【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章章末检测 新人教A版必修2
人教A版高中数学必修第一册 章末质量检测(二)
(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62,当且仅当2y x ＝9xy,即9x 2＝2y 2时取等号,故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.21．(12分)如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件,知4x ＋6y ＝36,即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼的面积为S,则S ＝xy.方法一 由于2x ＋3y≥22x×3y＝26xy, ∴26xy ≤18,得xy≤272,即S≤272.当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m 时,可使面积最大． 方法二 由2x ＋3y ＝18,得x ＝9－32y.∵x>0,∴0<y<6.S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y)y.∵0<y<6,∴6－y>0.∴S≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y,即y ＝3时,等号成立,此时x ＝4.5. 故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时,可使面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24. 设钢筋网总长为l,则l ＝4x ＋6y.方法一 ∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy ＝24,∴l＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y)≥48,当且仅当2x ＝3y 时,等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.6
§1.6 微积分基本定理一、基础过关1． 已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是 ( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ；②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a ns ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2． 若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3． ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋14． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43C.23 D ．－235． ʃπ20sin 2x 2d x 等于( ) A.π4 B.π2－1C ．2 D.π－246．ʃ1－1|x |d x 等于( )A ．ʃ1－1x d xB ．ʃ1－1(－x )d xC ．ʃ0－1(－x )d x ＋ʃ10x d xD ．ʃ0－1x d x ＋ʃ10(－x )d x二、能力提升7． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________.8．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；(4)ʃ211x (x ＋1)d x . 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .答案1．D 2.B 3．C 4．B 5．D 6．C7．1 8.339．f (x )＝4x ＋310．解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋23x 32)|91 ＝1723. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1， ∴ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.(4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，(ln x )′ ＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．解 由积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x ＝x 44|10＋23x 32|21＋2xln 2|32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.12．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2 ＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 13．解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92) ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.3.3习题课
习题课一、基础过关1． 函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是 ( ) 2． 函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)3． 已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)4． 函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是 ( )5．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． 6．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.二、能力提升7． 已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )8． 已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<09．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ＋6，若x ＝3是f (x )的一个极值点，求f (x )在[0，a ]上的最值． 11．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. 三、探究与拓展12．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．答案1．A 2．B 3．A 4．D 5．3 6．27．A 8．B 9．(－2,2)10．解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由已知得f ′(3)＝0， ∴3×9－6a ＋3＝0.∴a ＝5， ∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6. 令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0， 得x 1＝13，x 2＝3.则x ，f ′(x )，f (x )的变化关系如下表.∴f (x )在[0,5]上的最大值为f (5)＝21， 最小值为f (3)＝－3. 11．(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2) ＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－(x －1)(2x ＋3)x.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时， g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.12．解 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0， 注意到e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0， 注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】综合检测一-最新学习文档
综合检测(一)一、选择题1． i 是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i2． 演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误3． 用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除4． i 为虚数单位，复平面内表示复数z ＝－i2＋i的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5． 若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定6． 求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5， 只要证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1， 即证35>11，即证35>11，∵35>11恒成立，∴原式成立． 以上证明过程应用了( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法7． 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如下图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极大值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)9． 如右图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e－2D ．e －1e10．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(－1，－4)C ．(1，－4)D ．(1,0)或(－1，－4)11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a12．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4二、填空题13．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．14．变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2(m/s)(其中t 为时间，单位：s)，则它在前2 s内所走过的路程为________m.15．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 17．求函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2的单调区间．19．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，求a 2、a 3、a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等．若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论． (2)求证：B 不可能是钝角．21．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．答案1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C 13．一 14．215．[－3，3]16．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1. ∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0， 且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数． 17．解 f ′(x )＝e x －1＋x e x －x＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 18．证明 要证a －5－a －3<a －2－a ， 只需证a －5＋a <a －3＋a －2，只需证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2， 只需证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6， 只需证0<6. 因为0<6恒成立， 所以a －5－a －3<a －2－a 成立．19．解 a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝3k ＋5. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a ka k ＋3＝3·3k ＋53k ＋5＋3＝3(k ＋1)＋5，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②知，对n ∈N *，a n ＝3n ＋5都成立．20．(1)解 大小关系为b a<c b ， 证明如下：要证b a <c b， 只需证b a <c b，由题意知a 、b 、c >0， 只需证b 2<ac ，∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac， ∴b 2≤ac ，又a 、b 、c 任意两边均不相等， ∴b 2<ac 成立． 故所得大小关系正确．(2)证明 假设B 是钝角，则cos B <0， 而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0.这与cos B <0矛盾，故假设不成立． ∴B 不可能是钝角．21．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk ，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)． 当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk ，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。
【步步高】高中数学 第一章 章末检测 新人教A版选修2-2
章末检测一、选择题1． 一质点运动方程为S ＝20＋12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )A ．20 m/sB ．49.4 m/sC ．29.4 m/sD ．64.1 m/s2． 曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 3． 已知函数f (x )＝x 3－12x ＋a ，其中a ≥16，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )有目仅有一个零点B ．f (x )至少有两个零点C ．f (x )最多有两个零点D ．f (x )一定有三个零点4． 若f (x 0)存在且f ′(x 0)＝0，下列结论中正确的是( )A ．f (x 0)一定是极值B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值5． 定积分ʃ30x d x 等于( ) A.92 B ．9 C ．8 D ．36． 一个弹簧压缩x cm 产生4x N 的力，那么将它从自然长度压缩0.05 m 做的功是( )A ．50 JB ．0.5 JC ．500 JD ．5 J7． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32 D. 38． 函数y ＝12x －2sin x 的图象大致是( )9． 曲线y ＝e－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为 ( )A.13B.12C.23 D ．110．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( ) A.827π B.1627π C.89π D.169π 11．已知函数f (x )＝ax 5－x (a <0)，若x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于零B ．一定小于零C ．等于零D ．不能确定 12．函数f (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值二、填空题13．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.14．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．15．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________．16．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题 17．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．18．列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？19．已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c . (1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．20．设f (x )＝ʃ10|x 2－a 2|d x .(1)当0≤a ≤1与a >1时，分别求f (a )；(2)当a ≥0时，求f (a )的最小值．答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．A 10．A11．B 12．B13．214．215．0.36 J16．(－1,0]17．解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a .∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3.∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.(2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y －16＝0.18．解 因为a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t 秒后的速度为v ，则v ＝v 0＋ʃt 0a d t＝20－ʃt00.4d t ＝20－0.4t ，当列车停止时v ＝0，解得t ＝50 s.设列车由开始制动到停止所走过的路程为s .则s ＝ʃ500v (t )d t ＝ʃ500(20－0.4t )d t＝500 (m)．故列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．19．解 (1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0，即3x2－x ＋b ≥0，∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)上恒成立．设g (x )＝x －3x 2.当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112. (2)由题意知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2. x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．∵f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－23.∵f (1)＝－32＋c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c ，f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c <c 2.解得c >2或c <－1，∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．20．解 (1)0≤a ≤1时，f (a )＝ʃ10|x 2－a 2|d x ＝ʃa 0(a 2－x 2)d x ＋ʃ1a (x 2－a 2)d x＝(a 2x －13x 3)|a 0＋(x 33－a 2x )|1a ＝a 3－a 33－0＋0＋13－a 2－a 33＋a 3 ＝43a 3－a 2＋13. 当a >1时，f (a )＝ʃ10(a 2－x 2)d x ＝(a 2x －13x 3)|10＝a 2－13. ∴f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 43a 3－a 2＋13 0≤a ，a 2－13 a(2)由于f (a )＝a 2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小值是f (1)＝1－13＝23. 当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2－2a ＝2a (2a －1)，由f ′(a )>0知：a >12， 故在[0，12]上递减，在[12，1]上递增． 因此在[0,1]上，f (a )的最小值为 f (12)＝14.综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为14.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2《立体几何初步》章末检测一
章末检测一、选择题1． 如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥组合体D ．无法确定2． 圆柱的轴截面是正方形，面积是S ，则它的侧面积是( )A.1πS B ．πS C ．2πS D ．4πS3． 具有如图所示直观图的平面图形ABCD 是( )A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形 4．下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5． 在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，则( )A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上 C ．P 一定在直线AC 或BD 上D ．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上6． 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6πB ．43πC ．46πD ．63π7． 如图所示，则这个几何体的体积等于( )A．4 B．6 C．8 D．128．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1D19．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β10．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面11．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB ．线段BC 1C ．BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段D ．BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段 二、填空题13．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______________．15．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．16．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm 3.三、解答题17．如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，为什么？18．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)EF ∥面ACD ； (2)面EFC ⊥面BCD .19．沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展开到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S＝2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长．现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？20．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，P A＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．22．如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA＝45°，AB＝2，AD＝1.(1)求证：MN∥平面P AD；(2)求证：平面PMC⊥平面PCD；(3)求三棱锥M—PCD的体积．答案1．A 2．B 3．B 4．C 5.B 6．B 7．A 8．B 9．D 10.A 11．D 12．A 13．9 14．3∶1∶2 15.14－12π 16．117．解 直线MN ∥平面A 1BC 1，M 为AB 的中点，证明如下：∵MD /∈平面A 1BC 1， ND /∈平面A 1BC 1.∴MN ⊄平面A 1BC 1. 如图，取A 1C 1的中点O 1， 连接NO 1、BO 1. ∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB .∴四边形NO 1BM 为平行四边形． ∴MN ∥BO 1.又∵BO 1⊂平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.18．证明 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ， ∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ， ∴EF ∥面ACD .(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD . ∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点， ∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC . ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .19．解 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)．设所求圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S 圆柱侧＝2πrx .因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H·x .所以S 圆柱侧＝2πRx －2πR H·x 2.(2)因为S 圆柱侧的表达式中x 2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．这时圆柱的高x ＝H 2.故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．20．证明 方法一 如图所示，连接AN ，并延长交BE 的延长线于P ，连接CP . ∵BE ∥AF ， ∴FN NB ＝AN NP， 由AC ＝BF ，AM ＝FN 得MC ＝NB . ∴FN NB ＝AM MC .∴AM MC ＝AN NP， ∴MN ∥PC ，又PC ⊂平面BCE . ∴MN ∥平面BCE .方法二 如图，作MG ⊥AB 于G ，连接GN ，转证面MNG ∥面CEB . ∵MG ∥BC ，只需证GN ∥BE . ∵MG ∥BC ， ∴AM AG ＝MC GB. 又AM ＝FN ，AC ＝BF ， ∴AM AG ＝FN AG ＝NB GB. ∴GN ∥AF ∥BE . ∴面MNG ∥面BCE .又MN ⊂面MNG ，∴MN ∥面BCE .21．解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD . 因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2， 所以三角形PCD 的面积为12×2×23＝2 3.(2)如图，取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或 其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2知△AEF 是等腰直角 三角形， 所以∠AEF ＝45°.因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是45°. 22．(1)证明 取PD 的中点E ，连接AE ，EN ，∵N 为中点，∴EN 为△PDC 的中位线，∴EN 綊12CD ，又∵CD 綊AB ，M 为中点，∴EN 綊AM .∴四边形AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE . 又∵MN ⊄平面P AD ，AE ⊂平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .(2)证明 ∵P A ⊥平面ABCD ， CD ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD . ∴P A ⊥CD ，P A ⊥AD . ∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD .又∵AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE . ∵∠PDA ＝45°，E 为PD 中点， ∴AE ⊥PD .又∵PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD . ∵MN ∥AE ，∴MN ⊥平面PCD ， 又∵MN ⊂平面PMC ， ∴平面PMC ⊥平面PCD .(3)解 V M —PCD ＝V P —CDM ＝13S △CDM ·P A ＝13×12×CD ×AD ×P A＝13×12×2×1×1＝13.。
2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 章末复习课
研一研·题型解法、解题更高效
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x2 y 2 6 例 3 已知椭圆 C： 2＋ 2＝1 (a>b>0)的离心率为 ，短轴 3 a b 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程；
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(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 3 l 的距离为 ，求△AOB 面积的最大值. 2 c 6 ＝ ， 解 (1)设椭圆的半焦距为 c，依题意有a 3 a＝ 3， 2 x 2 ∴b＝1.∴所求椭圆方程为 ＋y ＝1. 3 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2).
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题型二 有关圆锥曲线性质的问题 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中 常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意， 大都可以顺利求解. x2 y2 x2 y2 例 2 已知椭圆 2＋ 2＝1 和双曲线 2－ 2＝1 有公共的 3m 5n 2m 3n 焦点，那么双曲线的渐近线方程是 ( D ) 15 15 A.x＝± y B.y＝± x 2 2 3 3 C.x＝± y D.y＝± x 4 4 解析 由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上，
解
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由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，所
以 |PF1| ＝ 6 － |PF2| ，这样 |PA| ＋ |PF1| ＝ 6 ＋ |PA| －|PF2|.求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为 6＋ |PA|－|PF2|的最大值问题， 即求|PA|－|PF2|的最 大值问题， 如图， 在△PAF2 中， 两边之差小于第三边， 即|PA| －|PF2|<|AF2|， 连接 AF2 并延长交椭圆于 P′点时， 此时|P′A| －|P′F2|＝|AF2|达到最大值， 易求|AF2|＝ 2， 这样|PA|－|PF2| 的最大值为 2，故|PA|＋|PF1|的最大值为 6＋ 2.
高中数学 章末检测卷(二)点、直线、平面之间的位置关系 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试
章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即直线AC 与直线BC1所成的角为60°.答案 B2.设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A.若a、b与α所成的角相等，则a∥bB.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则a∥βD.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行、相交或异面；C中的α、β可以平行或相交.答案 D3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD.若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.答案 C4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.答案 C5.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误.故选B.答案 B6.(2015·某某高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.答案 D7.(2014·某某高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析选项A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项B，若m∥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项C，若m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；选项D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交或m⊂α或m ∥α，错误.答案 C8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )A.8B.9C.10D.11解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案 A9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°解析因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，A正确；因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1， 所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确；易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合.故C 正确；因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角. 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误. 答案 D10.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334， V ABC －A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠PAO ＝PO AO ＝3，∴∠PAO ＝π3. 答案 B二、填空题11.矩形ABEF 和正方形ABCD 有公共边AB ，且它们所在的平面互相垂直，AB ＝BC ＝2a ，BE ＝a ，则DE ＝________，DE 与平面ABEF 所成的线面角的正弦值为________. 解析 如图，在Rt △DBE 中，BD ＝22a ，BE ＝a ，∴DE ＝（22a ）2＋a 2＝3a ，∵DA ⊥平面ABEF ，∴∠DEA 即为DE 与平面ABEF 所成的角， 在Rt △DAE 中，sin ∠DEA ＝DA DE ＝23. 答案 3a 2312.如图所示为一个正方体的一种表面展开图，图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对，成60°角的有________对.解析 正方体如图AB 与CD ，AB 与GH ，GH 与EF 互为异面直线，AB 与CD ，AB 与EF ，AB 与GH ，CD 与GH ，EF 与GH 成60°角.答案 3 513.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________.解析 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角. ∴B 1M ⊥MN 而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 答案 90°14.已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝________. (2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝________. 解析 根据题意得AS SB ＝SCSD.当点S 在α，β之间时，有89＝CS 34－CS ，即CS ＝16；当点S 在α，β之外时，有89－8＝SC34，即SC ＝272. 答案 16 27215.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值X 围是________.解析 由题意知：PA ⊥DE ， 又PE ⊥DE ，PA ∩PE ＝P ， 所以DE ⊥面PAE ，∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD， 即3a －x ＝x 3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6. 答案 a >616.在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 为A ′D ′中点，则异面直线EC 与BC ′所成角的余弦值为________，二面角A ′－BC ′－D 的平面角的正切值为________.解析 如图，取BC ，CC ′中点F ，H ，连A ′F ，FH ，A ′H .∵A ′F ∥EC ，FH ∥BC ′，∴∠A ′FH 即为异面直线EC 与BC ′所成的角. 设正方体的棱长为2，FH ＝2，A ′F ＝3，A ′H ＝3， cos ∠A ′FH ＝223＝26，取BC ′的中点O ，连A ′O ，DO ，则A ′O ⊥BC ′，DO ⊥BC ′，∠A ′OD 即为二面角A ′－BC ′－D 的平面角， A ′O ＝DO ＝6，A ′D ＝22，cos ∠A ′OD ＝6＋6－826×6＝13，tan ∠A ′OD ＝2 2.答案262 2 17.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 解析 由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错.答案①③三、解答题18.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D 是AB的中点.(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19.如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M 为BC的中点.(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小.(1)证明 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin 60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，而PM ⊂平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解 由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角. ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20．(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积 V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.21．(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积．(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92. 五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694. 所以五棱锥D ′－ABCFE 的体积 V ＝13×694×22＝2322. 22．(2016·某某高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD . (1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由．(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .(1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM . 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB .CM ⊄平面PAB .所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。
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章末检测
一、选择题
1．如图所示的长方体，将其左侧面作为上底面，右侧面作为下底面，水平放置，所得的几何体是( ) A．棱柱B．棱台
C．棱柱与棱锥组合体D．无法确定
1题图2题图
2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能
．．．为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②
3．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是
( )
4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中( ) A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
4题图5题图
5．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( ) A．等腰梯形B．直角梯形
C．任意四边形D．平行四边形
6．如图是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A．6 B．9 C．12 D．18
8．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6πB．43πC．46πD．63π
9．如图所示，则这个几何体的体积等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
10．将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为选项图中的( )
11．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )
A．120° B．150° C．180° D．240°12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC
为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为
( )
A.26
B.36
C.2
3
D.22
二、填空题
13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入
所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱
14．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________ cm 3
.
15．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________． 16.一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底
面圆周长的1
4，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是________．
三、解答题
17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．
18．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视
图如图．
(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图(不写作法)；
(2)求这个几何体的体积．
19. 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，
求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
20. 如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，
作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：(1)AD的长；(2)容器的容积．
答案
1．A 2.B 3.D 4．C 5．B 6．D 7.B 8.B 9．A 10．A 11．C 12．A 13．①②③⑤ 14．1 15.24π 16.14－12π
17．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m
的半球．
(1)几何体的表面积为S ＝12
×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2
)．
(2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13
＝8＋2π3(m 3)．
18．解 (1)直观图如图．
(2)这个几何体是一个四棱锥． 它的底面边长为2，高为3，
所以体积V ＝13×22
×3＝433
.
19．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52
＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2 ＝(42＋60)π.
V ＝V 圆台－V 圆锥
＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 2
2)h －13πr 21h ′ ＝13π(25＋10＋4)×4－1
3π×4×2 ＝1483
π.
20．解 (1)设圆台上、下底面半径分别为r 、R ，AD ＝x ，
则OD ＝72－x ，由题意得
⎩⎪⎨
⎪⎧
2πR ＝60·π180×7272－x ＝3R
，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
R ＝12
x ＝36
.
即AD 应取36 cm.
(2)∵2πr ＝π3·OD ＝π
3·36，
∴r ＝6 cm ，
圆台的高h ＝x 2
－R －r 2
＝362
－－2
＝635.
∴V ＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm 3
)．。