浙师大历年部分大题解析

2004年浙师大《数学分析》研究生考试部分试题一、（5分）()2205lim 1+.ctgxx x→、此题出自《吉米多维奇习题集》第一册第517题。

解：()()22221cos 22sin 0lim 1+=lim 1+x ctgxx x x x x x x e ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭→→=。

2005年浙师大《数学分析》研究生考试部分试题五、（16分）若不定积分()22d 1ax bx cx x x ++-⎰为有理式，则c b a ,,应满足什么条件？出自《吉米多维奇习题集》第三册第1890习题。

下面解此题的原题：在什么条件下，积分()223d 1ax bx c x x x ++-⎰为有理数？()()()()()223223222223343210,(1)11=1+1+1+1+|0,|20,|2,|2,|.=+2+3,=b+2,=-A,=,=++.==0+2ax bx c A B C D Ex x x x x x x ax bx c Ax x Bx x C x Dx x Ex x A D x A B D E x A B C a x B C b x C c a b c c c a b c A D a ++=++++---++----+=-+-+=-+=-==解：设通分后应有。

比较两端系数则可得，由此得：A B D C E 当，即232+3=0(1)ax bx cb c dx x x ++-⎰时，积分为有理数。

2006年浙师大《数学分析》研究生考试部分试题()()()22211181,2,...,.0.k k n n n k k k kk k k kk ka b k n Cauchy a b a b a b b ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≠∑∑∑三、分设和均为任意实数试证如下的不等式并且式中等号当且仅当为一常数时适用如果此题出自《吉米多维奇习题集》第五册第3673题。

()()()()()()()11111101,2,...,,1,1,111,.0,0,1,1,.11111+=1,i i nnnksk s i i i i i i i k sa x Holder ab i n k s k s k s a b a b a b a b k s k s ab k sk s ab t x a t y d k s ===-=>>⎛⎫⎛⎫--=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>>>>≤+--=≤+∑∑∑⎰证明：我们以下证明更一般的形式，即不等式：设和均为正数，且与共轭，即则首先证明：若且与共轭，则由，有对于不等式()[]()01111111,0+,,0.,.b abk s k s k k s y f x x t y a b y xx yy ab x dx y dya b k s------∞=≤≤===≤+=+⎰⎰⎰其中设在，上单调连续，其反函数为且0证明见图1、2、3。

取其反函数则为，于是有()()11111111111111,11111,2,...,1,.k s k snnksi i i i i i i i k s nnn n k s i i i i i i i i i i n nnksk s i i i i i i i a b a b a b ab a b k s k s a b i n a b a b ks k s k s a b a b ===========≤+≤+⎛⎫=≤+=+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑若，由，有于是即()()1111111111111111211,,,,1,11,1nnks i i ii i i i i n n ksk s i i i i ksnn nksk s i i i i i i i i nnksi i i iii i n i i i n n k s k s i i i i a b a b u v a b a b u v u v u v aba b a b ============≠≠==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====≤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅≤⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑若，设，则从而由得：即，()11111222111.20.n n n k s k s i i i i i i i nn nk i i i ik i i i k a b a b Holder k s Cauchy a a b a b b b ======⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫≤≠ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑亦即故不等式成立。

令，则有不等式，并且式中等号当且仅当为一常数时适用如果()1111100211lim cos 0;212lim sin cot .22n q n nq n x q nx x q nx π--∞→=∞→=<<⎛⎫+= ⎪⎝⎭=∑∑四、分试证当时，、、 出自《吉米多维奇习题集》第四册第2967、2966习题。

()()()()()()()221222222222111cos =1.12cos 111=112cos 12+111111111112cos 02nn ix ix ix ixix ix ix ixix ixn n q q nx q q x q q q q q x q q e e q qe qe qe q e qe q e qe qeq nx x π∞=-----∞=-<-+--=--+-+--=-++=-++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅--=+<<∑∑解：首先证明由于，又上式右端的级数在上一致收敛，因而它就是函222211111122110212cos 11cos =24cos 22111lim cos =lim +lim cos 2221111lim 0.24cos 2222nn n nq q q n n q q x q x q q q nx q x q q nx q nx q q x q π----∞=∞∞→→→==→-<<-+---+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫--=-= ⎪-+⎝⎭∑∑∑数的傅立叶级数于,即，故，()()()()()()()()212222222sin 2sin =1.12cos sin 12=12cos 212+111111112112sin sin 2n n ix ixix ix ix ix ix ix ix ix ix ixix ixq xq nx q q x qq e e q e e q x i q x q i q e e q qe qe qe q e qe q e i qe qe iq x q x ∞=-------<-+--=-+-+--⎛⎫⎡⎤=-=+++⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅⎪⎣⎦--⎝⎭=++⋅⋅⋅∑解：首先证明由于()12212111sin sin 102sin sin 02sin =12cos 12cos sin sin 1lim sin lim =cot .12cos 22cos 22n n n n n nn nq q n q nx q nx q q q x q x q x x q nx q x q q x q q x x xq nx q x q x ππ--∞=∞=∞→→=++⋅⋅⋅≤<<<<<-+-+==-++∑∑∑，满足，而收敛，故级数在上一致收敛，因而它就是函数的傅立叶级数于,故2008年浙师大《数学分析》研究生考试部分试题一、（8分）4、()()()2200lim.xyx y x y →+，，求此题出自《吉米多维奇习题集》第五册第3190题。

下面解此题的原题：()()()222200lim.x yx y xy→+，，求()()()()()()()()()()22222222222222222000ln 000ln ln 41lim ln =lim ln 0=44lim1x y t x y x y x y x y x y x y x y xy x y t t ee →→++→+≤+≤+++===，，，，解：由不等式0，以及，即得原式。

一、（8分）5、n k 设为实数，求 此题出自《吉米多维奇习题集》第一册第67题。

()()()12=11111,0,1,11=11,1,11k k k n n nn n n a a n n n a n a a N n N n N εεεεεεεε++⋅⋅⋅+>+=+>>∴+>∴+-⎡⎤>><+∴>⎢⎥⎣⎦<== 解：不妨设，显然，下面证明。

当充分大时，，只要取，当时，有当时即，即。

四、（12分）2lim sin 0.n n xdx π→∞=⎰证明：此题出自《吉米多维奇习题集》第三册第2281、2326题。

()()()11222000222222022sin ,sin (cos )sin cos |1sincos 1sin1sin ,1,lim lim =11==0n n n n n n n n n n n n n n n n xdx xd x x x n x xdx n xdx n xdx n nn n n n ππππππθθθθ-----→∞→∞-==-=-⋅+-⋅=----=--=⎰⎰⎰⎰⎰法一、证明：设I 则I 移项合并得，I I 显然I 是存在的，不妨设I ，则由I I 知，，从而有，得证。

法-220020,20sin sin ++-sin -22lim sin 0n n n n n xdx xdx n xdx ππεππεεππεεεε→∞><⎛⎫⎛⎫≤≤≤→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→=⎰⎰⎰二、证明：任意给定且设，则有以下不等式成立：。

当时，上述不等式的第二项0，于是。

七、（10分）证明当[0,1]x ∈时，{1,0,lim lim[cos !]nx x m n m x π→∞→∞=为有理数，为无理数.此题出自《吉米多维奇习题集》第一册第734习题。

()(,)cos (!),[0,1].,(,)=1lim lim[cos !]=1cos !1,lim[cos !]=0lim lim[cos !]=0lim lim[c n n m n n n n m n m n f m n m x x qx m p x p q pf m n m x x m m x m x m x πππππ→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞=∈><证明：记当为有理数时，总可以认为,其中=为互质的整数，于是，故此时,；当为无理数时，则对任一固定的而言，从而，故此时，综上所述：1,0,os !]n x x m x π⎧=⎨⎩为有理数，为无理数.。