马尔可夫预测方法
5.7 马尔可夫预测
第7节马尔可夫预测方法对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是对于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件发生的概率的方法。
它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是对事件进行预测的基本方法，它是预测中常用的重要方法之一。
一、几个基本概念为了讨论马尔可夫预测法的应用，下面首先介绍几个基本概念。
(一) 状态、状态转移过程与马尔可夫过程(1) 状态。
在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。
一般而言，随着研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
例如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；在经济发展水平预测中，有“落后”、“较发达”、“发达”等状态；在天气变化预测中，有“晴天”、“阴天”、“雨天”等状态；……；等等。
(2) 状态转移过程。
事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
譬如，天气变化从“晴天”转变为“阴天”，从“阴天”转变为“晴天”，从“晴天”转变为“晴天”，从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移。
(3) 马尔可夫过程。
在事件的发展过程中，若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
许多事件发展过程的状态转移是具有无后效性的，对于这样一些事件发展过程，就可以用马尔可夫过程来描述。
(二) 状态转移概率与状态转移概率矩阵118119（1）状态转移概率。
在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
第十一章马尔科夫预测法
12月份三个企业市场用户拥有量分别为：
甲：1000×0.306 = 306 户
乙：1000×0.246 = 246 户
丙：1000×0.448 = 448 户
17
稳定状态概率为：
Sn SS12nnP1P1121
P21 P221
P3110 P32 0
S3n 1
1 1 1
0.3 0.1 0.3
300 300 300
20
本月的状态：
S 1 S 1 1 S 2 1 S 3 1 S 0 P
0.4 0.3 0.3
0.4 0.3 0.30.6 0.3 0.1
0.6 0.1 0.3
0 .52 0 .24 0 .24
即本月A牌号味精的市场占有率为0.52，B牌号味精 的市场占有率为0.24，C牌号味精的市场占有率为0.24 。
根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：
230 10 10
P22500 300 30
250 250
300 10
34230150000 000..00.966277
0.04 0.833 0.022
0.04
0.1
0.911
450 450 450
14
步骤
利用马尔柯夫预测模型进行预测，11月份三个企业市 场占有率为：
R
5 1
1 1
试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望 利润。
30
步骤：
根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率 矩阵
PP1 177400.7.58 127400.2.52
9
9
31
P2P1P 0 0 .7 .580 0 .2 .5 2 2 0 0..5 66 40 0..4 3 4 6
马尔科夫预测法简介
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
0.5
P = 0.78
0.22
此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性 各占一半
若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风 险22%
二步状态转移矩阵为：
[2] 2
P=P=
0.5 0.5
0.5 0.5
0.78 0.22 0.78 0.22
0.64
0.36
= 0.5616 0.4384
求T
0.6 0.1 0.3 解：设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即
-0.2U1 + 0.6 = U1
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2
定理二：设X为任意概率向量，则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为 固定概率向量。
事实上： U1 U2 …… UN
XT = X• : :
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域，例如物理、经济、生物等。
下面将详细介绍马尔可夫预测法的原理和应用。
原理马尔可夫预测法是基于马尔可夫过程的。
马尔可夫过程是一个具有无记忆性的随机过程，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这个过程可以用一个状态转移矩阵来描述。
状态转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率，它的每个元素都代表了从一个状态到另一个状态的概率。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测系统在未来的状态。
应用马尔可夫预测法在各种领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于预测粒子的运动状态；在经济学中，它可以用于预测股市的走势；在生物学中，它可以用于预测疾病的传播。
下面将分别介绍这些应用。
物理学中的应用在物理学中，马尔可夫预测法可以用于预测粒子的运动状态。
例如，在原子的轨道运动中，电子的运动状态可以用一个状态向量来描述。
通过对状态向量的分析，可以预测电子在未来的位置。
经济学中的应用在经济学中，马尔可夫预测法可以用于预测股市的走势。
例如，在股市中，每一天的股价可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测未来股价的走势。
这种方法已经被证明是一种有效的预测股市走势的方法。
生物学中的应用在生物学中，马尔可夫预测法可以用于预测疾病的传播。
例如，在流行病学中，每个人的健康状态可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测疾病的传播。
这种方法已经被证明是一种有效的预测疾病传播的方法。
总结马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域。
在物理、经济、生物等领域中，马尔可夫预测法已经成为一种重要的预测方法。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法。
马尔可夫过程是在给定当前状态下，下一个状态的概率只与当前状态有关的随机过程。
其本质是利用概率论中的马尔可夫性质，通过已知状态的条件概率预测未来的状态。
马尔可夫预测法广泛应用于各种领域中的预测问题。
马尔可夫预测法的基本思想是利用过去的信息预测未来的状态。
在马尔可夫模型中，当前状态只与前一状态有关，与更早的历史状态无关，这种性质称为“无记忆性”。
因此，在预测未来状态时，只需知道当前状态及其概率分布即可，而无需考虑过去的状态。
这种方法不仅大大降低了计算复杂度，而且在实际应用中也具有很高的准确性。
马尔可夫预测法的应用范围非常广泛，例如天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等。
其中，天气预报是一个典型的马尔可夫过程应用。
在天气预报中，当前的天气状态只与前一天的天气状态有关，而与更早的天气状态无关。
因此，可以利用马尔可夫预测法预测未来的天气状态。
马尔可夫预测法的实现方法有很多，其中比较常见的是利用马尔可夫链进行预测。
马尔可夫链是一种随机过程，其状态空间是有限的。
在马尔可夫链中，当前状态的转移概率只与前一状态有关。
因此，在利用马尔可夫链进行预测时，只需知道当前状态及其转移矩阵即可。
根据转移矩阵，可以预测未来的状态概率分布。
马尔可夫预测法的优点是计算简单，预测准确性高。
但其缺点也比较明显，即需要满足无记忆性的假设，而实际应用中，往往存在着各种各样的因素影响状态的转移。
因此，在实际应用中，需要对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，具有计算简单、预测准确性高等优点。
其在天气预报、股票价格预测、自然语言处理、机器翻译等领域中得到了广泛应用。
在实际应用中，需要充分考虑各种因素的影响，对马尔可夫预测法进行适当的修正，以提高预测准确性。
python 马尔可夫预测法
python 马尔可夫预测法摘要：1.马尔可夫预测法简介2.马尔可夫预测法的基本思想3.马尔可夫预测法的应用场景4.使用Python 实现马尔可夫预测法5.马尔可夫预测法的优缺点正文：马尔可夫预测法是一种基于马尔可夫过程的预测方法，主要用于预测具有马尔可夫性质的随机序列。
它通过观察序列中相邻状态的关系，来预测序列的未来状态。
马尔可夫预测法在自然语言处理、金融、气象等领域有着广泛的应用。
马尔可夫预测法的基本思想是：假设未来的状态转移只依赖于当前的状态，而与过去的历史状态无关。
也就是说，一个系统的未来状态只与其当前状态有关，而与它过去的状态无关。
这种性质被称为马尔可夫性质。
在实际应用中，马尔可夫预测法常常通过建立状态转移矩阵来描述状态之间的转移关系。
通过对状态转移矩阵进行计算，可以预测出序列的未来状态。
使用Python 实现马尔可夫预测法，我们可以利用numpy 和matplotlib 等库来计算和可视化状态转移矩阵。
具体的实现代码如下：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 生成随机状态转移矩阵_states = 3transition_probabilities = np.random.rand(n_states, n_states) # 设置初始状态initial_state = np.random.randint(0, n_states)# 进行预测_steps = 10predicted_states = [initial_state]for t in range(n_steps):current_state = np.argmax(predicted_states[-1] * transition_probabilities)predicted_states.append(current_state)# 可视化状态转移矩阵plt.matshow(transition_probabilities, cmap="gray")plt.xlabel("State")plt.ylabel("Next State")plt.xticks(np.arange(n_states), range(n_states))plt.yticks(np.arange(n_states), range(n_states))plt.show()# 可视化预测结果plt.plot(range(n_steps), predicted_states)plt.xlabel("Step")plt.ylabel("State")plt.show()```马尔可夫预测法的优点是计算简单，易于实现，并且对于具有马尔可夫性质的序列，预测结果往往较为准确。
第五章马尔科夫预测法
3、状态转移概率
• 客观事物可能有 E1 , E2 ,, E N 共 n 种状态，其中每次只能处
于一种状态，则每一状态都具有 n 个转向（包括转向自身）， 即
Ei E1 , Ei E2 , , Ei EN 。
• 由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性 的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
用“1”表示畅销 用“2”表示滞销
季度
率矩阵。
P11 P21 P P N1 P12 P22 PN 2 P1 N P2 N PNN
基本概念
通常称矩阵 P 为 状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一 般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为概率向量。 转移概率矩阵的特征??
状态转移概率矩阵及其基本特征 状态转移概率矩阵具有如下特征： （1） 0 Pij 1 i , j 1, 2, （ 2）
P(k ) P(0) P( k ) P(0) Pk
由此可得
P(k ) P(k 1) P
例：预计未来两个季度药品市场销售情况。
季度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
销售 状态
季度 销售 状态
畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞 畅 滞 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 滞 畅 畅 畅 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1
马尔可夫预测方法
马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是关于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。
它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。
2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。
一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。
2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。
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状态转移概率
在事件的发展变化过程中，从某一种状态 出发，下一时刻转移到其他状态的可能性，称 为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态 转移概率 P ( E i E j ) 就是条件概率 P ( E j / E i ) , 即
P ( E i E j ) P ( E j / E i ) Pij
0 . 181 8
(2)结论：该地区农业收成变化的 状态转移概率矩阵为
0 . 200 0 P 0 . 538 5 0 . 363 6
0 . 466 7 0 . 153 8 0 . 454 5
0 . 333 3 0 . 307 7 0 . 181 8
（3.7.5）
(1) 计算： 从表3.7.1中可以知道，在15 个从E1出发（转移出去）的状态中: 有3个是从E1转移到E1的（即1→2，24→25， 34→35）； 有7个是从E1转移到E2的（即2→3，9→10， 12→13，15→16，29→30，35→36，39→40）；
有5个是从E1转移到E3的（即6→7，17→18， 20→21，25→26，31→32） 。
求解该方程组得： 1＝0.365 3, ＝0.352 5， 3 ＝0.279 9。
2
这说明，该地区农业收成的变化过程，在 无穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状 态出现的概率都将大于“歉收”状态出现的概 率。
在地理事件的预测中，被预测对象所
经历的过程中各个阶段（或时点）的状态
和状态之间的转移概率是最为关键的。
所以
P11 P ( E1 E1 ) P ( E1 E1 )
P12 P ( E1 E 2 ) P ( E 2 E1 )
3 15
7 15
0 . 200 0
0 . 466 7
P13 P ( E1 E 3 ) P ( E 3 E1 )
5 15
0 . 333 3
例题1:考虑某地区农业收成变化的3个状 态，即“丰收”、“平收”和“歉收”。 记E1为“丰收”状态，E2为“平收”状态， E3为“歉收”状态。表3.7.1给出了该地区 1960—1999年期间农业收成的状态变化情 况。试计算该地区农业收成变化的状态转 移概率矩阵。
表3.7.1 某地区农业收成变化的状态转移情况
0 i 1 (i 1, 2, , n )
i 1
n
i
1
③ 例题：在例1中，设终极状态的状态概率为
[ 1 , 2 , 3 ]
则
0 . 200 0 [ 1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ] 0 . 538 5 0 . 363 6 0 . 466 7 0 . 153 8 0 . 454 5 0 . 333 3 0 . 307 7 0 . 181 8
即
1 0 . 200 0 1 0 . 538 5 2 0 . 363 6 3 2 0 . 466 7 1 0 . 153 8 3 0 . 454 5 3 0 . 333 3 0 . 307 7 0 . 181 8 1 2 3 3
（3.7.8）
式中: ( 0 ) [ 1 ( 0 ), 2 ( 0 ), , n ( 0 )] 为初 始状态概率向量。
第k个时刻（时期）的状态概率预测
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即 ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
二、马尔可夫预测方法
状态概率 π j (k )
表示事件在初始（k＝0）状态为已知 （时期）处于状态 E j 的概率。 且
j 1
n
j
(k ) 1
（3.7.6）
根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes 条件概率公式，有
j (k )
i 1
马尔可夫预测的基本方法就是利用状 态之间的转移概率矩阵预测事件发生的状 态及其发展变化趋势。
马尔可夫预测方法的基本要求是状态转移 概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须
具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与
准确性。 换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在 大量的统计数据的基础之上。这一点也是运用 马尔可夫预测方法预测地理事件的一个最为基 本的条件。
终极状态概率预测
① 定义 ：经过无穷多次状态转移后 所得到的状态概率称为终极状态概率 ， 即
[ lim 1 ( k ), lim 2 ( k ), , lim n ( k )] lim ( k )
k k k k
P ② 终极状态概率应满足的条件
不难证明，如果P为概率矩阵，则对 于任何整数m>0，矩阵都是概率矩阵。
标准概率矩阵、平衡向量
如果P为概率矩阵，而且存在整数m>0， 使得概率矩阵 P m中诸元素皆非零，则称P 为标准概率矩阵。可以证明，如果P为标 准概率矩阵，则存在非零向量 [ x1 , x 2 , , x n ] ，而且 x i 满足
一、几个基本概念
状态
指某一事件在某个时刻（或时期）出 现的某种结果。 状态转移过程 事件的发展，从一种状态转变为另一 种状态，称为状态转移。 马尔可夫过程 在事件的发展过程中，若每次状态的 转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过 去的状态无关，或者说状态转移过程是无 后效性的，则这样的状态转移过程就称为 马尔可夫过程。
E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 状态 概率 0.5 0.1 0.3 0.3 0.4 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 385 528 077 024 14 837 867 334 799 587 589 779
年 份 状 态 概 率 年份 2004 2005 2006 2007
例题2:将例题1中1999年的农业收成状态记
为 ( 0 ) =[0,1,0] ，将状态转移概率矩阵 （3.7.5）式代入递推公式（3.7.8）式，可 求得2000—2010年可能出现的各种状态的概
率（表3.7.2）。
表3.7.2 某地区1990—2000年农业收成 状态概率预测值
年份 2000 2001 2002 2003
年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 1960 1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1 1961 2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3 1962 3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2 1963 4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1 1964 5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1 1965 6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2 1966 7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2 1967 8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3 1968 1969 9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1 10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2
7 13
2 13 4
0 . 538 5
0 . 153 8 0 . 307 7
13 4
11 5
0 . 363 6
P32 P ( E 3 E 2 ) P ( E 2 E 3 )
P33 P ( E 3 E 3 ) P ( E 3 E 3 )
11 2
11
0 . 454 5
第7节 马尔可夫预测方法
几个基本概念
马尔可夫预测法
对事件的全面预测，不仅要能够指出 事件发生的各种可能结果，而且还必须给 出每一种结果出现的概率。 马尔可夫（Markov）预测方法，就是 一种预测事件发生的概率的方法。它是基 于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测 其将来各个时刻（或时期）变动状况的一 种预测方法。马尔可夫预测法是对地理事 件进行预测的基本方法，它是地理预测中 常用的重要方法之一。
E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 677 509 799 647 532 799 656 524 799 653 526 799 2008 2009 2010
E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 状态 概率 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 653 525 799 653 525 799 653 525 799
n
j
( k 1) Pij
( j 1, 2 , , n ) （3.7.7）
记行向量 ( k ) [ 1 ( k ), 2 ( k ), , n ( k )] ， 则由（3.7.7）式可以得到逐次计算状态概 率的递推公式
(1) ( 0 ) P ( 2 ) (1) P ( 0 ) P 1 .......... .. ( k ) ( k 1) P ( 0 ) P k
同理可得
P21 P ( E 2 E1 ) P ( E1 E 2 )
P22 P ( E 2 E 2 ) P ( E 2 E 2 ) P23 P ( E 2 E 3 ) P ( E 3 E 2 )
P31 P ( E 3 E1 ) P ( E1 E 3 )