切线定理告诉我们，如果一条直线与圆的某一点相交，并且与通过该点的半径垂直相交，那么这条直线就是圆的切线。
根据圆的切线定理，我们可以得出一些有关切线的性质，比如切线与半径的垂直关系，以及切线与切线之间的夹角关系等。
九年级的数学课程还涉及到了与圆的位置关系相关的知识点。
其中，最常见的是判定两个圆的位置关系。
当两个圆的圆心之间的距离大于它们的半径之和时，这两个圆是相离的；当两个圆的圆心之间的距离等于它们的半径之和时，这两个圆是外切的；当两个圆的圆心之间的距离等于它们的半径之差时，这两个圆是内切的；当两个圆的圆心之间的距离小于它们的半径之差时，这两个圆是相交的。
另外，九年级的数学课程中还包括了与圆相关的一些解题方法。
比如求两条切线的夹角，可以利用切线与切线之间的夹角定理来解题；求切线与圆之间的交点，可以利用切线与半径的垂直关系来解题；求传统几何问题中的圆，可以利用一些已知条件，如垂直关系、相似关系、三角形的角度关系等来解题。
在这篇文章中，我只是简单地介绍了一些与九年级数学苏科版中的圆相关的知识点。
实际上，圆的知识非常广泛且深入，还包括了圆锥曲线、圆的柱面、圆的旋转体等内容。
希望通过本文的介绍，大家能够对圆的相关知识有一个初步的了解，并能够在学习中更加深入地理解和应用这些知识。
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第13讲 圆的定义及垂径定理
题一： 如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA＝300，求CD 的长.
题二： 如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB ＝（ ）
A 、28
B 、26
C 、18
D 、35
题三： 如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O，AB ＝AC ，且BC 是BC 边上高的6倍，.求BC 的长.
题四： 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长.
第13讲 圆的定义及垂径定理
题一： 152cm 详解：过点O 作OF⊥CD 于F ，连结DO
∵AE＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB＝8cm
∴⊙O 的半径为4 cm
∵∠CEA＝300，∴OF＝1 cm
∴152
2=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm
题二： A.
详解：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND.
∵OM⊥MN，ME⊥EN，CN ＝ND
∴222OE ON OM =+
从而22222OE CN OC AM OA =-+-
即222221)2
(2)2(2=-+-CD AB ∴2822=+CD AB
故选A.
题三： 6 cm.
详解：连结AO 交BC 于D ，连结BO
由AB ＝AC 得⋂⋂=AC AB ，又O 为圆心
由垂径定理可得AO 垂直平分BC
∵BC 是BC 边上高的6倍，设AD ＝x cm ，则BD ＝x 3cm ∴OD＝)5(x -cm
在Rt△BOD 中，2225(3)(5)x x -=-，解得11=x ，02=x （舍去） ∴BD＝3 cm ，BC ＝6 cm.
题四： 22. 详解：连结OE ，由⋂⋂=EC BE 得OE 垂直平分BC 于F ，AB 为直径，则∠ACB＝900， BC ＝7222=-AC AB .∴CF＝7，EC ＝221)7(22=+
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