2016年全国高中数学联赛(四川)初赛试题,参考答案及评分标准

2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、A
2、D
3、C
4、C
5、A
6、B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、180
8、12-
9
、 10、14 11、3
2
12、2015 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S r =+（r 为常数）， 记22(1log )n n b a =+*()n ∈N ． （1）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；
（2）若对于任意的正整数n
，都有12
12111n n
b b b b b b +++⋅⋅⋅≥ 成立，
求实数k 的最大值．
解：（1）由条件易知12213322,2,4a r a S S a S S =+=-==-=,
又由2213a a a =得1r =-． ……5分
于是21n n S =-．故12n n a -=，22(1log )2n n b a n =+=，2n n n a b n =⋅． 因此 1211222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯ ①
23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ②
由①-②得：121122222n n n n T n -+-=++++-⨯ ，故1
(1)22n n T n +=-⋅+．
所以，数列{}n n a b 的前n 项和为1*(1)22()n n T n n +=-⋅+∈N ． ……10分
(2) 因为
12121111214122
42n n b b b n
k b b b n ++++++≤
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅
，
构造121412()242n
f n n +++=
⋅⋅⋅
，
则(1)12(1)1()2(1)f n n f n n +++==+， ……15分 于是{()}f n 严格单增，则()f n
的最小值为(1)f = 即实数k
……20分 14、已知a 、b 、c 为正实数，
求证：2
22()()()111a b c
abc a b c b c a c a b a b c
++≥≥+-+-+-++．
证明：（1）先证：2
22111a b c
abc a b c
++≥++，等价于证明：
222
()()()()ab bc ca abc a b c ++≥++，
令,,x ab y bc z ca ===，由不等式222x y z xy yz zx ++≥++知结论成
立． ……5分
（2）再证：22
21
11()()()a b c a b c b c a c a b a b c ⎛⎫++≥+-+-+-++
⎪⎝⎭
（*）由于不等式是轮换对称的，不妨设max{,,}a a b c =，则0,0a b c c a b +->+->
①当0b c a +-≤时，结论显然成立；
②当0b c a +->时，令,,a y z b z x c x y =+=+=+，
则1()2x b c a =+-，1()2y c a b =+-，1
()2
z a b c =+-， ……10分
故,,x y z 均大于0.
不等式（*）变为：222
111
2()8[
]()()()
x y z xyz y z z x x y ++≥+++++ 只需证：111yz zx xy ++≥222
444()()()y z z x x y +++++，……15分 注意到：2
()4y z yz +≥，则2
41()y z yz
≤+,
同理：
241()z x zx ≤+，241
()x y xy
≤
+．所以，原不等式成立．……20分 15、已知抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，在抛物线上任取不同于点C 的一点A ，直线AC 与直线y =x +3交于点P ，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点B ．
（1）求证：直线AB 过定点； （2）求△ABC 面积的最小值．
解：（1）由抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，可得抛物线方程为y 2=4x ． 设点A 坐标为(2
4
y ,y 0)( y 0≠2)，则直线AC 的方程为y -2=020
214
y y --(x -1)，即y -2=04
2y +(x -1)，
与y =x +3联立解得P 点坐标为(0062y y ---,00212
2
y y --)．……5分
所以B 点坐标为(
2
02
0(6)(2)y y --,00212
2y y --)． 当2
y =12时，A 坐标为(3,y 0)，B 点坐标为(3,00212
2
y y --)，直线AB 过定点Q (3,2)．
当2
0y ≠12时，204y ≠2020(6)(2)y y --，直线AB 的方程为y -y 0=00022
002
0212
2(6)4(2)y y y y y y --
---
-(x -204y )，
化简得，y -y 0=020(2)12y y --(4x -2
0y )，（或：y -y 0=020
(2)34
y y --(x -204y )，）
易得，直线AB 也过定点Q (3,2)．……10分
法2：由抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，可得抛物线方程为y 2=4x ． 设直线AB 的方程为x =my +a ，与抛物线方程联立得，y 2-4my -4a =0． 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4a ， P 点坐标为B (y 2-3,y 2)，因为AP 过定点C ，
所以222
31y y ---=1121
y x --，又x 1=my 1+a ，
所以(m -1)y 1y 2-(2m -4)y 1+(a +1)y 2-2a -6=0．……5分
将y y =-4a ，y =4m -y 代入上式，得(-2m +3-a )y +(2a +4m -6)=0．
即(-2m +3-a )(y 1-2)=0．
因此式对任意y 1≠2都成立，所以-2m +3-a =0，即3=2m +a ， 因此直线x =my +a 过定点Q (3,2)．……10分 （2）由（1）可设直线AB 的方程为x -3=m (y -2)，
与抛物线方程联立得y 2-4my +4(2m -3)=0．则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4(2m -3)，
S △ABC =1
2
|CQ |⋅|y 1-y 2|=|y 1-y 2|
．
所以当m =1时，△ABC 面积的最小值为
20分
16、已知a 为实数，函数f (x )=|x 2-ax |-ln x ，请讨论函数f (x )的单调性． 解：由条件知函数()f x 的定义域为(0,)+∞．
（1) 若a ≤0，则f (x )= x 2
-ax -ln x ， 于是2121
()2x ax f x x a x x
--'=--=，令
()0f x '=
，得104a x =
<
，204
a x =>． 所以，()f x
在上单调递减，
在)+∞上单调递增。

…5分
（2）若a ＞0，则f (x )=22ln ,ln ,0x ax x x a x ax x x a ---⎧⎪⎨+-⎪⎩
当≥时
当＜＜时 ，
① 先讨论g (x )=x 2
-ax -ln x (x ≥a )的单调性．
g ′(x )=2x -a -1x =2
21
x ax x
--．令g ′(x )=0，得x
0，
当＞a ，即a ＜1时，g (x )在(a
,)上单调递减，在
+∞)上单调递增；
≤a ，即a ≥1时，g (x )在(a ,+∞)上单调递增．……10分
② 再讨论当a ＞0时，h (x )=-x 2+ax -ln x (0＜x ＜a )的单调性．
h ′(x )=-2x +a -1x =2
21
x ax x
-+-．
当∆=a 2-8≤0，即0＜a
≤h ′(x )≤0，h (x )在(0,a )上单调递减； 当∆=a 2-8＞0，即a
＞
令h ′(x )=0，得10x <=＜a ，20x a <=
<，
所以h (x )在(0，a )上单调递减，
在上单调递增．……15分
综上可得：
① 当a ＜1时，f (x )在(0)上单调递减，在+∞)上单调递
增；
② 当1≤a ≤f (x )在(0,a )上单调递减，在(a ,+∞)上单调递增；
③ 当a ＞f (x )在(0，a )上单调递减，
在，(a ,+∞)上单调递增．……20分。