离散数学课件15.1欧拉图
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离散数学课件15.1欧拉图
推论 无向图G为欧拉图(具有欧拉回路)当 且仅当G是连通的,且G中无奇度顶点.
推论的证明(充分性):Fleury算法
构造性证明 1.任取一个顶点 2.寻找没有走过的并且不是余图的 桥的关联边(除非别无选择),到达下 一个顶点. 3.重复2,直至无边可走.
例
1.是欧拉图； 2.不是欧拉图，但存在欧拉通路； 3.既不是欧拉图，也不存在欧拉通路。
只具欧拉通路,无欧拉回路的图不是 欧拉图.
(1)既无欧拉回路,也无欧拉通路. (2)中存在欧拉通路,但无欧拉回路. (3)中存在欧拉回路.
例
图a)存在一条欧拉通路：v3v1v2v3v4v1； 图 (b) 中 存 在 欧 拉 回 路 v1v2v3v4v1v3v1 ， 因 而 (b) 是欧拉图； 图(c)中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1因 而(c)是欧拉图。
P326: 3., 4
课堂练习
课后作业: P323: 2 ,5
有向图的Euler图
定理: 一个有向图D具有欧拉通 路,当且仅当D是连通的,且除了 两个顶点外,其余顶点的入度均 等于出度.这两个特殊的顶点中, 一个顶点的入度比出度大⒈另 一个顶点的入度比出度小1.
推论: 一个有向图D是欧拉图(具有欧 拉回路),当且仅当D是连通的,且所有 顶点的入度等于出度.
例(蚂蚁比赛问题)
甲、乙两只蚂蚁分别位 于如下图中的结点a，b 处，并设图中的边长度 是相等的。甲、乙进行 比赛：从它们所在的结 点出发，走过图中的所 有边最后到达结点c处。 如果它们的速度相同， 问谁先到达目的地？
2.一笔画问题
有向图的Euler图
给定G是一个无孤立结点的有 向图，若存在一条单向通路 (回路)，经过图中每边一次且 仅仅一次，则称此单向通路 (回路)为该图的一条单向欧拉 通路(回路)。具有单向欧拉回 路的图称为欧拉图。
推论的证明(充分性):Fleury算法
构造性证明 1.任取一个顶点 2.寻找没有走过的并且不是余图的 桥的关联边(除非别无选择),到达下 一个顶点. 3.重复2,直至无边可走.
例
1.是欧拉图； 2.不是欧拉图，但存在欧拉通路； 3.既不是欧拉图，也不存在欧拉通路。
只具欧拉通路,无欧拉回路的图不是 欧拉图.
(1)既无欧拉回路,也无欧拉通路. (2)中存在欧拉通路,但无欧拉回路. (3)中存在欧拉回路.
例
图a)存在一条欧拉通路：v3v1v2v3v4v1； 图 (b) 中 存 在 欧 拉 回 路 v1v2v3v4v1v3v1 ， 因 而 (b) 是欧拉图； 图(c)中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1因 而(c)是欧拉图。
P326: 3., 4
课堂练习
课后作业: P323: 2 ,5
有向图的Euler图
定理: 一个有向图D具有欧拉通 路,当且仅当D是连通的,且除了 两个顶点外,其余顶点的入度均 等于出度.这两个特殊的顶点中, 一个顶点的入度比出度大⒈另 一个顶点的入度比出度小1.
推论: 一个有向图D是欧拉图(具有欧 拉回路),当且仅当D是连通的,且所有 顶点的入度等于出度.
例(蚂蚁比赛问题)
甲、乙两只蚂蚁分别位 于如下图中的结点a，b 处，并设图中的边长度 是相等的。甲、乙进行 比赛：从它们所在的结 点出发，走过图中的所 有边最后到达结点c处。 如果它们的速度相同， 问谁先到达目的地？
2.一笔画问题
有向图的Euler图
给定G是一个无孤立结点的有 向图，若存在一条单向通路 (回路)，经过图中每边一次且 仅仅一次，则称此单向通路 (回路)为该图的一条单向欧拉 通路(回路)。具有单向欧拉回 路的图称为欧拉图。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
《离散数学》课件-第15章欧拉图与哈密顿图
例如
彼得松图 彼得松图满足定理15.6，但不是哈密顿图。
例15.3 下图中三个图都是二部图，判断它们 哪些是哈密顿图，哪些是半哈密顿图？
G1
G2
G3
二部图与哈密顿图的关系
设二部图G=<V1，V2，E>，
|V2||V1|。若|V2||V1|+2，则
G即不是哈密顿图，又不是半哈
G1
密顿图
（1）G1=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为V1={a,f},V2={b,c,d,e}。 则p(G1-V1)=|V2|=4，|V1|=2， p(G1-V1)>|V1|且p(G1-V1)>|V1|+1。 所以G1即不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
亚瑟王和他的骑士们
◼ 亚瑟王一次召见他的p个骑士，已知每一个 骑士在骑士中的仇人不超过p/2-1个。证明：能让 这些骑士围坐在圆桌旁，使每个人都不与他的仇 人相邻。
其它重要的定理
◼ 定理1 如果G是一个n（n3）阶简单图， 且n/2，则G是哈密顿图。
◼ 定理2 如果G是一个n（n3）阶完全图， 且n为奇数，则G是哈密顿图且图中有(n-1)/2个 边不相交的哈密顿回路。
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
点的回路称为欧拉回路 定义（欧拉图和半欧拉图）
具有欧拉回路的图称为欧拉图 具有欧拉通路无欧拉回路的图称为半欧拉图 规定平凡图是欧拉图
离散数学结构第十五章欧拉图与哈密顿图
第十五章欧拉图与哈密顿图15」欧拉图—、欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义務定义15・1通过图（无向图或有向图）中所有边一次jl仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
从定义不难看出，欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路（经过所有顶点的通路称为生成通路），类似地，欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。
在这里做个规定，即平凡图是欧拉图。
(1) ⑵图15.1在图15」所示各图中QiSSgs为（1冲的欧拉回路所以（1禺为欧拉图oCiGSGb 为（2）中的一条欧拉通路，但图中不存在欧拉回路（为什么？），所以（2 ）为半欧拉图。
（3 ）中既没有欧拉回路，也没有欧拉通路（为什么？），所以（3 ）不是欧拉图，也不是半欧拉图。
CI6C3C4为（4）图中的欧拉回路，所以（4）图为欧拉图。
（5 ） , （ 6 ）图中都既没有欧拉回路，也没有欧拉通路（为什么？）二、判别定理拓定理15・1无向图G是欧拉图当11仅当G是连通图，11 G中没有奇度顶点。
证若G是平凡图，结论显然成立，下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无向图。
并设G的顶点集V ={v h v2,...,v n}.必要性。
因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路，设C为G中任意一条欧拉回路，VVi,VjeV , v 都在C上，因而Vi,Vj连通，所以G为连通图。
又V Vi eV，"在C 上每出现一次获得2度，若岀现k次就获得2k度，即d(Vi)二2k ,所以G中无奇度顶点。
充分性，由于G为非平凡的连通图可知，G中边数m21.对m作归纳法。
(1) m=l时，由G的连通性及无奇度顶点可知，G只能是一个环，因而G为欧拉图。
(2) 设mwk(k21)时结论成立，要证明m二K+1时，结论也成立。
由G的连通性及无奇度顶点可知，&(G)、2•类似于例14.8 ,用扩大路径法可以证明G中存在长度大于或等于3的置，设C为G中一个圏，删除C上的全部边，得G的生成子图G,设G有s个连通分支G I,G‘2,...,G；,每个连通分支至多有k条边，且无奇度顶点，并且设G i与C*的公共顶点为, i=l,2，…,S ,由归纳假设可知，G I,G‘2，…,G；都是欧拉图,因而都存在欧拉回路Cl , i=l,2，…,s.最后将C还原(即将删除的边重新加上)，并从C上的某顶*点*开始行遍,每遇到% ,就行遍G'i中的欧拉回路Cl , i二1,2,…,s ,最后回到v r,得回路V「... ... ... "... "... b ... b ...Vr，此回路经过G中每条边一次且仅一次并行遍G中所有顶点，因而它是G中的欧拉回路(演示这条欧拉回路)，故G为欧拉图。
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
有欧拉通路
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
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8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
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3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
离散数学欧拉图
欧拉图的判断方法
在计算机科学中，欧拉图还可用于描述有向图（Directed Graph） 的路径问题，例如，欧拉路径（Euler Path）和欧拉回路 （Eulerian Circuit） 欧拉路径是指一条路径包含图中所有的边恰好一次。而欧拉回路 是指一条闭合路径包含图中所有的边恰好一次。一个图存在欧拉 回路当且仅当该图的每条边的权值都是偶数 在复杂网络理论中，欧拉图可以用于描述网络的结构和行为，例 如社交网络、互联网、脑科学等领域的网络。在这些网络中，节 点代表个体或事件，边代表它们之间的联系或互动。通过对这些 网络进行分析，可以发现它们的结构和行为规律，从而更好地理 解和预测网络的行为 此外，欧拉图还可以用于构建和分析化学分子的结构。在化学中， 欧拉图是一种用于表示分子结构的图形，其中顶点代表原子，边 代表化学键。通过分析欧拉图，可以了解分子的结构、性质和反 应行为等信息
在这个图中，每个顶点都有偶数条边连接，并且存在一条路径（A---B---C---D---E---F--A）包含所有顶点，且每个边都只经过一次
欧拉图的性质
欧拉图的性质
欧拉图具有以下性质 欧拉图的边数一定是偶数 欧拉图一定是连通的（即所有顶点之间都有路径相连） 欧拉图中的任何两个顶点之间都有偶数条边相连 如果一个图是欧拉图：那么它的每个子图都是欧拉图
欧拉图的判断方法
对于一个连通图：如果它的所有边都可以被一个2-因子覆盖（即每个顶点都在两个2因子中出现），那么这个图是欧拉图。否则，这个图不是欧拉图 对于一个连通图：如果它可以被分解成两个子图，每个子图都包含所有的顶点并且所 有边的数量相同，那么这个图是欧拉图。否则，这个图不是欧拉图
对于一个连通图：如果它可以被分解成两个子图，每个子图的边数相同并且所有顶点 的度数相同（即每个顶点的度数都是偶数），那么这个图是欧拉图。否则，这个图不 是欧拉图。除了以上方法，还有一些复杂的方法可以判断一个图是否为欧拉图，例如 通过检查图的子图或者通过编程实现图的遍历算法。这些方法需要更深入的图论知识 和计算机科学知识，但它们可以提供更准确和高效的结果
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有向图的Euler图
定理: 一个有向图D具有欧拉通 路,当且仅当D是连通的,且除了 两个顶点外,其余顶点的入度均 等于出度.这两个特殊的顶点中, 一个顶点的入度比出度大⒈另 一个顶点的入度比出度小1.
推论: 一个有向图D是欧拉图(具有欧 拉回路),当且仅当D是连通的,且所有 顶点的入度等于出度.
一、Euler图
哥尼斯堡七桥问题：
无向图的欧拉通路、欧拉图 （即一笔画问题）
经过图中每条边一次且仅一次并且行遍图 中每个顶点的通路(回路),称为欧拉通路或 欧拉回路. 存在欧拉回路的图,称为欧拉图.
图中,(3) 不是欧拉图, (4) 是欧拉图.
定理 无向图G具有欧拉通路,当且仅当G是 连通图且有零个或两个奇度顶点.若无奇度 顶点,则通路为回路;若有两个奇度顶点,则 它们是每条欧拉通路的端点.
推论 无向图G为欧拉图(具有欧拉回路)当 且仅当G是连通的,且G中无奇度顶点.
推论的证明(充分性):Fleury算法
构造性证明 1.任取一个顶点 2.寻找没有走过的并且不是余图的 桥的关联边(除非别无选择),到达下 一个顶点. 3.重复2,直至无边可走.
ห้องสมุดไป่ตู้
例
1.是欧拉图； 2.不是欧拉图，但存在欧拉通路； 3.既不是欧拉图，也不存在欧拉通路。
P326: 3., 4
课堂练习
课后作业: P323: 2 ,5
例(蚂蚁比赛问题)
甲、乙两只蚂蚁分别位 于如下图中的结点a，b 处，并设图中的边长度 是相等的。甲、乙进行 比赛：从它们所在的结 点出发，走过图中的所 有边最后到达结点c处。 如果它们的速度相同， 问谁先到达目的地？
2.一笔画问题
有向图的Euler图
给定G是一个无孤立结点的有 向图，若存在一条单向通路 (回路)，经过图中每边一次且 仅仅一次，则称此单向通路 (回路)为该图的一条单向欧拉 通路(回路)。具有单向欧拉回 路的图称为欧拉图。
只具欧拉通路,无欧拉回路的图不是 欧拉图.
(1)既无欧拉回路,也无欧拉通路. (2)中存在欧拉通路,但无欧拉回路. (3)中存在欧拉回路.
例
图a)存在一条欧拉通路：v3v1v2v3v4v1； 图 (b) 中 存 在 欧 拉 回 路 v1v2v3v4v1v3v1 ， 因 而 (b) 是欧拉图； 图(c)中有欧拉回路v1v2v3v4v5v6v7v8v2v4v6v8v1因 而(c)是欧拉图。