线性代数讲义 (4)矩阵3
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
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特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数第四章矩阵的特征值
令 P ( p1 p2 L pn ), 则P 可逆，且
AP ( Ap1 Ap2 L Apn ) (1 p1 2 p2 L n pn )
1
( p1 p2 L
pn
)
2
O
P,
n
2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量
若A有一个t重特征值，对应的特征向量在线性 无关的意义下小于t，则A不与对角矩阵相似。
3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。 特征值和特征向量的对应.
1. 求出n阶矩阵A的所有特征值 2. 求出矩阵A对应于所有特征值的特征向量 3.写出对角矩阵和相似变换矩阵。
3 1
的λ都是方阵Ａ的特征值．
定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量λ的矩阵λI-A
称为A的特征矩阵,其行列式
I A
为λ的n次多项式,称为A的特征多项式, I A 0
称为A的特征方程.
求n阶矩阵的特征值和特征向量的步骤:
1. 由矩阵A的特征方程 I A 0 求出A的特征值 1,2 ,L s (s n 2k )
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理的证明告诉我们，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩 阵Λ相似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部
特征值．相似矩阵P的列是对应于Λ对角线上 元素的特征向量。
推论 若ｎ阶矩阵A有n个两两不同的特征值，则
Ａ必与对角矩阵Λ相似
推论 若ｎ阶矩阵Ａ有n个特征值,则可相似对 角化<==>Ａ的任ti重特征值有对应ti个线性无
A
4 1
3 0
0 2
刘金峰线代讲义
刘金峰线代讲义（最新版）目录1.刘金峰线代讲义概述2.线性代数概念与基本理论3.矩阵及其运算4.线性方程组及其解法5.特征值与特征向量6.二次型7.线性变换与矩阵8.应用实例与习题解答正文一、刘金峰线代讲义概述《刘金峰线代讲义》是一部关于线性代数课程的辅导讲义，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基本概念、理论和方法。
全书共分为八个部分，依次为线性代数概念与基本理论、矩阵及其运算、线性方程组及其解法、特征值与特征向量、二次型、线性变换与矩阵、应用实例与习题解答。
本书在内容编排上注重理论与实践相结合，既有丰富的例题分析，又有实际应用案例，适合于各类本科生、研究生及教师学习和参考。
二、线性代数概念与基本理论线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、向量空间（或称线性空间）、线性方程组、矩阵、线性变换等概念及其性质。
线性代数的基本理论包括向量空间的概念、性质、基与维数、子空间、线性相关与线性无关等。
三、矩阵及其运算矩阵是线性代数的核心概念之一，可以用来表示线性方程组、线性变换等。
矩阵的运算包括矩阵加法、数乘、矩阵乘法、求逆、行列式等。
本书对矩阵的运算进行了详细的讲解，并给出了丰富的例题。
四、线性方程组及其解法线性方程组是线性代数的一个基本对象，可以用来描述现实世界中的许多问题。
本书介绍了线性方程组的基本解法，如有唯一解、无解、有无穷多解的情况，以及高斯消元法、克莱姆法则等求解方法。
五、特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵理论的重要概念，可以用来描述线性变换对向量的作用。
本书详细介绍了特征值与特征向量的概念、求解方法，以及它们在矩阵对角化、线性变换等方面的应用。
六、二次型二次型是线性代数的一个重要概念，可以用来描述空间中的点或向量的平方和。
本书介绍了二次型的概念、性质、标准型、正定二次型等，以及它们在几何、物理等领域的应用。
七、线性变换与矩阵线性变换是一种将向量空间映射到另一个向量空间的运算，而矩阵是线性变换的一种表示。
《线性代数》考研辅导讲义4
《线性代数》考研辅导讲义4 第四部分 线性方程组一.线性方程组的四种表示形式1.非齐次线性方程组(1)一般形式:11112211211222221122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2)矩阵形式:令1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则11m n n m A x b ⨯⨯⨯=,而11121121222212(|)_n nm m mnm a a a b a a a b B A b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭增广矩阵(3)向量形式:令12(,,,)n A ααα= ,得向量形式1122n n x x x bααα+++= .其中()12,,,,1,2,,Tj j j mj a a a j n α== 为A 的列向量组.(4)内积形式:令12T T T m A ααα⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,则内积形式1122T T T mm x b x b x b ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ .其中12(,,,),1,2,,T i i i in a a a i m α== 为A 的行向量组.2.齐次线性方程组(1)一般形式:111122121122221122000n n n nm m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(2)矩阵形式:110m n n m A x ⨯⨯⨯=(3)向量形式:11220n n x x x ααα+++=(4)内积形式:12000T TT mx x x ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 二.线性方程组解的性质 1.110m n n m A x ⨯⨯⨯=解的性质(1)若12,ξξ为0Ax =的解,则12ξξ+也为0Ax =的解.(2)若ξ为0Ax =的解,则k ξ也为0Ax =的解.故{|0}S x Ax ==是n R 的一个子空间,其基础解系构成子空间的一个基.2.11m n n m A x b ⨯⨯⨯=解的性质(1)设12,ηη为Ax b =的解,则12ηη-为其导出组0Ax =的解.(2)设η为Ax b =的解,ξ为0Ax =的解,则ξη+为Ax b =的解.【注意】若12,ηη为Ax b =的解,则121,(1)k k ηηη+≠都不是Ax b =的解,故{|}S x Ax b ==不是nR 的一个子空间. 三.线性方程组解的理论及解的结构 1.110m n n m A x ⨯⨯⨯=解的理论及解的结构定理1110m n n m A x ⨯⨯⨯=至少有一个零解.(1)110m n n m A x ⨯⨯⨯=只有零解()R A n ⇔=(未知量的个数).不存在基础解系;(2)110m n n m A x ⨯⨯⨯=有非零解()R A r n ⇔=<.其基础解系含n r -个线性无关的解向量,设为12,,,n r ξξξ- ,则110m n n m A x ⨯⨯⨯=的通解为1122n r n r x k k k ξξξ--=+++其中12,,,n r k k k - 为任意常数; (3)(Crammer 定理)110n n n n A x ⨯⨯⨯= 只有零解0A ⇔≠.2.11m n n m A x b ⨯⨯⨯=解的理论及解的结构定理2 11m n n m A x b ⨯⨯⨯=可能有解.(1)11m n n m A x b ⨯⨯⨯=有解()()R A R B ⇔=;(2)有唯一解()()R A R B n ⇔==;(3)有无穷多解()()R A R B r n⇔==<.设其导出组的基础解系为12,,,n r ξξξ- ,η为11m n n m A x b ⨯⨯⨯=的一个特解,则11m n n m A x b ⨯⨯⨯=的通解为1122n r n r x k k k ξξξη--=++++其中12,,,n r k k k - 为任意常数; (4) (Crammer 定理)11n n n n A x b ⨯⨯⨯=有唯一解0A ⇔≠.四.两个线性方程组解之间的关系设方程组(1)的解集合为M ,方程组(2)的解集合为N ,则 1. M N =⇔方程组(1)与方程组(2)同解; 2. M N ⇔ 方程组(1)与方程组(2)的公共解; 3.M N ⊂⇔方程组(1)的解是方程组(2)的解.五.一个非常有用的结论 1. ()()m s s n m n A B O R A R B s ⨯⨯⨯=⇒+≤;2.m s s n m n A B O B ⨯⨯⨯=⇔的列向量是110m s s m A x ⨯⨯⨯=的解向量.典型例题一.解的概念、性质、理论、结构的基本题例1 设1231233,2,223A p b Ax b t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭无解,则t 与p 满足 .解 由12311231(|)233201302230021B A b p p t t p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==+→--⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ,得202t p t p -=⇒=.例2 设三平面0(1,2,3)i i i i a x b y c z d i +++==重合,则齐次线性方程组0(1,2,3)i i i a x b y c z i ++==的解空间的维数等于 2 .解111222333a b c a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩等于1. 例3 设A 为n 阶实矩阵,则以下命题成立的是( C ).(A)若0Ax =有解时0T A Ax =也有解,则A 必可逆;(B)若0T A Ax =有解时0Ax =也有解, 则A 必可逆;(C) 0T A Ax =的解必是0Ax =的解; (D)0T A Ax =的解与0Ax =的解无任何关系.解0Ax =与0T A Ax =同解.例4 设541234(,,,)A αααα⨯=,已知12(1,1,1,1),(0,1,0,1)T T ηη==是0Ax =的基础解系,则( D ). (A) 13,αα线性无关; (B) 24,αα线性无关; (C)1α不能被34,αα线性表示;(D)4α能被23,αα线性表示.解 由1η知: 12340αααα+++=;由2η知: 240αα+=,则4α能被2α线性表示,所以4α能被23,αα线性表示.例5 设12,ββ是0Ax b =≠的两个不同的解, 12,αα是0Ax =的基础解系, 12,k k R ∈,则Ax b =的通解必是( B )(A) 1211212()2k k ββααα-+++; (B) 1211212()2k k ββααα++-+; (C) 1211212()2k k ββαββ-+++;(D)1211212()2k k ββαββ++++.例6 设123,,ααα是四元非齐次线性方程组Ax b=的三个解向量,且()3R A =,123(1,2,3,4),(0,1,2,3)T T ααα=+=,则Ax b =的通解是( C ).(A)11213141c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (B) 10213243c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (C) 12233445c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D) 13243546c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二.含参数的线性方程组解的讨论例7 当λ为何值时,方程组12312312321,2,4551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩无解,有唯一解,无穷多解?并在有无穷多解时求方程组的通解.解 方法一:一般情形.13211121(|)11211245515541c c B A b λλλλ↔--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭121012300549rλλλλ-⎛⎫ ⎪−−→-+ ⎪ ⎪+⎝⎭(1)方程组有唯一解104()()3,15405R A R B λλλλ-≠⎧⇔==⇔⇒≠-≠⎨+≠⎩;(2)当45λ=-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解;(3)当1λ=时,1121(|)00110000rB A b ---⎛⎫⎪=−−→ ⎪ ⎪⎝⎭,方程组的解13211x x x =⎧⎨=+⎩,令2x k =,则方程组的通解(0,1,1)(1,0,1),TT x k k =+为任意常数.方法二:特殊情形. (54)(1)A λλ=+-.(1)当4,15λλ≠-≠时,方程组有唯一解;(2)当45λ=-时,()2()3R A R B =≠=,方程组无解;(3)当1λ=时,1001(|)01110000rB A b ⎛⎫ ⎪=→-- ⎪ ⎪⎝⎭,()()23R A R B ==<,方程组有无穷多解,且通解为(0,1,1)(1,1,0),TT x k k =+-为任意常数.三.与解的结构相关问题 例8 若n 阶矩阵11(,,,)n n A ααα-= 的前1n -个列向量线性相关,后1n -个列向量线性无关,12n βααα=+++ .证明:(1)Ax β=必有无穷多解;(2)若12(,,,)Tn k k k 是Ax β=的任一解,则1nk =.证 (1)2,,n αα 线性无关,则21,,n αα- 线性无关,又121,,,n ααα- 线性相关,所以1α可由21,,n αα- 线性表示,则()1R A n =-.因为12n βααα=+++ ,则()()1R B R A n n ==-<,所以Ax β=必有无穷多解.(2)121,,,n ααα- 线性相关,存在一组不全为零的数121,,,n λλλ- ,使得1122110n n λαλαλα--+++= ,即11221100n n n λαλαλαα--++++⋅= ,又()1R A n =-,则121(,,,,0)Tn λλλ- 为0Ax =的基础解系.因为12n βααα=+++ ,则(1,1,,1)T 是Ax β=的一个特解,故Ax β=的通解为111,101n x c c R λλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 若12(,,,)Tn k k k 是Ax β=的解,则1nk =.例9 设A 为(1)m m -⨯矩阵, j D 是去掉A 的第j 列所得1m -阶矩阵的行列式,证明:(1)向量112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的解向量;(2)当12,,,m D D D 不全为零时,112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的一个基础解系.证 令1211121(1)1(1)2(1)mT m m m m m m b b b a a a b B A a a a ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭,则(1,2,,)j D j m = 分别为B中第一行元素的余子式,而112,,,(1)m m D D D +-- 分别为B中第一行元素的代数余子式,由行列式按行(或列)展开定理,有11122()(1)0,1,2,,m i i im m a D a D a D i m ++-++-== ,则112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的解向量.(2) 当12,,,m D D D 不全为零时,则A 至少有一个1m -子式不为零,所以()1R A m =-,从而Ax =的基础解系含一个解向量,又112(,,,(1))0m T m D D D +--≠ ,故112(,,,(1))m T m D D D +-- 是0Ax =的一个基础解系.例10 设非齐次线性方程组Ax b =,其中A 为m n ⨯矩阵, ()(|)R A R A b r ==,求由Ax b=的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组及该向量组的秩.解 要点:设0Ax=的一个基础解系为12,,,n r ξξξ- ,Ax b =的一个特解为η,则Ax b =的所有解向量组成的向量组的一个极大无关组为12,,,,,n r ηηξηξηξ-+++ 该向量组的秩为1n r -+. 例11 设A 为m n ⨯矩阵,证明:Ax B =有解的充分必要条件是对0T A y =的任一解0y 都有00T B y =.证 必要性:设0Ax B =,则000000()()00T T T T TB y Ax y x A y x ====;充分性: 对T A y =的任一解y 都有00T B y =,则0T A y =与0,0TT A y B y ⎧=⎪⎨=⎪⎩同解,所以()()(|)T TT A R A R R A R A B B ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭,即Ax B =有解.四.两个线性方程组的公共解的问题例11 (1.求公共解的方法之一:已知线性方程组,Ax Bx αβ==,则它们的全部公共解即为线性方程组,Ax Bx αβ=⎧⎨=⎩的解.)设两个四元齐次线性方程组:12240,()0x x x x +=⎧I ⎨-=⎩与1232340,()0x x x x x x -+=⎧II ⎨-+=⎩问方程组()I 与()II 是否有非零的公共解?若有,求出所有公共的非零解;若没有,说明理由.解 讨论方程组12241232340,0,0,0x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩是否有非零解.1100100101010101111000120111000r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,因为()34R A =<,所以方程组有非零解,即方程组()I 与()II 有公共的非零解,且11,021x k k -⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭为所有公共的非零解.(2. 求公共解的方法之二:已知线性方程组Ax α=的通解1122x k k ξξη=++和线性方程组Bx β=,则它们的全部公共解即为线性方程组1122,x k k Bx ξξηβ=++⎧⎨=⎩的解.其求法是:解含12,k k 是未知变量的线性方程组1122()B k k ξξηβ++=,得12,k k ,则所求的全部公共解为1122x k k ξξη=++.3. 求公共解的方法之三: 已知线性方程组Ax α=的通解11221x k k ξξη=++和线性方程组Bx β=的通解11222x l l γγη=++,则它们的全部公共解即为线性方程组1122111222,x k k x l l ξξηγγη=++⎧⎨=++⎩的解. 其求法是:解含12,k k 及12,l l 是未知变量的线性方程组1122111222k k l l ξξηγγη++=++得12,k k (或12,l l ),则所求的全部公共解为11221x k k ξξη=++(或11222x l l γγη=++).)五.线性方程组解的应用 例12 已知三平面123:,:,:x y z y z x z x y πγβπαγπβα=+=+=+,证明:它们至少相交于一直线22221αβγαβγ⇔+++=.证 显然123,,πππ过坐标原点, 它们至少相交于一直线⇔齐次线性方程组0,0,0x y z x y z x y z γβγαβα-++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解,则1101γβγαβα--=-,即22221αβγαβγ+++=. 例13 证明:如果非齐次线性方程组11112211211222221122,,n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 有解,则向量12(,,,)T n b b b β= 与齐次线性方程组1112121121222211220,0,0m m m mn n nm m a y a y a y a y a y a y a y a y a y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的解空间正交. 证 令12(,,,),(1,2,,)T j j j mj a a a j n α== ,非齐次线性方程组1122n n x x x αααβ+++=有解,则β可由12,,,n ααα 线性表示.令12(,,,)T m y y y y = ,则齐次线性方程组可表示为120,0,0,T TT ny y y ααα⎧=⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 即12,,,n ααα 与齐次线性方程组的解正交,从而11221[,]()()0nTT n n i i i y x x x y x y βαααα==+++==∑ ,即β与齐次线性方程组的任一解正交,则β与齐次线性方程组的解空间正交.。
线性代数讲义
5.7 线性变换的不变子空间 5.7.1 不变子空间的概念 5.7.2 线性变换的不变子空间与表示方阵化简 一、单个不变子空间与准上三角矩阵表示 二、不变子空间直和分解与准对角矩阵表示 5.7.3 不变子空间的类型
因式、完全相同的最大公因式；
(1′) 若[ f1(), f2 (), , fs ()]T 有限次初等行变换[g1(), g2 (), , gs ()]T ，则多 项式组(I)与(II)有完全相同的公因式、完全相同的最大公因式；
(2) [ f1(), f2 (), , fs ()] 可经过有限次初等列变换化为[d (), 0, , 0] 的形式， 其中 d () 是多项式组(I)的一个最大公因式；
一、 A 的值域 二、 A 的核 三、 B C( A ) 的值域 四、 B C( A ) 的核
五、特征子空间 六、根子空间 七、若尔当子空间 八、贾柯勃逊子空间 九、弗罗贝尼乌斯子空间 5.7.4 不变子空间的若干重要结论 一、不变子空间的维数 二、非减次线性变换的全体不变子空间
-1-
- 189 -
若 A() 经过有限次初等列变换变成 B() ，则称 A() 与 B() 列相抵.
若 A() 经过有限次初等变换变成 B() ，则称 A() 与 B() 相抵，记作 A() B() .
矩阵之间的相抵关系、行相抵关系、列相抵关系均满足反身性、对称性、传递性，
都是等价关系.
2020-2021学年线性代数之矩阵讲义
推论2. 若 A 0 ，则 A 也可逆，且 A 1 1 A A
例1： 例2： 例3： 例4：
推论1的证明: 设 AB E , 两端同时取行列式得 AB E A B 1 A 0, B 0
即 A , B 都可逆 ,则
B EB ( A1A)B A1( AB) A1E A1
Amn
A11
As1
A1r
，则
Asr
AT
A1T1
A1Tr
AsT1
AsTr
5. 设A 为 n 阶矩阵，若A 为分块对角矩阵，即
A1
A
A2
，Ai i 1,, s 都是方阵
As
则有（1） A A1 A2 As
（2）若 Ai 0 i 1,, s ，则 A 0 ，且有
三、逆矩阵存在的充要条件
定理1.设 A (aij )nn ，则: AA AA A E ，
其中，A 称为 A 的伴随矩阵，即
A11
A
A12
A21 A22
A1n A2n
（Aij 是 aij 的代数余子式）
An1
An2
Aji
nn
Ann
定理2.矩阵 A 可逆的充要条件是
A
0
，且有
定义2. 矩阵 A 经过有限次初等变换变成 B ，则称矩阵 A 与B 等价，
记作 A ~ B
性质2. 矩阵的等价关系满足
（1）反身性 A ~ A （2）对称性 A ~ B, 则 B ~ A （3）传递性 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C
结论：矩阵 A经过初等变换可化为标准形，即
1 0
diag(1
,
2
,
线性代数复习(矩阵)
PART 04
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组中 线性无关向量的最大数量。
性质
矩阵的秩是唯一的，且对于任何矩阵 A，有r(A)≤min(m,n)，其中m和n分
别是矩阵A的行数和列数。
推论
若矩阵A是方阵，则r(A)=n当且仅当 矩阵A是满秩的。
利用矩阵的秩求解线性方程组
矩阵的数乘
定义
数乘是将一个标量与一个矩 阵相乘，得到一个新的矩阵 。
例子
标量k与矩阵A的数乘是每个 元素都乘以k，得到新的矩阵 B。
注意事项
数乘满足结合律和分配律。
矩阵的乘法
定义
矩阵的乘法是满足结合律和分配律的一种运 算，适用于满足一定条件的两个矩阵。
例子
矩阵A和矩阵B的乘积是按照一定的规则计算得到的 新的矩阵C。
注意事项
矩阵的乘法不满足交换律，且不是所有矩阵 都可以相乘。
矩阵的转置
定义
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行，得到 一个新的矩阵。
例子
矩阵A的转置是将其行变为列，得到新的矩阵B。
注意事项
转置后的矩阵与原矩阵的元素对应关系不变，但行和 列的位置互换。
PART 03
矩阵的逆与行列式
逆矩阵的定义与性质
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2023 WORK SUMMARY
线性代数复习(矩阵)
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• 矩阵的定义与基本性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量
PART 01
线性方程组的解的判定
若线性方程组有唯一解，则其系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；若线性方程组有无穷多解，则其系数矩阵 的秩等于增广矩阵的秩减去1；若线性方程组无解，则其系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩。
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
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10/16 第2章 线性方程组 第3节 逆矩阵
设 f (x) = an xn + an–1 xn–1 + + a1x + a0
是 x 的 n 次多项式，A 为方阵，记 f ( A ) = an An + an–1 An–1 + + a1A + a0E,
思考题
若 A 可逆, 那么 矩阵方程 AX = B 是否有唯一解 X = A–1B? 矩阵方程 YA = B 是否有唯一解 X = BA–1?
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思考题解答
答 是的. 这是由 A–1 的唯一性决定的.
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A 的几个多项式可以象 x 的多项式一样相乘 或分解因式. 例如 ( E + A )( 2E – A ) = 2E + A – A2,
( E – A )3 = E – 3A + 3A2 – A3.
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若 = diag( 1, 2,…, m ) 为对角阵, 则 k = diag( 1k, 2k,…, mk ), 于是有
AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = ( CA ) B = C ( AB ) = CE = C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的, 即
B = C = A–1.
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例
设 A=
2 –1
1 0
, 求 A 的逆矩阵.
解 设利B用=待定a系b数法是 A 的逆矩阵, cd
2 1 0 –1 0 –1 2 1 1 0
=
=
,
–1 0 1 2
1 2 –1 0
01
所以
A–1 =
0
–1 .
12
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注：1. 零矩阵总是不可逆的. 2. 非零矩阵不一定可逆.
例如 设 A =
1 0
0 0
,
倘若 A 可逆，则有矩阵 B 使得 AB = E . 令 B = b1 b2 , 则有
= B–1EB = B–1B = E,
( AB )–1 = B–1A–1. 推广 ( A1A2 Am )–1 = Am–1 A2–1A1–1.
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另外, 当 A 可逆时, 定义
A0 = E, A–k = ( A–1 )k . ( k 为正整数 )
当 A 可逆时, m, k 为整数时, 有
b3 b4
1 0 b1 b2 = b1 b2 = 1 0
0 0 b3 b4
00
01
由此得到 0 = 1, 矛盾. 所以 A 不可逆.
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逆矩阵的运算性质
(1) 若 A 可逆, 则 A–1 亦可逆, 且 (A–1)–1 = A.
(2) 若 A 可逆, 数 k 0, 则 kA 也可逆, 且
f ( ) = an n + + a1 + a0E
1n = an 2n
1 + + a1 2
1 + a0 1
mn
m
1
f ( 1 )
=
f ( 2 )
f ( n )
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四、小结
逆矩阵的概念及运算性质. 矩阵是否可逆，逆矩阵的计算方法 将在第 4 章中介绍.
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其中 a–1 = –1a 为 a 的倒数，( 或称 a 的逆 ).
那么对于矩阵 A，如果存在一个矩阵 A–1,
使得
AA–1 = A–1A = E ,
则矩阵 A–1 称为 A 的可逆矩阵或逆阵.
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二、逆矩阵的概念和性质
定义2.3.1 设 A 是一个方阵，如果存在矩阵 B 使得 AB = BA = E,
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(4) 若 A, B 为同阶方阵且均可逆, 则 AB 也可逆, 且
( AB )–1 = B–1A–1. 证明 ( AB )( B–1A–1 ) = A( BB–1 ) A–1
= AEA–1 = AA–1 = E,
( B–1A–1 )( AB ) = B–1( A–1A) B
则称矩阵 A 是可逆的，B 是 A 的一个逆矩阵.
例
设 A=
1 1
–1 1
, B=
1/2 1/2 –1/2 1/2 ,
AB = BA = E, B 是 A 的一个逆矩阵.
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说明: 若 A 可逆，则其逆矩阵唯一，记为 A–1. 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则
第2章 矩 阵
第1节 矩阵的定义 第2节 矩阵的运算 第3节 逆矩阵 第4节 线性方程组的矩阵解法
第3节 逆矩阵
一、概念的引入
在矩阵的运算中, 单位阵 E 相当于数的乘法运算
中的 1: (若 A 是 m n 矩阵, 则 Em A = A, AEn = A )
在数的运算中，当数 a 0 时，有
aa–1 = a–1a = 1,
( kA )–1 = –k1 A–1. (3) 若 A 可逆, 则 AT 也可逆, 且( AT )–1 = ( A–1 )T .
证明
AT( A–1 )T = ( A–1A )T = ET = E ,
且 ( A–1 )TAT = ( AA–1 )T = ET = E ,
( AT )–1 = ( A–1 )T.
f ( A ) 称为矩阵 A 的 n 次多项式.
矩阵 Ak, Al 和 E 都是可交换的，
A 的两个多项式 ( A ) 和 f ( A )总是可交换的.
即
( A ) f ( A ) = f ( A ) ( A ) 总成立.
A 的几个多项式可以象 x 的多项式一样相乘 或分解因式.
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则 AB = 2 1 a b = 1 0
–1 0 c d
01
2a + c 2b + d = 1 0
–a –b
01
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2a + c = 1,
a = 0,
2b + d = 0,
b = –1,
– a = 0,
c = 1,
– b = 1,
d = 2.
又因为
AB
BA