最新福建省高三12月月考数学(理)试题7

高三12月月考数学（理）试题理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}220A x x x =--≥，{}3log 1B x x =<，则()U C A B = （ ） A ．[)2,3B ．[)1,2-C ．()0,1D ．()0,22.复数z 满足()11z i i +=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．22-D ．223.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．25+B ．225+C ．45+D ．54.“2a =-”是“直线1l ：30ax y -+=与2l ：()140a x ay +-+=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①l m αβ⇒⊥P ②l m αβ⊥⇒P ③l m αβ⇒⊥P ④l m αβ⊥⇒⊥其中正确的是（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④6.在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若52b =，则111219222log log log b b b +++ 等于（ ）A ．5B ．5-C ．9D ．9-7.已知实数x ，y 满足不等式组02x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数z kx y =+仅在点()1,1处取得最小值，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．(),1-∞8.对于给定的任意实数k 与θ，直线l ：y kx =与圆M ：()()22cos sin 1x y θθ-++=位置关系是（ ） A ．相交B ．相离C ．相切或相离D ．相交或相切9.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3V kD =，欧几里得未给出k 的值．17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k 等于（ ） A ．::164ππB ．111::46πC ．::264ππD ．::1612ππ10.在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则该三棱锥外接球的表面积等于（ ） A ．3πB ．4πC ．12πD ．16π11.已知a ，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则b的取值范围是（ ） A ．(0,3⎤⎦B ．1,3⎡⎤⎣⎦C ．(]0,2D ．3,2⎡⎤⎣⎦12.设函数()11,0,0x x e x x f x e x x -+⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩则使得()()cos sin f f θθ<成立的θ的取值集合是（ ）A ．22,44k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．,44k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭C ．322,44k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．3,44k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且6sin cos 222αα+=，则cos α的值____________．14.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为____________．15.若函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（A ，0ω>）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为____________．16.已知正数a ，b 满足1910a b a b+++=，则a b +的取值范围是____________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知直线l 的参数方程为cos 3sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ<<，且2πα≠），圆1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），圆2C 的参数方程为()31cos 3sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（Ⅰ）当直线l 与圆1C 相切时，求α； （Ⅱ）求圆1C 与圆2C 公共弦所在的直线方程．18.（本题满分12分）设n S 为各项不相等的等差数列{}n a 的前n 项和，已知3573a a a =，39S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求1n n a T +的最小值．19.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD P ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD DC CB AE a ====，60ABC ∠=︒，点M 在线段EF 上．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）求二面角D BF C --的平面角的余弦值；（Ⅲ）当EM 为何值时，AM P 平面BDF ？证明你的结论．20.（本题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c （a b c <<），已知a ，b ，c 成等比数列，且3cos 4B =． （Ⅰ）若32BA BC = ，求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求证：11tan tan A B+为定值．21.（本题满分12分）已知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b +=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为()23,0，BC 过椭圆的中心，且0AC BC = ，2BC AC =．（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点()0,t 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =，求实数t 的取值范围．22.（本题满分12分）已知常数0a >，函数()()2ln 12xf x ax x =+-+． （Ⅰ）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围．高三（上）第二次月考理科数学试题 参考答案 一、选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.D7.B8.D9.A 10.B 11.C 12.B12．依题，()f x 为偶函数，且在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，()()()()cos sin cos sin cos sin f f f f θθθθθθ<⇒<⇒>22cos sin 0cos 202222244k k k k ππππθθθπθππθπ⇒->⇒>⇒-<<+⇒-<<+故选择B ． 二、填空题 13.32-14.62 15.312- 16.[]2,8 16．()19191010a b a b a b a b+++=⇒+=-+ ()199********b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当3b a =故()()21016a b a b +-+≥，解得()28a b ≤+≤，其中当1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取得最小2，当26a b =⎧⎨=⎩取得最大8． 三、解答题17.解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为3y kx =+，其中tan k α=， 圆1C 的普通方程为()2211x y +-=，…………2分 因为直线l 与圆1C 相切，所以圆心()10,1C 到直线l 的距离22131d k k ==⇒=±+，…………4分即tan 3α=±，所以3πα=或23πα=．…………5分 （Ⅱ）因为圆1C 的普通方程为()2211x y +-=①， 圆2C 的普通方程为()2233x y -+=②，…………7分解得103d a =⎧⎨=⎩（舍去）或112d a =⎧⎨=⎩，()2111n a n n ∴=+-⨯=+．………6分（Ⅱ）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，…………7分 所以()122311111111111132334122222n n n n T a a a a a a n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …9分()2122442422416n n n a n n T n n n +⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．…………11分 当且仅当4n n =，即2n =时“=”成立，即当2n =时，1n na T +取得最大值16．…………12分 19.解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，AB CD P ，AD DC CB a ===，60ABC ∠=︒ 四边形ABCD 是等腰梯形，且30DCA DAC ∠=∠=︒，120DCB ∠=︒90ACB DCB DCA ∴∠=∠-∠=︒，AC BC ∴⊥，又 平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ，BC ∴⊥平面ACFE ．…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以点C 为原点，CA ，CB ，CF 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()0,,0B a ，()3,0,0Aa ，31,,022a D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,F a ，()3,0,E a a设面DBF 的法向量为(),,n x y z = ，1100n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即300x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 取1y z ==得()3,1,1n =又面CBF 的一个法向量为()1,0,0m =，…………6分 315cos ,55m n m n m n ∴===， 所以二面角D BF C --的余弦值为155．…………8分（Ⅲ）当33EM a =时，AM P 平面BDF ， 在梯形ABCD 中，设AC BD N = ，连接FN ，则:1:2CN NA =…………9分33EM a =，而3EF AC a ==:1:2EM MF ∴=，MF AN ∴P， ∴四边形ANFM 是平行四边形，AM NF ∴P又NF ⊂ 平面BDF ，AM ⊄平面BDF AM ∴P 平面BDF ．…………12分20.解：（Ⅰ）由32BA BC = 得3cos 2ca B = ，由3cos 4B =可得2ca =，因为a ，b ，c 成等比数列，所以22b ca ==，所以2b =．…………2分由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得2222cos 5a c b ac B +=+=()2222549a c a c ac +=++=+=，3a c ∴+=，…………5分ABC ∴∆的周长为32+．…………6分（Ⅱ）由余弦定理可知：222221cos 1222a c b a c ac c a B ac ac a c +-+-⎛⎫===+- ⎪⎝⎭， 又3cos 4B =，所以()()22131225022024c a a c ac a c a c a c ⎛⎫+-=⇒+-=⇒--= ⎪⎝⎭， 又a b c <<，所以2ca=．…………8分 又7sin 4B =，于是11cos cos sin 87tan tan sin sin sin sin sin 7A B C c A B A B A B a B +=+=== ．…………12分21.解：（Ⅰ）2BC AC = ，且BC 过()0,0，则OC AC =．0AC BC =，90OCA ∴∠=︒，即()3,3C．…………5分又23a = ，设椭圆m 的方程为22211212x y c +=-．将C 点坐标代入得23311212c+=-，解得28c =，24b =． ∴椭圆m 的方程为221124x y +=．…………5分 （Ⅱ）由条件()0,2D -，当0k =时，显然22t -<<；…………6分当0k ≠时，设l ：y kx t =+，221124x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()2221363120k x ktx t +++-=由0∆>可得，22412t k <+……①…………7分 设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 中点()00,H x y ，则12023213x x ktx k +-==+， 00213t y kx t k =+=+，223,1313kt t H k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭．…………8分 由DP DQ =，DH PQ ∴⊥，即1DHk k =-，2221133013tk kt k k++∴=---+， 化简得213t k =+……② 1t ∴>…………10分 将②代入①得，14t <<．…………11分综上知，所求t 的取值范围是()2,4-．…………12分22.解：（Ⅰ）()()()()()()222222411212x x ax a af x ax x ax x +-+-'=-=++++．（*）…………1分 当1a ≥时，()0f x '>，此时，()f x 在区间()0,+∞上单调递增．…………3分 当01a <<时，由()0f x '=得112a x a -=（212ax a-=-舍去）． 当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>． 故()f x 在区间()10,x 上单调递减，在区间()1,x +∞上单调递增； 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间()0,+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在区间10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 在区间12,a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增．…………5分 （Ⅱ）由（*）式知，当1a ≥时，()0f x '≥，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<． 又()f x 的极值点只可能是112a x a -=和212ax a-=-，且由()f x 的定义可知， 1x a >-且2x ≠-，所以112a a a -->-，122a a --≠-， 解得12a ≠，此时，由（*）式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点…………6分而()()()()()212121212121222ln 1ln 1ln 122x x f x f x ax ax a x x a x x x x ⎡⎤+=+-++-=+++-⎣⎦++ ()()()()()221212121244412ln 21ln 212242121x x x x a a a x x x x a a ++-=--=-+-+++--．…………7分令21a x -=，()22ln 2g x x x=+-．11页 （ⅰ）当102a <<即10x -<<时，()()22ln 2g x x x =-+-，所以()2222220x g x x x x -'=-=<， 因此，()g x 在区间()1,0-上单调递减，从而()()140g x g <-=-<，故当102a <<时，()()120f x f x +<．…………9分 （ⅱ）当112a <<即01x <<时， ()22ln 2g x x x =+-，所以()2222220x g x x x x-'=-=<，因此，()g x 在区间()0,1上单调递减， 从而()()10g x g >=，故当112a <<时，()()120f x f x +>．…………11分 综上所述，满足条件的a 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………12分。