新人教原创排列组合中的分堆问题·
高中数学选修2-3《简单计数问题：排列组合中的分堆问题》
注意：（1）非均分问题只要按比例分完再用乘法 原理作积
（2）分组安排工作要把组数当作元素个数再作排 列。
(1) C16C52C33
(2) C16C52C33 A33
非均分组问题(例4)
有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
课堂小结：
1 明确所属的分配问题可以用 分步计数完成------排列的一种形式
2平均分堆问题计算时要在分布完成的基
础上除以组数的全排列m!
3元素个数不同的堆之间分只要分布完成
4综合：先分堆（组合）后分配（排列） 的问题
C132
C
3 9
C36
C33
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分 成四堆有多少种不同 的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分 给甲、乙、丙、丁四 个人有多少种不同的 分法？
(1)
C120C82
C
62C
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C120C82
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非均分组问题(例3)
（1）6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不 同的分法？
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
14 2 C
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12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
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12 2 C
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排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
在实际生活中，我们经常会遇到这样的问题，比如如何将一群人分成几组参加比赛，或者如何将一批货物分配到不同的仓库中。
研究分组分配问题的有效解法对于解决各种实际问题具有重要的意义。
排列组合中的分组分配问题可以分为两种类型：一种是固定分组数量的分配问题，另一种是灵活分组数量的分配问题。
在解决这两种类型的问题时，通常可以运用排列组合的知识以及一些数学方法来进行分析和求解。
我们来讨论固定分组数量的分配问题。
在这种情况下，我们需要将一组元素分配到固定数量的分组中，每个分组的元素数量也是固定的。
通常情况下，我们可以使用排列组合的方法来解决这类问题。
假设有n个元素需要分配到m个分组中，每个分组需要包含k个元素，那么可以计算出一共有多少种不同的分组分配方式。
我们需要计算出总的元素数量n个中选取出k个元素的组合数，即C(n,k)。
然后，对于确定了k个元素的第一个分组，剩下的n-k个元素中再选取k个元素，再选取k个元素，直到最后一个分组选取出来。
根据乘法原理，可以得到总的分组分配方式数量为 C(n,k) * C(n-k,k) * C(n-2k,k) * ... * C(n-(m-1)k,k)。
举个例子来说明，假设有12个人需要分为3组，每组4人，那么分组的方式就可以通过计算C(12,4) * C(8,4)来得到。
这种方法可以帮助我们有效地解决固定分组数量的分配问题，并得到所有可能的分组分配方式。
一种常见的方法是使用动态规划来解决灵活分组数量的分配问题。
动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题而有效解决复杂问题的方法。
对于分组分配问题来说，可以将问题分解为将第i个元素分配到第j个分组中的子问题，然后逐步求解，最终得到整个分组分配问题的解。
排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
高二数学排列组合中分堆问题
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烩菜是招牌主菜，猫耳朵和莜面鱼鱼也很受欢迎，都不可以失传的！这样吧，咱们可以专门为你们的这些个秘诀，还有那些个很讲究的 制作诀窍写一份附约，我另外再出资买了如何？”耿正说：“如此甚好，我们一定会毫无保留地把各种饺子馅儿的配方和所有的制作程 序，还有大杂烩菜、猫耳朵和莜面鱼鱼的制作技巧，全部详详细细地编写好了，待咱们办理交接手续时一起交给你们！说实在的，我们 是几年的好邻居了，大婶儿这些年也为小饭店出了不少力。现在，我们把这个饭店盘给你们，当然很希望你们一家人以后能够把她经营 得红红火火，好好地发一笔财呢！”回家与妹妹仔细商议之后，耿正和张老大商量着草拟了“南北小饭庄”及其宅院的转让契约，以及 与各种饺子馅儿的配方和大杂烩菜的制作程序等有关秘诀的附约。然后，俩人带上这两份书面约定的契约草稿，一起登门去请那位曾经 为“盛元酒店”老板与阔佬吴员外立赌约时做过证人的老者，请他做“南北小饭庄”转让契约的中人。老者听了俩人的口头陈述，并仔 细看过转让契约和附约的草稿后，高兴地答应了这事。末了，还满口应允亲自摹写两份契约，到时候在每份契约上签字画押，并见证整 个交接过程。与此同时，耿英也开始详详细细地编写附约内所涉及到的所有北方主食和菜肴的配方和制作程序。写好以后，又开始抽空 收拾兄妹三人准备带往杭州的行李杂物。她首先把爹爹的被褥和衣裳晾晒一番，然后重新打包好。自打在小巷儿尽头小院儿内安住至今， 爹的这些东西被单独打包起来以后，还一直没有再打开过呢。耿英一边做着这些，一边反反复复自言自语地轻轻念叨着：“爹啊，我们 要去杭州做丝绸生意了……我们要去杭州做丝绸生意了……”把所有准备带往杭州的行李杂物全部收拾好后，耿英吩咐哥哥去祭祀用品 店买回了很多的各色祭祀用品。次日早饭后，兄妹三人专程去北门外的那棵大榆树下，为已经过了三周年忌日祭奠的梁爷爷和梁奶奶上 坟。去了杭州后，他们就不可能再在每年的清明、鬼节（农历七月十五）和寒衣节（农历十月初一）为这两位已经去了另一个世界的老 人家上坟了。所以，兄妹三人特地在坟头前焚烧了比往常上坟时更多的纸钱和金银元宝。他们希望，两位老人家在那边儿有足够的钱花， 有多多的金元宝和银元宝！63第七十九回 耿兄妹决定再改行|（家在杭州李老乡，建议联手合开店；全盘考虑细斟酌，耿兄妹决定再改 行。）老乡四人一边慢慢地喝酒吃饭，一边继续聊着。李老乡告诉耿正兄妹三人，他为杭州一家最大的丝绸批发市场做远途货运的生意 已经十几年了，感觉一年到头在外边跑很是辛苦。再加上老父母最近几年已经相继去世了，把二老的灵柩送回老家安葬之后，再返回来 做这个老行当，总有
10.2排列组合中的分组分配问题
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
132C
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C62
C 42 C22
A
3 3
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2 2
A
5 5
四：部分均分无分配对象的问题 例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有 多少种分法
C64C21C11 A22
五、非均分组无分配对象问题
（1）每人各得两本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人一本，一人两本，一人三本；
（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；
（5）一人四本，另两人各一本·
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
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(3)
C
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C
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C
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C
1 1
(5)
A
1 3
4!·8! 4!·4! 3!
(2)
C
122C
120C82
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• 练习1：把10人平均分成两组，再从每组中 选出正、副组长各一人，共有多少种选法?
解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长．
分组有
C150C55 A22
种方法，
每组中选正、副组长都有 A52 种方法．
由分步计数原理共有
C150C55 A22
A52
A52
50400
种．
二：均分有分配对象的问题
高一数学排列组合中分堆问题
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
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4 9
C
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(2)
C
3 12
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2 12
C
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A
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C
12 2 C
5 10
CБайду номын сангаас
5 5
小结
平均分组问题
理论部分：平均分成的组，不管它们 的顺序如何，都是一种情况，所以 分组后要除以P(m,m)，即m!，其中m 表示组数。
(1)
C
2 6
C
2 4
C22
90
二：分堆安排工作的问题(续)
例2（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、 D、E五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列
(2)
C
13 2 C
3 9
C62
C 42 C22
A
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练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
3 9
C36
C33
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分
成四堆有多少种不同 (1)
的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分
给甲、乙、丙、丁四 (2)
个人有多少种不同的 分法？
C120
排列组合中的分堆问题最新版
例2：（1）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、 乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元 素的个数·
（1）均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
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2 4
C
2 2
例2：（1）6本不同的书按 2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个 人，有多少种不同的分法？
一：均分不安排工作的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
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4!·8! 4!·4! 3!
(2)
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3 3
二：分堆安排工作的问题
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
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A
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(4)
C
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C
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(5)
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 3
C
4 6
C
1 2
C
1 1
练习3
练习：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条 件，各有多少 种不同的分法？
人教 高中数学选修23 第二章 排列组合平均分组(分配问题)(共14张PPT)
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/8/102021/8/10
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注意：（1）非均分问题只要按比例分完再用乘法 原理作积
（2）分组安排工作要把组数当作元素个数再作排 列。
(1) C16C52C33
(2) C16C52C33 A33
非均分组问题(例4)
有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
142C
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二：分堆安排工作的问题
例2：（1）6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、 乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
C
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(3)
C
2 12
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小结
平均分组问题
理论部分：平均分成的组，不管它们 的顺序如何，都是一种情况，所以 分组后要除以P(m,m)，即m!，其中m 表示组数。
作业与练习
• 作业：P104页8、9、10、11题
排列组合中的 分堆问题
平均分组问题
理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序如何，
都是一种情况，所以分组后要除以 其中m表示组数。
Amm
，即m!，
例如 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
这两个在分组时只能算一个
一：均分不安排工作的问题
例2（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、 D、E五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列
(2)
C
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C62
C 42 C22
A
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A
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练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
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C33
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练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分 成四堆有多少种不同 的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分 给甲、乙、丙、丁四 个人有多少种不同的 分法？
(1)
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非均分组问题(例3)
（1）6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种不 同的分法？
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4 6
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练习3
练习：12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条 件，各有多少 种不同的分法？
（1）一人三本，一人四本，一人五本；
（2）甲三本，乙四本，丙五本；
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本·
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C
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方法：先分再排均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
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2 4
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3 3
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例2：（1）6本不同的书按 2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个 人，有多少种不同的分法？
(1)
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90
二：分堆安排工作的问题(续)
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
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