高中数学(人教版B版·必修5)配套练习：2.3等比数列 第3课时

2.3等比数列 第3课时一、选择题1．已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 [答案] D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或12. ∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2.∴S 8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510. 2．(2014·全国大纲理，10)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] C[解析] 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是a n ＝2×(52)n －4，设b n ＝lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S 8＝8(b 1＋b 8)2＝8(lg2－3lg 52＋lg2＋4lg 52)2＝4. 3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( )A ．－4B ．－1C ．0D ．1 [答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ，a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12，a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48，由已知得a 22＝a 1a 3，∴144＝48(4＋a )，∴a ＝－1.4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 公式q 3＝a 5a 2＝2439＝27，q ＝3，a 1＝a 2q＝3， S 4＝3(1－34)1－3＝120. 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( ) A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116D ．158 [答案] C[解析] 显然q ≠1，∴9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴{1a n }是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－(12)51－12＝3116. 6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝27，则S 9＝( )A ．81B ．72C ．63D ．54[答案] C[解析] ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∴9,18，S 9－27成等比数列，∴182＝9(S 9－27)，∴S 9＝63.故选C ．二、填空题7．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________. [答案] 15[解析] 设数列{a n }的首项为a 1，则S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1，a 4＝a 1·(12)3＝18a 1， ∴S 4a 4＝158a 118a 1＝15. 8．(2013·北京理，10)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______，前n 项和S n ＝______.[答案] 2 2n ＋1－2 [解析] 本题考查等比数列的通项公式求和公式及性质的应用问题．∵a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q ＝2，再根据a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20有a 1＝2，所以a n ＝2n ，利用求和公式可以得到S n ＝2n ＋1－2. 三、解答题9．在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求数列{a n }的前8项和．[解析] 解法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n ＝a 1q n －1，由已知条件得 a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24，①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64，∴a 1q 3＝±8. 将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，没有实数q 满足此式，故舍去．将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2.当q ＝2时，得a 1＝1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝255； 当q ＝－2时，得a 1＝－1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝85. 解法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得a 24＝a 3·a 5＝64， ∴a 4＝±8，a 6＝24＋a 4＝24±8.因为{a n }是实数列，所以a 6a 4＞0， 故舍去a 4＝－8，而a 4＝8，a 6＝32，从而a 5＝±a 4·a 6＝±16.公比q 的值为q ＝a 5a 4＝±2， 当q ＝2时，a 1＝1，a 9＝a 6q 3＝256，∴S 8＝a 1－a 91－q＝255； 当q ＝－2时，a 1＝－1，a 9＝a 6q 3＝－256，∴S 8＝a 1－a 91－q＝85.一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A ．2B ．73C ．83D ．3[答案] B[解析] ∵S 6S 3＝3，∴S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝2， ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比，∴S 9－S 6S 3＝22， ∴S 9＝4S 3＋S 6＝7S 3，∴S 9S 6＝7S 33S 3＝73，∴选B ． 2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12 [答案] C[解析] 当q ＝1时，满足题意．当q ≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝7a 1(1－q 3)1－q ＝21，解得q ＝－12，故选C ． 3．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( )A ．7B ．9C ．63D ．7或63 [答案] D[解析] 由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(21－S 10)2＝S 10(49－21)，∴S 10＝7或63.4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．323(1－4－n ) D ．323(1－2－n ) [答案] C [解析] 本题主要考查等比数列的性质及求和运算．由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14， 又a 1·a 2＝4×2＝8，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－(14)n ]1－14＝323(1－4－n )．二、填空题5．等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.[答案] 13(4n －1) [解析] ∵a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－S 1＝3－1＝2，∴公比q ＝2.又∵数列{a 2n }也是等比数列，首项为a 21＝1，公比为q 2＝4，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 22－S 11＝________.[答案] －65[解析] S n ＝－4－4－4＋…＋(－1)n －1(4n －3)， ∴S 22＝－4×11＝－44，S 11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，∴S 22－S 11＝－65.三、解答题7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解析] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2，∴q ＝1不满足题意．∴2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 2)1－q， 解得q ＝－12. (2)由(1)知q ＝－12， 又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3， ∴a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83[1－(－12)n ]． 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，S 6＝632.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q ＝72a 1(1－q 6)1－q ＝632， 解得q ＝2，a 1＝12. ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2. (2)b n ＝6n －61＋log 22n －2 ＝6n －61＋n －2＝7n －63.b n －b n －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7，∴数列{b n }是等差数列．又b 1＝－56，∴T n ＝nb 1＋12n (n －1)×7 ＝－56n ＋12n (n －1)×7 ＝72n 2－1192n . 9．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝1，S 8＝17，求S n .[解析] 设{a n }公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17，知q ≠1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 4)1－q ＝1a 1(1－q 8)1－q ＝17，两式相除并化简，得q 4＋1＝17，即q 4＝16.∴q ＝±2.∴当q ＝2时，a 1＝115，S n ＝115(1－2n )1－2＝115(2n －1)； 当q ＝－2时，a 1＝－15，S n ＝－15[1－(－2)n ]1＋2＝115[(－2)n －1]．。