新疆维吾尔自治区吐鲁番市高昌区第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

高昌区二中2019—2010年第一学期期末考试数学（文理）试卷一、单项选择题：（本大题共16个小题，每小题3分，共48分）1.已知集合{|}4M x N x =∈<，{}1,3,4N =，那么M N ⋂等于（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}1,3D. {}0,1,2,3,4 【答案】C【解析】【分析】根据题意求出{}4{|}0,1,2,3M x N x ==∈<，即可求得M N ⋂.详解】由题：{}4{|}0,1,2,3M x N x ==∈<，所以M N ⋂={}1,3.故选：C 【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于根据描述法表示的集合准确得出集合中的元素. 2.下列四个函数中，在区间()0,+?上为减函数的是（ ） A. 1y x = B. 12y x = C. 2y x = D. y x =【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的性质即可判定函数的单调性.【详解】根据幂函数的性质，当0a <时，a y x =在区间()0,+?上为减函数， 结合四个选项：11y x x -==满足题意. 故选：A【点睛】此题考查幂函数的性质的判定，判断函数在()0,+?的单调性，需要熟练掌握幂函数的基本性质. 3.函数()f x 是实数集R 上奇函数，若()22f =，则()2f -=（ ）【A. 2B. 2-C. 0D. 2或2-【答案】B【解析】【分析】 根据奇函数的性质()2f -=()22f -=-即可得解.【详解】函数()f x 是实数集R 上的奇函数，若()22f =，则()2f -=()22f -=-.故选：B【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇函数的特点满足()()f x f x -=-求值. 4.()cos 570-︒的值为（ ）A. 12B.C. 12-D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数诱导公式化简可得()cos 570cos150-︒=︒，即可求解.【详解】由题：()()()()cos 570cos 570cos 720150cos 150cos150-︒=︒=︒-︒=-︒=︒=. 故选：D【点睛】此题考查求三角函数值，关键在于熟练掌握诱导公式的使用，可以记住口诀“奇变偶不变，符号看象限”.5.已知等差数列{a n }中，a 2＝7＝a 4＝15，则前10项和S 10＝( )A. 100B. 210C. 380D. 400 【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则4228d a a =-=，解得4d =，所以12743a a d =-=-=，所以数列{}n a 的前10的和为101109101034542102S a d ⨯=+=⨯+⨯=，故选B ． 6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A. 3B. 9C. 27D. 64【答案】C【解析】【分析】 根据题意，模拟程序的运算情况，即可得出输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环32,28n M ===，不满足判断条件；第二次循环33,327n M ===，满足判断条件，终止循环，输出结果27M =，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.过点()2,3A 且垂直于直线250x y +-=的直线方程为（ ）A. 240x y -+=B. 270x y +-=C. 230x y -+=D. 250x y -+=【答案】A【解析】【分析】 过点()2,3A 且垂直于直线250x y +-=的直线方程的斜率为12，由直线的点斜式方程，即得解. 【详解】过点()2,3A 且垂直于直线250x y +-=的直线方程的斜率为12，由直线的点斜式方程： 13(2)2y x -=-，即240x y -+= 故选：A【点睛】本题考查了过定点与已知直线垂直的直线方程，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.8.双曲线22916144xy -=的渐近线方程是（ ） A. 916y x =± B. 43y x =± C. 169y x =± D. 34y x =? 【答案】D【解析】【分析】 先写出双曲线的标准方程221169x y -=得2216,9a b ==，即可得出其渐近线方程. 【详解】由22916144x y -=得：221169x y -=，2216,9a b == 所以其渐近线方程为34y x =?. 故选：D 【点睛】此题考查求双曲线的渐近线方程，关键在于准确写出双曲线的标准方程，根据公式即可得渐近线方程.9.过点()1,2-的抛物线的标准方程是（ ）A. 24y x =或21=2x y B. 24y x = C. 24y x =或212x y =- D. 212x y =- 【答案】C【解析】由于点()1,2-在第四象限，故抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上，则标准方程可分别设为()21120y p x p =>，()22220x p y p =->，代入点()1,2-，分别可得124p =，2122p =，故选C. 考点：求抛物线的标准方程.10. 某几何体的三视图如图所示,且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是( )A. 16B. 12C. 8D. 6【答案】B【解析】 【思路点拨】由俯视图可知,该几何体是由四棱柱从中挖掉一个三棱柱所得到的几何体.解:该几何体是一个四棱柱挖去一个三棱柱后得到的几何体,其体积为2×3×4-×2×3×4=12.11.已知向量()sin ,2a θ=-r ，向量()1,cos b θ=r ，且a b ⊥r r ，则tan θ的值为（ ）A. 2B. 2-C. 12D. 12- 【答案】A【解析】【分析】根据向量的垂直关系求得数量积为0，由同角三角函数关系即可求得正切值.【详解】由题：向量()sin ,2a θ=-r ，向量()1,cos b θ=r ，且a b ⊥r r ，0a b ⋅=r r ，即sin 2cos 0θθ-=，若cos 0θ=则sin 0θ=，与22sin cos 1θθ+=矛盾；所以cos 0θ≠，sin 2cos θθ=，tan θ=2.故选：A【点睛】此题考查根据向量垂直关系坐标表示建立等量关系，根据同角三角函数的基本关系求正切值，需要熟练掌握向量数量积的运算.12.某校有男生450人，女生500人，现用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为95的样本，则抽出的男生人数是（ ）A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的比例关系即可求解.【详解】由题设抽出的男生人数为x ， 则95450450500x =+， 解得：45x =故选：A 【点睛】此题考查分层抽样，根据抽样比求抽得的人数，关键在于熟练掌握分层抽样的方法，建立等式求解. 13.将函数1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π，所得图象对应的表达式为（ ） A. 1sin 2y x = B. 1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的C. 1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. 12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】【分析】 根据函数的平移方式向右平移3π得到1sin 233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得解. 【详解】函数1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π， 得到函数为11sin sin 23326y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】此题考查函数的平移，根据平移方式求函数解析式，熟记口诀“左加右减”，正确使用即可求得解析式.14.在三棱柱ABC­A 1B 1C 1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D【解析】【详解】如图，建立空间直角坐标系，易求点D .平面AA 1C 1C 的一个法向量是n r ＝(1，0，0)，所以cos 〈n r ，〉＝＝，则sin α＝. 15.20.3，2log 0.3，0.32这三个数之间的大小关系是（ ）A. 20.32log 0.30.32<<B. 0.322log 0.320.3<<C. 20.320.3log 0.32<<D. 20.320.32log 0.3<<【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行比较大小. 【详解】由题：2log y x =在定义域内单调递增，22log 0.3log 10<=，0.3x y =在定义域内单调递减，2000.30.31<<=，2x y =在定义域内单调递增，0.30221>=，所以20.32log 0.30.32<<.故选：A【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的单调性，依据单调性和中间值进行大小比较.16.下列四种说法中，错误的个数是（ ）①命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”；②命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件；③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真；④若实数x ，[]0,1y ∈，则满足221x y +>的概率为4π. A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】C【解析】【分析】 根据题意，①②说法正确，若0m =③错误，根据古典概型④概率应该为14π-.【详解】命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”，所以①正确；命题“p q ∨为真”即p ，q 至少有一个为真，不能推出命题“p q ∧为真”，命题“p q ∧为真”则p ，q 全为真，能够推出命题“p q ∨为真”，所以命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，所以②正确；“若22am bm <，则a b <”的逆命题是：若a b <，则22am bm <，当0m =时不成立，所以该逆命题不是真命题，所以③不正确；若实数x ，[]0,1y ∈，有序数对(),x y 对应平面内的点形成的区域面积为1，如图：其中扇形区域不满足221x y +>，面积为4π，深色区域符合题意， 则满足221x y +>的概率为14π-，所以④不正确.故选：C 【点睛】此题考查命题的真假判断，涉及全称命题的否定，含有逻辑连接词的命题真假判断，不等式的性质辨析，求几何概型，涉及知识面比较广.二、填空题：（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）17.同时掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚出现正面的概率是____________. 【答案】34【解析】【分析】列出所有基本事件，得出至少有一枚出现正面包含的基本事件个数，即可求得概率.【详解】两枚硬币出现的结果可能为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共四种情况， 至少有一枚出现正面包含三种情况， 所以至少有一枚出现正面的概率是34.故答案为：34【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确得出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，常用列举法求解简单题目.18.已知钝角ABC ∆的面积为2AB =，4BC =，则该三角形的外接圆半径为______.【答案】3【解析】【分析】根据面积公式求得sin B =，结合钝角三角形分类讨论角B 的取值，结合正弦定理即可得解.【详解】由题ABC ∆的面积为124sin 2B ⨯⨯⨯=sin 2B =，若3B π=，根据余弦定理AC == 结合正弦定理sin sin AC BC B A =得sin 1,2A A π==，三角形为直角三角形与题目钝角三角形矛盾，所以23B π=，根据余弦定理AC ==根据正弦定理可得：该三角形的外接圆半径为2123sin 3π⨯=.【点睛】此题考查利用正余弦定理结合三角形面积公式求解三角形，尤其注意三角形为钝角三角形不一定是B 为钝角，需要分类讨论清楚再求解.19.若关于x 的不等式()()120mx x -->的解集为1|2x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则m 的取值范围是______. 【答案】0m <【解析】【分析】结合二次函数性质，根据函数开口方向分析解集情况即可得解.【详解】由解集可得0m ≠，考虑二次函数()()12y mx x =--，若0m >，二次函数开口向上，()()120mx x -->的解集不可能为1|2x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 所以必有0m <且12m<， 所以0m <.故答案为：0m <【点睛】此题考查根据二次不等式的解集求参数的取值范围，将问题转化为分析二次函数开口的问题求解. 20.一个火柴盒长、宽、高分别为为3cm 、2cm 、1cm ，一只蚂蚁从火柴盒的一个角A 处，沿火柴盒表面爬到另一个角B 处，所经过的最短路径长为__________cm .【答案】【解析】【分析】将火柴盒所在的长方体进行表面展开，使AB 在同一个矩形的对角线端点，共有三种不同的矩形，求出对角线长即可得到最短路径.【详解】展开火柴盒所在长方体的表面，使AB 在同一个矩形的对角线端点，这样的不同矩形共有三个，其对角线长度分别为： 这种情况对角线长为41625+=，这种情况对角线长为12526+=，这种情况对角线长为9932+=所以最短路径故答案为：【点睛】此题考查求物体表面的最短路径，常用办法是展开成平面图形，利用两点之间线段最短求最短路径.三、解答题：（本大题共5题，每题8分共40分）21.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；＝3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【答案】（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．22.已知3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值；（2）求3tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）2425-；（2）17- 【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系求出4cos 5α==，根据二倍角公式即可得解； （2）结合（1）求出3tan 4α=-，利用两角差的正切公式求解. 【详解】（1）3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==， 所以24sin 22sin cos 25ααα==-； （2）由（1）可得3tan 4α=-， 3131tan 14tan 341tan 714πααα-+--⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭+ 【点睛】此题考查根据已知三角函数值求三角函数值，关键在于熟练掌握同角三角函数基本关系，二倍角公式以及和差公式.23.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是正方形PD ⊥平面ABCD 且PD AD =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（3）求二面角A PB C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45°；（3）120°【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算PB AC ⋅=u u u r u u u r0即可证明垂直关系； （2）利用向量求出cos ,PA BC PA BC PA BC⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即可得到异面直线所成角； （3）求出两个半平面的法向量，根据法向量所成角的大小求二面角的大小.【详解】（1）由题：底面是正方形AD DC ⊥，PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两互相垂直，且PD AD =以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，设PD AD ==1，所以()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1D A B C P()()1,1,1,1,1,0,110PB AC PB AC =-=-⋅=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PB AC ⊥u u u r u u u r ，即PB AC ⊥；（2）()()1,0,1,1,0,0,cos ,2PA BC PA BC PA BC PA BC⋅=-=-===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以,PA BC u u u r u u u r夹角为135°，即异面直线PA 与BC 所成角45° （3）设平面PAB 的法向量(),,n x y z =r ，则00PA n x z PB n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1x =，则()1,0,1n =r ， 设平面PCB 的法向量(),,m a b c =u r ，()0,1,1PC =-u u u r则00PC m b c PB m a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u r u r u u u r u r ，取1c =，则()0,1,1m =u r ，所以1cos ,2m n m n m n⋅===⋅u r r u r r u r r ， 即法向量所成角为60°所以二面角A PB C --的大小为120°【点睛】此题考查空间直线垂直的证明，求异面直线的夹角，求二面角的大小，建立空间之间坐标系利用向量求解简便易行.24.在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S【答案】（1）数列的首项为1，公比为3；（2）312n n S -= 【解析】【分析】（1）根据题中所给关系，列方程组22113324a a a a a -=⎧⎨=+⎩，即可求解； （2）根据等比数列求和公式求出数列{}n a 的前n 项和n S .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，q ≠0，212a a -=，且22a 为13a 和3a 等差中项.22113324a a a a a -=⎧⎨=+⎩即112111243a q a a q a a q -=⎧⎨=+⎩解得：113a q =⎧⎨=⎩， 即该数列的首项为1，公比为3；（2）由（1）所以13-=n n a ，所以数列{}n a 的前n 项和1331132n n n S --==- 【点睛】此题考查等比数列基本量的计算，求数列的前n 项和，关键在于熟练掌握基本公式，根据方程组正确求解.25.已知点()21M ,）和直线:5l x y -=.（1）求以M 为圆心，且与直线l 相切圆M 的方程；（2）过直线5y x =+上一点P 作圆M 的切线PA 和PB ，其中A 和B 为切点，求当四边形PAMB 的面积最小时点P 的坐标.【答案】（1）()()22218x y -+-=；（2）()1,4P -【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，求出圆的半径，即可得到圆的方程；（2）将四边形的面积表示出来得，取得最小值的条件是当PM 与直线5y x =+垂直时，建立方程组即可求解.【详解】（1）点()21M ,到直线:5l x y -==，以M 为圆心，且与直线l 相切的圆M 的半径为所以圆M 的方程()()22218x y -+-=；（2）由题：四边形PAMB的面积1122PAMB PAM PBM S S S AM PA BM PB PA ∆∆=+=+== 要使四边形的面积最小，即PM 最小，当PM 与直线5y x =+垂直时取得最小值，的设()5,,112y x P x y y x =+⎧⎪-⎨=-⎪-⎩解得14x y =-⎧⎨=⎩ 所以()1,4P -【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，通过直线与圆相切求圆的半径，将四边形的面积转化为求圆心到直线距离的取值范围，涉及等价转化思想.。