(整理)高中数学新课标步步高34
§3.4 定积分1． 用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限． 2． 定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx .当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃba f (x )d x .3． 定积分的运算性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)． (2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x . (3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (a <c <b )．4． 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × )(4)若f (x )是偶函数，则ʃa－af (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x .( √ )(5)若f (x )是奇函数，则ʃa－af (x )d x ＝0. ( √ ) (6)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )2． (2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝(7t －32t 2＋25ln(1＋t ))|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.3． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 4． (2013·湖南)若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13×T 3＝9. ∴T 3＝27，∴T ＝3.5． 由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________________________． 答案⎰⎰⎰+-x x x x x x d cos d cos d cos π2π202π32π32π解析 如图：阴影部分的面积为⎰⎰⎰+-x x x x x x d cos d cos d cos π2π202π32π32π.题型一 定积分的计算例1 (1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56D ．不存在 (2)若定积分ʃm－2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2思维启迪 (1)利用定积分的性质和微积分基本定理计算； (2)利用定积分的几何意义计算． 答案 (1)C (2)A解析 (1)如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. (2)根据定积分的几何意义知，定积分ʃm－2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.思维升华 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解．(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋a 03x 2d x ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.(2)⎰-2π2πsin x d x ＝________.答案 (1)1 (2)0解析 (1)由题意知f (1)＝lg 1＝0， ∴f (0)＝0＋a 3－03＝1，∴a ＝1.(2)由于函数y ＝sin x 在区间[－π2，π2]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在x轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0，即⎰-2π2πsin x d x＝0.题型二 利用定积分求曲边梯形的面积例2 如图所示，求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成的图形的面积．思维启迪 求出两切线交点M 的坐标⎝⎛⎭⎫32，3，将积分区间分为两段⎣⎡⎦⎤0，32、⎣⎡⎦⎤32，3. 解 由题意，知抛物线y ＝－x 2＋4x －3在点A 处的切线斜率是k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率是k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线过点A 的切线方程为y ＝4x －3，过点B 的切线方程为y ＝－2x ＋6.设两切线相交于点M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为32.在区间⎣⎡⎦⎤0，32上，曲线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方；在区间⎣⎡⎦⎤32，3上，曲线y ＝－2x ＋6在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方． 因此，所求的图形的面积是 S ＝⎰230[(4x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎰323[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x＝⎰230x 2d x ＋⎰323 (x 2－6x ＋9)d x＝98＋98＝94.思维升华 对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，5)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________． 答案 54解析 由已知可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ， x ∈[0，12]，－10x ＋10， x ∈(12，1]，则y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2， x ∈[0，12]，－10x 2＋10x ， x ∈(12，1]，画出函数图象，如图所示，所求面积S ＝⎰210(10x 2)d x ＋⎰121(－10x 2＋10x )d x ＝⎪⎪103x 3120＋⎪⎪(－103x 3＋5x 2)112＝512＋(－103＋5)－(－103×18＋5×14)＝54. 题型三 定积分在物理中的应用例3 一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为__________． 思维启迪 从题图上可以看出物体在0≤t ≤1时做加速运动，1≤t ≤3时做匀速运动，3≤t ≤6时也做加速运动，但加速度不同，也就是说0≤t ≤6时，v (t )为一个分段函数，故应分三段求积分才能求出曲边梯形的面积． 答案494m解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)2 (1≤t ≤3)13t ＋1 (3≤t ≤6)，因此该物体在12 s ～6 s 间运动的路程为s ＝⎰621v (t )d t ＝⎰1212t d t ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝t 2|112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 思维升华 定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，求变力F (x )对质点M 所做的功．解 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝ʃ101F (x )d x＝ʃ101(x 2＋1)d x＝(13x 3＋x )|101＝342， 即变力F (x )对质点M 所做的功为342.函数思想、数形结合思想在定积分中的应用典例：(12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值． 思维启迪 (1)题目要求是求S 1与S 2之和最小，所以要先构造S ＝S 1＋S 2的函数，利用函数思想求解．(2)S 1、S 2的面积只能通过定积分 求解，所以要选准积分变量． 规范解答解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分]所以阴影部分的面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分] 令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. [8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分]所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]温馨提醒 (1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查知识的迁移能力和导数的应用意识．(2)本题易错点：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间.方法与技巧 1． 求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )．(3)利用定积分的几何意义求定积分 2． 求曲边多边形面积的步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限．(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分． 失误与防范1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． 3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负． 5．将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题 1．⎰2π(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析()()2π2π0sin cos d cos sin ⎰--=-x a x x x a x＝－a ＋1＝2，a ＝－1.2． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析⎰--=3π3π3π3πsin d cos x x x ＝sin π3－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝ 3. 3． (2013·江西)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 利用定积分的几何意义知B 正确． 4． 图中阴影部分的面积是( )A ．16B ．18C ．20D ．22答案 B 解析 S ＝ʃ4－2⎝⎛⎭⎫y ＋4－y 22d y ＝⎝⎛⎭⎫y 22＋4y －y 36|4－2＝18. 5． 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 JD ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )×cos 30°d x ＝ʃ21(5－x 2)×32d x ＝⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×32|21＝433， ∴F (x )做的功为43 3 J.二、填空题6． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 7． 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________． 答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43. 8． 汽车以v ＝3t ＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________ m. 答案 6.5解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132 (m)． 三、解答题9． 求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31 ＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？ 解 由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0－at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s ＝ʃ50v (t )d t ＝ʃ50(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2|50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为 ( )A.43B.54C.65D.76 答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 2． 曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为________． 答案 32－ln 2解析 S ＝ʃ21x d x －ʃ211xd x ＝12x 2|21－ln x |21 ＝32－(ln 2－ln 1)＝32－ln 2. 3． 作变速直线运动的质点的速度是v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t (0≤t ≤20)，20(20<t ≤80)，100－t (80<t ≤100).(单位m/s)(1)该质点从t ＝10到t ＝30时所经过的路程是________ m ；(2)该质点从开始运动到结束运动共经过________ m.答案 (1)350 (2)1 600解析 (1)s 1＝ʃ3010v (t )d t ＝ʃ2010t d t ＋ʃ302020d t ＝ ⎪⎪ ⎪⎪12t 22010＋20t 3020＝350. (2)s 2＝ʃ1000v (t )d t ＝ʃ200t d t ＋ʃ802020d t ＋ʃ10080(100－t )d t＝1 600.4． 曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P (12，0)，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积． 解 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝6x 2－6x －2，则f ′(x 0)＝6x 20－6x 0－2，切线方程为y ＝(6x 20－6x 0－2)(x －12)， 则y 0＝(6x 20－6x 0－2)(x 0－12)， 即2x 30－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)(x 0－12)，整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋1y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－2. 由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知S ＝⎰230[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x ＝⎰230(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732. 5． 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝ ⎪⎪(x 22－13x 3)10＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝ ⎪⎪⎪(1－k 2x 2－13x 3)1－k 0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342.。
【步步高】高考数学大一轮复习 3.4 定积分配套课件 理 新人教A版
＝x－12x2|10＋12x2－x|21
＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1 ＝1.
题型分类·深度剖析
题型二
求曲边梯形的面积
【例2】 如图所示，求由抛物线y＝
思维启迪
解析
探究提高
－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和
点B(3,0)处的切线所围成的图形的
规范解答
温馨提醒
(1)题目要求是求S1与S2之和最小，所以要先构造S＝S1＋S2的函数，利用 函数思想求解．(2)S1、S2的面积只能通过定积分求解，所以要选准积分 变量．
题型分类·深度剖析
思想与方法 6.函数思想、数形结合思想在定积分中的应用
典例：(12分)在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定
积分变量及被积函数，并确定被
积区间．
题型分类·深度剖析
变式训练2 求曲线y＝ x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．
解
由yy＝ ＝2－x x
y＝2－x 得交点A(1,1)；由y＝－13x
得交点B(3，－1)．
故所求面积S＝ʃ 10 x＋13xdx＋ʃ 312－x＋13xdx
题型分类·深度剖析
变式训练1 求下列定积分：
(1)ʃ02(4x3＋3x2－x)dx； (2)ʃ12x－x2＋1xdx； (3)ʃ－0 π(cos x＋ex)dx； (4)ʃ02|1－x|dx.
(3)ʃ－ 0 π(cos x＋ex)dx
＝ʃ 0－πcos xdx＋ʃ －0 πexdx ＝sin x|0－π＋ex|0－π＝1－e1π. (4)ʃ 02|1－x|dx＝ʃ 01(1－x)dx＋ʃ 21(x－1)dx
题型分类·深度剖析
题型一
定积分的计算
高中数学教辅资料步步高
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高中数学步步高必修4资料第一章 1.4.1
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.知识点一 利用正弦曲线画正弦函数的图象思考1 用描点法画y ＝sin x 在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？ 答 列表取值、描点、连线；难点在取值.思考2 如何精确地得出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象？ 答 利用正弦线平移作图.1.可以利用单位圆中的正弦线作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象.2.y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象.3.把y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度，即可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象.知识点二 正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图思考 你认为哪些点是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象上的关键点？ 答 最高点、最低点及图象与x 轴的三个交点.(2)描点画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1). (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表：(2)描点连线，如图所示.反思与感悟 作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y ＝sin x 或y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x 轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图. 解 (1)取值列表如下：(2)描点连线，如图所示.类型二 正弦函数、余弦函数图象的简单应用 应用1 解不等式问题例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域.解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示.结合图象可得：x ∈[－4，－π)∪(0，π).反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域.解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示.结合图象可得：x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤32π，5. 类型三 方程的根(或函数零点)问题例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数.解 建立平面直角坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象.描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示.由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个.反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.跟踪训练3 若函数f (x )＝sin x －2m －1，x ∈[0,2π]有两个零点，求m 的取值范围. 解 由题意可知，sin x －2m －1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x ＝2m ＋1有两个根. 可转化为y ＝sin x 与y ＝2m ＋1两函数图象有2个交点. 由y ＝sin x 图象可知：－1＜2m ＋1＜1，且2m ＋1≠0， 解得－1＜m ＜0，且m ≠－12.∴m ∈(－1，12)∪(12，0).1.用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C.(π，0) D.(2π，0) 答案 A解析 易知⎝⎛⎭⎫π6，12不是关键点.2.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )答案 D解析 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 3.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点有________个.答案 两解析 作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象及直线y ＝－12(图略)，知两函数图象有两个交点.4.函数y ＝2sin x －1的定义域为________. 答案 [π6＋2k π，5π6＋2k π]，k ∈Z解析 由题意知，自变量x 应满足2sin x －1≥0， 即sin x ≥12.由y ＝sin x 在[0,2π]的图象，可知π6≤x ≤56π，又有y ＝sin x 的周期性，可得y ＝2sin x －1的定义域为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . 5.在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图. 解 (1)按五个关键点列表：(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示.1.正弦曲线、余弦曲线在研究正弦函数、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.2.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.一、选择题1.对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A.向左右无限伸展B.与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C.与x 轴有无数个交点D.关于y 轴对称 答案 D解析 由正弦曲线，知A ，B ，C 均正确，D 不正确. 2.点M ⎝⎛⎭⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 答案 C解析 由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.3.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A.与g (x )的图象相同 B.与g (x )的图象关于y 轴对称 C.向左平移π2个单位，得g (x )的图象D.向右平移π2个单位，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象.4.函数y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由特殊点验证，因为y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]过点(π，2)，所以选D. 5.不等式sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A.[0，π]B.(0，π)C.⎣⎡⎦⎤π2，3π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π2答案 B解析 由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得. 6.方程sin x ＝x10的根的个数是( )A.7B.8C.9D.10 答案 A解析 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根.7.如图所示，函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x <3π2且x ≠π2的图象是( )答案 C解析 当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ； 当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图象为C.8.已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A.4B.8C.2πD.4π 答案 D解析 采用割补法. 二、填空题 9.函数f (x )＝sin x ＋116－x 2的定义域为________. 答案 (－4，－π]∪[0，π]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，16－x 2＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－4＜x ＜4⇒－4＜x ≤－π或0≤x ≤π.10.函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4解析 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2.∴交点为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫32π，4. 11.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是____________________________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12图象，由图易得：－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜56π＋2k π，k ∈N .三、解答题12.函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围.解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3). 13.已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系. 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知：①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .。
最新步步高第三章3.4PPT
数y＝ －x2－2x 的图像与x轴及直
线x＝－2,x＝m所围成图形的面积,
y＝ －x2－2x 是一个半径为1的半 圆，其面积等于π2， 而ʃm－2 －x2－2xdx＝π4，
即在区间[－2，m]上该函数图像应 为14个圆，于是得m＝－1，故选A.基础知识Fra bibliotek题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
s
间的运动路程为
0≤t≤1时做加速运动， 1≤t≤3时做匀速运动，
__________．
3≤t≤6时也做加速运动，但
加速度不同，也就是说
0≤t≤6时，v(t)为一个分段
函数，故应分三段求积分才
能求出曲边梯形的面积．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
定积分在物理中的应用
【例 3】
【例2】 如图所示，求由抛物
思维启迪 解析 思维升华
线y＝－x2＋4x－3及其在点 A(0，－3)和点B(3,0)处的切 线所围成的图形的面积．
对于求平面图形的面积问题， 应首先画出平面图形的大致图 形，然后根据图形特点，选择
相应的积分变量及被积函数，
并确定被积区间．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
y＝ －x2－2x 是一个半径为1的半
圆，其面积等于π2，
而ʃ
m －2
－x2－2xdx＝π4，
A．－1 B．0 C．1 D．2
即在区间[－2，m]上该函数图像应 为14个圆，于是得m＝－1，故选A.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【步步高】高中数学 3.4习题课配套训练 苏教版必修1
习题课一、基础过关1．今有一组实验数据如下表：________．(填序号) ①y ＝2t －2；②y ＝21log t ；③y ＝log 2t ；④y ＝t 2－12.2．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是______，________.3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2011年的湖水量为m ，从2011年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系式为______．4．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．6．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．7．设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74，当m －n ≥0时，称不亏损企业；当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额． (1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？ (2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？8．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．(1)请写出相同时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域． (2)在同样的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润． 二、能力提升9．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致为________．(填图象编号)10．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为相似的是______．(填序号) ①y ＝0.2x ；②y ＝110(x 2＋2x )；③y ＝2x10；④y ＝0.2＋log 16x .11．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡． 12．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q (单位：元/10 kg)与上市时间t (单位：天)的数据情况如下表：(1)Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a log b t；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．三、探究与拓展13．九十年代，政府气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1990年，1991年，1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·b x＋c(其中a，b，c为常数)，且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？答案1．④ 2．60 16 3．y ＝0.9x50m4．②④ 5．20 6．2 5007．解 (1)由已知，m －n ＝92x －14－(－14x 2＋5x ＋74)＝14x 2－12x －2. 由m －n ≥0，得x 2－2x －8≥0， 解得x ≤－2或x ≥4. 据题意，x >0，所以x ≥4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机． (2)若企业亏损最严重，则n －m 取最大值． 因为n －m ＝－14x 2＋5x ＋74－92x ＋14＝－14[(x －1)2－9]＝94－14(x －1)2. 所以当x ＝1时，n －m 取最大值94，此时m ＝92－14＝174.故当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．8．解 (1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则相同时间内第x 档次的总利润：y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N *|1≤x ≤10}．(2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864， 则当x ＝9时，y 有最大值为864.故在相同的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元． 9．④ 10．③11．412．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t，Q ＝a log b t 中的任意一个来反映时都应有a ≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎪⎨⎪⎧150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252.所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10 kg)．13．解 若以f (x )＝px 2＋qx ＋r 作模拟函数，则依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝14p ＋2q ＋r ＝39p ＋3q ＋r ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12q ＝12r ＝0，∴f (x )＝12x 2＋12x .若以g (x )＝a ·b x＋c 作模拟函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1ab 2＋c ＝3ab 3＋c ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83b ＝32c ＝－3，∴g (x )＝83·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x－3.利用f (x )，g (x )对1994年CO 2浓度作估算，则其数值分别为：f (5)＝15可比单位，g (5)＝17.25可比单位， ∵|f (5)－16|<|g (5)－16|，故f (x )＝12x 2＋12x 作模拟函数与1994年的实际数据较为接近，用f (x )＝12x 2＋12x 作模拟函数较好．。
高中数学教辅资料步步高
高中数学教辅资料步步高步步高是一套备受学生和老师喜爱的高中数学教辅资料。
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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】3.4习题课
出的 y 值和表中体重的数据相等或比较接近,则说明拟合的 程度好,否则拟合的程度不好.
研一研·题型解法、解题更高效
分析 5 你能写出例 2 的解题过程吗？
习题课
解
本 课 时 栏 目 开 关
(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据点
的分布特征,可考虑以 y＝a·x 作为刻画这个地区未成年男性 b 的体重与身高关系的函数模型.如果取其中的两组数据 (70,7.90),(160,47.25),代入 y＝a·x 得: b
分析 3
答
怎样确定拟合函数中参数 a,b 的值？
由于函数 y＝a·x 含有两个参数 a,b,所以取表中的两组数 b
据代入函数解析式,解方程组求出.
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
分析 4
本 课 时 栏 目 开 关
如何验证得到的函数和实际问题之间拟合的好坏程
度？
答 将已知数据中的身高数代入得到的函数解析式,如果得
试一试·双基题目、基础更牢固
习题课
2.某地区植被破坏、 土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增 加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则下列函 数中与沙漠增加数 y 万公顷关于年数 x 的函数关系较为相似
本 课 时 栏 目 开 关
的是 A.y＝0.2x 2x C.y＝ 10 1 2 B.y＝ (x ＋2x) 10 D.y＝0.2＋log16x
研一研·题型解法、解题更高效
习题课
(2)将 x＝175 代入 y＝2×1.02x 得 y＝2×1.02175, 由计算器算得 y≈63.98.由于 78÷ 63.98≈1.22＞1.2, 所以,这个男生偏胖.
小结
本 课 时 栏 目 开 关
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】3.4
x
两边取对数,得 xlg 1.012 5＝lg 14－lg 12,
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 3.4
lg 14－lg 12 所以 x＝ ≈12.4. lg 1.012 5
本 课 时 栏 目 开 关
所以 13 年后,即 2008 年我国人口总数将超过 14 亿.
比另一种投资 5 年可多得利息多少钱？(结果精确到 0.01 万 元)
解 本金 100 万元,年利率 10%,按单利计算,5 年后的本息和 是 100×(1＋10%×5)＝150(万元). 本金 100 万元,年利率 9%,按每年复利一次计算,5 年后的本息 和是 100×(1＋9%)5≈153.86(万元).
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 复利问题
§ 3.4
例 2 有一种储蓄按复利计算利息,本金为 a 元,每期利率为 r, 设本利和为 y,存期为 x,写出本利和 y 随存期 x 变化的函数式.
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如果存入本金 1 000 元,每期利率 2.25%,试计算 5 期后的本 利和是多少(精确到 0.01 元)?
∴1＋x≈1.017,得 x＝1.7%. (2)依题意,y≤12.48(1＋1%)10, 得 lg y≤lg 12.48＋10×lg 1.01≈1.139 2, ∴y≤13.78,故人口至多有 13.78 亿. 答 每年人口平均增长率为 1.7%,2008 年人口至多有 13.78 亿.
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解得 Q＝10,即燕子静止时的耗氧量为 10 个单位.
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§ 3.4
(2)将耗氧量 Q＝80 代入公式得: 80 本 v＝5log210＝5log28＝15 (m/s),
高二新教材数学选择性必修第一册【步步高】学习笔记(人教A版)
高二新教材数学选择性必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）一、引言在高中数学学习过程中，选择性必修课程是非常关键的一部分。
本文将针对高二新教材数学选择性必修第一册【步步高】进行学习笔记的整理与总结，这本教材是人教A版。
二、教材结构概览【步步高】学习笔记共分为五个单元，分别是：1.数与式2.函数的基本性质3.一次函数与二次函数4.平面向量5.解析几何与实际问题每个单元包含了若干章节，并按照内容安排从易到难。
该教材的特点是理论与实践相结合，通过大量的例题和应用练习，帮助学生理解数学的原理以及应用。
三、笔记详解1. 数与式数与式是数学的基础，本章主要介绍了实数、整式、有理式等概念。
重点内容包括：•实数的概念和性质；•整式的定义和分类；•有理式的概念和性质。
值得注意的是，在实数的学习中，我们引入了数轴的概念，通过数轴的表示方法，帮助学生更好地理解和运用实数。
2. 函数的基本性质函数是高中数学中重要的概念，本章主要介绍了函数的基本性质，包括：•函数的定义和表示方法；•函数的性质与运算规律；•一些特殊函数的性质与图像。
通过对函数的学习，学生可以更好地理解数学中的变量与关系，并且能够利用函数解决实际问题。
3. 一次函数与二次函数一次函数和二次函数是高中数学的重点内容，本章主要介绍了一次函数和二次函数的基本性质和应用，包括：•一次函数和二次函数的定义和图像特征；•一次函数和二次函数的图像变换；•一次函数和二次函数的应用。
通过对一次函数和二次函数的学习，学生可以更好地掌握线性关系和二次函数的特点，并且能够利用函数解决实际问题。
4. 平面向量平面向量是高中数学中较为抽象和复杂的内容之一，本章主要介绍了平面向量的概念和运算，包括：•平面向量的定义和表示方法；•平面向量的性质和运算规律；•向量的共线、垂直和平行判定。
平面向量的学习需要学生具备较好的空间思维能力，通过大量的例题和应用，帮助学生掌握向量的计算和应用。
5. 解析几何与实际问题解析几何是高中数学的重要部分，本章主要介绍了二维坐标系和解析几何的基本方法，包括：•二维坐标系的概念和表示方法；•直线和圆的方程；•解析几何的应用。
高中数学步步高必修4资料第一章 1.4.3
1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标 1.会求正切函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期.2.掌握正切函数y ＝tan x 的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.知识点一 正切函数图象的画法思考 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的简图吗？怎样画.答 能.三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 1.正切函数的图象： 2.正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.知识点二 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？ 答 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答 周期性.思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答 奇偶性.思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？ 答 是.1.函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|ω|.类型一 与正切函数有关的定义域问题 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).解 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4，又y ＝tan x 的周期为π， 所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ). 类型二 正切函数的单调性及其运用例2 (1)函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域是________. (2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 答案 (1)⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1 (2)＞ 解析 (1)函数y ＝sin x ，y ＝tan x 在x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4内均是单调递增函数，∴y ＝sin x ＋tan x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调递增函数，∴函数y ＝sin x ＋tan x 的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1.(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 反思与感悟 求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由k π－π2d ＜ωx＋φ＜k π＋π2求得x 的范围即可.比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内.跟踪训练2 (1)已知a ，b 是不等于1的正数，θ∈(3π2，2π)，若a tan θ＞b tan θ＞0，则下列关系式成立的是( ) A.a ＞b ＞1 B.a ＜b ＜1 C.b ＜a ＜1D.b ＞a ＞1答案 B解析 ∵θ∈(3π2，2π)，∴－tan θ＞0.由a tan θ＞b tan θ＞1，即(1a )－tan θ＞(1b )－tan θ＞1，知1a ＞1b＞1，∴a ＜b ＜1. (2)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间. 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6. 由k π－π2＜x 4－π6＜k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－4π3＜x ＜4k π＋8π3(k ∈Z ).∵y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递增， ∴y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内递减，此即为原函数的单调递减区间. 类型三 正切函数的图象及应用例3 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示.由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，周期为π. 反思与感悟 1.作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： (1)保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；(2)将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 跟踪训练3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3， (1)求函数f (x )的周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图. 解 (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z ). (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3.令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图).1.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2，k ∈Z答案 C2.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B.()k π，(k ＋1)π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案 C3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x答案 C4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 B解析 由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3， 得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.故选B.5.比较大小：tan 1________tan 4. 答案 ＞解析 由正切函数的图象易知tan 1＞0， tan 4＝tan(4－π)，而0＜4－π＜1＜π2，函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上为增函数， ∴tan 1＞tan(4－π)＝tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间.正切函数无单调减区间.一、选择题1.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A.(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D.(π，0) 答案 C2.在区间(－3π2，3π2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 在同一坐标系中分别作出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象，可知它们交于点(－π，0)，(0,0)，(π，0)，故选C.3.下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( ) A.y ＝tan|x | B.y ＝|tan x | C.y ＝|sin 2x |D.y ＝cos 2x答案 B4.下列各式中正确的是( ) A.tan 735°>tan 800° B.tan 1>－tan 2 C.tan 5π7<tan 4π7D.tan9π8<tan π7答案 D5.函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A.0 B.1 C.－1 D.π4答案 A解析 由题意，得T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6.下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A.在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B.最小正周期是πC.图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D.图象关于直线x ＝π6成轴对称答案 B解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误.故选B.7.已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A.0<ω≤1 B.－1≤ω<0 C.ω≥1D.ω≤－1答案 B解析 ∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数， ∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.8.函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析 当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x .故选D.二、填空题9.函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________. 答案 [－4,4] 解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]. ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4].10.函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝____. 答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2. 11.函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1为________函数(填“奇”或“偶”).答案 奇解析 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1. ∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称.f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数. 三、解答题12.求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π4的定义域、周期、单调区间和对称中心. 解 (1)由π3x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠3k ＋34，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠3k ＋34，k ∈Z .(2)T ＝ππ3＝3，∴函数的周期为3. (3)由k π－π2<π3x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ， 解得3k －94<x <3k ＋34，k ∈Z . ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫3k －94，3k ＋34，k ∈Z . (4)由π3x ＋π4＝k π2，k ∈Z ， 解得x ＝3k 2－34，k ∈Z . ∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫3k 2－34，0，k ∈Z .13.函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？解 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示：观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]上有3个交点.。