立体几何中的排列组合问题_王勇
立体几何中的排列组合问题解法举隅(优.选)
1 / 4word.立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）A. 12对B. 24对C. 36对D. 48对解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有16C 种; 第二步, 从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B.二．分类求解例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( )A. 30种B. 33种C. 36种D. 39种解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有30335C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.2 / 4word.解 分三类：①如果用5种颜色有55A 种染色方法.②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A 、C 同色，只要考虑染S 、A 、B 、D 四顶点，有45A 种染法，而B 、D 同色仍有45A 种染法，用四色共有245A 种染法.③如果用3种颜色，A 、C 同色，B 、D 同色，只要考虑S 、A 、B 三个顶点，有35A 种染法.由加法原理知共有55A ＋245A ＋35A ＝420种染法. 三、剔除求解例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种B.147种C.144种D.141种解 从10个点中任取4点，有410C 种取法，再剔除掉共面的取法.① 共面的四点在四面体的某一个面内，有46C 种取法，4个面共有446C 种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.故不共面的取法共有410C －446C －6－3＝141种，故选D.例5 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A 1B 异面的有多少条？解 （1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体48C -12＝58个.图1BADCS图2ABC DB 1D 1C 1 A 13 / 4word.（2）如图2， A 1BD 这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A 对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题意的三点取法共有38C －8＝48种.（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB 1A 1中的两点组合有24C 个，再去掉过A 1不在面ABB 1A 1内的四条直线与过B 的4条直线，还要去掉与之平行的D 1C.所以共有1442428----C C ＝13条. 四、构造模型求解例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解 由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解 构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到1743)12(48=⨯-C 对异面直线.五、联想有关命题求解例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）A.0B.6C.8D.24解 联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.六、综合有关知识求解例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ） A.200个 B.190个 C.185个 D.180个图3CE C 14 / 4word.解 正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成410C ＝210个四面体，其中四点在同一平面内的有三类： ① 每一底面的5点中选4点的组合方法有452C 个. ② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有25C 个.③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB ∥E 1C 1），这样共面的四点共有152C 个.故四面体的个数为15254541022C C C C ---＝180个，故选D.例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解 结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有245C 15C 个. ②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有15C 16C 个. ③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有15C 16C 个.④以图3中ABC 1E 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有215C 16C 个. 故可构成的四棱锥共有245C 15C ＋15C 16C ＋15C 16C ＋215C 16C ＝170个.例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？解 本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关. ①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有48C －6－2＝62个. ② 若底面是梯形，则有48C －6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有48C －6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word 文本 --------------------- 方便更改。
(完整版)高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页(最新整理)
小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。
排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。
同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。
根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
完整版例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。
立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点1．1 共面的点11997年全国高考（文））（例A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，每个面上的个顶点，个点共面。
点条棱有34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333点与这条棱对棱的中点共面。
条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在A共面的四点组合共有个。
所以与点B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的算在内。
1．2 不共面的点21997年全国高考（理））（例104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141种．种．种．种．410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。
形，它的个顶点共面，有以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。
D答案：。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
了解排列组合的力高中数学排列组合问题的解题技巧
了解排列组合的力高中数学排列组合问题的解题技巧了解排列组合的力——高中数学排列组合问题的解题技巧排列组合作为高中数学中的重要内容，是数学领域中的一门基础知识。
它们在实际生活中应用广泛，无论是组织活动宴会的座位安排、选举赛事的组合方式，还是密码锁和密码破解都与排列组合有着密切关系。
因此，了解排列组合的概念及其解题技巧对于我们掌握数学知识和提高解决实际问题的能力至关重要。
一、排列的基本概念排列指的是从一组元素中按照一定的规则选取若干元素进行排列，其中顺序是重要的。
假设有n个元素，要从中选取r个进行排列，可表示为P(n,r)，排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
二、排列的解题技巧对于排列问题，我们需要掌握以下解题技巧：1. 确定题目是求排列数还是求特定排列方式。
在解题过程中，我们要明确问题所求的是排列的总数还是某一特定排列方式。
根据具体情况确定使用排列数公式还是直接计算特定排列的方法。
2. 利用计数原理解题。
排列问题有时可以通过计数原理进行解决。
许多排列问题可以转化为将元素逐一填入位置的问题。
例如，有3个空位需要填入a、b、c三个元素，那么首先可以将a放入第一个空位，然后将b放入第二个空位，最后将c放入第三个空位。
3. 应用乘法原理解题。
当问题可以分成几个独立的步骤时，我们可以应用乘法原理得出最终结果。
例如，一个班级由男生10人、女生8人组成，如果要选取一位班长和一位副班长，那么班长的选择有10种可能，副班长的选择有8种可能，根据乘法原理，总的选择方式就有10×8=80种。
三、组合的基本概念组合是从n个元素中选取r个元素的方式，与排列不同的是，组合中的元素顺序是不重要的，即选择相同元素但不同排列方式的组合只算作一种。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / [r!(n-r)!]四、组合的解题技巧对于组合问题，我们需要掌握以下解题技巧：1. 理解组合和排列的区别。
立体拼合解题方法
立体拼合解题方法摘要：一、立体拼合解题方法简介二、立体拼合解题方法的应用领域三、立体拼合解题方法的操作步骤四、立体拼合解题方法的优势五、实战案例解析六、总结与建议正文：一、立体拼合解题方法简介立体拼合解题方法是一种将空间几何与数学问题相结合的解题技巧。
它通过将复杂问题分解为简单的几何图形，利用数学知识进行逐步推导，从而求解问题。
这种方法在解决立体几何、组合数学、物理等学科的问题时具有较高的实用价值。
二、立体拼合解题方法的应用领域1.立体几何：在立体几何中，许多问题可以通过立体拼合解题方法进行简化。
如求解空间几何中的角度、距离、体积等问题，可以通过将空间几何体切割成简单的几何图形，再利用数学知识进行计算。
2.组合数学：在组合数学中，立体拼合解题方法可以帮助解决计数、排列组合等问题。
如计数问题，可以通过构建几何图形，分析不同部位的组合情况来求解。
3.物理：在物理学中，许多力学、光学、热学等问题都可以通过立体拼合解题方法进行求解。
如在力学中，可以通过构建物体受力图，分析各力的作用情况，从而求解物体运动状态。
三、立体拼合解题方法的操作步骤1.分析问题：首先要对问题进行深入的分析，明确问题的背景、条件以及需要求解的目标。
2.构建几何图形：根据问题条件，构建合适的几何图形，将复杂问题简化。
3.分解几何图形：将构建好的几何图形分解为简单的几何图形，如平面图形、立体图形等。
4.应用数学知识：针对分解后的简单几何图形，运用相应的数学知识进行计算和推导。
5.整合结果：将各个简单几何图形的计算结果整合，得出问题的解答。
四、立体拼合解题方法的优势1.化繁为简：通过将复杂问题分解为简单的几何图形，降低了问题的难度。
2.直观易懂：立体拼合解题方法具有很强的直观性，有助于理解问题的本质。
3.适用范围广泛：立体拼合解题方法适用于多个学科领域，具有较强的通用性。
4.提高解题效率：通过立体拼合解题方法，可以快速找到问题的解决途径，提高解题效率。
高中数学解题技巧之排列组合问题求解
高中数学解题技巧之排列组合问题求解在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和解题方法。
排列组合问题在考试中经常出现，因此学会解决这类问题是非常重要的。
本文将介绍一些高中数学中排列组合问题的解题技巧，并通过具体的例子来说明这些技巧的应用。
一、排列问题的解题技巧排列是指从一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列的方式。
在解决排列问题时，我们需要关注以下几个方面：1. 确定排列的元素个数：在题目中，通常会给出元素的个数，我们需要根据题目要求确定排列的元素个数。
例如，有5个人站成一排，问有多少种不同的站法？在这个问题中，元素的个数为5。
2. 确定排列的顺序：排列问题中的元素是按照一定的顺序排列的，我们需要确定排列的顺序。
例如，从5个人中选出3个人排成一排，问有多少种不同的排法？在这个问题中，我们需要确定排列的顺序。
3. 使用排列的公式：在解决排列问题时，我们可以使用排列的公式来计算不同排列的数量。
排列的公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n表示元素的个数，m表示排列的元素个数，n!表示n的阶乘。
例如，从5个人中选出3个人排成一排，可以使用排列的公式计算排列的数量：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。
二、组合问题的解题技巧组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
在解决组合问题时，我们需要关注以下几个方面：1. 确定组合的元素个数：在题目中，通常会给出元素的个数，我们需要根据题目要求确定组合的元素个数。
例如，从5个人中选出3个人，问有多少种不同的选法？在这个问题中，元素的个数为5。
2. 不考虑组合的顺序：组合问题中的元素是不考虑顺序的，我们不需要确定组合的顺序。
例如，从5个人中选出3个人，不考虑顺序，可以使用组合的公式计算组合的数量：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
3. 使用组合的公式：在解决组合问题时，我们可以使用组合的公式来计算不同组合的数量。
排列组合p的公式
排列组合p的公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个相同元素中，余因子m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个相同元素中抽出m 个元素的一个女团;从n个相同元素中抽出m(m≤n)个元素的所有女团的个数，叫作从n个相同元素中抽出m个元素的女团数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分为k类，每类的个数分别就是n1,n2,...nk这n个元素的全排序数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排序(pnm(n为负号，m为上标))pnm=n×(n-1)....(n-m+1);pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;pn1(n为下标1为上标)=n女团(cnm(n为负号，m为上标))cnm=pnm/pmm ;cnm=n!/m!(n-m)!;cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;cn1(n为下标1为上标)=n;cnm=cnn-m1. 掌控分类计数原理与分步计数原理，并会用它们分析和化解一些直观的应用领域问题。
2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3. 认知女团的意义，掌控女团数计算公式和女团数的性质，并会用它们化解一些直观的应用领域问题。
2012(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法
高中数学排列组合问题常用的解题方法排列组合是高中数学的重点和难点之一，是进一步学习概率的基础。
排列组合问题通常联系实际，生动有趣，并且能够锻炼同学们的逻辑推理能力和思维的缜密性，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，现将高中阶段常用的排列问题和组合问题的解题方法归纳如下：一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列． 例 1 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。
分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种。
二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。
分析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法． 例3 A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有 。
分析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。
分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。