第二十五章整理与复习
九年级数学上册教学课件《第二十五章 章末复习》
按照上面的规则，请你解答下列问题：
（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？
解:(1)画树状图得
（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？
解: (2)由树状图得
“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形两直角边分别是2和4，小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（ ）
解：(1)用树状图表示二者的数字之积为4的结果如下： 由上图可知，共有20种可能性相等的结果，其中数字之积为4(记为事件A)的结果有3种，所以P(A)= .
(2)若方程ax2+3x+ =0有实数根(记为事件B)，
则9-ab≥0，即ab≤9，由(1)可知满足ab≤9的结果有14种，
5.同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数和小于5的概率.
解:同时投掷两枚骰子,点数和的所有可能的结果列表如右：共有36种可能性相等的结果,其中点数和小于5的结果有6种.所以P(点数和小于5)
综合应用
6.随机抛掷图中均匀的正四面体(正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字)，并且自由转动图中的转盘(转盘被分成面积相等的五个扇形区域，如果指针恰好指在分格线上，取分格线右边的数字).(1)求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；(2)设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+ =0有实数根的概率.
C
专题训练二 函数和一元二次方程中概率的计算
（重庆中考）从3，0，-1，-2，-3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为 .
人教版九上数学第二十五章小结与复习
三、随机事件的概率的求法 直接列举法
求随机事 件概率的
方法
列表法：适合于两个试验因素或分两步 进行
树状图法用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中， 如果事件 A 发生的频率 稳定 于某个常数 p，那么事件 A 发 生的概率：P(A) = p
经检验：x = 7 是分式方程的解. 所以袋中红球有 7 个.
考点四 用概率作决策
例5 在一个不透明的口袋里装有分别标注 2、4、6 的 3 个小球(小球除数字外，其余都相同)，另有 3 张背面 完全一样，正面分别写有数字 6、7、8 的卡片.现从口 袋中任意摸出一个小球，再从这 3 张背面朝上的卡片 中任意摸出一张卡片. (1) 请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出 现的结果；
(2) 根据题意列表如下：
红黄蓝
红 红红 黄红 蓝红
由表可知，共有 9 种等 黄 红黄 黄黄 蓝黄
可能的情况数，
蓝 红蓝 黄蓝 蓝蓝
其中摸到“一红一黄”的情况有 2 种，则两次摸到的
球的颜色为“一红一黄”的概率是
考点三 用频率估计概率
例4 (新疆)表中记录了某种树苗在一定条件下移植成活 的情况：
移植总数 n 200 500 800 2000 12000 成活数 m 187 446 730 1790 10836
解：画树状图的如下：
开始
b
-2
-1
3
4
c -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 由树状图可知，共有 16 种等可能的结果， 其中方程 x2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根
(b2 - 4c＞0)的情况有 9 种，
∴ 方程 x2 + bx + c = 0 有两个不相等的概率是
初中数学人教版九年级上册第二十五章 概率初步单元复习-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】如图，假设可以随机在图中取点，（1）这个点取在阴影部分的概率是_______；（2）在保留原阴影部分情况下，请你重新设计图案（直接在图上涂阴影），使得这个点取在阴影部分的概率为.【答案】(1) ；（2）见解答，答案不唯一【分析】（1）用阴影部分的面积除以图形总面积即可；（1）使所设计图案阴影部分的面积占整个图案面积的即可.【解答】(1)1÷7=（2）如图所示（红色部分），答案不唯一2.【题文】游戏者同时转动如图的两个转盘进行“配紫色游戏”，若要使游戏者获胜的概率为，转盘B不动，转盘A应该如何设计？并写出解答过程说明理由．【答案】将转盘A平均分成10分，一份是蓝色，一份是红色，其他是绿色．说明理由见解答【分析】B转盘有2种情况，A转盘有3种情况，要想获胜的概率为，则应让转盘A 分成10份，使配成紫色的情况数有2种即可．【解答】将转盘A平均分成10分，一份是蓝色，一份是红色，其他是绿色．则共有20种，能配成紫色的情况有两种，∴P（配成紫色）＝3.【题文】在不透明的袋子中装有5个红球和8个黄球，每个球除颜色外都相同．（1）从中任意摸出一个球，摸到球的可能性大．（2）如果再放入若干个黄球并摇匀，随机摸出一个球是红球的概率是，请问放入了多少个黄球？【答案】（1）黄；（2）2．【分析】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大；（2）由红球所占的份数可求出总数目，进而可求出放入黄球的个数．【解答】（1）摸到红球的概率为=，摸到黄球的概率为：，所以摸到黄球的可能性大．故答案为：黄；（2）∵随机摸出一个球是红球的概率是，∴总的小球数=5÷=15（个），∴放入黄球的个数=15-13=2．4.【题文】学生甲与乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：甲手中有6、8、10 三张扑克牌，乙手中有 5、8、9 三张扑克牌，每局比赛时，两人从各自手中随机取一张牌进行比较，数字大的则本局获胜．（1）若每人随机取出手中的一张牌进行比较，请列举出所有情况；（2）求学生乙一局比赛获胜的概率．【答案】（1）详见解答；（2）．【分析】(1)根据题意可以写出所有的可能性；(2)根据(1)中的结果可以得到乙本局获胜的可能性，从而可以解答本题．【解答】解：(1)由题意可得，每人随机取出手中的一张牌进行比较的所有情况是：，，，，，，，，．(2)由()知共有9种等可能的情况，学生乙获胜的情况有：，，，所以学生乙一局比赛获胜的概率是：．故答案为：(1)见解答；(2)．5.【题文】小王和小张利用如图所示的转盘做游戏，转盘的盘面被分为面积相等的4个扇形区域，且分别标有数字1，2，3，4．游戏规则如下：两人各转动转盘一次，分别记录指针停止时所对应的数字，如两次的数字都是奇数，则小王胜；如两次的数字都是偶数，则小张胜；如两次的数字是奇偶，则为平局．解答下列问题：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．【答案】（1）；（2）该游戏公平．【分析】（1）根据概率公式直接计算即可；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平．【解答】解：（1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率= ；（2）该游戏公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次的数字都是奇数的结果数为4，所以小王胜的概率= ；两次的数字都是偶数的结果数为4，所以小张胜的概率= ，因为小王胜的概率与小张胜的概率相等，所以该游戏公平．6.【题文】某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据动转盘的次数n100 150 200 500 800 1000落在“铅笔”的次数m68 111 136 345 546 701落在“铅笔”的频率0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70（结果保留小数点后两位）（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为______；（结果保留小数点后一位）（2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用；（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．【答案】（1）0.7；（2）该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）36【分析】（1）利用频率估计概率求解；（2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算4000×0.5×0.7+4000×3×0.3即可；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1-）=3000，然后解方程即可．【解答】（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；故答案为: 0.7（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3＝5000，所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1-）＝3000，解得n＝36，所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．故答案为36．7.【答题】下列事件是必然事件的是（）A. 乘坐公共汽车恰好有空座B. 同位角相等C. 打开手机就有未接电话D. 三角形内角和等于180°【答案】D【分析】本题考查了必然事件。
《医学微生物学》第二十五章和第二十六章复习题及答案
《医学微生物学》第二十五章和第二十六章复习题及答案第二十五章病毒感染的检查方法与防治原则一、单项选择题1.进行病毒病原学检查的标本递送要求是：A.孵箱保存B.室温保存C.加入防腐剂D.冷藏速送E.加入含抗生素和蛋白质的运输培养基中冷藏速送2.细胞病变效应不包括：A.细胞圆缩.脱落B.细胞融合C.形成包涵体D.干扰现象E.胞裂解3.可用于制备病毒灭活疫苗的的理化因素是：A.紫外线B.甲醇C.甲醛D.乙醇E.乙醛4.IFN-γ的产生细胞主要是：A.活化的T细胞B.活化的B细胞C.白细胞D.成纤维细胞E.巨噬细胞5.防病毒感染最有效的方法是A.使用抗生素B.使用抗病毒化学疗剂C.使用中草药D.使用疫苗E.使用抗菌药物6.下列关于减毒活疫苗缺点的叙述，错误的是：A.偶尔可能恢复为毒力株而致病B.进入人体偶尔引起并发症C.对人体免疫系统刺激过强而引起免疫麻痹D.可能活化其他的潜伏病毒E.偶尔可能引起持续感染7.病毒的致病因素是：A.内毒素B.外毒素C.侵袭力D.表面结构E.以上均不对8.下述药物对治疗病毒感染无效的是：A.干扰素B.抗生素C.聚肌苷酸D.黄连.黄苓E.三氮唑核苷9.灭活疫苗的缺点不包括：A.需多次注射B.免疫维持时间短C.疫苗成本高D.诱导细胞免疫反应差E.可发生干扰现象降低免疫效果10.人工被动免疫最常用的制剂是：A.转移因子B.干扰素C.免疫核糖核酸D.免疫球蛋白E.白蛋白11.机体在抗病毒感染中起主要作用的是：A.干扰素B.中性粒细胞C.致敏T细胞D.中和抗体E.抗毒素二、多项选择题1.病毒在细胞内增殖的指标有：A.CPEB.干扰现象C.红细胞吸附D.细胞培养液浑浊E.免疫荧光法可检测到病毒抗原2.细胞病变包括：A.变圆B.坏死C.溶解D.脱落E.融合3.送检标本分离病毒应做到：A.冷藏.速送B.加入石碳酸防治污染C.60℃加热灭菌D.置50%甘油盐水保存运送E.加入青霉素.链霉素抗菌4.能抑制病毒核酸合成的药物是：A.金刚烷胺B.阿糖腺苷C.阿糖胞苷D.无环鸟苷E.三氮唑核苷5.临床上常取粪便标本作为检测材料的病毒是：A.甲型肝炎病毒B.狂犬病病毒C.脊髓灰质炎病毒D.乙型肝炎病毒E.EB病毒6.干扰素抗病毒作用的特点包括：A.有种属特异性B.间接作用C.发挥效应早D.广谱抗病毒作用E.低毒性三、名词解释1.CPE2.减毒活疫苗3.亚单位疫苗4.IFN四、简答题1.比较减毒活疫苗和灭活疫苗的异同？2.目前可用疫苗预防的病毒性疾病有哪些？3.其抗原性不同，人类IFN分为几种？各自有何特点？答案一、单项选择题1.E2.D3.C4.A5.D6.C7.E8.B9.E 10.D 11.C二、多项选择题1.ABCE2.ABCDE3.ABD4.BCDE5.AC6.ABCDE三、名词解释1. CPE（细胞病变效应）：在体外实验中，通过细胞培养和接种杀细胞性病毒经过一定时间后，可用显微镜观察到细胞变圆.坏死，从瓶壁脱落等现象，称细胞病变效应。
第二十五章 概率初步 期末综合复习题 2022-2023学年陕西省各地九年级上学期人教版数学
第二十五章概率初步一、单选题1．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图是44正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成灰色，则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是（）A．213B．313C．413D．5132．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）某火车站的显示屏每间隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏正好显示火车班次信息的概率是（）A．12B．13C．14D．153．（2022·陕西安康·九年级期末）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到绿灯的概率为（）.A．19B．29C．49D．594．（2022·陕西渭南·九年级期末）如图，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，两个转盘停止后，指针（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域）都不落在“1”区域的概率是（）A．13B．23C．56D．165．（2022·陕西西安·九年级期末）陕西是中华文明和中华民族的发源地之一，周秦汉唐故里，旅游资源非常丰富，在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中各选择一个景点旅游，他们通过抽签的方式确定景点，那么他们两家恰好能抽到同一景点的概率是（ ） A ．23B ．12C ．14D ．136．（2022·陕西咸阳·九年级期末）笼子里关着一只小松鼠（如图）．笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A 或B ），再过第二道门（C ，D 或E ）才能出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A 门、再经过D 门”的概率为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．167．（2022·陕西汉中·九年级期末）从1，2，3中任取一个数作为十位上的数字，从4，5中任取一个数作为个位上的数字，组成的两位数是偶数的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．168．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图，在33 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1~5的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是中心对称图形的概率是（ ）A ．45B ．35C ．25D ．159．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）小明将贵州健康码打印在面积为216dm 的正方形纸上，如图所示为了估计图中健康码部分的面积，在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计健康码部分的面积约为（ ）A ．22.4dmB ．24dmC ．26.4dmD ．29.6dm10．（2022·陕西咸阳·九年级期末）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在0.6，则估计口袋中大约有红球（）A．24个B．10个C．9个D．4个二、填空题11．（2022·陕西安康·九年级期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里黄球的个数最有可能是______．12．（2022·陕西西安·九年级期末）如图是康康的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为10cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为___cm2．13．（2022·陕西咸阳·九年级期末）在一个不透明的盒子中装有红、黑两种除颜色外完全相同的球，其中有a个黑球和10个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则估计a的值为______．14．（2022·陕西汉中·九年级期末）在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共500个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.1，则盒子中白球有______个．15．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共60个，这些球除颜色外都相同．小贤从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，则这个袋中黑球的个数最有可能是______．16．（2022·陕西宝鸡·九年级期末）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是___________．17．（2022·陕西渭南·九年级期末）在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是_____．三、解答题18．（2022·陕西渭南·九年级期末）琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．(1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；(2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．19．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）在一个不透明的盒子里装有6个白色乒乓球，若干个黄色乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，小希通过多次试验发现，摸出白色乒乓球的频率稳定在0.3左右，求盒子中黄色乒乓球可能有多少个？20．（2022·陕西安康·九年级期末）小叶和小瑜报名参加“十四运”志愿者活动，他们将被随机分配到羽毛球（A）、篮球（B）、射箭（C）、水球（D）四个项目中承担工作任务．(1)小叶被分配到水球（D）项目的概率为______；(2)请用画树状图或列表的方法，求出小叶和小瑜至少有一人被分配到射箭项目的概率．21．（2022·陕西西安·九年级期末）有两部大小一样但型号不同的手机A、B，现有6个手机壳，其中与手机A匹配的手机壳有2个，与手机B匹配的手机壳有3个，还有1个手机壳与两部手机都不匹配．(1)从6个手机壳中随机的取一个，求恰好与手机A匹配的概率；(2)随机取一部手机和一个手机壳，求恰好能匹配的概率（用树状图或列表法解答）．22．（2022·陕西咸阳·九年级期末）寒冬战疫，西安常安，感谢每一位为这座城拼命的人！一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“西”、“安”、“常”、“安”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．(1)若从中任取一球，球上的汉字刚好是“安”的概率为多少？(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“西安”的概率。
九年级数学上册(冀教版)教学课件-第二十五章小结与复习
contents
目录
• 第二十五章知识点回顾 • 解题方法与技巧总结 • 章节测试与评估分析 • 复习策略与建议 • 师生互动与答疑环节
01 第二十五章知识点回顾
主要概念及定义
01
02
03
概率
表示某一事件发生的可能 性大小的数值。
统计量
描述数据集特征的数值， 如平均数、中位数、众数、 方差等。
根据自身学习情况和 进度，制定符合自己 的复习计划。
合理安排每日复习时 间，确保计划的可行 性和有效性。
针对薄弱环节，加强 复习力度，制定专项 复习计划。
合理安排时间，提高效率
充分利用课余时间进行复习， 如课间、午休等。
遵循记忆规律，合理安排复习 时间间隔，提高记忆效率。
避免长时间连续复习同一内容， 适当进行交替复习。
重复计算。
对于方差等需要计算偏差平方的 统计量，要注意偏差的计算方法
和符号问题。
02 解题方法与技巧总结
选择题答题策略
仔细审题
验证答案
明确题目要求，注意关键词和限定条 件。
确定答案后，代入原题进行验证，确 保答案正确。
分析选项
逐个分析选项，运用数学知识进行排 除。
填空题答题技巧
找准关键词
注意题目中的关键词，明 确填空内容。
业的解答和建议。
课后作业布置及要求
教师根据课堂内容和学生掌握情况，合理布置课后作业。 作业要求明确，包括题目类型、难度、完成时间等，以便学生有针对性地完成。
教师会及时批改作业，给出评分和反馈，帮助学生了解自己的学习情况和不足之处。
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九年级数学上册第25章《第二十五章章末复习》名师教案(人教版)
第25章 章末回顾一、本章思维导图二、典型例题讲解例1．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x ，从－1，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b 的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c 的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是_________．【知识点】一元二次方程，用树状图或列表法求概率【解题分析】先利用列表或者树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当1,2-==c b ；1,3-==c b ；2,3==c b 时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算．【解题过程】解：根据题意列表如下：b c －1 2 3－1（2，－1） （3，－1）2 （－1，2）（3，2） 3（－1，3） （2，3）∴一共6∵能使该一元二次方程有实数根，则042≥-ac b∴满足条件的占3种，即1,2-==c b ；1,3-==c b ；2,3==c b ∴)(一元二次方程有实数根P =63=21．故答案为21． 【思路点拨】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数（注意此题是不放回试验），再从中选出符合事件A 的结果数，求出事件A 的概率．同时也综合考查了一元二次方程根的判别式．例2．盒中有x 个黑球和y 个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是52；若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为21． （1）填空：x =_______，y =_______；（2）小王和小林利用x 个黑球和y 个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王胜，若颜色不同则小林胜．求两个人获胜的概率各是多少？【知识点】解方程组，用树状图或列表法求概率【解题分析】（1）根据题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+211152y x x y x x ，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球颜色相同、颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解题过程】解：（1）根据题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+211152y x x y x x ， 解得：⎩⎨⎧==32y x ；故答案为：2，3； （2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两球颜色相同的有8种情况，颜色不同的有12种情况， ∴P （小王胜）=208=52，P （小林胜）=2012=53．【思路点拨】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数（注意此题是不放回试验），再从中选出符合事件A的结果数，求出事件A的概率．同时也综合考查了二元一次方程组的相关知识．例3．某中学组织网络安全知识竞赛活动，其中七年级6个班组每班参赛人数相同，学校对该年级的获奖人数进行统计，得到每班平均获奖15人，并制作成如图所示不完整的折线统计图．（1）请将折线统计图补充完整，并直接写出该年级获奖人数最多的班级是班；（2）若二班获奖人数占班级参赛人数的32%，则全年级参赛人数是人；（3）若该年级并列第一名有男、女同学各2名，从中随机选取2名参加市级比赛，请你用列表法或画树状图的方法求参加市级比赛的两位同学恰好是1男1女的概率．【知识点】线统计图，用树状图或列表法求概率【数学思想】数形结合【解题分析】（1）共有15×6=90人获奖，然后用90分别减去其他5个班的获奖人数即可得到三班获奖人数，然后将折线统计图补充完整，并且可得到四班有17人获奖，获奖人数最多；（2）先计算出二班参赛人数，然后乘以6即可得到全年级参赛人数；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是1男1女所占的结果数，然后根据概率公式求解．【解题过程】解：（1）三班获奖人数=6×15﹣14﹣16﹣17﹣15﹣15=13，折线统计图如图，该年级获奖人数最多的班级为四班； （2）二班参赛人数=16÷32%=50（人）， 所以全年级参赛人数=6×50=300（人）； （3）根据题意列表为：共有12∴P （恰好是1男1女）=128=32． 【思路点拨】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了列表法与树状图法．第25章 本章检测题（肖莲琴）一、选择题（每小题4分，共48分）1．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）A ．必然事件B ．随机事件C ．确定事件D ．不可能事件 【知识点】随机事件【解题过程】抛一枚均匀硬币，落地后有可能正面朝上、也有可能反面朝上，因此是随机事件 【思路点拨】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【答案】B2．下列事件中属于不可能事件的是（ ） A ．某投篮高手投篮一次就进球B．打开电视机，正在播放世界杯足球比赛C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6D．在一个标准大气压下，90℃的水会沸腾【知识点】不可能事件【解题过程】A．是随机事件，选项错误；B．是随机事件，选项错误；C．是必然事件，选项错误；D．正确．【思路点拨】本题考查了不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【答案】D3．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为01B．随机事件发生的概率为2C．概率很小的事件不会发生D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【知识点】概率的意义【解题过程】A．不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；B．随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；C．概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误．【思路点拨】本题考查了概率的意义：一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A的概率，记为P（A）；概率是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能事件的概率P（A）＝0；随机事件的概率P（A）在0与1之间．【答案】A4．如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（）A ．61 B ．41 C ．31 D ．21【知识点】概率的计算【解题过程】∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况， ∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是：2163 ． 【思路点拨】此题考查了古典概型概率的计算（古典概型的事件满足以下两个条件：①在每一次试验中，可能出现的结果是有限的；②在每一次试验中，各种结果出现的可能性相同）：概率=所求情况数与总情况数之比． 【答案】D5．一个不透明布袋里装有1个白球、2个黑球、3个红球，它们除颜色外均相同．从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A ．61 B ．31 C ．21 D ．32【知识点】概率的计算【解题过程】1个白球、2个黑球、3个红球一共是1+2+3=6个，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是1÷6＝61． 【思路点拨】此题考查了古典概型概率的计算（古典概型的事件满足以下两个条件：①在每一次试验中，可能出现的结果是有限的；②在每一次试验中，各种结果出现的可能性相同）：概率=所求情况数与总情况数之比． 【答案】A6．如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰好落在黑色方砖上的概率为（ ）A ．51B ．41C ．31D ．254【知识点】几何概率【解题过程】解：∵黑色方砖的面积为5，所有方砖的面积为20， ∴键子恰落在黑色方砖上的概率=41205 ． 【思路点拨】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 【答案】B7．转动下列各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点】几何概率【解题过程】观察四个转盘，A 、B 、C 三个转盘中红色区域的面积均小于整个圆面积的一半，而D 转盘中红色区域的面积均等于整个圆面积的一半，因此指针指向红色区域的概率最大的是D 转盘．【思路点拨】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 【答案】D8．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为31，遇到黄灯的概率为91，那么他遇到绿灯的概率为（ ）A ．31B ．91C ．32D ．95【知识点】概率的计算【解题过程】由于十字路口只有红、黄、绿三色交通信号灯，因此三种情况的概率之和为1，又∵遇到红灯的概率为31，遇到黄灯的概率为91∴遇到绿灯的概率为1－31－91=95【思路点拨】概率除了可以利用公式可以计算外，也往往利用所有情况的概率之和为1，用1减去其它情况的概率就是所求事件的概率． 【答案】D9．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6，同时投掷这两枚骰子，记下朝上一面所标的数字，那么两个数字之和为9的概率是（ ）A ．31B ．61C ．91D ．121【知识点】用树状图或列表法求两步随机事件的概率 【解题过程】由题意可以列表如下：第一枚 第二枚 1234561 （1,1） （2,1） （3,1） （4,1） （5,1） （6,1）2 （1,2） （2,2） （3,2） （4,2） （5,2） （6,2）3 （1,3） （2,3） （3,3） （4,3） （5,3） （6,3）4 （1,4） （2,4） （3,4） （4,4） （5,4） （6,4）5 （1,5） （2,5） （3,5） （4,5） （5,5） （6,5） 6（1,6） （2,6） （3,6） （4,6） （5,6） （6,6）投掷这两枚骰子，共有36种等可能结果，其中点数之和为9的有（3,6），（4,5），（5,4），（6,3）共4种，所以，所求概率为：41369． 【思路点拨】先画树状图或列表展示36种等可能的结果数，然后找出各事件发生的结果数，即可以计算出该事件的概率． 【答案】C10．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ） A ．52 B ．53 C ． 32 D ．103【知识点】用树状图或列表法求两步随机事件的概率 【解题过程】画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况， ∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：532012=． 【思路点拨】先画树状图或列表展示20种等可能的结果数（注意此题是不放回试验），然后找出各事件发生的结果数，即可以计算出该事件的概率． 【答案】B11．如图，有以下3个条件：①AC =AB ，②AB ∥CD ，③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是（ ）A ．0B ．31C ． 21D ．1【知识点】概率与几何的综合应用【解题过程】所有等可能的情况有3种，分别为①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①，其中组成命题是真命题的情况有：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①，则P=1．【思路点拨】根据题意找出组成命题的所有等可能的情况数，找出组成的命题是真命题的情况数，即可求出所求的概率．其中涉及到平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；命题与定理等内容． 【答案】D12．如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB =15，AC =9，BC =12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）A ．61 B ．6π C ． 8π D ．5π【知识点】概率与几何的综合应用 【数学思想】数形结合【解题过程】∵AB =15，BC =12，AC =9，∴AB 2=BC 2+AC 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的内切圆半径3215912=-+=， ∴S △ABC =AC •BC =×12×9=54，S 圆=9π， ∴小鸟落在花圃上的概率6549ππ=． 【思路点拨】本题的关键是如何得到圆和三角形（猜测是直角三角形，但需注意题目没有直接告诉）的面积．不难发现15、12、9是勾股数，则△ABC 的面积容易得到；而圆的半径可以通过切线长定理求，也可以通过面积法来求． 【答案】B二、填空题（每题4分，共24分）13．小芳掷一枚硬币10次，出现了7次正面朝上，当她抛掷第11次时，出现正面朝上的概率为__________．【知识点】概率与频率的区别【解题过程】掷硬币每次可能出现的结果有两种，且这两种结果出现的可能性一样大，因此不管以前抛掷的结果，再抛掷硬币时，正面朝上的概率始终是21． 【思路点拨】掷一枚硬币10次，出现了7次正面朝上，只能说此时正面朝上的频率为107，但此时抛掷的次数较小，频率没有稳定在概率附近，误差较大，不能将此时的频率误当为概率． 【答案】2114．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为51，那么口袋中小球共有_______个．【知识点】概率计算公式的逆用 【解题过程】设小球共有x 个，则315x =，解得：x ＝15 【思路点拨】已知概率，可以逆用公式求小球的数量． 【答案】1515．在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m ，n ，则二次函数n m x y +-=2)(的顶点在坐标轴上的概率为__________．【知识点】概率的计算与二次函数的综合 【解题过程】解：画树状图得：∵一共有20种等可能结果，其中取到0的有8种可能， ∴顶点在坐标轴上的概率为52208=． 【思路点拨】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【答案】5216．有长度分别为2cm ，3cm ，4cm ，7cm 的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是__________．【知识点】列树状图求三步事件的概率 【解题过程】由题意可以列树状图如下：274272343747第三条23423247347第二条第一条开始一共有24种等可能结果，其中能组成三角形的有6种， ∴P （能组成三角形）＝41246=． 【思路点拨】列表法只能求两步事件的概率，三步及三步以上事件的概率需要用树状图来解决． 【答案】4117．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1（1，0），A 2（2，0），B 1（0，1），B 2（0，2），分别以A 1、A 2、B 1、B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是_________．【知识点】列表法与树状图法；等腰三角形的判定【解题过程】解：∵以A 1、A 2、B 1、B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形， ∴画树状图得：共可以组成4个三角形，所作三角形是等腰三角形只有：△OA 1B 1，△OA 2B 2， 所作三角形是等腰三角形的概率是：2142=． 【思路点拨】根据题意画出树状图，进而得出以A 1、A 2、B 1、B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形是等腰三角形的情况，求出概率即可． 【答案】21 18．从1-，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数分别作为m ，n 的值，恰好使得关于x 的一元二次方程02=-+n mx x 有实数解的概率为 ． 【知识点】概率的计算与一元二次方程的综合【解题过程】解：从1-，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数分别作为m ，n 的值，所有情况列表如下：m n －1 0 1 2－1（0,－1） （1,－1） （2,－1）（－1,0）（1,0）（2,0）∴一共有12种等可能结果，其中使得一元二次方程02=-+n mx x 有实数解（即042≥+n m ）有10种∴ P （一元二次方程02=-+n mx x 有实数解）＝651210= 【思路点拨】先画树状图或列表展示36种等可能的结果数，然后找出各事件发生的结果数（即满足042≥+n m 的），即可以计算出该事件的概率． 【答案】65三、解答题（每题8分，共16分） 19．掷一枚均匀的正方体骰子，求 （1）“点数为5”的概率； （2）“点数为偶数”的概率； （3）“点数大于4”的概率； （4）“点数不小于3”的概率 【知识点】等可能试验的概率【解题过程】解：（1）∵一共有6种等可能结果，其中“点数为5”的结果只有1种，∴P （点数为5）＝61（2）∵一共有6种等可能结果，其中“点数为偶数”的结果有3种， ∴P （点数为偶数）＝2163= （3）∵一共有6种等可能结果，其中“点数大于4”的结果有2种， ∴P （点数大于4）＝3162= （4）∵一共有6种等可能结果，其中“点数不小于3”的结果有4种， ∴P （点数不小于3）＝3264= 【思路点拨】本题总结果数都是6种，所以关键是找出各事件发生的结果数，即可以计算出该事件的概率，注意“不小于”的含义．【答案】（1）61 （2）21 （3）31 （4）3220．学校有1张NBA 篮球比赛的门票，篮球队员喜羊羊和灰太狼都想获得这张门票，体育老师为他们出了一个主意，方法是：从印有数字1、2、3、4、4、5、6、7、8的9张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，喜羊羊去；否则，灰太狼去．你认为这种方法对喜羊羊和灰太狼公平吗？请说明理由．如果不公平，请修改规则． 【知识点】等可能试验的概率、修改游戏规则 【解题过程】解：这个游戏不公平，理由如下： ∵一共有9种等可能结果，其中大于4的结果有4种，∴P （喜羊羊去）＝94∴P （灰太狼去）＝1－94＝95 ∴P （喜羊羊去）＜P （灰太狼去） 即对喜羊羊不公平修改规则：将印有数字4的牌抽出1张，再从剩下的8张牌里任取一张，抽到比4大的牌，喜羊羊去；否则，灰太狼去．【思路点拨】判断一个游戏是否公平，关键取决于游戏参与者获胜的概率是否相等．若不公平，我们修改游戏规则的目标也是使得游戏参与者获胜的概率变成相等的． 【答案】见上面解题过程四、解答题（每题10分，共40分）21．某篮球运动员进行3分投篮训练结果如下表：（1）计算表格中投篮50次、100次、150次、200次相应的命中频率，并填入表格中； （2）观察表格中的频率变化趋势，估计这个运动员投篮命中的概率是多少？ （3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？ 【知识点】用频率估计概率【解题过程】解：（1）0.5 0.65 0.6 0.6 （2）估计这个运动员投篮命中的概率是0.6（3）∵这个运动员投篮命中的概率是0.6 ∴15次大约能投进15×0.6＝9（个） ∴得分估计为9×3＝27（分）【思路点拨】观察表格中频率变化的趋势发现，当投篮次数增加时，频率逐渐稳定在0.6的附近，因此可以估计这个运动员投篮命中的概率是0.6． 【答案】见上面解题过程22．一个不透明的的袋中装有红、黄、白三种颜色球共40个，它们除颜色外其它都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个．已知：从袋中摸出一个球是红球的概率是310． （1）求袋中红球的个数；（2）从袋中摸出一个球是白球的概率；（3）取走10个球（其中有4个黄球）后，求从剩余的球中摸出一个球是黄球的概率． 【知识点】等可能事件的概率、方程【解题过程】解：（1）∵从袋中摸出一个球是红球的概率是310∴红球个数为：1210340=⨯（个） （2）设袋中白球个数为x ，则黄球个数为52-x ，由题意得405212=-++x x 解得：11=x ∴白球数量为11个 ∴摸到白球的概率为4011 （3）由（2）问知，白球数量为11个 ∴黄球数量是17个又∵取走了10个球，其中有4个黄球 ∴黄球有13个，总球数是30个 ∴摸到黄球的概率是3013 【思路点拨】（1）已知概率，可以逆用公式求红球的数量； （2）根据题意，先列方程求出白球的数量，再求摸到白球的概率；（3）分别计算取走了10个球以后的总球数和黄球数，再求摸到黄球的概率． 【答案】（1）12个 （2）4011 （3）301323．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C ”所对应的圆心角度数； （3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，请用树状图或列表法分析选取的两名同学都是女生的概率．【知识点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 【数学思想】数形结合 【解题过程】解：（1）由题意可得总人数为50%2010=÷名； （2）听音乐的人数为1285151050=----名， 补全统计图得：“体育活动C ”所对应的圆心角度数=︒=︒⨯1083605015（3）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况， ∴选取的两名同学都是女生的概率=101202=． 【思路点拨】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）求出听音乐的人数即可补全条形统计图；由C 的人数即可得到所对应的圆心角度数； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【答案】见上面解题过程24．有四张正面分别标有数字2，1，3-，4-的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m ，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n ． （1）请画出树状图并写出),(n m 所有可能的结果；（2）求所选出的m ，n 能使一次函数n mx y +=的图象经过第二、三、四象限的概率． 【知识点】列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系． 【解题过程】解：（1）画树状图得：则),(n m 共有12种等可能的结果：)1,2(，)3,2(-，)4,2(-，)2,1(，)3,1(-，)4,1(-，)2,3(-，)1,3(-，)4,3(--，)2,4(-，)1,4(-，)3,4(--；（2）∵所选出的m ，n 能使一次函数n mx y +=的图象经过第二、三四象限的有：)4,3(--，)3,4(--，∴所选出的m ，n 能使一次函数n mx y +=的图象经过第二、三四象限的概率为：61122=男生女生【思路点拨】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）首先可得所选出的m ，n 能使一次函数n mx y +=的图象经过第二、三四象限的有：)4,3(--，)3,4(--，再利用概率公式即可求得答案． 【答案】见上面解题过程五、解答题（第25题10分，第26题12分，共22分）25．一学期结束后，九年级对学生进行了综合素质评定．为了解年级的评定情况，现对九年级某班的学生进行了评定等级的调查，绘制了如下男女生等级情况折线统计图和全班等级情况扇形统计图．（1）直接写出该班的学生人数并补全女生等级评定的折线统计图；（2）根据调查情况，该班班主任从评定等级为合格和A 的学生中各选1名学生进行交流，了解他们的想法．请用树状图或表格求出刚好选中一名男生和一名女生的概率． 【知识点】列表法与树状图法；折线统计图；扇形统计图． 【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）被抽查学生人数=40%5.7)21(=÷+(人)女生获得2A 等级的有5人；获得3A 等级的有2人，获得4A 等级的有10人.补全统计图如图所示．男生女生（2）列表如下：种不同的可能，其中，恰好抽到一男一女的共有5种．∴95( 一男一女）P【思路点拨】（1）利用“合格”的男女生人数和除以“合格”人数所占的百分比计算即可得解；然后分别计算出2A 、3A 、4A 的男女生人数和，将这个人数和减去对应的男生的人数就能得到对应项目女生的人数，再补全折线统计图．（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好选中一名男生和一名女生的结果，再利用概率公式即可求得答案． 【答案】见上面解题过程26．现在初中课本里所学习的概率计算问题只有以下类型：第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验；第二类是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验；解决概率计算问题，可以直接利用模型，也可以转化后再利用模型． 请解决以下问题：（1）如图，类似课本的一个寻宝游戏，若宝物随机藏在某一块砖下（图中每一块砖除颜色外完全相同），则宝物藏在阴影砖下的概率是多少？（2）在1~9中随机选取3个整数，若以这3个整数为边长构成三角形的情况如下表：请你根据表中数据，估计从1~9中随机选取3个整数，以这3个整数为边长构成钝角三角形的概率是多少？（精确到百分位）【知识点】概率、频率的关系，利用频率估计概率【解题过程】解：（1）所有等可能的结果共有16种，藏在阴影砖下的结果共有4种，所以P （宝物藏在阴影砖下）=41164=． （2）各组实验中钝角三角形的频率依次是：第1组试验730.24300≈； 第2组试验 1550.26600≈；第3组试验 1910.21900≈； 第4组试验 2580.221200≈ ；第5组试验 3310.221500≈．所以估计P （构成钝角三角形）=0.22．【思路点拨】（1）根据列出条件所有等可能的结果和藏在阴影砖下的结果，得出结果．（2）根据概率和频率的关系，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件的概率．所以依次计算各组实验中钝角三角形的频率，估计构成钝角三角形的概率． 【答案】（1）41（2）0.22。
第二十五章小结与复习
概率初步 小结与复习知识梳理1. 表示一个事件发生的___________的这个数，叫做该事件的_______．2. 不可能事件发生的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件．3. 列举所有等可能事情的结果的方法有___________和___________．4. 用频率估计概率的一般做法是：___________．考点呈现一、概率的意义例1 下列说法中，正确的是（ ）A ．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨B ．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上C ．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖D ．投掷一枚图钉，钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同分析：“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的可能性比较大，而不是有80%的时间在下雨，故错误；“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示抛一枚硬币很多很多次的话，正面朝上和反面朝上的可能性是一样的，但不能说每一次的结果怎样，故错误；“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误；因为图钉上下不一样，所以钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同，正确.故只有选项D 正确. 解：选D.二、简单概率的求法例2 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球个数的2倍少5个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是 310．（1）求袋中红球的个数.（2）求从袋中摸出一个球是白球的概率.（3）取走10个球（其中没有红球）后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．分析：（1）结合概率的意义，用红、黄、白三种颜色球共有的个数乘红球的概率即可得到红球的个数；（2）设白球有x 个，得出黄球有（2x-5）个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总球数即可；（3）根据红球的个数，除以所剩球数即可．解：（1）根据题意，得100×310=30.答：红球有30个．（2）设白球有x 个，则黄球有（2x-5）个，根据题意，得x+2x-5=100-30，解得x=25． 所以摸出一个球是白球的概率P=25100=14.（3）因为取走10个球后，还剩90个球，其中红球的个数没有变化，所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为3090=13.三、画“树状图”或“列表法”求概率例3 如图1，4张背面完全相同的纸牌（用①、②、③、④表示），在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张． （1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的所有可能结果；（2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD 是平行四边形的概率．分析：（1）根据题意画出树状图，由树状图得到所有等可能的结果；（2）由（1）求得能判断四边形ABCD是平行四边形的所有情况，利用概率公式解答即可．解：（1）画树状图如下：则共有12种等可能的结果.（2）因为能判断四边形ABCD是平行四边形的有①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共8种情况，所以能判断四边形ABCD是平行四边形的概率为812=2 3．例4 如图2，有一个可以自由转动的转盘被平均分成五个扇形，五个扇形内部分别标有数字1，-2，3，-4，5．若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为m，n（当指针指在边界线时视为无效，重转），从而确定一个点的坐标为A（m，n）．请用列表或者画树状图的方法求出所有可能得到的点A的坐标，并求出点A在第一象限内的概率．分析：根据题意列表，由表格得出所有等可能的结果，再利用概率公式解答即可．解：列表如下：由表可知所有可能得到的点A的坐标共有25种，且每种结果发生的可能性相同，其中在第一象限内的结果有9种，故P（点A在第一象限内）=925．误区点拨一、概率意义理解错误例1下列说法正确吗？请说明理由．⑴一个有奖奖券中奖的概率是20%，那么买5张奖券必有一张中奖；⑵从一副洗匀了的扑克牌中任意抽一张，是大王的概率是21，因为一副扑克牌中只有一个大王、一个小王； ⑶“从放有形状相同、颜色不同的球的盒子中摸出一个球是白色的的概率是0”．这句话的意思是从盒子中摸到白球的可能性很小． 错解：（1）正确；（2）正确；（3）正确.剖析：判断所说的话是否正确的依据是看所求概率值是否正确，或对概率意义的理解是否准确．正解：⑴不正确．中奖的概率是20%是指在全部的奖券中有20%的奖券能够中奖，若只买5张奖券不一定就有1张中奖．⑵不正确．从一副扑克牌中抽得一张是大王的概率应是154，因为在54张牌中只有1张是大王．如果只从大王、小王两张牌中抽1张牌，那么抽得大王的概率就是12．⑶不正确．概率是0，就说明从盒中摸出一个白球是不可能的，而不是可能性很小． 二、没有注意到事件的概率是变化的例2 有一种翻牌游戏，游戏规则是：在20张正面相同的牌中，有5张牌的背面注明了一定的奖金，其余牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与游戏者有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻.小明已翻过两次，一次获奖，一次不获奖，那么小明第三次翻牌获奖的概率是（ ） A ． 15 B ． 29C ． 14D ． 518错解：C.剖析：这个问题中随着小明的每一次翻牌，获奖的概率在不断的变化，没翻之前，中奖率是520=14,翻过两次之后，有奖的牌有4个，没翻的牌有18个. 正解：第三次翻牌获奖的概率是418=29,故选B.三、忽略实验的每种结果的“等可能性”例3 历史上曾经有一个著名的例子.法国数学家达朗贝尔认为先后抛掷两枚均匀的硬币，共有3种可能的情形，即（正，正）、（反、反）、（一正一反）.由此，他得出结论“一正一反”出现的概率是13 ，你认为这个结论正确吗？错解：正确.剖析：在这个问题中，给出的三种情况不是等可能性的，第三种结果（一正一反）是由两种情形产生的，即可以是第一次抛出正面，第二次抛出反面，或者第一枚抛出反面，第二枚抛出正面. 正解：有4种等可能的情形：（正，正）、（反、反）、（正、反）、（反、正），则出现（一正一反）的概率是24=12. 摸出2张，考虑摸出一张黑桃2，一张红桃2或1张黑桃A ，1张红桃A 的机会． 跟踪训练1. 投掷一枚普通的各面上标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现1点”；③投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大；④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19.其中，正确的见解有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ） A ．12B ．13C ． 16D ． 193. 甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了13张从A （1）到K 的牌，并规定甲抽到10至K 的牌，那么算甲胜，如果抽到的是10以下的牌，则算乙胜，这种游戏对甲、乙来说 （填“公平”或“不公平”）.4.某校举行A ，B 两项趣味比赛，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一项，则他们恰好参加同一项比赛的概率是 ．5.现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字-1，-2，1，2，3．先将标有数字-2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从两个盒子里各随机取出一个小球．（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果； （2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率．6. 有一个渔具包，包内装有A ，B 两支鱼竿，长度分别为3.6m ，4.5m ，包内还装有绑好鱼钩a 1，a 2，b 三根钓线，长度分别为3.6m ，3.6m ，4.5m ．若从包内随机取出一支鱼竿，再随机取出一根钓鱼线，则鱼竿和钓鱼线长度相同的概率是多少？（请画树状图或列表说明）7. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数． （1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．跟踪训练：1. B2. B3. 不公平4. 125.解：（1）列表如下：则共有6种结果，且它们的可能性相同；（2）因为取出的两个小球上的数字之和等于0的有（1，-1），（-2，2），所以两个小球上的数字之和等于0的概率为26=13．6. 解：列表如下：从表中看出，所有可能结果为6种，其中鱼竿和钓鱼线长度相同的为3种，根据概率计算公式，得P （鱼竿和钓鱼线长度相同）=36=12． 答：随机取出一根钓鱼线，鱼竿和钓鱼线长度相同的概率是12． 7. 解：（1）画树状图得：所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，，413，421，423，431，432．…（5分）（2）这个游戏不公平． ∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个， ∴甲胜的概率为， 而乙胜的概率为，∴这个游戏不公平．。