北师大版-数学-九年级上册-矩形、菱形、正方形错例辨析
北师大版九上数学1.1菱形的性质与判定知识点精讲
知识点总结一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。
例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。
例5 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG 于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．二、矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等四边形是菱形；④对角线垂直平分的四边形是菱形。
3.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征；②菱形+矩形的一条特征；③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定矩形、菱形、正方形错例辨析素材北师大版
矩形、菱形、正方形错例辨析在初学矩形、菱形、正方形这部分内容时,由于对这几个图形的性质和判定掌握不够好，常出现这样或那样的错误，现举例辨析，供学习时参考．例1 两条对角线相等的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．不能确定错解：选C．辨析：两条对角线相等的图形不一定是矩形，如图1,可以是不规则的四边形，图中对角线AC=BD．正解：选D．例2 对角线_____________的四边形是菱形．错解：互相垂直．辨析：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图2就不是菱形，应强调垂直且互相平分．正解：垂直且互相平分．例3 正方形ABCD中,两条对角线的交点为O，∠BAC的平分线交BD于E，若正方形的边长是2cm，则DE的长是（)A．1cm B．2cm C．3cm D．322cm错解：选D．辨析：如图3，把E当作OB的中点,这样由勾股定理可以算出222222BD=+=(cm）,1322222DE OD OE=+=+=（cm)，这是错误的．本题应先推出∠DAE=∠DEA（∠EAD=∠OAD+∠OAE=67。
5°=∠OBA+∠BAE=∠DEA），所以△DAE是等腰三角形,DE=DA=2cm．正解：选B．例4 矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形吗?为什么?错解:不是正方形．因为只能判定四个角是直角，不能判定四边相等，所以是矩形而不是正方形．辨析：错解的原因是对概念掌握的不好．本题的条件不但能判定四个角是直角,还能判定四边相等，如图4．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=90°．∴∠1=∠2= 12∠DAB=45°，∠3=∠4=12∠ABC=45°．∴∠MEN=∠AEB=90°．同理∠N=∠M=90°．∴四边形EMFN是矩形．∵∠1=∠3,∴ AE=BE．∵∠2=∠4，AD=BC，∴Rt△AMD≌Rt△BNC．∴ AM=BN．∴ EM=AM-AE=BN-BE=EN．∴四边形EMFN是正方形．正解：是正方形．证明过程如上．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
北师大版九年级数学上册知识点总结
1、菱形的性质与判定（1（2）菱形的性质：①菱形的四条边相等。
②菱形的对角线互相垂直。
③菱形具有平行四边形的一切性质。
（3③四条边都相等的四边形是菱形。
2、矩形的性质与判定（1（2）矩形的性质：①矩形的四个角都是直角。
②矩形的对角线相等。
③矩形具有平行四边形的一切性质。
（3②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
3、正方形的性质与判定（1的平行四边形叫做正方形。
（2（3）正方形的判定：①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③对角线垂直的矩形是正方形。
④有一个叫是直角的菱形是正方形。
第二章一元二次方程1、认识一元二次方程（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
（3）一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的ax2+bx+c的值无限接近于0时，x的值即可看做一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解2、配方法将一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。
当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可以求出它的根。
（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
（2）直接开平方法的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x 2=a (a ≥0)②(x+a)2=b (b ≥0)③(ax+b)2=c (c ≥0) ④(ax+b)2=(cx+d)2 (|a|≠|c|） （3）配方法的定义通过完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
（4）配方法的步骤和方法①移项：把方程的常数项移到等号右边；②若二次项系数不等于1，可把二次项系数化为1：方程的左右两边同时除以二次项系数 ③配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m ）2=n(n ≥0)的形式；④当b 2-4ac ≥0时，直接用开平方法求出它的解。
九年级数学上册 第一章《特殊平行四边形》纠错必备素材 (新版)北师大版
【纠错必备】特殊平行四边形矩形、菱形、正方形是三类特殊的平行四边形，有关性质与判定是其重要内容，初学时，不少同学会出现错误．本文将分类对常见判定误区进行剖析，供同学们学习时参考．一、有关矩形判定的误区例1 判断下列说法是否正确：（1）有三个角相等的四边形是矩形；（2）对角线相等的四边形是矩形．错解：（1）正确；（2）正确．剖析：（1）是把矩形的判定方法记错了，应是“有三个角是直角的四边形是矩形”，其中的条件是“三个角是直角”而不是“三个角相等”；（2）中错误地认为“对角线相等的四边形是矩形”，对矩形的判定方法理解不透彻．我们知道只有在平行四边形中加上“对角线相等”的条件，得到的才是矩形．正解：（1）错误；（2）错误．跟踪训练1下列说法中，错误的是【】A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等C．对角线垂直平分的四边形是矩形D．四个角都是直角的四边形是矩形二、有关菱形判定的误区例2 已知线段AB，试求作两点C、D，使四边形ADBC是菱形．错解：在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D，并且使C、D在线段AB的两侧，连接CA、CB、DA、DB，则四边形ADBC是菱形．剖析：错解错在对菱形的判定方法理解不透．在对角线垂直的条件下，必须说明四边形ADBC是平行四边形，才能保证四边形ADCB为菱形．作图过程只反映出CD平分AB，但AB 是否平分CD就不一定了，故四边形ADBC不一定为平行四边形，也就不一定为菱形了．正解：在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D，并且使AB平分CD，连接CA、CB、DA、DB，则四边形ADBC为菱形．跟踪训练2如图，已知在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC交于点E，∠B的平分线与AD交于点F，AE与BF交于点O．试说明四边形ABEF是菱形．三、有关正方形判定的误区例3 判断下列说法是否正确：（1）四条边相等的四边形是正方形；（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形．错解：（1）正确；（2）正确；（3）正确．剖析：（1）虽有四条边相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件是一角是直角，或其他判定既是菱形又是矩形的条件；（2）此题的错误是对正方形的判定方法不清楚造成的，对角线相等且互相垂直，但对角线不一定互相平分，故不能判定它是正方形；（3）片面应用了正方形的性质，虽然正方形的每一条对角线都平分每一组对角，但反过来就不成立了，它只能判定是菱形，还缺少一个再判断它是矩形的条件．正解：（1）错误；（2）错误；（3）错误．跟踪训练3下列四边形一定是正方形的是【】A．有一个角是直角的菱形B．有一个角是直角的平行四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相垂直的平行四边形答案1.C2．理由：先得到AE⊥BF，再得到四边形ABEF是平行四边形，即可得四边形ABEF是菱形．3．A。
北师大版九年级数学重难点梳理
北师大版九年级数学重难点梳理〔上册〕第一章特殊平行四边第一节菱形的性质与判定重难点：1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边形之间的联系。
2.会用菱形的性质和判定方法来进展有关的论证和计算，会用菱形的对角线来计算菱形的面积。
3.通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊〞与“一般〞的关系。
第二节矩形的性质与判定重难点：1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理2.矩形的轴对称性3.直角三角形斜边上的中线的性质4.矩形的判定〔难点〕第三节正方形的性质与判定重难点：1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。
2.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论，经历探索、猜测、证明的过程，开展推理论证能力。
第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程重难点：1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。
2.会将一元二次方程转化为一般形式，并能指出各项系数及常数项。
3.会用估算的方法求一元二次方程的近似解。
〔难点〕第二节用配方法求解一元二次方程重难点：1.用直接开平方法解一元二次方程2.配方法解一元二次方程3.配方法的应用〔难点〕4.求解简单的实际问题第三节用公式法求解一元二次方程重难点：1.一元二次方程的求根公式〔难点〕2.公式法解一元二次方程3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况第四节用因式分解法求解一元二次方程重难点：1.因式分解法解一元二次方程2.选择适当的方法解一元二次方程〔难点〕第五节一元二次方程的根与系数的关系重难点：1.知道一元二次方程的根与系数的关系。
能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和，两根之积及与两根有关的代数式的值。
2.能运用根与系数的关系由一元二次方程的一个根求出另一个根或由方程的根确定一元二次方程的系数。
第六节应用一元二次方程重难点：1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
北师大版初中数学九年级上册1.2 第2课时 矩形的判定3
北师大初中数学九年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！矩形的性质与判定【设计理念】根据新课程标准要求，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。
学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。
结合九年级学生的实际情况，本节课教学过程的教学设计分以下几点：1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，并能学以致用。
2、根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题，使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。
3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。
4、学生积极参与到课堂教学中来，动手动口动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获．【教材分析】1．在教材中的地位与作用生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛。
前面两节学习了矩形的性质与判定，为以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。
2．对教材的处理本节课主要是应用矩形的性质定理与判定定理解决相关问题，利用这节课来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。
转变学生的学习方式，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展。
在选题时, 遵循学生的认识规律, 照顾学生的接受能力, 配置由浅入深、由易到难的练习题。
教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富有个性的学习。
3．教学目标知识与技能：通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。
通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
过程与方法：通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。
情感态度与价值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。
北师大版九年级数学上矩形的性质与判定
2
2
∴OA=OD.∵∠AOD=120°，
ODA = OAD = 1 (180 -120) = 30. 2
又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），
∴BD=2AB=2×2.5=5.
• 归纳总结矩形的定义，性质定理. • 归纳总结直角三角形的性质定理. • 掌握几种证明线段相等的辅助线的作法.
1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC和BD相交 于点O，AB=6，OA=4，求BD与AD的长.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
2
2
思路：（3）利用中位线：
E
取AB的中点E，连接OE，
由中位线定理得OE∥BC，
所以OE⊥AB，
从而OE垂直平分AB，
所以OA=OB.
4. 直角三角形的性质小结： （1）直角三角形的两个锐角互余. （2）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和
等于斜边的平方. （3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
观察下面的图片，想一想：这里面应用了平行 四边形的什么性质？
1. 不管怎么拉动，它还是一个平行四边形吗？为什么？ 2. 当有一个角是直角的时候，这是什么图形呢？
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）.
互动探究一：探索பைடு நூலகம்形的性质定理
1.动手试验，发现问题： 在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分 别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对 不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
北师大版九年级上册《特殊的平行四边形》菱形、矩形、正方形复习讲义
菱形，矩形，正方形复习新知详解1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形也是特殊的平行四边形，故菱形具备平行四边形的多有性质。
除此之外，菱形的性质还有：菱形的性质一：边菱形的四条边相等。
菱形的性质二：对角线菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质三：对称性菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，菱形有2条对称轴。
例1：已知，如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。
(1)求证：AM=DM；(2)若DF=2，求菱形ABCD的周长。
练习1：如图所示，菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2．求：（1）较短对角线的长；（2）一组对边的距离。
例2：如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．练习2：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，求△AEF 的周长。
第21题图A BCDEFMFADEBC例3：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．练习3：已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=030，菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.小结：S菱形ABCD =AB× DE或S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD = AC×BD （菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形例2：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．菱形判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形例3：如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．ABCDO练习1：如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD。
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矩形、菱形、正方形错例辨析
在初学矩形、菱形、正方形这部分内容时，由于对这几个图形的性质和判定掌握不够好，常出现这样或那样的错误，现举例辨析，供学习时参考．
例1 两条对角线相等的四边形是（ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．不能确定
错解：选C ．
辨析：两条对角线相等的图形不一定是矩形，如图1，可以是
不规则的四边形，图中对角线AC =BD ．
正解：选D ．
例2 对角线_____________的四边形是菱形．
错解：互相垂直．
辨析：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图2就不是菱形，应强调垂直且互相平分．
正解：垂直且互相平分．
例3 正方形ABCD 中，两条对角线的交点为O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形的边长是2cm ，则DE 的长是（ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．3cm
D ．32cm 错解：选D ．
辨析：如图3，把E 当作OB 的中点，这样由勾股定理可以算出222222BD =
+=（cm ），1322222
DE OD OE =+=+=（cm ），这是错误的． 本题应先推出∠DAE =∠DEA （∠EAD =∠OAD +∠OAE =67.5°=∠OBA +∠BAE =∠DEA ），所以△DAE 是等腰三角形，DE =DA =2cm ．
正解：选B ．
例4矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形吗？为什么？
错解：不是正方形．因为只能判定四个角是直角，不能判定四边相等，所以是矩形而不是正方形．
辨析：错解的原因是对概念掌握的不好．本题的条件不但能判定四个角是直角，还能判定四边相等，如图4．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°．
∴∠1=∠2= 1
2
∠DAB=45°，∠3=∠4=
1
2
∠ABC=45°．
∴∠MEN=∠AEB=90°．
同理∠N=∠M=90°．
∴四边形EMFN是矩形．
∵∠1=∠3，∴AE=BE．
∵∠2=∠4，AD=BC，
∴Rt△AMD≌Rt△BNC．
∴AM=BN．
∴EM=AM-AE=BN-BE=EN．
∴四边形EMFN是正方形．
正解：是正方形．证明过程如上．。