2018年高三一轮复习课件第四章第3讲平面向量的数量积与应用举例

1．平面向量的数量积 已知两个__非__零__向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，把数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b.即 a·b＝|a|·|b|cos θ，规 定 0·a＝0. 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
2．已知向量 a＝(3，－2)，b＝(1，0)，向量 λa＋b 与 a－2b 垂 直，则实数 λ 的值为_－__17_____． [解析] 依题意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)， (λa＋b)·(a－2b)＝(3λ＋1，－2λ)·(1，－2)＝7λ＋1＝0，λ＝－17.
3．已知|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝7，则 a·b＝__1_0_____．
3．如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝__－__83____．
[解析] A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又因为B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， 所以A→B·A→C＝2×1×cos 120°＝－1， 所以A→D·B→C＝13A→C＋23A→B·(A→C－A→B) ＝13A→C2－23A→B2＋13A→C·A→B＝－83.
2．常用的 5 个结论 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(e 为单位向量) (2)非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0； (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝ a·a； (4)cos θ＝|aa|·|bb|； (5)|a·b|≤|a||b|.
[解析] 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝22＋2a·b＋52＝29＋2a·b. 所以 29＋2a·b＝49， 所以 a·b＝10.
平面向量的数量积的运算
(1)已知向量 e1＝cosπ4，sinπ6，e2＝2sinπ4，4cosπ3，则 e1·e2＝___2_____． (2)(2016·高考江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分 点，B→A·C→A＝4，B→F·C→F＝－1，则B→E·C→E
B→F＝B→D＋D→F＝12B→C＋13D→A＝12(A→C－A→B)－16(A→B＋A→C) ＝13A→C－23A→B， C→F＝C→D＋D→F＝12C→B＋13D→A＝12(A→B－A→C)－16(A→B＋A→C) ＝13A→B－23A→C， 因为B→A·C→A＝4，所以A→B·A→C＝4，
则B→F·C→F＝13A→C－23A→B·13A→B－23A→C ＝19A→B·A→C－29A→B2－29A→C2＋49A→B·A→C ＝59A→B·A→C－29(A→B2＋A→C2)＝59×4－29(A→B2＋A→C2)＝－1， 所以A→B2＋A→C2＝229， 从而B→E·C→E＝16A→C－56A→B·16A→B－56A→C ＝－356A→B2－356A→C2＋2366A→B·A→C ＝－356(A→B2＋A→C2)＋2366A→B·A→C＝－356×229＋2366×4＝6732＝78.
1.(2017·徐州第二次质量预测)已知点 A(－1， 1)、B(0，3)、C(3，4)，则向量A→B在A→C方向上的投影为___2_____． [解析] 由题意知向量A→B＝(1，2)，向量A→C＝(4，3)，设向量A→B与 向量A→C的夹角为 θ，则 cos θ＝A|→A→BB·||A→A→CC|，又A→B·A→C＝1×4＋2×3 ＝10，|A→B|＝ 12＋22＝ 5，|A→C|＝ 42＋32＝5，所以 cos θ＝255， 所以向量A→B在向量A→C方向上的投影为|A→B|cos θ＝2.
7 的值是___8_____．
【解析】 (1)由向量数量积公式得 e1·e2＝cosπ4×2sinπ4＋sinπ6×4cosπ3＝ 22× 2＋12×2＝2. (2)由已知得B→E＝B→D＋D→E＝12B→C＋23D→A ＝12B→C－23A→D＝12(A→C－A→B)－13(A→B＋A→C)＝16A→C－56A→B， C→E＝C→D＋D→E＝12C→B＋23D→A＝12C→B－23A→D ＝12(A→B－A→C)－13(A→B＋A→C)＝16A→B－56A→C，
向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时 应灵活选择相应公式求解．

1．已知 a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 λ 的取值范围是__(_－__∞__，__－__6_)∪___－__6_，__32___．
[解析] 由 a·b<0，即 2λ－3<0，解得 λ<32.由 a∥b 得：6＝－λ， 即 λ＝－6.因此 λ<32，且 λ≠－6.
1．设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝___1_____. [解析] 由条件可得，(a＋b)2 ＝10，(a－b)2 ＝6， 两式相减，得 4a·b＝4，所以 a·b＝1.
2．在平面直角坐标系 xOy 中，已知O→A＝(－1，t)，O→B ＝(2， 2)．若∠ABO＝90°，则实数 t 的值为___5_____． [解析] A→B＝O→B－O→A＝(3，2－t)，由题意知O→B·A→B＝0， 所以 2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.
1．必明辨的 3 个易错点 (1)已知向量 a，b，c，若满足 a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有 b＝c， 即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (2)数量积运算不适合结合律． (3)两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因 为夹角为 0 时也有 a·b>0)；两个向量 a 与 b 的夹角为钝角，则 有 a·b<0，反之不成立(因为夹角为 π 时也有 a·b<0)．