4.1一元一次方程模型1234
4.1一元一次方程模型
4.1 一元一次方程模型教学目标【知识与技能】1．在具体情景中感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
2．通过观察、归纳一元一次方程的概念。
3 会从简单的实际问题中建立一元一次方程模型。
【过程与方法】经历把具体问题转化为一元一次方程的过程，体验和掌握把实际应用题抽象成数学问题的方法。
【情感态度与价值观】通过对具体问题的解答，逐渐体会列方程的特点，激发学生学习、接受知识的强烈愿望与热情。
教学重、难点重点：体会方程模型的重要性，了解一元一次方程的概念。
难点：根据实际问题建立一元一次方程模型。
教学过程一、激情引趣，导入新课。
上图中，如果足球有12个黒块，你能求出有几个白块吗？学了第4章一元一次方程这个问题就能迎刃而解了。
在这一章中，我们主要学习一元一次方程的概念、算法、应用。
二合作交流，探究新知主题一、方程的有关概念想一想：（1）如图是一个长方体形的电视机包装盒，它的底面宽为1米，长为 1.2米，且包装盒的表面积为6.8平方米，你能求出这个电视机包装盒的高吗？【分析】从图中可以看出，这个电视机包装盒的表面是由6 个长方形纸板围成的，所以它的表面积是这6 个长方形面积的和。
【思考】1、如果设包装盒的高为ｘm，你能用一个代数式表示这6 个长方形面积的和吗？【答】这6 个长方形面积的和为（２ｘ＋２．４ｘ＋２．４）m2．2、已知这个包装盒的表面积为６．８m2，因此，根据题意，可以得出什么结论？【答】2x+2.4x+2.4=6.8归纳：1、已知数与未知数：等式2x+2.4x+2.4=6.8中，2,2.4,6.8 叫已知数．2、方程：字母x 表示的数，在解决这个问题之前还不知道，把它叫作未知数．我们把含有未知数的等式叫作方程（ｅｑｕａｔｉｏｎ）．如:4x+(x+4)=8,x+5=8, ，x-2y=6，32x-y2=120 中，ｘ，ｙ都是未知数，这些等式都是方程．3、建立方程：先把所要求的量用字母ｘ（或ｙ等）表示，然后根据问题中的等量关系，列出含有所要求的量的等式，这叫作建立方程．【观察】方程：2x+2.4x+2.4=6.8，4x+(x+4)=8,x+5=8,共同的特点是什么？【答】这些方程都只含有一个未知数，未知数的指数是1.4、像方程2x+2.4x+2.4=6.8，4x+(x+4)=8, x+5=8， 只含有一个未知数， 并且未知数的次数（即指数） 是１， 我们把这样的方程叫作一元一次方程（linear equation withone unknown ）．【思考】x=3,x=5时，方程x+5=8的左边和右边相等吗？【答】当x=3时，方程的左边x+5=3+5=8,右边=8，左边=右边。
湘教版七年级上4.1 一元一次方程模型 优质课件PPT
数（即指数）是1，这样的方程叫一元
一次方程 2021/02/01
3
x4 2 2 x2 10 y 2 沙4场点兵 7
谁有资格进入方程乐园？
之牛刀小试
3xxx 7x12 2y 269
2021/02/01
4
沙场点兵
将方程分类.
之牛刀小试
(提示:按不同未知数的个数和未知数的指数分)
2(x+100)＝600 ,(x+200)+x+(x -448)＝30064 –x2=-9 , x-2y=6 , 4x+(x+4)=8, x+5=8 , 32x-y2=120
(建立问题中的方程）
2021/02/01Fra bibliotek11恒心步步登高峰
你能说出一个解为4的方程吗?
2021/02/01
12
畅谈收获
友情提示：你学到了哪些数学知识？这堂课 你学得怎么样？你们小组表现如何？你有什 么感受等？
2021/02/01
13
曹建华制作 QQ：
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
求方程解的过程叫作解方程
2021/02/01
6
之乘胜追击
沙场点兵
例1. 检验下列各数是不是方程x-3=2x-8的解？
1） x=5
2） x=-2
解（1）把(
)代入方程的左右两边，
左边=(
)， 右边=(
)，
( )=( )。
所以(
)是方程x-3=2x-8的解。
（2）
代入
计算
比较
2021/02/01
判7断
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一元一次方程模型与算法讲义
学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级： 七年级 课时数： 3学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课 题一元一次方程模型与算法 授课时间：备课时间： 教学目标 1．在具体情景中感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
2．通过观察、归纳一元一次方程的概念。
重点、难点 重点：体会方程模型的重要性，了解一元一次方程的概念。
难点：正确理解方程作为解决实际问题的数学模型的作用。
考点及考试要求 掌握解一元一次方程的方法，用一元一次方程解简单的应用题一、建立一元一次方程模型（一）一元一次方程的概念想一想1. 观察下面方程的特点（1）4x =24； （2）1700+150x=2450（3）0.52x-(1-0.52x)=80思考：这些方程之间有什么共同特点？小结：象上面方程，它们都含有 1 个未知数（元），未知数的次数都是 1 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。
（即方程的一边或两边含有未知数）做一做1. 判断下列是不是方程,是打“√”，不是打“×”：①3+x ；（ ） ②3+4=7；（ ）③y x -=+6132；（ ） ④61=x；（ ） 2.下列各式中，哪些是一元一次方程？（1） 5x=0 （2）1+3x（3）y ²=4+y （4）x+y=5（二）方程的解如何求出使方程左右两边相等的未知数的值？如方程3+x =4中，x =？解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
拓展提升例1. 检验2和-3是否为方程1332+=+x x 的解。
解：当x=2时， 当x=3-时，左边= = ， 左边= = ，右边= = ， 右边= = ，∵左边 右边（填＝或≠） ∵左边 右边（填＝或≠）∴x=2 方程的解（填是或不是） ∴x=3 方程的解（填是或不是）【知识结构图】定义一元一次方程 方程的解解方程【当堂检测】1.判断下列是不是一元一次方程,是打“√”，不是打“×”：①3+x =0；（ ） ② 132=+-x ；（ ）③y x -=+6132； （ ） ④02=x ； （ ） ⑤1082->-x ； （ ） ⑥3+4x =7x ；（ ）2. x=1是下列方程（ ）的解：（A ）21=-x ， （ B ）x x 3412-=-，（C ）4)1(3=--x ）， （ D ）254-=-x x3. 检验3和-1是否为方程)1(21-=+x x 的解。
建立一元一次方程模型教学课件
【跟踪训练】
1.判断下面的方程是不是一元一次方程.
(1) 23 x 7 (3) y 3 6y 9 （5）x2 1
(2) 2a b 3
（4）0.32m - (3 0.02m) 0.7
（6）1 y - 4 1 y
2
3
2.根据下列问题，设未知数并列出方程. （1）用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方
【跟踪训练】
你知道什么 叫方程吗？
含有未知数的等 式—方程
你能举出一些方 程的例子吗？
１．判断下列式子是不是方程,是的打“√”,不是
的”×”.
(1)1+2=3 ( × ) (2)1+2x=4 ( √ )
(4) x 2 1 ( × ) (5)x+y=2 ( √ )
(3)x+1-3 ( × )
(6)x2-1=0 ( √ )
1.方程x=3是下列哪个方程的解？（ C ）
(A)3x+9=0
(B)x=10-4x
(C)x(x-2)=3 (D)2x-7=12
2.方程 x 6 的解是（ C ）
2
(A)-3
(B)12
(C)-12
(D) 1
3
3.小芬买15份礼物，共花了900元，已知每份礼物内有1
包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支，若每包饼干的售价
形的边长是多少？
解：设正方形的边长为x c丝围成一个长方形，使它 的长是宽的1.5倍，长方形的长，宽各是多少？ 解：设长方形的宽为x cm，则它的长为1.5x cm，
根据题意得：2(x+1.5x)=24
（2）一台计算机已用了1 700小时，估计每月再使 用150小时，经过多少月后这台计算机的使用时间 到达规定的检修时间2 450小时？
一元一次方程模型
多
来
(3) x＋y＝5， 来
(5) x 6 2多
(4) 2x＋1 来
(6) 1 3 x来
方程两边都是整式
一元一次方程的特征 只含有一个未知数
未知数的次数是1
知识点三：方程的解
在方程2x +60= x+120中，有两位同学分别 得出不同的答案: 甲同学 x=60,乙同学x=30. 请问，哪个同学的对？哪个的不对？
(5) 2x-2=6 叫做方程。
方程特征:
知识点二：建立方程
甲
乙 如图，甲乙两站之间的高速
铁路长1068km,高速列车从 行驶2.5 h 318 km 甲站开出2.5h后，离乙站还
有318km,该高速列车的平
均速度是多少？ 还有其他方法
建立方程吗？
已行驶的路程+剩余的路程=全长
设高速列车的平均速度为Xxkkmm/h ,则根据题
3.1 一元一次方程模型
大树坳中学 肖亮民
方程史话
. “元”的概念：
宋元时期，中国数学家创立了 “天元术”，用“天元”表示未知 数进而建立方程。这种方法的代表 作是数学家李冶写的《测圆海镜》 （1248），书中所说的“立天元一” 相当于现在的“设未知数x。”所以 现在在简称方程时，将未知数称为 “元”，如一个未知数的方程叫 “一元方程”。而两个以上的未知 数，在古代又称为“天元”、“地 元”、“人元”。
所以，有：2.4x+2x+2.4 = 6.8
像上面这样，把所要求的量用字母x（或 y ……）表示，根据问题中的等量关系列 出方程，这个过程叫做建立方程。
知识点三：一元一次方程
学生活动：讨论下列方程有什么共同特点 （1）3+b=2b+1 （2）4+x=7 (3) 2x-2=6
一元一次方程模型
确定变量的范围
根据问题背景和实际情况， 确定变量的取值范围。
建立变量间的关系
根据问题要求，建立变量 间的数学关系，为建立方 程做准备。
建立方程
根据问题背景和变量间的关系， 列出方程式。
根据已知条件和数学定理，对方 程进行化简和整理。
检查方程的正确性：验证方程是 否符合实际情况和数学原理，确
保方程的合理性和正确性。
将二次方程化为一个完全平方的形式， 然后求解。
因式分解法
将二次方程化为两个一次方程，然后 求解。
高次方程的解法
降次法
通过移项、合并同类项等方式， 将高次方程化为低次方程，然后
求解。
逐次逼近法
通过设定初始值，逐步逼近方程的 解。
近似解法
对于无法精确求解的高次方程，采 用近似解法，如泰勒级数展开等。
分式方程的解法
要点三
示例
一个工厂生产某种产品的总成本为 100元，售价为150元，若售出x件产 品，则利润为50x-100元。当售出多 少件产品时，利润达到最大值？通过 建立一元一次方程模型，利用代数法 求解得到x=4时，利润达到最大值。
05
一元一次方程的扩展
二次方程的解法
公式法
配方法
通过公式求解二次方程，公式为$x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
示例
解方程x+2y=5。在坐标系中画出直线y=-x/2+5/2，与y轴交于点(0,2.5)，因此方程的解为 x=0, y=2.5。
实际应用中的解法
要点一
定义
实际应用中的解法是根据具体问题的 实际情况，选择适当的数学模型和求 解方法来解决问题。
要点二
一元一次方程课件20张PPT
WENKU DESIGN
代数问题
代数式化简
通过一元一次方程，我们 可以对代数式进行化简， 简化计算过程。
解方程
一元一次方程是解代数方 程的基础，通过解一元一 次方程，我们可以找到代 数方程的解。
方程组求解
利用一元一次方程，我们 可以求解更复杂的方程组， 找到多个未知数的值。
实际问题
比例问题
利润和折扣问题
培养学生对数学的兴趣 和热爱，提高数学素养。
PART 02
一元一次方程的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
定义与形式
定义
一元一次方程是只含有一个未知 数，且该未知数的次数为1的方程 。
形式
ax + b = 0，其中a和b是已知数， x是未知数。
方程的解与根
解的概念
满足方程的未知数的值称为方程的解。
移项法
总结词
通过将方程两边的同类项进行移动，使得未知数的系数为1，从 而求解未知数。
详细描述
移项法是一元一次方程中最常用的解法之一。具体操作是将含 有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边，使得 未知数的系数为1，从而可以通过简单的除法计算得出未知数的 值。
合并同类项法
总结词
通过将方程两边的同类项进行合并，简化方程的形式，从而更容易求解未知数。
历史背景
一元一次方程是数学中一 个基础而重要的概念，起 源于古代数学，是代数和 数学分析的基础。
重要性
一元一次方程在日常生活 和科学研究中有着广泛的 应用，是解决实际问题的 重要工具。
课程目标
01
掌握一元一次方程的基 本概念和性质。
02
学会解一元一次方程的 方法。
《一元一次方程》_PPT课件下载人教版13
小结
进一步认识了方程及其解的概念 理解了一元一次方程的概念 会列（简单数量关系）一元一次方程
会检验一个数是否是一元一次方程的解
……
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课堂作业
1、下列各式中，哪些是一元一次方程？
游乐场
导入
太棒了！里面有好
多游戏哦.
小猫与小熊是一对好朋友！ 他们决定本月28号要去离 家很远的游乐场旅行……
今天是20号，再过
是 指
几天是28号呢？
含
有
想一想?
未
知
数
的
等
式
问题1：设再过x天是28号，可列出
方程 20+x=28
终于盼来了这一天
坐出租车到车站花了5元,又 买了两张去游乐场的车票, 总共花去了13元. 问:去游乐场的每张车票要 多少元?
笔（20-x ）支，由题意得： 0.3x+0.6（20-x）=9
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旅行结束了，大家 一起来说说今天收 获了什么?
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①只含有一个未知数 ②未知数的次数是1； ③是整式方程.
1、判断下面的方程是不是一元一次方程？
（1） 5x=0
（2）1+3x
（3） y²=4+y
（4）x+y=5
（5） 3m+2=1–m （7） 1 1 0
x
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4、列方程：某数χ的相反数比它的 大1， 4 求某数。
解：-χ =
3 4
3
χ+1
知识点四：方程的解与解方程
奥运冠军朱启南 在雅典奥运会男 请思考 子10米气步枪决 设第9枪的成绩为x环,可 赛中最后两枪的 列出方程 。 平均成绩为10.4 x 10 . 1 环，其中第10枪 10 . 4 2 (最后一枪)的成绩 X 为10.1环,问第9枪 的成绩是多少环？ =
巩固练习
看看你的运气如何？
要求：判断你所钓到的t的值是否是 2t＋1＝7－t的解？
（1 ）t＝-2 （2） t＝2 (3)t=1
由此可知，t＝2是 2t＋1＝7－t的解。
试一试
判断对错:
错
⑴ x=2是方程x-10=4x的解。 ⑵ x=3和x=-3都是方程 x 9 0 的解。
2
对
⑶ 方程12﹙x-3﹚-1=2x+3的解是x=3.
方程两边都是整式
2x+2.4x+2.4=6.8 只含有一个未知数
未知数的指数是一次
小试身手
1.下列各式中，哪些是一元一次方程？ （1） 5x=0 （2）1+3x
（3）y² =4+y （5）
1 X 4X
（4）x+y=5 （6）4x +(x+4)=10-2
小试身手
2、方程3x m-2 + 5=0是一元一次方程，则代数式 4m-5=_____。 7
判断方程的两要素： ①有未知数 ②是等式
知识点二:建立方程模型
奥运冠军朱启南 想一想 在雅典奥运会男 子10米气步枪决 (根据下列问题中的条件列出方程 ) 赛中最后两枪的 解：设第9枪的成绩为x环,可列 平均成绩为10.4 环，其中第10枪 出方程: 。 (最后一枪)的成绩 为10.1环,问第9枪 x 10 . 1 的成绩是多少环？ 10 . 4 2
使方程左右两边的值相等的未 知数的值叫做方程的解.
列表如下：
x
x 10 . 1 2
10.5 10.6 10.7 10.8 10.9
10.3 10.35 10.4 10.45 10.5
x 10 . 1 2 10 . 4 的解
可以知道x=10.7是方程
这种尝试检验的方法是解决 问题的一种重要的思想方法。
畅所欲言
能说出你这节课的收获和体验 让大家与你分享吗？
我知道了……
我感到困难的是……
1、方程（含有未知数的等式） 2、建立方程模型 3、一元一次方程（三要素：一 个未知数、一次、两边整式） 4、方程的解 5、如何解一元一次方程（尝试 检验法、代入检验法）
例
检验下列各数是不是方程x-3=2x-8的解: (1) X=5 ; (2) X=-2 .
把x=5代入方程左右两边， 左边=5-3=2， 右边=2×5-8=2， 左边=右边． 所以x=5是方程x-3=2x-8的解．
解 (1)
(2)
把x=-2代入方程左右两边， 左边=-2-3=-5， 右边=2×(-2)-8=-12， 左边≠ 右边． 所以x=-2不是方程x-3=2x-8的解．
城北中学
江兰兰
你认识他们吗？
请看一例
2004年夏季奥运会上, 我国获得32枚金牌。 跳水队 其中跳水队获得6枚 比射 击队 射击队的两倍减2=跳水 金 牌 ， 比 射 击 队 获 的 2倍 少2 得金牌数的2倍少2枚。 队获得的金牌数 射击队获得多少枚 枚 金牌？ 如果设射击队获 得的金牌数为x
而我们已知这个包装盒的表面 积为6.8平方米，因此，根据 题意，得 2x+2.4x+2.4=6.8
想一想，议一议 一 知识点三: 只含有一个未知数，并且未 元 知数的次数是1的整式方 一 程叫做一元一次方程 次 x 10 . 1 方 10 . 4 程 2
80 % x 72
这些方程之间有 什么共同的特点
根据题意得：
6=2x-2
探究新知
知识点一:方程的概念
(1) (2) (3) (4) (5)
1+2=3 5=7-2 3+b=2b+1 4+x=7 2x-2=6
象这种用等号“=”来表示 相等关系的式子，叫等式。 象这样含有未知数的等式 叫做方程。
判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打 “ｘ”。 (1) -2+5=3 (3) m=0 (5) χ+y=8 (7) 2a +b (ｘ) (√ ) ( √) ( ｘ) (2) 3χ-1=7 (4) χ﹥ 3 (6) 2χ2-5χ+1=0 （8）x=4 ( ( √) ( ｘ ) )√ （√ ）
错
你能概括出如何检验一个数是不是方程的 解的步骤吗？
检验一个数是不是方程的解的步骤：
１.将数值代入方程左边进行计算， ２.将数值代入方程右边进行计算，
比较左右两边的值，若左边＝右边， 则是方程的解，反之，则不是．
３.
动 动 脑 ：
写 出 一 个 一 元 一 次 方程 , 使 它 的 解 是 t ＝－ 2 ？
练一练(根据下列问题中的条件列出方程)
练一练
国庆期间，“天一广场”搞促销 活动，小颖的姐姐买了一件衣 服，按8折销售的售价为72元， 问这件衣服的原价是多少元？
解：设这件衣服的原价为x元，
可列出方程 80 % x 72 。
如图 是一个长方体形的电视机包装盒，它的底面宽为 1米，长为1.2米，且包装盒的表面积为6.8平方米. 你能算出这个电视机的高吗？ 设包装盒的高为x米，你能 用一个代数式表示这6个 长方形面积的和吗？ 这六个长方形面积和为 （2x+2.4x+2.4)平方米. X米 1米 1.2米