2018年秋九年级数学上册 第25章 概率初步小结与复习 (新版)新人教版
新人教版九年级数学上册《概率初步》知识点
第二十五章概率初步知识点总结25.1 概率1.随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：2.可能性大小（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．3.概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．25.2 用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．2. 几何概型的概率问题是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度G 的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．25.3 利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．2.模拟实验（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验．（2）模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．（3）模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟实验即可．。
九年级数学人教版(上册)第25章小结与复习
乙转盘
第一回 第二回
1
2
3
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
共有9种等可能结果，其中中奖的有4种；
∴P(乙）=
4； 9
（2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市
购物？说明理由.
选甲超市.理由如下：
∵P(甲）>P(乙）， ∴选甲超市.
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
课堂小结
必然事件
事 件 不可能事件
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
A. 2
B. 3
C. 8
D. 1 3
5
5
25
25
4. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相
同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
随机事件 与概率
概
率
初
步 列举法求
概
率
用频率估 计概率
侵权必究
概率
随机事件
定义
刻画随机事件发生可能 性大小的数值
计算 公式
P(A) m (m为试验总结果数， n
n为事件A包含的结果种数）
直接列举法 列表法
画树状图法
适合于两个试验因素或分两步进行 适合于三个试验因素或分三步进行
频率与概 率的关系
在大量重复试验中，频率具有 稳定性时才可以用来估计概率
那么重转一次，直到指针指向 4 3
某一份为止）.
12
人教版九上数学第二十五章小结与复习
三、随机事件的概率的求法 直接列举法
求随机事 件概率的
方法
列表法：适合于两个试验因素或分两步 进行
树状图法用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中， 如果事件 A 发生的频率 稳定 于某个常数 p，那么事件 A 发 生的概率：P(A) = p
经检验：x = 7 是分式方程的解. 所以袋中红球有 7 个.
考点四 用概率作决策
例5 在一个不透明的口袋里装有分别标注 2、4、6 的 3 个小球(小球除数字外，其余都相同)，另有 3 张背面 完全一样，正面分别写有数字 6、7、8 的卡片.现从口 袋中任意摸出一个小球，再从这 3 张背面朝上的卡片 中任意摸出一张卡片. (1) 请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出 现的结果；
(2) 根据题意列表如下：
红黄蓝
红 红红 黄红 蓝红
由表可知，共有 9 种等 黄 红黄 黄黄 蓝黄
可能的情况数，
蓝 红蓝 黄蓝 蓝蓝
其中摸到“一红一黄”的情况有 2 种，则两次摸到的
球的颜色为“一红一黄”的概率是
考点三 用频率估计概率
例4 (新疆)表中记录了某种树苗在一定条件下移植成活 的情况：
移植总数 n 200 500 800 2000 12000 成活数 m 187 446 730 1790 10836
解：画树状图的如下：
开始
b
-2
-1
3
4
c -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 -2 -1 3 4 由树状图可知，共有 16 种等可能的结果， 其中方程 x2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根
(b2 - 4c＞0)的情况有 9 种，
∴ 方程 x2 + bx + c = 0 有两个不相等的概率是
九年级数学上册第二十五章概率初步知识点总结归纳完整版(带答案)
九年级数学上册第二十五章概率初步知识点总结归纳完整版单选题1、小明在一次用“频率估计概率”的实验中，把对联“海水朝朝朝朝朝朝朝落，浮云长长长长长长长消”中的每个汉字分别写在同一种卡片上，然后把卡片无字的面朝上，随机抽取一张，并统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（）A．抽出的是“朝”字B．抽出的是“长”字C．抽出的是独体字D．抽出的是带“氵”的字答案：D分析：根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.2左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．根据拆线图知：概率在0.2左右，，不符合题意；A：抽出的是“朝”字的概率是720，不符合题意；B：抽出的是“长”字的概率是720，不符合题意；C：抽出的是独体字的概率是920=20%，符合题意，D：抽出的是带“氵”的字的概率为420故选：D．小提示：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．2、分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：结合图形求出各个阴影部分所占的比例即为小球落在阴影部分的概率，进行比较即可． 解：A 、小球落在阴影部分的概率为14； B 、小球落在阴影部分的概率为12； C 、小球落在阴影部分的概率为59；D 、小球落在阴影部分的概率为39=13； 小球落在阴影部分的概率最小的是A ， 故选：A ．小提示：题目主要考查概率的基本计算方法，理解题意，掌握概率的基本计算方法是解题关键．3、孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD 、Dd 、dd 三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D 的概率是（ ）A ．14B ．38C ．12D ．34 答案：D分析：画出遗传图解，即可得到答案． 解：画图如下：共有4种情况，而出现高茎的有3种结果， ∴子二代豌豆中含遗传因子D 的概率是34，故选：D小提示：本题主要考查了求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．4、《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金． 小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6答案：D分析：通过列表法或树状图把所有可能的情况列出来，然后利用概率公式求出事件发生的概率进行判断即可． 解：画树状图如图所示，从图中可以看出，齐王与田忌赛马，共有18种等可能的情况，其中田忌能赢有3种情况， P 田忌赢=318=19． 故选：D ．小提示：本题考查了用列表法与树状图求概率，列表法适应于两步完成的事件概率的求法，树状图法适应于两步或两步以上完成的事件概率的求法．5、某人在做抛掷硬币试验中，抛掷n 次，正面朝上有m 次，若正面朝上的频率是P =mn ，则下列说法正确的是( )A ．P 一定等于0.5B ．多投一次，P 更接近0.5C ．P 一定不等于0.5D ．投掷次数逐渐增加，P 稳定在0.5附近 答案：D分析：大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做此事件概率的估计值，从而可得答案．解：根据频率和概率的关系可知，投掷次数逐渐增加，P 稳定在0.5附近， 故选：D ．小提示：考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．6、在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．49 B ．13 C ．29D ．19答案：A分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果， ∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A ．小提示：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．7、如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，随机地往⊙O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A ．3√32πB ．√32πC ．√34πD ．以上答案都不对 答案：A分析：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得△OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出△OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB =60°， ∵OA =OB =r ，∴△OAB 是等边三角形， ∴AB =OA =OB =r ，∠OAB =60°，在Rt △OAH 中，OH =OA ⋅sin∠OAB =r ×√32=√32r ， ∴S △OAB =12AB ⋅OH =12r ×√32r =√34r 2， ∴正六边形的面积=6×√34r 2=3√32r 2， ∵⊙O 的面积=πr 2，∴米粒落在正六边形内的概率为：3√32r 2πr 2=3√32π， 故选：A ．小提示：本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出△OAB 的面积是解决问题的关键．8、如图，电路图上有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C ，都可使小灯泡发光．任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ）．A ．12B ．13C ．14D ．34答案：C分析：让小灯泡发光的情况数除以总情况数即为发光的概率． 解：共有4个开关，闭合其中一个开关，有4种情况， 只有闭合D 才能使灯泡发光， ∴小灯泡发光的概率=14． 故选：C ．小提示：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9、用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色（若指针指在分界线上，则重转），则配成紫色的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23答案：C分析：列表得出所有等可能的情况数，找出能配成紫色的情况数，即可求出所求的概率． 解：列表如下：3种， 则P （配成紫色）=36=12， 故选：C ．小提示：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．10、从−√2，0，√4，π，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45答案：B解：这里的无理数有−√2，π，共2个， ∴P (抽到无理数)=25． 故选：B ．小提示：本题主要考查了列举法求概率，解决问题的关键是熟练掌握用列举法求概率的方法． 填空题11、现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使得关于x 的一元二次方程x 2−2x +a2=0有实数根，且关于x 的分式方程1−ax x−2+2=12−x有解的概率为______．答案：16分析：根据一元二次方程有实数根，求出a 的取值范围，再根据分式方程有解，求出a 的取值范围，综合两个结果即可得出答案．一元二次方程x 2−2x +a2=0有实数根，∴4−4×a2≥0. ∴a ≤2， ∴a =0，1，2， 关于x 的分式方程1−ax x−2+2=12−x的解为：x =22−a，且2−a ≠0且x ≠2， 解得：a ≠2且a ≠1， ∴a =0，∴使得关于x 的一元二次方程，x 2−2x +a2=0有实数根，且关于x 的分式方程1−axx−2+2=12−x 有解的概率为：16. 所以答案是：16小提示：本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根和分式方程有解是解题的关键．12、盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，则x和y满足的关系式为 __．答案：y=53x分析：根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可．解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，∴袋中共有（x+y）个棋，∵黑棋的概率是38，∴可得关系式xx+y =38，∴x和y满足的关系式为y=53x．所以答案是：y=53x．小提示：此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．13、小林掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有1、2、3、4、5、6，他把第一次掷得的点数记为x，第二次掷得的点数记为y，则分别以这两次掷得的点数值为横、纵坐标的点A(x,y)恰好在直线y=−2x+8上的概率是______．答案：112分析：首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点B（x，y）恰好在直线y=−2x+8上的情况，再利用概率公式求得答案．解：列表如下：），（2，4），（3，2），∴点B（x，y）恰好在直线y=−2x+8上的概率是：336=112．所以答案是：112．小提示：本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．14、口袋里装有红球和白球共10个，这些球除颜色外其余均相同．每次将球搅拌均匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回口袋里，摸了100次，其中发现有69次摸到白球，则白球的个数约为___________个．答案：7分析：利用频率估计概率可估计摸到白球的概率，再用口袋里球的总个数乘以摸到白球的频率即可得出答案．解：∵共摸了100次球，发现有69次摸到白球，∴摸到白球的概率为0.69，∴口袋中白球的个数大约10×0.69≈7（个）．所以答案是：7．小提示：本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．15、现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回．．，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．答案：316分析：画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，所以点P（m，n）在第二象限的概率＝316．所以答案是：316．小提示：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．解答题16、2019年第六届世界互联网大会在桐乡乌镇召开，现从全校学生中选出15名同学参加会议相关服务工作，其中9名男生，6名女生．（1）若从这15名同学中随机选取1人作为联络员，求选到男生的概率．（2）若会议的某项服务工作只在A，B两位同学中选一人，准备用游戏的方式决定谁参加．游戏规则是：四个乒乓球上的数字分别为1，2，3，6（乒乓球只有数字不同，其余完全相同），将乒乓球放在不透明的纸箱中，从中任意摸取两个，若取到的两个乒乓球上的数字之和大于6则选A，否则选B，从是否公平的角度看，该游戏规则是否合理，用树状图或表格说明理由．答案：（1）35；（2）该游戏规则合理；理由见解析.分析：（1）直接根据概率公式计算；（2）先画出树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出两个数字之和大于6所占的结果数，计算出选A的概率和选B的概率，然后比较两概率大小判断该游戏规则是否合理．（1）选到男生的概率=915=35；(2)画树状图：共有12种等可能的结果数，其中两个数字之和大于6占6种，所以选A的概率=612=12，则选B的概率=1−12=12，由于选甲的概率等于选乙的概率，所以该游戏规则合理．小提示：本题考查列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.17、根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x<40”部分所对应扇形的圆心角的度数为_______；（3）在这50人中女性有______人；（4）若从年龄在“x<20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．答案：（1）10；（2）180°；（3）18；（4）P（恰好抽到2名男性）=16．分析：（1）用50-4-25-8-3可求出m的值；（2）用360°乘以年龄在“30≤x<40”部分人数所占百分比即可得到结论；（3）分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可；（4）年龄在“x<20”的4人中，男性有2人，女性有2人，分别用A1，A2表示男性，用B1，B2表示女性，然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可.解：（1）m=50-4-25-8-3=10；所以答案是：10；（2）360°×2550=180°；所以答案是：180°；（3）在这50人中女性人数为：4×（1-50%）+10×（1-60%）+25×（1-60%）+8×（1-75%）+3×（1-100%）=2+4+10+2+0=18；所以答案是：18；（4）设两名男性用A1,A2表示，两名女性用B1,B2表示，根据题意：可画出树状图：或列表：2种，故P（恰好抽到2名男性）=212=16．小提示：此题考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布表．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18、从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是；(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．答案：(1)13(2)12分析：（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．（1）解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是13.（2）列表如下：所以一定有乙的概率为：612=1 2 .小提示：本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．。
九年级数学上册第25章概率初步章末复习课件(新版)新人教版
例3 一个不透明的袋子中装有4个黑球, 2个白球, 这些球除颜色 不同 外其他都相同, 从袋子中随机摸出1个球, 摸到黑球的概率 是( D ).
相关题3 如果从包括小军在内的 10名大学生中任选1名作 为 “保护母亲河”的志愿 者, 那么小军被选中的概 率是( C ).
解析 共有 10 种等可能的结果，小军被选中的结果有 1 种，故 P(小军 被选中)＝110.
例6 小莉的爸爸买了一张动物园的门票, 她和哥哥都很想去, 可门 票 只有一张, 于是哥哥想了一个办法, 他拿出八张扑克牌, 将数字 为1, 2, 3, 5的 四张牌给了小莉, 将数字为4, 6, 7, 8的四张牌留给自 己, 并按如下规则进行： 小莉和哥哥分别从各自的四张牌中随机 抽出一张, 然后将抽出的两张扑克牌 上的数字相加, 若和为偶数, 则小莉去；若和为奇数, 则哥哥去. (1)求小莉去动物园的概率. (2)哥哥设计的规则公平吗？若公平, 请说明理由；若不公平, 请 你设 计一种公平的规则．
【要点指导】当已知某个事件发生的概率, 求事件发生的可能 情况 时, 可以借助方程思想, 以概率公式为等量关系式, 列方程 求解.
例 在一个不透明的布袋中, 装有红、黑、白三种只有颜色不同 的小 球, 其中红色小球有4个, 黑、白两种颜色的小球的数目相同. 小明从布袋中 随机摸出1个球, 记下颜色后放回布袋中, 摇匀后再 随机摸出1个球, 记下颜 色后放回布袋中……如此进行大量重复摸 球试验后, 小明发现摸出红色小 球的频率稳定于20%, 由此可以 估计布袋中的黑色小球有______8__个．
例7 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间 一个小正方 形拼成的大正方形. 图25-Z-5是一个“赵爽弦 图”飞镖板, 其中直 角三角形的两条直角边的长分别是2和4. 小明同学在距飞镖板一定 距离处向飞镖板投掷飞镖(假设投 掷的飞镖均扎在飞 镖板上), 则投掷一次飞镖恰好扎在中间小正方形区域 的 概率是( C ).
九年级数学上册 第25章 概率初步章末复习教案 新人教版
概率初步章末复习一、复习导入1.导入课题：同学们，通过对本章的学习，你对本章的知识结构和重要知识点及其运用是否有一个清晰的认识呢？为了强化同学们对本章的知识认知和应用，下面我们一起来对本章学习内容进行回顾总结.2.复习目标：（1）通过复习，进一步认清本章的知识结构.（2）熟悉本章重要的知识要点和解题方法.（3）熟练地用列举法和频率估算法求随机事件的概率.3.复习重、难点：重点：巩固准确运用两种求概率的方法以及用频率估计概率的方法.难点：用列表法或树形图法求概率的合理选用.4.复习指导：（1）复习内容：教材127页到第151页的内容.（2）复习时间：10分钟.（3）复习要求：对照本章的知识展开图重新看课本重点知识点的讲解，边看书，边记忆，边归纳，对存在疑问的地方进行交流.（4）复习参考提纲：①说说必然事件、不可能事件和随机事件有什么本质区别.必然事件一定发生；不可能事件一定不发生；随机事件有可能发生，也有可能不发生.②必然事件、不可能事件和随机事件的概率各是多少？必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率介于0和1之间.③在什么事件中适合用P(A)=mn得到事件的概率？随机事件④求一个事件的概率，如果发生的可能结果数目较多时且涉及两个因素，通常适合采用什么方法？列表法⑤用画树状图的方法求一个随机事件的概率时，事件涉及的因素应满足什么条件？因素等于或多于两个.⑥事件发生的概率与事件发生的频率有何关系？概率是指这件事发生的可能性.频率表示事件发生的次数与总次数的比值.频率不等同于概率.但当重复实验的次数逐渐增大时，频率逐渐趋近于概率.二、自主复习学生可参照自学指导进行自学.三、互助复习1.师助生：(1)明了学情：倾听学生讨论的问题，看学生完成提纲的情况.(2)差异指导：对学生在自学中的方法和认识理解偏差进行指导，帮助学生理顺知识网络.2.生助生：学生之间相互交流，帮助整理和解决疑难问题.四、强化1.知识结构图表:2.3.4.5.练习：已知电流在一定时间内正常通过电子元件的概率是0.5，分别求在一定时间段内，A，B之间和C，D之间电流能够正常通过的概率.（提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两个可能（通电，断开），并且这两种状态的可能性相等，用列举的方法可以得出电路的四种可能状态.解：设A，B之间从左到右的两个电子元件依次为R1和R2，则在A，B之间的电路有4种可能状态：（R1通电、R2通电），（R1通电、R2断开），（R1断开、R2通电），（R1断开、R2断开）.其中只有1种状态，即R1和R2都通电时A，B之间的电流才正常通过，所以P（A，B之间电流能够正常通过）=14.设C，D之间从上到下的两个元件依次为R3和R4，则在C，D之间的电路也有4种可能状态：（R3通电、R4通电），（R3通电、R4断开），（R3断开、R4通电），（R3断开、R4断开），其中前三种状态都能使C，D之间的电流正常通过，所以P（C，D之间电流能够正常通过）=34.五、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：各小组学生代表交流自己的学习收获和学后体会.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价作业.3.教师的自我评价（教学反思）：本节课一方面对全章知识进行系统归纳与总结，提升学生的整体观念，另一方面是对前面新课学习的回顾.本节课重点复习了用列举法求概率、用频率估计概率.通过实际问题的解答，提高学生分析问题的能力，增强了用数学解决问题的意识.同时让学生通过本课的复习，掌握运用概率知识的一些基本方法和步骤.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)下列事件中，不是随机事件的是（D ）A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B.经过某一有交通信号灯路口，遇到了红灯C.小伟掷两次硬币，每次向上的都是正面D.测量一下三角形的三个内角，其和为360°2.(10分)从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（D ） A. 15 B. 16 C. 13 D. 3103.(10分)如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A ，B ，转盘A 被均匀地分成4等份，每份分别标上1，2，3，4四个数字；转盘B 被均匀地分成6等份，每份分别标上1，2，3，4，5，6六个数字，分别转动转盘A 和B ，A 盘停止后指针指向奇数的概率和B 盘停止后指针指向奇数的概率哪个大？为什么？（如果指针恰好指在分格线上，取分格线右边的数字.)解：A 转盘停止后，指针指向奇数的概率为=2142.B 转盘停止后，指针指向奇数的概率为=3162，所以两者相等. 4.(30分)一个批发商从某服装制造公司购进了50包型号为L 的衬衫，由于包装工人的疏忽，在包裹中混进了型号为M 的衬衫，每一包中混入的M 号衬衫数见下表：M 号衬衫数0145791011包数7310155433一位零售商从50包中任意选取了一包，求下列事件的概率：（1）包中没有混入的M 号衬衫；（2）包中混入的M 号衬衫数不超过7；（3）包中混入的M 号衬衫数超过10.解：（1）P （包中没有混入M 号衬衫）=750. （2）P （包中混入M 号衬衫数不超过7）=++++=73101554505. （3）P （包中混入的M 号衬衫数超过10）=350. 5.(10分)同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数和小于5的概率.解：同时投掷两枚骰子，点数和的所有可能的结果列表如下：共有36种可能性相等的结果，其中点数和小于5的结果有6种，所以P （点数和小于5）==61366. 二、综合应用（20分）6.(20分) 随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域，如果指针恰好指在分格线上，取分格线右边的数字）.（1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；（2）设正四面体着地的数字为a ，转盘指针所指区域内的数字为b ，求关于x 的方程b ax x ++=2304有实数根的概率. 解：（1）用树状图表示二者的数字之积为4的结果如下：由上图可知，共有20种可能性相等的结果，其中数字之积为4（记为事件A ）的结果有3种，所以（）P A =320. （2）若方程b ax x ++=2304有实数根（记为事件B ），则9-ab≥0，即ab≤9，由（1）可知满足ab≤9的结果有14种，所以（）P B ==1472010. 三、拓展延伸（10分）7.(10分)把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机地各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率.解：不妨设三张风景图片为A ，B ，C ，各自平均剪成的三段分别为A 上，A 中，A 下， B 上，B 中，B 下，C 上，C 中，C 下，用树状图表示从三堆中随机地各抽出一张后的搭配结果.由图可知共有27种搭配结果，其中三张图片恰好组成一张完整风景图片（记为事件M ）的结果有（A 上，A 中，A 下），（B 上，B 中，B 下），（C 上，C 中，C 下）三种.所以（）P M ==31279. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
最新：人教版九年级上册数学第25章《概率初步》小结与复习【练习】
根据上表,你估计该队员一次投篮命2中的2概率大约
是( D )
A.0.9
B.0.8
C.0.7
D.0.72
解析: 利用烦率估计概率时,要进行大量试验,试验次数
越多,用烦率估计概率就越精确由表可知,故当投篮次数
为200次时,其烦率最具有代表性,据此估计该队员一次
结果有 4 个, 所以所求的概率P(A）= 4 1
12 3
解题总结
解答这类问题,一般利用列表法或树状图法展示所 有可能的结果数,再找出某事件所占有的结果数,然后根 据概率公式计算即可。
专题三 用频率估计概率
【例3】某校篮球队进行篮球投篮训练,下表是某队
员投篮的统计结果。
投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 9 40 70 108 144
(1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗?若公平,请说明理 由;若不公平,请你设计一种公平的游戏规。
解析: (1)利用列表法得出所有可能结果,即可求出A班 去参赛的概率；
(2)根据(1)中所求数据即可得出A班去的概率, 以及B班去的概率,进而修改规则得出答案。 解：（1）列表如下：
解：（1）列表如下：
A
1
2
3
4
B
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5)
5 6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (1,7) (2,7) (3,7) (4,7)
7
由上表可知共有12种不同结果。
(2)由(1)得到共有12种等可能性的结果,其中
“所得的两个数字之和为3的倍数”(记为事件A)的
新人教版九年级数学上册《二十五章 概率初步 小结 构建知识体系》精品课教案_13
第25章《概率初步》小结教学设计教材分析本章主要内容是随机事件和概率的概念，用列举法求简单随机事件试验中事件的概率，利用频率估计概率。
概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。
了解和掌握一些概率统计的基本知识，是高中进一步学习概率统计的基础，在教材中处于非常重要的位置。
它是在第二学段定性描述随机现象发生可能性的基础上，对随机事件发生的可能性（概率）进行定量研究。
学情分析初三的学生在初一，初二学习基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但课后复习巩固的效果较差。
为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课以学生自主探究方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力。
情感目标（1）通过数学活动，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯和提高学生的自学能力。
（2）在解决实际问题中提高他们解决问题的能力，激发学生的学习热情，培养学习兴趣。
教学目标1.理解随机事件的概念及概率的定义；2.能够用列举法（包括列表、画树状图）计算简单随机事件发生的概率；3.能够通过重复试验，用事件发生的频率估计概率；4.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题。
教学重难点重点：能通过列表、画树状图等方法求出简单随机事件发生的概率；难点：频率与概率的关系，事件涉及多重因素（两重以上）时，根据不同情况合理选择列表或画树状图。
教学过程一、知识回顾师生一起对本章所学知识进行详细地回顾1.随机事件在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
2.概率一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
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，那么口袋中球的总个数为__1_5__．
解析：设口袋中球的总个数为x，
则摸到红球的概率为 3 1 ，
x5
所以x=15．
考点五 用概率作决策
例6 在一个不透明的口袋里分别标注2、4、6的3个小球 （小球除数字外，其余都相同），另有3张背面完全一 样，正面分别写有数字6、7、8的卡片.现从口袋中任意 摸出一个小球，再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出 一张卡片. （1）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能生的可能性越来越小 事件发生的可能性越来越大
1 必然事件
三、随机事件的概率的求法
1.①当实验的所有结果不是有限个，或各种可能结果发 生的可能性不相等时，我们用大量重复试验中随机事件 发生的稳定频率来估计概率.
②频率与概率的关系：两者都能定量地反映随机事件 可能性的大小，但频率具有随机性，概率是自身固有 的性质，不具有随机性.
A. 2
B. 3
5
5
C. 8
25
D. 1 3
25
考点三 用频率估计概率
例4 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概 率，下列说法正确的是（ D ） A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
例5 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的
况， 其中k＜0且b＜0的情况有2种， ∴P（一次函数y=kx+b的图象经过第
二、三、四象限）= 2 1 .
63
针对训练
3. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大
小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机
的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋
子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是( A )
1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰是红球的 概率是 2 ”的意思是（B ）
7
A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球 B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次 摸中红球 C．摸7次，就有2次摸中红球 D．摸7次，就有5次摸不中红球
2.下列事件中是必然事件的是（ D ） A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸 出的球是白球 B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏 C．小红期末考试数学成绩一定得满分 D．将油滴入水中，油会浮在水面上
2.概率的计算公式：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果， 并且它们发生的可能性都相等，那么出现每一种结果 的概率都是 1 .
n
如果事件A包括其中的m种可能的结果，那么事件 A发生的概率
P(A)=
1 n
+
1 n
+…+
1 n
=
m n
m个
四、列表法 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果
二、三、四象限的概率.
【解析】（1）因为－1，－2，3中有两个负数，
故k为负数的概率为
2 3
；
（2）由于一次函数y=kx+b的图象经过二、三、四象
限时，k，b均为负数，
所以在画树形图列举出k、b取值的所有情况后，从
中找出所有k、b均为负数的情况，即可得出答案．
解：（1）P（k为负数）=
2 3
.
（2）画树状图如右： 由树状图可知，k、b的取值共有6种情
第25章概率小结初与步复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
要点梳理
一、事件的分类及其概念
事件
确定事件 随机事件
必然事件 不可能事件
1.在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件； 2.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件； 3.在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随
机事件.
二、概率的概念 1.概率： 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画 其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概 率，记作P（A）.
数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通 常采用列表法. 列表法中表格构造特点:
一个因素所包含的可能情况
另一个因 素所包含 的可能情 况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当一 次试验中涉 及3个因素或 更多的因素 时,怎么办?
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事 件的个数m,最后代入公式计算.
解：（1）列表如下
小球卡片 2 4 6
6
（6，2） （6，4） （6，6）
7
（7，2） （7，4） （7，6）
8
（8，2） （8，4） （8，6）
共有9种等可能结果；
（2）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则： 规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小 红赢；否则，小莉赢； 规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍 时，小红赢；否则，小莉赢.小红想要在游戏中获胜， 她会选择哪一条规则，并说明理由.
五、树状图法
当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了 不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”.
树形图的画法:
一个试验
如一个试验中涉
及2个或3个因数, 第一个因数中有2 种可能情况;第二 个因数中有3种可 能的情况;第三个 因数中有2种可能 的情况.
第一个因数 A
B
第二个 1 2 3 1 2 3
玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通
过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的
频率稳定在15％和45％，则口袋中白色球的个数最
有可能是（ C ）
A.24个
B.18个
C.16个
D.6个
针对训练
4.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其
余都相同的球．如果口袋中装有３个红球且摸到红球
的概率为 1 5
考点二 用列举法求概率
例2 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小
灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯
泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率
是（ C ）
A. 1
B. 1
2
3
C. 1
4
1 D. 6
例3 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同 的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀 后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的 数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张 卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函 数表达式中的b． （1）写出k为负数的概率； （2）求一次函数y=kx+b的图象经过
第三个 a b a b a b a b a b a b n=2×3×2=12
考点讲练
考点一 事件的判断和概率的意义
例1 下列事件是随机事件的是（ D ） A.明天太阳从东方升起 B.任意画一个三角形，其内角和是360° C.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 D.射击运动员射击一次，命中靶心
针对训练